Gabarito Provinha 2

Prévia do material em texto

Microeconomia II - 2015/2
Provinha 2
7 de setembro de 2015
1. (a) Para comec¸ar a responder esta questa˜o, vamos deixar bem claro o que precisamos fazer.
Lembre-se que a Lei de Walras nos diz que “o valor do excesso de demanda agregada e´ zero”.
Ou seja,
n∑
i=1
piZi = 0
Note que neste problema, estamos interessados em 3 mercados: um de bem de consumo e
dois de fatores. Para mostrar que a Lei de Walras e´ va´lida, precisamos simplesmente checar
se a demanda em cada mercado e´ igual a` oferta. Para isto, precisamos resolver os problemas
das firmas e dos consumidores. E´ importante que isto fique bem claro: temos duas firmas
produzindo um mesmo bem, cada uma usando um tipo diferente de fator de produc¸a˜o. Ou
seja, ao resolver o problema de cada firma estamos encontrando a demanda por cada fator
e a oferta de bem final. Ainda, note que ao resolver o problema dos consumidores estamos
encontrando as demandas por bem final e por lazer. Mas, repare que a demanda por lazer
na˜o e´ o que nos interessa. O que queremos e´ a oferta de trabalho. Isto na˜o e´ um problema.
Como as restric¸o˜es de tempo valem com igualdade, encontrar a demanda por lazer implica
em encontrar a oferta de trabalho. Basta substituir a restric¸a˜o no problema do consumidor.
Voltarei neste ponto logo mais.
Vamos comec¸ar com os problemas das firmas.
Firma 1: A firma 1 produz o bem final usando um u´nico insumo: o trabalho do tipo 1 (h1)
que e´ ofertado apenas pelo consumidor A. O problema desta firma e´:
max
y1,h1
py.y1 − w1h1 , s.t. y1 = 2
√
h1
Como a restric¸a˜o vale com igualdade, podemos substituir na func¸a˜o objetivo e resolver um
problema simples de otimizac¸a˜o na˜o restrita:
max
h1
py.2
√
h1 − w1h1
Aqui e´ importante deixar claro o que esta firma esta´ fazendo. Ela escolhe a quantidade de
insumo, h1, que vai usar de modo a produzir a quantidade de produto, y1, que torna o seu
lucro ma´ximo. Ou seja, o que vamos fazer ao resolver este problema e´ encontrar a demanda
por h1 e a oferta de y1. Para resolver o problema, basta tirar a condic¸a˜o de primeira ordem.
Como temos apenas uma varia´vel de escolha, basta derivar a func¸a˜o lucro em relac¸a˜o a esta
varia´vel e igualar a zero:
1
�2py
�2
√
h1
− w1 = 0
√
h1 =
py
w1
⇒ hd1 =
(
py
w1
)2
Note que o que queremos deste problema e´ a demanda por h1. Esta e´ a varia´vel que isolamos.
Na˜o e´ w1 nem py. E´ sempre a varia´vel de escolha da firma.
Agora que encontramos a demanda por insumo da firma 1, basta substituir na sua func¸a˜o de
produc¸a˜o para encontrar a oferta de y1:
ys1 = 2
√
hd1 = 2
√(
py
w1
)2
=
2py
w1
Agora que ja´ temos a demanda por h1 e oferta de y1, podemos calcular o lucro da firma 1:
pi1 = py.
2py
w1
− w1
(
py
w1
)2
=
2p2y
w1
− p
2
y
w1
=
p2y
w1
Precisamos calcular o lucro da firma porque iremos usa´-lo depois de resolver o problema do
consumidor. Lembre-se que o consumidor e´ o dono da firma, portanto o lucro ira´ fazer parte
de sua restric¸a˜o orc¸amenta´ria. Isto ficara´ claro mais tarde.
Firma 2: O problema da firma 2 e´ ana´logo ao da firma 1. Ela escolhe a quantidade de insumo
do tipo 2, h2, que vai usar para produzir a quantidade de produto y2 que maximiza o seu
lucro.
max
y2,h2
py.y2 − w2h2 , s.t. y2 = 4
√
h2
Note que como ambas as firmas produzem o mesmo bem, o prec¸o e´ igual para ambas, py. Mas,
como cada uma usa um insumo espec´ıfico, temos um sala´rio para cada firma. Na verdade,
temos neste problema dois mercados de trabalho, portanto, precisamos de dois sala´rios para
equilibra´-los: w1 e w2. Novamente, como a restric¸a˜o vale com igualdade, podemos substituir
na func¸a˜o objetivo e tirar a condic¸a˜o de primeira ordem
max
h2
py.4
√
h2 − w2h2
�4py
�2
√
h2
− w2 = 0
√
h2 =
2py
w2
⇒ hd2 =
(
2py
w2
)2
Substituindo na func¸a˜o de produc¸a˜o da firma 2:
ys2 = 2
√
hd2 = 4
√(
2py
w2
)2
=
8py
w2
2
E substituindo na func¸a˜o lucro:
pi2 = py.
8py
w2
− w2
(
2py
w2
)2
=
8p2y
w2
− 4p
2
y
w2
=
4p2y
w2
Agora, vamos resolver os problemas dos consumidores e verificar a Lei de Walras.
Consumidor A: O problema deste consumidor e´ escolher a quantidade de bem de consumo.
xA, e de horas de lazer, lA, ele ira´ consumir. Mas, note que pela restric¸a˜o de tempo dada
no enunciado, ao escolher sua demanda por lazer, o consumidor estara´ automaticamente
escolhendo quantas horas de trabalho ele ira´ ofertar. O problema deste consumidor e´
max
xA,lA
xAlA
s.t. pxxA + w1lA ≤ 16w1 + pi1
lA + hA = 16
Note que na restric¸a˜o orc¸amenta´ria, estamos considerando no lado direito da desigualdade
o valor total da dotac¸a˜o de tempo. Ou seja, o poder de compra que este indiv´ıduo teria se
decidisse vender toda sua dotac¸a˜o de tempo no mercado. Como a func¸a˜o objetivo e´ crescente
em ambos os bens e a restric¸a˜o de tempo vale com igualdade podemos reescrever este problema
como
max
xA,hA
xA(16− hA)
s.t. pxxA = w1hA + pi1
Como temos duas varia´veis de escolha neste problema, vamos escrever o lagrangeano e tirar
as condic¸o˜es de primeira ordem
L = xA(16− hA) + λ [w1hA + pi1 − pxxA]
∂L
∂xA
= (16− hA)− λpx = 0
∂L
∂hA
= −xA + λw1 = 0
Isolando λ
(16− hA)
px
=
xA
w1
⇒ xA = w1
px
(16− hA)
Lembre-se que o que encontramos aqui e´ simplesmente a TMS entre xA e hA, ou seja, a raza˜o
entre os bens na cesta o´tima do consumidor. Agora, basta substituir esta relac¸a˜o na restric¸a˜o
orc¸amenta´ria
��px
w1
��px
(16− hA) = w1hA + pi1
2w1hA = 16w1 − pi1 ⇒ hsA =
16w1 − pi1
2w1
3
Esta e´ a oferta de trabalho do indiv´ıduo do tipo A. Note que ela e´ crescente no sala´rio, w1,
e decrescente na riqueza (lucro), pi1, como seria de se esperar. Basta agora substituir esta
equac¸a˜o na relac¸a˜o que encontramos na TMS e teremos a demanda por xA
xdA =
w1
px
(16− hsA) =
w1
px
(
16− 16w1 − pi1
2w1
)
=
16w1 + pi1
2px
Como seria de se esperar, a demanda por xA e´ crescente no sala´rio, w1, e na riqueza (lucro),
pi1, e decrescente no prec¸o do bem, px.
Consumidor B : Como ambos os consumidores teˆm a mesma func¸a˜o utilidade, e´ fa´cil ver
que a soluc¸a˜o do problema do consumidor B nos da´
xdB =
16w2 + pi2
2px
hsB =
16w2 − pi2
2w2
Recomendo a voceˆs que refac¸am o problema do consumidor B para que fique bem claro o
procedimento.
Agora que ja´ temos as func¸o˜es de demanda e oferta do bem de consumo e dos fatores, podemos
mostrar a validade da Lei de Walras.
Lei de Walras:
n∑
i=1
piZi = 0
Como ambas as firmas produzem o bem de consumo que os indiv´ıduos demandam, sabemos
que
y1 + y2 = xA + xB
py = px
Basta agora multiplicar o vetor de prec¸os pelos excessos de demanda em cada mercado e somar
px
(
16w1 + pi1
2px
+
16w2 + pi2
2px
− 2px
w1
− 8px
w2
)
+ w1
((
px
w1
)2
− 16w1 − pi1
2w1
)
+
+w2
((
2px
w2
)2
− 16w2 − pi2
2w2
)
=
��8w1 +
pi1
2
+��8w2 +
pi2
2
−
�
��
2p2x
w1
−
�
��
8p2x
w2
+
�
��
p2x
w1
−��8w1 +
pi1
2
+
�
��
4p2x
w2
−��8w2 +
pi2
2
pi1 + pi2 − p
2
x
w1
− 4p
2
x
w2
=
p2x
w1
+
4p2x
w2
− p
2
x
w1
− 4p
2
x
w2
= 0
Portanto, a Lei de Walras e´ va´lida nesta economia.
4
(b) Para encontrar o equil´ıbrio competitivo, basta igualar demanda e oferta em cada mercado,
ou seja, fazer o market clearing. O que queremos encontrar e´ o prec¸o que mante´m o mercado
equilibrado. Ou seja, nos mercados de trabalho queremos encontrar w1 e w2 e no mercado
de consumo queremos encontrar o prec¸o do bem, px. Como ja´ sabemos que vale a Lei de
Walras, so´ precisamos encontrar o equil´ıbrio em 2 mercados, pois o terceiro certamenteestara´
equilibrado. Vamos usar os mercados de trabalho. Lembrando que devemos usar o bem de
consumo como numera´rio, ou seja, px = 1
Mercado de trabalho 1:
hd1 = h
s
A(
1
w1
)2
=
16w1 − pi1
2w1
= 8− pi1
2w1
= 8− 1
2
.
1
w21
3
2
1
w21
= 8⇒ w21 =
3
16
⇒ w∗1 =
√
3
4
Mercado de trabalho 2:
hd2 = h
s
B(
2
w2
)2
=
16w2 − pi2
2w2
= 8− pi2
2w2
= 8− 1
2
.
4
w22
6
w22
= 8⇒ w22 =
4
3
⇒ w∗2 =
2√
3
Basta agora substituir os prec¸os nas equac¸o˜es de demanda e/ou de oferta para encontrar as
alocac¸o˜es.
hd1 =
(
1
w∗1
)2
=
(
4√
3
)2
=
16
3
hd2 =
(
2
w∗2
)2
=
(
2
√
3
2
)2
= 3
ys1 =
2
w∗1
=
8√
3
ys2 =
8
w∗2
= 4
√
3
xA =
16w∗1 +
1
w∗1
2
= 2
√
3 +
2√
3
xB =
16w∗2 +
4
w∗2
2
=
16√
3
+
√
3
4
5
(c) O problema de Pareto e´ o problema do planejador central. A hipo´tese ba´sica que fazemos e´
que planejador conhece todas as informac¸o˜es necessa´rias para alocar os recursos da economia
de modo eficiente. Ou seja, ele conhece as utilidades dos agentes, conhece as func¸o˜es de
produc¸a˜o das firmas e conhece as dotac¸o˜es de fatores e/ou bens da economia. Assim, na˜o e´
preciso haver um sistema de prec¸os para sinalizar escassez. Nesta nossa economia, o problema
de Pareto e´
max
xA,lA,xB ,lB
UA(xA, lA) = max
xA,lA,xB ,lB
xAlA
s.t.
UB(xB , lB) = xBlB = U¯B
hA + lA = 16
hB + lB = 16
y1 + y2 = 2
√
h1 + 4
√
h2
Era simplesmente isto. Na˜o era preciso tirar condic¸o˜es de primeira ordem, nem igualar TMS
dos agentes. Era so´ para montar o problema.
2. (a) Nesta questa˜o, temos uma economia de trocas puras, ou seja, a oferta dos dois bens e´ a dotac¸a˜o
de ambos os indiv´ıduos. O problema de Pareto e´
max
xA1 ,x
A
2 ,x
B
1 ,x
B
2
xA1 + lnx
A
2
s.t. xB1 x
B
2 = u¯B
xA1 + x
B
1 = 1
xA2 + x
B
2 = 1
Como as restric¸o˜es de recursos (dotac¸o˜es) valem com igualdade, podemos escrever o lagran-
geano como
L = xA1 + lnxA2 + λ
[
u¯B − (1− xA1 )(1− xA2 )
]
As condic¸o˜es de primeira ordem deste problema sa˜o
∂L
∂xA1
= 1 + λ(1− xA2 ) = 0
∂L
∂xA2
=
1
xA2
+ λ(1− xA1 ) = 0
Aqui e´ preciso ter cuidado com os sinais na hora de derivar. Note que sa˜o dois sinais de (-)
na restric¸a˜o.
(b) Para esta questa˜o, basta lembrar que a curva de contrato e´ o conjunto de todos os pontos
Pareto eficientes desta economia, ou seja, tais que TMSA = TMSB .
6
TMSA =
UMgA1
UMgA2
=
1
1
xA2
= xA2
TMSB =
UMgB1
UMgB2
=
xB2
xB1
Ou seja, a curva de contrato e´ o conjunto de todos os pontos tais que
xA2 =
xB2
xB1
Se desenharmos a caixa de Edgeworth com o indiv´ıduo A tendo como origem o canto inferior
esquerdo e tendo x1 no eixo das abcissas e x2 no eixo das ordenadas, basta reescrever a curva
de contrato como uma relac¸a˜o entre xA1 e x
A
2 :
xA2 =
1− xA2
1− xA1
⇒ 1− xA1 =
1− xA2
xA2
⇒ xA1 = 2−
1
xA2
Note que quando xA1 = 0
2− 1
xA2
= 0⇒ xA2 =
1
2
E que quando xA1 = 1
2− 1
xA2
= 1⇒ xA2 = 1
Portanto, sabemos que a curva de contrato e´ crescente e na˜o sai da origem de A, mas sim de
x2 =
1
2
e passa pela origem de B. Resta saber o formato da curva. Para isto, basta derivar
duas vezes em relac¸a˜o a xA1 (lembre-se de usar a Regra da Cadeia):
xA1 = 2−
1
xA2
⇒ xA2 =
1
2− xA1
= f(xA1 )
f ′(xA1 ) = −
1
(2− xA1 )2
(−1) = 1
(2− xA1 )2
f ′′(xA1 ) = −2
1
(2− xA1 )3
(−1) = 2
(2− xA1 )3
> 0
Assim, como a func¸a˜o tem a segunda derivada positiva, sabemos que a curva de contrato e´
estritamente convexa.
Para encontrar o ponto pedido neste item, basta substituir xB1 =
1
2
na equac¸a˜o da curva de
contrato
xA2 =
xB2
xB1
=
1− xA2
1
2
⇒ xA2 = 2(1− xA2 )⇒ xA2 =
2
3
Como esta caixa de Edgeworth e´ um quadrado de lado 1, sabemos que a alocac¸a˜o sera´
xA1 =
1
2
| xA2 =
2
3
7
xB1 =
1
2
| xB2 =
1
3
(c) Para resolver este item, bastava atentar para a dica que foi dada. Como a alocac¸a˜o do item
anterior pertence a` curva de contrato, sabemos que ela e´ Pareto eficiente. Pelo Segundo
Teorema do Bem Estar, e´ poss´ıvel encontrar um vetor de prec¸os que sustente esta alocac¸a˜o
como um equil´ıbrio competitivo. So´ precisamos encontrar este vetor de prec¸os. Mas, lembre-se
que no equil´ıbrio ambos os indiv´ıduos esta˜o maximizando sua utilidade. E sabemos da Teoria
do Consumidor que no o´timo TMS1,2 =
p1
p2
. Tomando o prec¸o do bem 1 como numera´rio e
usando a TMSA, temos
TMSA1,2 = x
A
2 =
1
p2
⇒ 2
3
=
1
p2
⇒ p2 = 3
2
Note que o resultado seria o mesmo usando a TMSB . Obviamente, tambe´m seria o mesmo re-
solvendo o problema de maximizac¸a˜o de utilidade de cada agente para encontrar as demandas
marshallianas e fazendo o market clearing.
(d) Agora sim temos que resolver o problema de cada consumidor, encontrar as demandas marshal-
lianas e fazer o market clearing para encontrar o vetor de prec¸os e substitu´ı-lo nas demandas
para encontrar a alocac¸a˜o de equil´ıbrio.
Indiv´ıduo A: O problema deste indiv´ıduo e´ escolher a quantidade que ira´ consumir de xA1 e
xA2 , sujeito a` sua restric¸a˜o orc¸amenta´ria: p1.0 + p2
1
4
=
1
4
p2
max
xA1 ,x
A
2
xA1 + lnx
A
2 , s.t. p1x
A
1 + p2x
A
2 =
1
4
p2
8
Escrevendo o lagrangeano e tirando as condic¸o˜es de primeira ordem
L = xA1 + lnxA2 + λ
[
1
4
p2 − p1xA1 − p2xA2
]
∂L
∂xA1
= 1− λp1 = 0
∂L
∂xA2
=
1
xA2
− λp2 = 0
Isolando λ
1
p1
=
1
xA2 p2
⇒ xA2 =
p1
p2
Substituindo na restric¸a˜o orc¸amenta´ria, encontramos a demanda por xA1 :
p1x
A
1 +��p2
p1
��p2
=
1
4
p2
xA1 =
1
4
p2
p1
− 1
Note que para que a demanda por xA1 seja positiva, e´ preciso
1
4
p2
p1
− 1 > 0⇒ p2
p1
> 4
Indiv´ıduo B: Para este indiv´ıduo, a restric¸a˜o orc¸amenta´ria e´ dada por p1 +
3
4
p2. Como a
sua utilidade e´ Cobb-Douglas, sabemos que sua demanda marshalliana e´
xB1 =
1
2p1
(
p1 +
3
4
p2
)
=
3
8
p2
p1
+
1
2
xB2 =
1
2p2
(
p1 +
3
4
p2
)
=
1
2
p1
p2
+
3
8
Agora, basta fazer o market clearing. Usando o mercado de x2, temos
xA2 + x
B
2 = w
A
2 + w
B
2
p1
p2
+
1
2
p1
p2
+
3
8
= 1
3
2
p1
p2
=
5
8
⇒ p1
p2
=
��>
5
10
��>
12
24
=
5
12
Como
p2
p1
=
12
5
< 4, sabemos que xA1 = 0. Logo, na˜o havera´ trocas. O equil´ıbrio sera´ a
pro´pria dotac¸a˜o inicial.
xA1 = 0 | xA2 =
1
4
xB1 = 1 | xB2 =
3
4
9