Álgebra Linear I - Poli - P2 - 2009

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Com excec¸a˜o da Questa˜o 9, em todas as questo˜es da prova con-
sidera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E), onde E e´
uma base ortonormal positiva de V3.
1Q1. Assinale a alternativa que conte´m uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) (~u ∧ ~v) · ~w = (~w ∧ ~u) · ~v, para quaisquer ~u, ~v, ~w ∈ V 3;
(b) (~u ∧ ~v) · ~w = ~u · (~v ∧ ~w), para quaisquer ~u, ~v, ~w ∈ V 3;
(c) se [~u,~v, ~w] < 0 enta˜o F = (~u,~v, ~w) e´ uma base negativa de V 3;
(d) [~u,~v, ~w] = [~u,~v − ~u+ ~w, ~w], para quaisquer ~u, ~v, ~w ∈ V 3;
(e) se [~u,~v, ~w] = 1 enta˜o [~u+ ~v,~v + ~w, ~u] = 2.
1Q2. Considere o paralelep´ıpedo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo:
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r
r
A B
CD
E
F
GH
N
M
Sabendo-se que o volume de ABCDEFGH e´ 36, que 3
−−→
BM =
−−→
BC e que
N e´ o ponto me´dio do segmento CG, pode-se afirmar que o volume do
paralelep´ıpedo determinado pelos vetores
−−→
AM ,
−−→
AN e
−→
AE e´ igual a:
(a) 108;
(b) 24;
(c) 36;
(d) 144;
(e) 72.
1Q3. Seja λ ∈ R e considere os vetores:
~u = (λ,−2λ,−3λ), ~v = (−1, 0, 1), ~w = (1, 0, 0).
Sabendo-se que o volume do paralelep´ıpedo determinado por ~u, ~v e ~w e´ igual
a 4, pode-se afirmar que λ e´ igual a:
(a) 2;
(b) 13 ;
(c) −2;
(d) 13 ou −13 ;
(e) 2 ou −2.
1Q4. Considere os planos:
pi1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, pi2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0,
e a reta r : X = (x0, y0, z0) + λ(m,n, p), λ ∈ R. Assinale a alternativa
contendo uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) pi1 e pi2 sa˜o perpendiculares se e somente se a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0;
(b) se pi1 e pi2 sa˜o concorrentes enta˜o o produto vetorial de ~η1 = (a1, b1, c1)
por ~η2 = (a2, b2, c2) e´ um vetor diretor da reta pi1 ∩ pi2;
(c) se r e´ paralela a pi2 enta˜o a2m+ b2n+ c2p = 0;
(d) r e´ perpendicular a pi1 se e somente se a1m+ b1n+ c1p = 0;
(e) se pi1 e pi2 sa˜o paralelos enta˜o existem nu´meros reais na˜o nulos α, β tais
que α(a1, b1, c1) + β(a2, b2, c2) = (0, 0, 0).
1Q5. Considere a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(−2, 1, 0), λ ∈ R, o plano
pi1 : x + 2y − z = 0 e o ponto P = (1, 1,−2). Sabendo-se que o plano
pi2 conte´m r e intercepta pi1 perpendicularmente, pode-se afirmar que a
distaˆncia entre P e pi2 e´ igual a:
(a)
√
30
2 ;
(b) 5
√
6
8 ;
(c) 15√
8
;
(d) 15;
(e) 15√
94
.
1Q6. Considere os planos pi1 : x + y − z − 1 = 0, pi2 : −x + y = 0, a reta
r = pi1 ∩pi2 e a reta s : X = (2, 1, 0)+λ(1, 0, 1), λ ∈ R. Pode-se afirmar que
a distaˆncia entre r e s e´:
(a) 23 ;
(b) 2;
(c) 2√
3
;
(d) 1√
3
;
(e) 0.
1Q7. Considere os planos:
pi1 : 6x− 3y + 6z + 3 = 0, pi2 : 4x− 2y + 4z + 8 = 0.
A distaˆncia entre pi1 e pi2 e´:
(a) 1;
(b) 4;
(c) 52 ;
(d) 5;
(e) 112 .
1Q8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se A1 = (x1, y1, z1), A2 = (x2, y2, z2) sa˜o pontos de um plano pi enta˜o
C = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) tambe´m e´ um ponto de pi;
(II) os pontos X da forma X = (1, 0, 2) + λ(1, 2,−1) + µ(2, 4,−2) des-
crevem um plano quando λ e µ percorrem todos os nu´meros reais;
(III) para quaisquer retas r e s, existem infinitos planos distintos paralelos
a r e a s que sa˜o equidistantes de r e s.
Pode-se afirmar que:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
1Q9. Considere o cubo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo:
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�
A B
CD
E F
GH
e o sistema de coordenadas Σ = (A, E) em E3, onde E = (−−→AB,−→AC,−→AF ). Se
pi denota o plano determinado pelos pontos B, D e F , pode-se afirmar que
uma equac¸a˜o geral no sistema Σ para pi e´:
(a) 2x+ 2y + z − 1 = 0;
(b) x+ y + z − 1 = 0;
(c) x+ 2y + z − 1 = 0;
(d) −x− y − z + 4 = 0;
(e) −x− 2y − 2z + 4 = 0.
1Q10. Considere o plano pi : 2x+ y + 2z − 3 = 0, a reta:
r : X = (1, 0, 2) + t(2,−4, 3), t ∈ R,
e um ponto P sobre a reta r cuja distaˆncia a pi seja igual a 3. Pode-se
afirmar que a soma das coordenadas de P e´:
(a) 3 ou 5;
(b) 4 ou 1;
(c) 2 ou 3;
(d) 3 ou 1;
(e) 4 ou 5.
1Q11. A projec¸a˜o ortogonal do ponto P = (0, 1, 1) sobre a reta:
r : X = (−2, 0, 0) + λ(1, 2, 4), λ ∈ R,
e´ um ponto cuja soma das coordenadas e´ igual a:
(a) 13 ;
(b) 23 ;
(c) −43 ;
(d) 43 ;
(e) −23 .
1Q12. Seja m ∈ R e considere as retas:
r : x− 1 = y + 1
2
= −z + 1, s : X = (m+ 1, 1, 0) + λ(1, 3,−1), λ ∈ R.
Sabendo-se que r e s sa˜o concorrentes, pode-se afirmar que a soma das
coordenadas do ponto de intersec¸a˜o entre r e s e´:
(a) 3;
(b) 1;
(c) 0;
(d) 2;
(e) 4.
1Q13. Considere o vetor ~u = (1, 1, 1) e as retas:
r : X = (2, 3, 1) + λ(1, 0, 1), λ ∈ R, s : X = (3, 4, 1) + µ(0, 1, 1), µ ∈ R.
Sabendo-se que t e´ uma reta paralela a ~u que intersecta as retas r e s
respectivamente nos pontos R e S, pode-se afirmar que a soma da soma das
coordenadas de R com a soma das coordenadas de S e´ igual a:
(a) 17;
(b) 16;
(c) 14;
(d) 18;
(e) 15.
1Q14. Sejam m,n ∈ R e considere o sistema linear:
x+ y − z = 1,
2x+my − 2z = n,
3x− y − 4z = 0.
Sabendo-se que esse sistema na˜o possui soluc¸a˜o, pode-se afirmar que:
(a) m 6= 2 e n = 2;
(b) m = 2 e n = 2;
(c) m = 1 e n 6= 2;
(d) m 6= 2 e n 6= 2;
(e) m = 2 e n 6= 2.
1Q15. Suponha que o ponto P = (2, 3,−2) seja ve´rtice de um losango
que possui uma diagonal contida na reta r : x = y = z. Se Q e´ o outro
ve´rtice desse losango que na˜o pertence a r, pode-se afirmar que a soma das
coordenadas de Q e´ igual a:
(a) 4;
(b) 3;
(c) 6;
(d) 5;
(e) 2.
1Q16. Considere o vetor ~a = (3,−1, 2), a reta:
r : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1), λ ∈ R,
e o plano pi : x − y + 2z − 1 = 0. Sabendo-se que ~a = ~b + ~c, sendo ~b um
vetor paralelo a r e ~c um vetor paralelo a pi, pode-se afirmar que a soma das
coordenadas de ~b e a soma das coordenadas de ~c sa˜o respectivamente iguais
a:
(a) 22 e −12;
(b) 16 e 5;
(c) 16 e 6;
(d) 22 e 12;
(e) 16 e −12.
1Q17. Seja m ∈ R e considere as retas:
r :
{
x−my = 0,
mx− 2y − z + 1 = 0, s : X = (1, 0, 2) + λ(m, 1,m), λ ∈ R.
Pode-se afirmar que:
(a) se m = 2 ou m = −1 enta˜o as retas r e s sa˜o reversas;
(b) para todo m as retas r e s sa˜o paralelas;
(c) se m = 2 ou m = −1 enta˜o as retas r e s sa˜o concorrentes;
(d) para todo m as retas r e s determinam um plano;
(e) na˜o existe m de modo que as retas r e s sejam concorrentes.
1Q18. A medida em radianos do aˆngulo entre os vetores ~a e ~b e´ pi3 e o vetor
~c e´ ortogonal a ~a e a ~b. Sabendo-se que ‖~a‖ = 1, ‖~b‖ = 2 e que ‖~c‖ = 4,
pode-se afirmar que o volume do tetraedro determinado pelos vetores ~a, ~b e
~c e´ igual a:
(a) 13 ;
(b)
√
3
3 ;
(c) 2
√
3
3 ;
(d) 23 ;
(e) 4
√
3
3 .
1Q19. Considere o ponto P = (1, 1, 2) e o plano pi : x + y − z + 1 = 0. A
soma das coordenadas do ponto sime´trico a P em relac¸a˜o ao plano pi e´ igual
a:
(a) 103 ;
(b) 13 ;
(c) 4;
(d) 3;
(e) 53 .
1Q20. Seja m ∈ R e considere o sistema linear:
x+ y − z = 1,
x− y − z = 1,
3x− y −mz = 0.
Sabendo-se que esse sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o, pode-se afirmar que:
(a) m = −3;
(b) m 6= 3;
(c) m 6= 3 e m 6= −3;
(d) m = 3;
(e) m 6= −3.