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Microeconomia II - 2015/2
Lista 1
27 de setembro de 2015
Quest ̃ao 1
Sabemos que a curva de contrato é o locus das alocaç ̃oes Pareto eficientes, ou seja, é o conjunto de todas as cestas que resolve simultaneamente o problema de maximizaç ̃ao de utilidade de ambos os indiv ́ıduos. Assim, em qualquer ponto sob a curva de contrato TMS
A
= TMS
B
. Nesta quest ̃ao, ambos os indiv ́ıduos têm utilidade Cobb-Douglas, portanto:
TMS
A
α 1 − α
x
2A x
1A
TMS
B
=
.
β 1 − β
x
2B x
1B
Além disto, sabemos que a dotaç ̃ao total de ambos os bens na economia é dada por:
w
1
=
.
= x
1A
+ x
1B w
2
= x
2A
+ x
2B
Vamos usar esta relaç ̃ao para escrever a curva de contrato em funç ̃ao apenas de x
1B
e x
2B
:
Curva de Contrato: TMS
A
= TMS
B
x
2B x
1B
=
α(1 β(1 − − α) β)
.
(w (w
2
1
− − x
2B x
1B
) )
(w
1
− x
1B
)x
2B
=
α(1 β(1 − − α) β)
.(w
2
− x
2B
)x
1B
w
1
x
2B
− x
1B
x
2B
=
α(1 β(1 − − α) β)
w
2
x
1B
−
α(1 β(1 − − α) β)
x
1B
x
2B
x
2B
=
α(1 β(1 − − α) β)
w w
2
1
x
1B
+
w 1
1
[
1 +
α(1 β(1 − − α) β)
]
x
1B
x
2B
x
2B
=
α(1 β(1 − − α) β)
w w
2
1
x
1B
+
w 1
1
[
β − α β(1 − α)
]
x
1B
x
2B
Toda esta álgebra serve para podermos ver a inclinaç ̃ao da curva de contrato como funç ̃ao dos parâmetros das utilidades. Assim, numa caixa de Edgeworth com x
1
na horizontal e x
2
na vertical temos:
1
a. α = β
Neste caso, o segundo termo da express ̃ao anterior desaparece e o primeiro termo se resume a uma relaç ̃ao linear entre x
2b
e x
1B
:
x
2B
=
w w
2
1
x
1B
A curva de contrato é simplesmente a diagonal da caixa de Edgeworth.
b: α>β
Neste caso o indiv ́ıduo A gosta mais do bem x
1
c: α<β
E ́
o problema simétrico do anterior. O indiv ́ıduo B gosta mais de x
1
do que A. A curva de contrato é côncava:
do que o indiv ́ıduo B. A curva de contrato é convexa:
2
d: α = 0 <β< 1
Neste caso, o indiv ́ıduo A n ̃ao consome nada de x
1
. N ̃ao há equil ́ıbrio, pois como β < 1 o indiv ́ıduo B deseja uma cesta balanceada, ou seja, algum ponto no interior da caixa. Mas qualquer ponto interior viola a condiç ̃ao do indiv ́ıduo A.
e: α = 1,β = 0
A curva de contrato é um ponto, com o indiv ́ıduo B consumindo toda a dotaç ̃ao de x
2
e o indiv ́ıduo A toda a dotaç ̃ao de x
1
.
Quest ̃ao 2
Se as preferências s ̃ao diferenciáveis, sabemos que as curvas de indiferença s ̃ao cont ́ınuas e n ̃ao s ̃ao do tipo complementares perfeitos. Assumindo convexidade estrita, podemos excluir também a possibilidade de solul ̃oes de canto, o que significa que podemos tomar um ponto arbitrário da diagonal da caixa de Edgeworth. Ainda, como as preferências s ̃ao homotéticas, sabemos que as curvas de indiferença s ̃ao projeç ̃oes radiais umas das outras. Assim, suponha que um ponto (x∗ 1
,x∗ 2
) qualquer da diagonal é Pareto-eficiente. Neste caso, sabemos que TMS
A
(x∗ 1
,x∗ 2
) = TMS
B
(x∗ 1
,x∗ 2
). Mas, se as preferências s ̃ao homotéticas, ent ̃ao TMS
A
(λx∗ 1
, λx∗ 2
) = TMS
B
(λx
1
,∗, λx∗ 2
),∀λ ∈ R.
Quest ̃ao 3
u
A
=
1 4
lnx
1A
+
1 4
lnx
2A
+
1 2
lnx
3A
u
B
=
1 2
lnx
1B
+
1 3
lnx
2B
+
1 6
lnx
3B
3
p
1
= 1
Começamos encontrando as demandas marshallianas. Como ambas as utilidades s ̃ao Cobb-Douglas, temos:
x∗
1A
=
m 4p
A
1
=
1 4
(3 + 4p
2
+ 2p
3
)
x∗
2A
=
m 4p
A
2
=
4p 1
2
(3 + 4p
2
+ 2p
3
)
x∗
3A
=
m 2p
A
3
=
2p 1
3
(3 + 4p
2
+ 2p
3
)
x∗
1B
=
m 2p
B
1
=
1 2
(1 + 5p
2
+ 3p
3
)
x∗
2B
=
m 3p
B
2
=
3p 1
2
(1 + 5p
2
+ 3p
3
)
x∗
3B
=
m 6p
B
3
=
6p 1
− 3
(1 + 5p
2
+ 3p
3
)
a)
Lei de Walras: O valor do excesso de demanda agregada na economia é zero.
p
1
(x∗
1A
− w
1A
+ x∗
1B
− w
1B
) + p
2
(x∗
2A
− w
2A
+ x∗
2B
− w
2B
) + p
3
(x∗
3A
− w
3A
+ x∗
3B
− w
3B
)=0
Vamos calcular primeiro o excesso de demanda em cada mercado:
Bem 1:
1 4
14p
2
+ 8p
3
− 11 4
Bem 2:
(3 + 4p
2
+ 2p
3
) − 3 + 1 2
(1 + 5p
2
+ 3p
3
) − 1 =
1 4p
2
(3 + 4p
2
+ 2p
3
) − 4 + 3p 1
2
(1 + 5p
2
+ 3p
3
) − 5 =
13p
2
+ 32p
3 + 12p 2
18p
3
− 9
Bem 3:
1 2p
3
(3 + 4p
2
+ 2p
3
) − 2 + 6p 1
3
(1 + 5p
2
+ 3p
3
) − 3 =
10 + 17p
2 + 6p 3
9p
3
− 5
Agora, basta multiplicar pelo vetor de preços e somar os 3 mercados:
14p
2
+ 8p
4
3
− 11
+ p
2
(
13p
2
)
+ p
3
(
10 + 17p
2
)
=
14p
2
+ 32p
3 12p
2
+ 18p
3
− 9
6p
3
+ 9p
3
− 5
+ 8p
3
− 11
(
13 12
+
4 10 6
−
11 4
+
13p
2 + )
32p 12
3
+ 18p
3
− 9p
2
) +
10 + 17p 6
2
+ 9p
3
− 5p
3
=
+ p
2
(
14 4
+
32 12
− 9 +
17 6
)
+ p
3
(
2 +
18 12
+
9 6
− 5
)
= 0
b)
Um equil ́ıbrio competitivo nesta economia é composto por uma alocaç ̃ao x∗ = (x∗ 1
,x∗ 2
,x∗ 3
) e um vetor de preços p∗ = (p∗ 1
,p∗ 2
,p∗ 3
) que a sustente. Para encontrar o vetor de preços de equil ́ıbrio, fazemos o market-clearing da economia:
4
+ x∗
1A
x∗
1B
= p
1
(w
1A
+ w
1B
) x∗
2A
+ x∗
2B
= p
2
(w
2A
+ w
2B
) x∗
3A
+ x∗
3B
= p
3
(w
3A
+ w
3B
)
Deste modo, temos Mercado do bem 1:
3 4
+ p
2
+
1 2
p
3
+
1 2
+
5 2
p
2
+
3 2
p
3
= 4
3+4p
2
+ 2p
3
+2+10p
2
+ 6p
3
= 16
14p
2
+ 8p
3
= 11
Mercado do bem 2:
3 4
+ p
2
+
1 2
p
3
+
1 3
+
5 3
p
2
+ p
3
= 9p
2 9 + 12p
2
+ 6p
3
+4+20p
2
+ 12p
3
= 108p
2 76p
2
− 18p
3
= 13
Mercado do bem 3:
3 2
+ 2p
2
+ p
3
+
1 6
+
5 6
p
2
+
1 2
p
3
= 5p
3 9 + 12p
2
+ 6p
3
+1+5p
2
+ 3p
3
= 30p
3 21p
3
− 17p
2
= 10
Para determinar o vetor de preços de equil ́ıbrio, basta resolver o sistema:
    
14p
2
+ 8p
3
= 11
   
76p
21p
2
3
− − 18p
3 17p
2
= = 13 10
(p
1
(
1,
)
Basta substituir estes preços nas equaç ̃oes de demanda para encontrar as alocaç ̃oes de equil ́ıbrio.
x∗
1A
,p
2
,p
3
) =
151 430
,
327 430
=
3 4
+
151 430
+
1 2
.
327 430
≈ 1,48
x∗
2A
=
3 4
.
430 151
+4+
1 2
.
327 151
≈ 7,22
x∗
3A
=
3 2
.
430 327
+ 2.
151 327
+ 1 ≈ 3,90
5
≈ 2,76
x∗
2B
=
1 3
.
430 151
+
5 3
+
327 151
≈ 4,78
x∗
3B
=
1 6
.
430 327
+
5 6
.
151 327
+
1 2
≈ 1,10
Quest ̃ao 4
uA(xA
1
,xA
2
2 3
lnxA
1
1 3
xA 2
uB(xB
1
) =
+
,xB
2
1 3
lnxB
1
2 3
xB
2
wA = (1,4)
wB = (3,1)
a)
) =
+
b)
2 3xA
1 1 3xA
2
x∗
1B
1 3xB 2
1
3xB
2 2xA
2 xA 1
=
2xB xB
2
1
=
w
2
)
4xA
2
(w
1
− xA
1
) = xA
1
(w
2
− xA
2
=
1 2
)
xA
2 5 − xA
2
=
4(4 xA 1 − xA
1
)
6
+
5 2
.
151 430
=
+
− xA
2 2(w
2
− xA
2
3 2
.
327 430
c)
Demandas marshalianas:
x∗
1A
=
2m 3p
1 A
=
3p 2
1
(p
1
+ 4p
2
)
x∗
2A
=
m 3p
A
2
=
3p 1
2
(p
1
+ 4p
2
)
x∗
1B
=
m 3p
B
1
=
3p 1
1
(3p
1
+ p
2
)
x∗
2B
=
2m 3p
2 B
=
3p 2
2
(3p
1
+ p
2
)
p
1
= 1
Lei de Walras:
2 3
4 } +
{{ 8 3
p
2 }
− }{{}
1
1
w
1A
+1+
} {{ 3
p
2 }
− 1 3
3 − x∗
1B
}{{} 3
w
1B
+
+
p } {{ p 2
2 }
}{{} 4p
2
p
2
=
x∗
1A
2 3
w
2A
+2+
} {{ 2 3
p
2 } p
2
− }{{}
p
2
x∗
2A
x∗
2B
p
2
w
2B
[
8 3
] } − 1+1 {{ − 3 +
1 3
+ 2 }
} 1
4 3
3
{{ }
0
2 3
0
+p
2
+
+
− 4 +
− 1
= 0
d)
Equil ́ıbrio no mercado do bem 1: x∗
1A
+ x∗
1B
= w
1A
+ w
1B
x∗
1A
2 3 + x∗
1B
8p
2 3p
1 =
+
+1+
3p p
2
1
=
5 3
+ 3
p p
2
1 w
1A
+ w
1B
=1+3=4 5 3
+ 3
p p
2
1
= 4
3
p p
2
1
7 3
p
2 p
1
=
7 9
Agora que encontramos o vetor de preços, basta substituir nas funç ̃oes de demanda para encontrar a alocaç ̃ao de equil ́ıbrio:
x∗
1A
=
=
2 3
+
8 3
.
7 9
≈ 2,74
x∗
2A
=
1 3
.
9 7
+
4 3
≈ 1,76
x∗
1B
=1+
1 3
.
7 9
≈ 1,26
x∗
2B
= 2.
9 7
+
2 3
≈ 3,24
Assim, um equil ́ıbrio competitivo para esta economia é:
7
) {(
9 7
} {(p∗ 1
,p∗ 2
); (x∗
1A
;x∗
2A
); (x∗
1B
;x∗
2B
; (2,74; 1,76); (1,26; 3,23)
Quest ̃ao 5
u
1
)} =
p
2
;
7 9
p
1
(x, y) = 100 + 7x
30 50
y
10 6
u
2
(x,y)=3x5y5
w
1
= (6,1)
w
2
= (4,9)
a)
Numa economia com planejador central, n ̃ao existe sistema de preços. O planejador conhece tudo o que precisa para fazer a alocaç ̃ao ótima dos recursos da economia. O planejador vai escolher a combinaç ̃ao (x
1
,y
1
) que dará ao indiv ́ıduo 1 a maior utilidade poss ́ıvel, de modo que a utilidade do indiv ́ıduo 2 seja constante no n ́ıvel 18. Note que nesta quest ̃ao ambas as funç ̃oes utilidade representam a mesma preferência. Basta aplicar uma transformaç ̃ao monotônica apropriada.
max x
1
30 1 50
6
,y
1
100 1
10
s.a.
+ 7x     
3x0.5
2
y0.5 2
y
= 18
   
x
y
1 1
+ + y x
2
2
= = 10 10
(i) Transformaç ̃oes monotônicas em u
1
:
ˆu
1
=
(
u
1
− 7
100
)
5 3
= x
1
y
1
(ii) Temos um problema mais complicado do que fazemos usualmente, pois s ̃ao 3 restriç ̃oes que devem ser respeitadas simultaneamente. Mas, podemos simplificar este problema usando as restriç ̃oes de recursos:
x
1
+ x
2
= 10 ⇒ x
2
= 10 − x
1
y
1
+ y
2
= 10 ⇒ y
2
= 10 − y
1
Agora, basta usar estas relaç ̃oes na restriç ̃ao de utilidade do indiv ́ıduo 2:
u
2
= 3(10 − x
1
)0.5(10 − y
1
)0.5 = 18
Repare que o que fizemos foi reduzir o número de variáveis na soluç ̃ao do sistema. Como as restriç ̃oes de recursos valem com igualdade, ao determinar as quantidades ótimas de x
1
e y
1
estaremos simultaneamente determinando x
2
e y
2
.
8
(iii) Montar o Lagrangeano:
多 = x
1
)0.5(10 − y
1
)0.5]
C.P.O.:
y
1
+ λ[18 − 3(10 − x
1
      
     
[
−3(10 − y
1
] (x
1
) y
1
+ λ
2(10 − x
1
= 0
(y
1
)0.5 )0.5
[
−3(10 − y
1
] ) x
1
+ λ
2(10 − x
1
= 0
y
1 10 − y
1
)0.5 )0.5
} {{ =
10 x
1 − x
1 } o problema é simétrico:
x
1
= y
1
Substituindo em u
2
:
3(10 − x
1
)0.5(10 − y
1
)0.5 = 18
3(10 − x
1
) = 18
(10 − x
1
)=6
x
1
= 4
x∗ 1
= y
1
∗ = 4
x
2
∗ = y
2
∗ = 6
b)
Quando falamos em equil ́ıbrio competitivo estamos falando claramente de uma economia de mercado, em que o sistema de preços determina as alocaç ̃oes de equil ́ıbrio. Primeiro encontramos as demandas marshallianas:
x∗ 1
m
1 2p
x
6p
x
+ p
y 2p
x x∗ 2
=
=
m
2 2p
x
4p
x
+ 9p
y 2p
x
Agora, basta fazer o market-clearing. Como temos apenas dois bens, usando a Lei de Walras, sabe- mos que basta encontrar o equil ́ıbrio em um dos mercados.
Equil ́ıbrio no mercado do bem x: x∗ 1
=
=
+ x∗ 2
= 10
10p
x
+ 10p
y 2p
x
= 10
10p
x
+ 10p
y
= 20p
x
10p
x
= 10
p
y
p
x
= p
y
9
(
7 2
) (x∗ 1
,y∗ 1
(x∗ 2
) =
,
7 2
(
13 2
) ,y∗ 2
Note que como ambos os indiv ́ıduos têm a mesma preferência, no equil ́ıbrio competitivo os preços de ambos os bens s ̃ao iguais. Isto é o que dever ́ıamos esperar, pois ambos os indiv ́ıduos atribuem o mesmo valor subjetivo a ambos os bens.
c)
O consumo de ambos os bens pelo consumidor 2 é maior em (b) do que em (a). Como sua funç ̃ao utilidade é monotônica, ele certamente estará em melhor situaç ̃ao em (b).
Quest ̃ao 6
uA = (xA
1
) =
,
13 2
,xA
2
) = min{xA
1
,xA
2
}
uB = (xB
1
,xB
2
) = min{xB
1
,βxB
2
}
a) β = 1
uA = uB
b) β = 1 2
A : xA
1
= xA
2
B : xB
1
1 2
xB
2
c)
Se β =1e w
A
=
= w
B
= (5,5), ent ̃ao (x
A
,x
B
) = (5,5,5,5) é o equl ́ıbrio competitivo para qualquer vetor de preços.
Quest ̃ao 7
Para começar, repare que as funç ̃oes de produç ̃ao s ̃ao equivalentes. A produtividade marginal de ostras é a mesma que a de tamarindos. Ent ̃ao, Robinson produtor deve alocar a mesma quantidade de tempo para cada um dos produtos. sabemos que T o = T t =
1 2
Como a restriç ̃ao de recursos está normalizada para T = T o + T t = 1, . Portanto, a oferta agregada desta economia será
os = ts =
√
1 2
10
Note ainda que o problema é simétrico. Robinson consumidor atribui o mesmo valor subjetivo para cada um dos bens. Em equil ́ıbrio, n ̃ao haverá excesso de demanda por nenhum dos bens, de modo que
od = td =
√
1 2
Sabemos da teoria do consumidor que TMS
o,t
=
p
o p
t
. Se avaliarmos a TMS
o,t
no equil ́ıbrio, temos
p
o p
t
= 1 ⇒ p
o
= p
t
Assim, usando p
t
como numerário, sabemos que o vetor de preços (p
o
,p
t
) = (1,1) sustenta a alocaç ̃ao de equil ́ıbrio.
Quest ̃ao 8
a)
x∗
A
=
m 4p
A
x
=
4p p
x
x
=
1 4
y∗ A
3m
A 4p
x
3p
x 4p
y
x∗
B
=
=
m
B 2p
x
1p
y 2p
x y∗ B
=
=
m
B 2p
y
p
y 2p
y
1 2
Em equil ́ıbrio, y∗ A
=
=
=
= 1 2
:
y∗ A
=
3p 4p
x
y
=
1 2
p
x p
y
2 3
Conferindo:
x∗
B
=
(
2 3
)
=
1 2
3 2
3 4
(x∗
A
=
(
1 4
)
(x∗
B
,y∗ A
) =
,
1 2
,y∗ B
) =
(
3 4
,
1 2
)
b)
TMS
A
=
3x y
A
A
11
y TMS
B
=
x
B
B
Curva de contrato:
y
A x
A
3(1 − y
A
) 1 − x
A
y
A 1 − y
A
=
3x
A 1 − x
A
c)
p
y
=
= 1
m
A
= p
x
+ w
Ay
m
B
= 1 − w
Ay
Demanda de A pelo bem x:
x∗
A
=
m 4p
A
x
=
1 4
+
w 4p
Ay
x
=
1 2
w
Ay 4p
x
1 4 w
Ay
=
= p
y
Demanda de B pelo bem x:
x∗
B
=
1 − 2p
w
x
Ay
=
1 2
1 − w
Ay
= p
x
p
x
1 2 Conferindo:
y∗ A
= w
Ay
=
3 4
3 4
3 4
y∗ B
=
m
A
=
(p
x
+ w
Ay
) =
=
1 2
m
B
=
1 2
(1 − w
Ay
) =
1 4
E ́
preciso transferir
1 2
unidade do bem y de B para A.
d)
Note que B gosta igualmente dos dois bens, mas A prefere y a x. Logo, x será usado para produzir y.
Firma:
max x
p
y
xd − p
x
xd
p
y
= p
x
Consumidor A:
 

max s.a. x,y
x
A 1 4
y
A 3 4
x + y = p
x
+ 0,5π
12
1 x∗
A
1 4p
x
4
π 8p
x
y∗ A
=
(p
x
+ 0,5π) =
+
=
4p 3
y
(p
x
+ 0,5π) =
3p 4p
x
y
+
8p 3π
y
Consumidor B:
 
max x,y
xy 
s.a. x + y = p
y
+ 0,5π
x∗
B
=
2p 1
x
(p
y
+ 0,5π) =
2p p
y
x
+
4p π
x
y∗ B
=
2p 1
y
(p
x
+ 0,5π) =
1 2
+
4p π
y
Equil ́ıbrio:
p
x
= p
y
= 1
x∗
A
+ x∗
B
+ xd = 1 y∗ A
+ y∗ B
=1+ ys xd + ys
π = p
y
ys − p
x
xd = 0
(x∗
A
(
1 4
)
(x∗
B
,y∗ A
) =
,
3 4 (
1 2
)
e)
xs = xd = 1 4
f)
Sem firma:
u
A
,y∗ B
) =
,
1 2
=
1 4
0,252 3
0,75
≈ 0,521
u
B
0,51 3
0,5
≈ 0,5
Com firma:
u
A
=
3 4
=
1 4
0,253 4
0,75
≈ 0,569
u
B
1
0,51 2
2
0,5 =
≈ 0,5
13
Quest ̃ao 9
x = 3l
x
y = 2l
y
l
x
+ l
y
= 1
u(x, y) = x2y8
a)
max x,y
x2y8
s.a.
    
x = 3l
x
   
y l x
= + 2l
y l
y
= 1
Note que podemos simplificar o problema de modo a eliminar as restriç ̃oes:
x = 3l
x
l
x
+ l
y
= 1 ⇒ l
y
= 1 − l
x
y = 2l
y
⇒ y = 2(1 − l
x
)
Agora, podemos resolver o problema usando apenas uma variável de escolha: l
x
max l
x
)2[2(1 − l
x
)]8
C.P.O.:
2(3l
x
(3l
x
).3[2(1 − l
x
)]8 + 8[2(1 − l
x
)]7(−2)(3l
x
)2 = 0
18l
x
[2(1 − l
x
)]8 = 144[2(1 − l
x
)]7l2 x
36(1 − l
x
) = 144l
x
1 − l
x
= 4l
x
→ l
x
=
1 5
x =
3 5
l
y
=
4 5
y =
8 5
14
b)
Firma x:
max l
x
p
x
3l
x
− wl
x
C.P.O: 3p
x
− w = 0
p
x
w 3
Firma y:
max l
y
=
− wl
y
C.P.O: 2 − w = 0
w = 2
Consumidor:
max x,y
2l
y
x2y8 s.a. p
x
x + y = w
多 = x2y8 + λ[w − y − p
x
x]
C.P.O.:
 
(x) 2xy8 − λp
x
= 0 
(y) 8x2y7 − λ = 0
λ =
2xy8
p
x
y 4p
x
Substituindo na restriç ̃ao orçamentária:
p
x
= 8x2y7 → x =
x + y =
y 4
+ y = w
y =
4 5
w
y =
8 5
x =
3 5
c)
Quest ̃ao 10
uA = lnxA
1
+ 3lnxA
2
uB = 3lnxB
1
+ 5xB
2
wA = (2,0)
15
wB = (1,4)
a)
TMS
A
= TMS
B
1 xA 1 3 xA 2
3 xB 1 5
xA
2 3xA
1
=
=
5xB 3
1
=
3 5(wB
1
− xA
1
)
=
15 − 3
5xA
1
xA
2
9xA
1 15 − 5xA
1
b)
Demandas marshalianas:
xA
=
mA 4p
1
1 1
2
xA∗ 2
∗
=
=
3mA 4p
1
3p
1 2p
2
xB∗ 1
=
=
3 4
2p
1 p
2
= 
=


mB
p
1
, se mB < 3 5
p
2
3p 5p
2 1
, se mB ≥ 3 5
p
2
xB∗ 2

=
 0, 
mB− se mB < 3 5
p
p
2
3 5
p
2
2
, se mB ≥ 3 5
p
2
mB = p
1
3 5
p
2
Equil ́ıbrio no mercado do bem 2:
17 5
+ 4p
2
>
p
1
3p
1 p
2
2p
2
= 4
3 5
+
+
=
5p 2p
1
2
6 25
xA∗ 2
→
p
1 p
2
=
9 25
xB
=
2
∗
=
91 25
16
Conferindo:
1 2
+
3p 5p
21
=
1 2
+
25 10
= 3
xA∗ 1
1 2
xB∗ 1
=
5 2
c)
Como (xB
1
=
,xB
2
) ≫ (xA
1
,xA
2
) e uAé crescente em (xA
1
,xA
2
), A inveja B.
d)
Se wA = wB, todas as cestas fact ́ıveis para A também s ̃ao fact ́ıveis para B. Logo, se B escolhe (xB
1
,xB
2
) = (xA
1
,xA
2
), é porque B prefere (xB
1
,xB
2
)a(xA
1
,xA
2
). [E vice-versa].
Quest ̃ao 11
u
A
) = x2
A
y
A
m
A
(x
A
,y
A
=10+0,25π
F
+ 0,75π
G
u
B
y2 B
m
B
(x
B
,y
B
) = x
B
=10+0,75π
F
+ 0,25π
G
w
A
= w
B
= 10
x = f(l
F
√
l
F
y = f(l
G
) =
√
l
G
Consumidor A:
x
A
)=2
2 3p
x
)
y
A
=
(10 + 0,25π
F
+ 0,75π
G
1 3p
y
)
Consumidor B:
x
B
=
(10 + 0,25π
F
+ 0,75π
G
1 3p
x
)
y
B
=
(10 + 0,75π
F
+ 0,25π
G
=
3p 2
y
(10 + 0,75π
F
+ 0,25π
G
)
Firma F:
max l
F
√
l
F
− l
F
C.P.O.:
p
x
2
√ p
x l
F
− 1=0 → l∗ F
p2 x 4
17
=
Firma G:
max l
G
p
y
2
√
l
G
− l
G
C.P.O.:
√ p
l y
G
− 1=0 → l∗
G
= p2 x
xs =
p
2
x
2p2 x
p2 x
p2 x 2
4
4
ys = 2p
y
→ π∗ F
=
−
=
→ π∗
G
= 2p2 y
− p2 y
= p2 y
Market-clearing:
(i) l
F
+ l
G
= 20
p2 x 4
p2 x 4
(ii) x
A
+ p2 y
= 20 → p2 y
= 20 −
+ x
B
= x
x
A
+ x
B
=
3p 2
x
(10 + 0,25π
F
+ 0,75π
G
) +
3p 1
x
(10 + 0,75π
F
)
=
10 p
x
+
5p
18
x
+
12p 7p2 y
x
p
x 2
+ 0,25π
G
=
10 p
x
+
5p
18
x
+
12p 7p2 y
x
10 +
12 7
p2 y
37 48
p2 x
De (i)e(ii),
(p∗ x
=
(√
260 11
) ,p∗ y
) =
,
Logo,
l∗
G
√
155 11
155 11
l∗ F
= π∗ G
=
65 11
Quest ̃ao 12
a)
Trabalhadores:
 

= π∗ F
=
max x,y
x
t
− l2
s.a. px
t
= l
O que equivale a
18
)2 max x
t
C.P.O.: 1 − 2p2x
t
x
t
− (px
t
(
1 p2
)
Empresário: x∗ e
= 0 → (x∗ t
,l∗) =
,
2p 1
= π
Firma: max
L
pAL
1 2
− L
C.P.O.: pA
2
√ 1
L
− 1=0 → L∗ =
(
pA 2
)
2
π = pA
(
pA 2
)
2
=
(pA)2 4
Equil ́ıbrio:
L∗ = nl∗:
pA 2
−
p2A2
(
2n
)
1 3 4
A2
l∗ =
=
2p n
→ p =
(
2n A2
)
− 1 2
π =
1 2
1 4
(2n)
1 3
A
4 3
= x
e
= u
e
x∗ t
(
A2 2n
)
2 3
b)
u
e
=
1 2
= 1 4
(2n)
1 3
A
4 3
: se n aumenta, o preço relativo do bem e a quantidade de consumidores também aumentam, de forma que a queda na demanda individual é compensanda pelo aumento no tatal de consumidores na economia, o que aumenta o lucro e, logo, o bem-estar do empresário.
u
t
(
A2 2n
)
1 = 1 4
3
: se n aumenta, aumenta o preço relativo do bem, logo diminui a utilidade do trabalhador.
c)
Um aumento na produtividade diminui o preço relativo do bem, aumentando o consumo e a utilidade do trabalhador. Por outro lado, a queda no preço do bem é compensada pelo aumento na demanda, de forma que os lucros - e, logo, a utilidade do empresário - aumentam.
19