Aula_12_Indutancia_Circuito_RL

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Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Aula 12 
 
Indutância e circuito RL 
Introdução 
 Como vimos em aulas anteriores, um capacitor pode ser usado para produzir um 
campo elétrico com as propriedades desejadas. 
 Analogamente, um indutor pode ser usado para produzir 
um campo magnético com as propriedades desejadas. 
 O tipo mais simples de indutor é o solenóide 
(constituído por um enrolamento helicoidal de 
fio sobre um núcleo). 
Indutância mútua 
Na aula 10 (slide 29) consideramos a interação magnética entre dois fios que conduziam 
corrente estacionárias (não variavam no tempo); a corrente de um dos fios produzia 
um campo magnético que exercia uma força sobre a corrente do outro fio. 
 Quando existe uma corrente variável em um dos 
circuitos, ocorre uma interação adicional entre eles. 
 Considere duas bobinas vizinhas como ilustrado na 
figura ao lado. Uma corrente circulando na bobina 1 
produz um campo magnético 𝐵 e, portanto, um fluxo 
magnético através da bobina 2. 
 Quando a corrente na bonina 1 varia, o fluxo 
magnético através da bobina 2 também varia; de 
acordo com a lei de Faraday, isso produz uma fem 
na bobina 2. 
 Sendo assim, a variação da corrente em um dos 
circuitos produz uma corrente induzida no outro 
circuito. 
 Na figura ao lado, a corrente 𝑖1 na bobina 1 induz 
um campo magnético e algumas linhas de campo 
passam pela bobina 2. 
 O campo magnético é proporcional a 𝑖1, de modo que Φ𝐵2 também é proporcional 
a 𝑖1. Quando 𝑖1 varia, Φ𝐵2 varia; esse fluxo magnético variável induz uma fem na 
bobina 2, dada por: 
 Designamos por Φ𝐵2 o fluxo magnético através de 
cada espira da bobina 2 produzido pela corrente 𝑖1 
na bobina 1. 
(1) 
 Visto que Φ𝐵2 é proporcional a 𝑖1, poderíamos 
representar essa proporcionalidade na forma: 
 Contudo, é mais conveniente incluir o número de 
espiras 𝑁2 na relação. 
 Na equação acima, Φ𝐵2 é o fluxo magnético através de uma única espira da bobina 2. 
 Introduzimos uma constante de proporcionalidade 
𝐌𝟐𝟏 chamada indutância mútua das duas bobinas: 
 Portanto, podemos escrever (derivando os dois membros da eq.): 
(2) 
 Dessa forma, podemos reescrever a eq. (1): 
 A indutância mútua definida pela eq. (2) pode ser escrita na forma: 
 Ou seja, a variação da corrente 𝑖1 na bobina 1 induz 
uma fem na bobina 2 diretamente proporcional à 
taxa de variação da corrente 𝒊𝟏 . 
 Quando as bobinas estão no vácuo, o fluxo 
magnético Φ𝐵2 é proporcional a 𝑖1, então a 
indutância mútua é uma constante que depende 
apenas da geometria das duas bobinas. 
 Podemos repetir o raciocínio anterior para o caso 
oposto, no qual uma corrente variável 𝒊𝟐 na 
bobina 2 produza um fluxo magnético variável Φ𝐵1 e 
induza uma fem na bobina 1. 
 Poderíamos pensar que a constante correspondente, 
𝑴𝟏𝟐 fosse diferente de 𝑴𝟐𝟏 porque, em geral as 
duas bobinas não são idênticas. Contudo, 
verificamos que 𝑴𝟏𝟐 é sempre igual a 𝑴𝟐𝟏 . 
Chamaremos esse valor comum simplesmente de 
indutância mútua, designada pelo símbolo M. 
 Os sinais negativos decorrem da lei de Lenz. 
 A primeira equação afirma que a variação da corrente na bobina 1 produz uma 
variação do fluxo magnético na bobina 2, induzindo uma fem na bobina 2 que se 
opõe à variação desse fluxo magnético. Na segunda equação, os papéis 
desempenhados pelas bobinas são invertidos. 
 A unidade SI de indutância mútua denomina-se henry (1 H) 
em homenagem ao físico norte-americano Joseph Henry 
(1797-1878), um dos descobridores da indução 
eletromagnética. 
Exemplo 1: Cálculo da indutância mútua 
Exemplo 2: fem induzida por indutância mútua 
Usando os dados do exemplo anterior: 
Indutores e auto-indutância 
 Em nossa discussão sobre indutância mútua, consideramos dois circuitos separados 
e independentes; uma corrente variável em um dos circuitos cria um fluxo 
magnético varável sobre o outro circuito, induzindo uma fem neste. 
 Um efeito relacionado ao citado acima ocorre até mesmo quando consideramos um 
único circuito isolado! 
 Quando existe uma corrente em um circuito, ela 
produz um campo magnético que gera um fluxo 
magnético através do próprio circuito; quando a 
corrente varia, esse fluxo também varia. 
 Portanto, qualquer circuito percorrido por uma 
corrente variável possui uma fem induzida nele mesmo 
pela variação do seu próprio fluxo magnético. Tal fem 
denomina-se fem auto-induzida. 
 De acordo com a lei de Lenz, uma fem auto-induzida 
sempre se opõe à variação da corrente que produz a 
fem e, portanto, tende a tornar mais difícil 
qualquer variação da corrente. 
 Seja a bobina com N espiras como na figura ao lado. 
Em virtude da corrente i variável, existe um fluxo 
magnético médio através de cada espira da bobina. 
 Por analogia com a eq. (2), definimos a auto-
indutância L do circuito do seguinte modo: 
 Quando a corrente i no circuito varia, Φ𝐵 também varia; reagrupando a última 
equação e tomando a derivada em relação ao tempo, as taxas de variação são 
relacionadas por: 
 De acordo com a lei de Faraday para uma bobina com N espiras, a fem auto-induzida 
é dada por: 
 Portanto, concluímos que: 
 O sinal negativo decorre da lei de Lenz; ele 
mostra que a fem auto-induzida em um 
circuito se opõe a qualquer variação de 
corrente que ocorra no circuito. 
Indutância de um solenóide longo 
 Considere um solenóide longo de seção reta A. Qual a indutância apor unidade de 
comprimento perto do centro do solenóide? 
 Para aplicar a definição de indutância precisamos conhecer o fluxo 
magnético que passa por cada uma das espiras do solenóide. 
 Considere um segmento de comprimento l perto do centro do solenóide. O fluxo 
magnético para esse segmento será dado por: 
 O módulo do campo magnético no interior de um solenóide é dado por (aula 10, slide 
63): 
 Sendo: 
 Dessa forma, teremos: 
 Assim, a indutância por unidade de comprimento perto do centro de um solenóide 
longo é dada por: 
 Note que, como a capacitância, a indutância depende apenas da geometria do 
dispositivo. 
Circuito RL 
 Como vimos na aula 8 (slide 43) quando introduzimos uma força eletromotriz em um 
circuito RC com um capacitor inicialmente descarregado, a carga do capacitor 
não aumenta instantaneamente para o valor final 𝐶𝜀 mas tende exponencialmente 
para esse valor: 
 A taxa de aumento da carga do capacitor é determinada pela constante de tempo 
capacitiva, definida através da equação: 
 Quando removemos a força eletromotriz do mesmo circuito a carga do capacitor não 
diminui instantaneamente para zero, mas tende exponencialmente para esse valor: 
 A corrente apresenta um comportamento análogo quanto introduzimos ou 
removemos uma força eletromotriz em um circuito que contem um resistor R e um 
indutor L. 
 Quando a chave S a figura ao lado é colocada 
na posição a, por exemplo, a corrente no 
resistor começa a aumentar. Se o indutor não 
estivesse presente a corrente atingiria quase 
instantaneamente o valor final 
 
 De acordo com a lei de Lenz, a fem auto-induzida se opõe ao aumento da corrente, o 
que significa que tem a polaridade oposta à da fem da fonte. 
 A presença do indutor, faz com que uma força 
eletromotriz auto-induzida apareça no circuito. 
 Dessa forma, a corrente no resistor 
corresponde à diferença entre duas forças 
eletromotrizes, uma fem constante produzida 
pela fonte e uma fem variável (-Ldi/dt) 
produzida pela auto-indução. 
 Esses resultados podem ser generalizadosda seguinte forma: 
 Enquanto fem induzida está presente, a corrente é menor que 
 Com o passar do tempo a taxa de aumento da corrente diminui e o valor absoluto da 
fem auto-induzida, que é proporcional a di/dt, também diminui. Assim, a corrente 
tende assintoticamente para 
 Vamos agora analisar quantitativamente a 
situação com a chave S na posição a (como 
mostrado na figura). 
 Indutor: como a corrente i está variando existe uma fem auto-induzida no indutor. 
Como vimos, o valor absoluto da fem é Ldi/dt. O sentido é para cima (lei de Lenz), 
porque o sentido da corrente i é para baixo no indutor e a corrente está aumentando. 
Assim, quando passamos do ponto y para o ponto z, atravessamos o indutor no 
sentido contrário ao da fem auto-induzida, o potencial varia –Ldi/dt. 
 Resistor: como atravessamos o resistor no sentido da corrente i o potencial elétrico 
diminui de iR. Assim, quando passamos do ponto x para o ponto y o potencial varia –
iR. 
 Vamos aplicar a regra das malhas, começando 
no ponto x da figura e nos deslocando no 
sentido horário, o mesmo da corrente i. 
x 
y 
z 
 Fonte: quando passamos do ponto z para o 
ponto x, voltando ao ponto inicial, o potencial 
varia de + devido à fem da fonte. 
 Essa é uma equação diferencial que envolve a 
variável i e sua derivada primeira. A solução 
deve ser uma função i(t) tal que i(0)=0. 
 De acordo com a regra das malhas temos: 
x 
y 
z 
 A equação acima (e sua condição inicial) têm a mesmo forma 
que a equação de um circuito RC. 
 Resolvendo a equação diferencial: 
 Façamos: 
 Neste caso, teremos: 
 Relacionando as derivadas de i e y, encontramos: 
 Logo, podemos escrever 
 Aplicando a operação de integral, teremos: 
 Verificando os limites de integração (de acordo com a condição inicial): 
 Podemos escrever: 
 Resolvendo a integral: 
 Aplicando as propriedades dos logaritmos: 
Lembrando que: 
 Aplicando a operação de exponencial em ambos os lados da equação anterior: 
 Podemos escrever: 
 Reagrupando os termos: 
 Podemos reescrever a equação anterior da seguinte forma: 
 Sendo 𝜏𝐿 a constante de tempo indutiva, dada por: 
 Vamos examinar a eq. (3) acima em duas situações particulares: 
A análise de unidades mostra que 
𝜏𝐿 tem dimensão de tempo. 
(3) 
(1) No instante em que a chave S é fechada (ou seja, t = 0); 
(2) Um longo tempo depois da chave S ter sido fechada (ou seja, 𝑡 → ∞. 
 Fazendo t = 0 na eq.(3), a exponencial se torna 
 Logo, a corrente é zero no instante inicial: 
 Fazendo 𝑡 → ∞ a exponencial se torna 
É possível examinar as diferenças de potencial no circuito. Lembrando que 𝑉𝑅 = 𝑅𝑖 e 
𝑉𝐿 = 𝐿𝑑𝑖/𝑑𝑡 podemos construir os gráficos para valores particulares de fem da fonte, L e 
R, tal como mostrado nas figuras do próximo slide. 
 Logo, para longos tempos, a corrente tende para o valor final: 
 Para compreender o significado físico da constante de tempo indutiva podemos usar 
a eq. (3) fazendo t = 𝜏𝐿 = L/R. Neste caso, teremos: 
 Assim, a constante de tempo indutiva é o tempo necessário para que a corrente no 
circuito atinja 63% do valor final. 
 Se a chave S da figura é mantida na posição 
a por tempo suficiente para que a corrente 
atinja o valor final E/R e depois é colocada 
para a posição b, o efeito é remover a fonte 
do circuito. 
 Na ausência da fonte a corrente no resistor 
cai para zero mas não de forma instantânea. 
A equação diferencial que governa o 
decréscimo da corrente pode ser obtida 
fazendo-se: 
 A solução dessa equação diferencial que satisfaz a condição inicial: 
é dada por: 
 Assim, tanto o aumento da corrente quanto a diminuição da corrente em um 
circuito RL são governados pela mesma constante de tempo 𝜏𝐿 
Exemplo 3: circuito RL durante uma transição 
Energia armazenada em um campo magnético 
 Quando afastamos duas partículas carregadas uma da outra podemos dizer 
que o aumento da energia potencial elétrica associado a este afastamento fica 
armazenado no campo elétrico que existe nas vizinhanças das partículas. 
Podemos recuperar essa energia permitindo que as partículas se aproximem 
novamente. 
 Da mesma forma, podemos dizer que 
existe uma energia armazenada no campo 
magnético criado por uma corrente. 
 Para obter uma expressão matemática para 
a energia armazenada no campo magnético 
considere novamente o circuito ao lado, 
que mostra uma fonte de fem ligada a um 
resistor e a um indutor. 
 De acordo com a regra das malhas, vimos 
que a equação diferencial que descreve o 
aumento da corrente no circuito é dada 
por: 
 Como vimos na aula 8, a aplicação da regra das malhas nada mais é do que a 
aplicação da lei da conservação da energia em circuitos com uma única malha. 
 Multiplicando por i ambos os membros da eq. Acima, obtemos: 
que tem a seguinte interpretação em termos do trabalho e energia: 
 Assim, o lado esquerdo da eq. (4) representa a taxa com a qual a fonte fornece 
energia ao resto do circuito. 
(1) Se uma quantidade elementar de carga dq 
passa pela fonte de fem da figura em um 
intervalo de tempo dt, a fonte realiza um 
trabalho: 
(4) 
(2) O termo 𝑖2𝑅 na eq. (4) representa a taxa com a qual a energia é dissipada como 
energia térmica no resistor (lembre-se do cálculo da potência!). 
(3) De acordo com a lei da conservação da 
energia, a energia que é fornecida ao circuito e 
não é dissipada no resistor deve ser 
armazenada no campo magnético do indutor. 
 Como a eq. (4) representa a lei da conservação da energia para circuitos RL, o termo 
Lidi/dt deve representar a taxa com a qual a energia potencial magnética é 
armazenada no campo magnético : 
(4) 
 Que pode ser reescrita na forma: 
Integrando ambos os membros, obtemos: 
Que nos fornece: 
 Note a semelhança entre essa expressão e a expressão para a energia armazenada 
por um capacitor de capacitância C e carga q: 
 A variável i² corresponde a q² e a 
constante L corresponde a 1/C. 
A energia armazenada no campo magnético da 
bobina em qualquer instante é função da corrente 
que atravessa a bonina nesse instante. 
Exemplo 4: energia armazenada em um campo magnético 
(a) 
(b) 
Densidade de energia de um campo magnético 
 Considere um segmento de comprimento l perto do centro de um solenóide longo de 
seção reta A percorrido por uma corrente; o volume do segmento é Al. 
 A energia 𝑈𝐵 armazenada nesse trecho do solenóide deve estar toda no interior do 
solenóide, já que o campo magnético do lado de fora de um solenóide longo é 
praticamente zero. 
 Além disso, a energia armazenada deve estar uniformemente distribuída, pois o 
campo magnético é (aproximadamente) uniforme no interior do solenóide. 
 Assim, a energia armazenada no campo por unidade de volume é: 
onde L é a indutância do segmento do solenóide de comprimento l. 
 E como 
 Temos: 
 Substituindo L/l por seu valor (encontrado no slide 20) : 
 Teremos: 
onde n é o número de espiras por unidade de comprimento. 
 Lembrando que para um solenóide longo: 
 Podemos escrever a densidade de energia na forma: 
 Essa equação fornece a densidade de energia armazenada em um ponto do 
espaço onde o módulo do campo magnético é B. Embora tenha sido demostrada 
apenas para o caso especial de um solenóide, a eq. acima é valida para qualquer 
campo magnético, independente da forma como é produzido. 
 Essa equação é análoga àquela que fornece a densidade de energia armazenada 
em um ponto do espaçoonde existe um campo elétrico E (aula 6 – slide 38): 
Exemplo 5: cálculo da energia armazenada em um campo magnético 
Um cabo coaxial longo é formado por dois cilindros concêntricos de paredes 
finas e raios a e b. O cilindro interno conduz uma corrente constante i, e o 
cilindro externo constitui o caminho de retorno da mesma corrente . A corrente 
cria um campo magnético entre os dois cilindros. 
(a) Calcule a energia armazenada no campo magnético em um segmento l do 
cabo. 
(b) Qual a energia armazenada por unidade de comprimento do cabo se a = 
1,2 mm, b = 3,5 mm e i =2,7 A? 
a 
b 
1) Podemos calcular a energia total 𝑈𝐵 armazenada no campo magnético a 
partir da densidade de energia 𝑢𝐵 do campo. 
2) A relação entre a densidade de energia e o módulo B do campo é dada pela 
equação: 
 
 
3) Devido à simetria circular do cabo, podemos determinar o valor de B 
usando a lei de Ampère e a corrente conhecida i. 
Cálculo de B: Começaremos pela lei de Ampère, usando 
uma amperiana circular de raio r tal que 
 
 
A única corrente envolvida por essa amperiana é a corrente 
i do cilindro interno. Assim, a lei de Ampère assume a 
forma: 
 
 
Vamos simplificar a integral. Graças à simetria circular, 
sabemos que em todos os pontos da amperiana o campo B 
é tangente à curva e tem o mesmo módulo B. Vamos tomar 
o sentido de integração como sendo o sentido do 
campo magnético. Neste caso: 
 
 
 
 
a 
b 
Dessa forma, teremos 
 
 
 
Cálculo de 𝒖𝑩 : Para obter a densidade de energia, 
substituímos o resultado acima na eq. encontrada no slide 
47: 
 
 
 
Cálculo de 𝑼𝑩: Observe que 𝒖𝑩 não é uniforme na região 
entre os dois cilindros, mas varia com a distância radial r. 
Assim, para calcular a energia total 𝑼𝑩 armazenada entre os 
dois cilindros devemos integrar 𝒖𝑩 nesse volume. 
 
a 
b 
Como o volume entre os dois cilindros possui simetria 
circular em relação ao eixo central do cabo, consideramos o 
elemento de volume dV de uma casca cilíndrica situada 
entre os dois cilindros. 
 
A casca tem um raio interno r, raio externo r + dr e 
comprimento l. A área da seção reta da casca será dada 
por: 
 
Assim, o volume dV da casca será: 
 
 
Assim, a energia total contida em uma casca de volume dV 
será dada por: 
 
 
 
dr 
a 
b 
dr 
r 
dr 
a 
b 
dr 
r 
Ou ainda: 
 
Substituindo as equações encontradas anteriormente: 
 
 
 
Para determinar a energia total contida entre os dois 
cilindros, integramos a eq acima para o voluma entre os 
cilindros: 
 
 
 
 
 
dr 
a 
b 
dr 
r 
(b) Qual a energia armazenada por unidade de 
comprimento do cabo se a = 1,2 mm, b = 3,5 mm e i =2,7 
A? 
 
De acordo com a eq no último slide: 
 
 
Logo: