Álgebra Linear I - Poli - Psub - 2017

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Q1. Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:
~v = (1,−1, 0)E e ~w = (1, 0, 1)E .
Suponha que ~z = (α, β, γ)E seja um vetor paralelo a (−1, 3, 2)E tal que
~z · proj~w ~v = 1. Temos que α+ β + γ é igual a:
(a) 4;
(b) −4;
(c) 8;
(d) 6;
(e) −2.
Q2. Seja
A =
a b cp q r
x y z

uma matriz 3× 3 com entradas reais e suponha que det(A) = 3. Se B for a
matriz definida por
B =

3a 3p 2 3x
a p 0 x
b+ 7a q + 7p 0 y + 7x
−2c −2r 1 −2z
 ,
então det(2B−1) será igual a:
(a) −43 ;
(b) 14 ;
(c) −23 ;
(d) −16 ;
(e) − 421 .
Q3. Considere as seguintes afirmações:
(I) existem um espaço vetorial V e subespaços vetoriais S1 e S2 de V
tais que S1 não esteja contido em S2, S2 não esteja contido em S1 e
S1 ∪ S2 seja um subespaço vetorial de V ;
(II) para qualquer espaço vetorial V e quaisquer subespaços vetoriais S1
e S2 de V , existe um subespaço vetorial S de V contido em S1 + S2
tal que S contenha S1 ∪ S2 e S 6= S1 + S2;
(III) para qualquer espaço vetorial V , quaisquer subespaços vetoriais S1
e S2 de V , quaisquer v1, w1 ∈ S1 e quaisquer v2, w2 ∈ S2, se
v1 + v2 = w1 + w2,
então v1 = w1 e v2 = w2.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmação (II) é verdadeira;
(b) todas as afirmações são falsas;
(c) todas as afirmações são verdadeiras;
(d) apenas a afirmação (III) é verdadeira;
(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
Q4. Sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} e F = {~f1, ~f2, ~f3} bases de V 3 e seja MEF a
matriz 3× 3 cujas colunas são [~f1]E , [~f2]E e [~f3]E . Se
MEF =
1 2 −11 3 2
1 2 0

e se ~v ∈ V 3 for tal que [~v ]E = (−1, 1, 2), então [~v ]F será igual a:
(a) (16,−7, 3);
(b) (−1, 6, 3);
(c) (16,−7, 1);
(d) (8,−7, 3);
(e) (−1, 6, 1).
Q5. Seja fixada uma orientação no espaço V 3 e seja B uma base ortonormal
positiva de V 3. Considere os vetores
~v = (1, 2,−1)B e ~w = (−2, 1, 0)B
e suponha que C = {~e1, ~e2, ~e3} seja uma base ortonormal negativa de V 3 tal
que:
~e1 =
~v
‖~v‖
e ~e2 =
~w
‖~w‖
.
Se ~e3 = (a, b, c)B, então a+ b+ c será igual a:
(a) − 8√
30
;
(b) 8√
30
;
(c) − 2√
30
;
(d) 8;
(e) −8.
Q6. Considere os subespaços vetoriais S1 e S2 de R
5 definidos por:
S1 = [(1,−2, 1,−1, 1), (2, 1,−1, 2, 1), (0,−5, 3,−4, 1)] e
S2 = [(1, 3, 1, 2, 1), (3,−1, 0, 1, 2), (−1, 7, 2, 3, 0)].
Assinale a alternativa correta:
(a) S1 ∩ S2 = {0} e dim(S2) = 2;
(b) dim(S1 ∩ S2) = 1 e dim(S1) = 2;
(c) S1 ∩ S2 = {0} e dim(S2) = 3;
(d) dim(S1 ∩ S2) = 2;
(e) dim(S1 ∩ S2) = 1 e dim(S1) = 3.
Q7. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E é
uma base ortonormal de V 3. Sejam a ∈ R e r a reta dada pela equação
r :
{
x− y + z = 3− a,
x− y − z = −1− a
no sistema de coordenadas Σ. Se P = (1, 1, 1)Σ e a distância do ponto P à
reta r for igual a
√
6
2 , então poderemos afirmar que:
(a) a ∈ [0, 1];
(b) a ∈
[
1
2 ,
3
2
]
;
(c) a ∈ [1, 2];
(d) a ∈ [2, 3];
(e) a ∈ [0, 2].
Q8. Considere os subespaços vetoriais de P3(R) definidos por:
S1 =
{
p ∈ P3(R) : p(1) = 0 e p′(−1) = 0
}
,
S2 =
{
a+ bt+ ct2 + dt3 : 2a+ b+ 4c− d = 0 e b− 2c+ 3d = 0
}
e
S3 = [−1− t+ t2 + t3,−5 + 5t+ t2 − t3, 1− 4t+ t2 + 2t3].
Assinale a alternativa correta:
(a) S1 = S2 ⊂ S3 e S2 6= S3;
(b) S1 = S2 = S3;
(c) S1 6= S2 e S1 = S3;
(d) S1 6= S2, S1 ⊂ S3 e S1 6= S3;
(e) S1 6= S2 e S2 = S3.
Q9. Seja a ∈ R. Temos que o conjunto{(
a 2a
2 3a
)
,
(
1 2
2a 3
)
,
(
1 2a
a+ 1 a+ 2
)
,
(
1 a+ 1
2 2a+ 1
)}
será uma base de M2(R) se, e somente se:
(a) a 6∈ {−1, 0, 1};
(b) a 6∈ {0, 1, 2};
(c) a 6= 0 e a 6= 1;
(d) a 6= −1 e a 6= 1;
(e) a 6= −1 e a 6= 0.
Q10. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E é
uma base ortonormal de V 3. Sejam a ∈ R e π o plano dado pela equação
π : x− ay + z + 3 = 0
no sistema de coordenadas Σ. Se a distância do ponto (1, 2,−1)Σ ao plano
π for igual a 2, então poderemos afirmar que:
(a) a ∈ [2, 3];
(b) a ∈ [1, 2];
(c) a ∈ [−1, 0];
(d) a ∈ [−2,−1];
(e) a ∈ [0, 1].
Q11. Seja fixada uma orientação no espaço V 3. Considere as seguintes
afirmações:
(I) se v = (1, 1, 1), w = (1, 2,−1) e z = (−1, 0,−3), então existirão
números reais α1, α2, α3, β1, β2, β3, γ1, γ2 e γ3 tais que o conjunto
{α1v + β1w + γ1z, α2v + β2w + γ2z, α3v + β3w + γ3z}
seja uma base de R3;
(II) se V for o espaço vetorial de todas as funções deriváveis f : R→ R,
então
{
f ∈ V : f ′(1) = 2f(π)
}
será um subespaço vetorial de V ;
(III) o produto misto [~v + 2~w, ~w + 3~z, ~z − ~v ] é igual a −5[~v, ~w, ~z ], para
quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V 3.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
(b) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
(c) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
(d) todas as afirmações são verdadeiras;
(e) apenas a afirmação (III) é verdadeira.
Q12. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 tais que
‖~v‖ = 2, ‖~w‖ = 3, ‖~z ‖ = 5,
~w e ~z sejam ortogonais a ~v e a medida do ângulo entre ~w e ~z seja igual a π6 .
Temos que ‖−~v + ~w + ~z ‖2 é igual a:
(a) 532 ;
(b) 912 ;
(c) 12
(
76 + 15
√
3
)
;
(d) 38 + 15
√
3;
(e) 53.
Q13. Considere as seguintes afirmações:
(I) se Σ = (O, E) for um sistema de coordenadas em E3 em que E é
uma base ortonormal de V 3, então a área do triângulo de vértices
(1, 1, 1)Σ, (0, 2,−1)Σ e (3, 1, 0)Σ será igual a
√
30
2 ;
(II) se ~v, ~w ∈ V 3 forem vetores não nulos e paralelos, então
proj~v ~x = proj~w ~x,
para qualquer ~x ∈ V 3;
(III) a matriz −1 1 −2−1 2 0
2 −3 1

é invert́ıvel e sua inversa é: 2 5 41 3 2
−1 −1 −1
 .
Assinale a alternativa correta:
(a) todas as afirmações são verdadeiras;
(b) apenas a afirmação (III) é verdadeira;
(c) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
(d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
(e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Q14. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E
é uma base ortonormal de V 3. Sejam a, b ∈ R e considere os planos dados
pelas equações
π1 : x− 2y + z = 3, π2 : 2x− 3y − 3z = b e π3 : −x+ 5y + az = 2
no sistema de coordenadas Σ. Se π1∩π2∩π3 for uma reta, então poderemos
afirmar que:
(a) a ∈ [−18,−17] e b ∈ [8, 9];
(b) a ∈ [−18,−15] e b ∈ [6, 7];
(c) a ∈ [−19,−18] e b ∈ [8, 9];
(d) a ∈ [−18,−17] e b ∈ [7, 8];
(e) a ∈ [−18,−15] e b ∈ [7, 8].
Q15. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E é
uma base ortonormal de V 3, e sejam r e s as retas dadas pelas equações
r :

x = 1− λ,
y = 2λ,
z = 0,
λ ∈ R e s : X = (2, 1, 1) + λ(0, 3,−1), λ ∈ R
no sistema de coordenadas Σ. Seja t a reta que passa pelo ponto (1, 0, 1)Σ e
que intersecta as retas r e s. Se (a, b, c)Σ for o ponto na interseção de t e s,
então a− b+ c será igual a:
(a) 5;
(b) 4;
(c) 2;
(d) 3;
(e) 6.
Q16. Considere o subespaço vetorial W de M2(R) definido por
W =
[(
1 1
−1 1
)
,
(
1 3
3 1
)
,
(
1 2
1 1
)
,
(
2 1
−4 2
)]
e seja B uma base de W . Pode-se afirmar que:
(a) B tem três elementos e B ∪
{(
0 1
2 1
)}
é uma base de M2(R);
(b) B tem três elementos e B ∪
{(
0 0
1 0
)}
é uma base de M2(R);
(c) B tem dois elementos e B ∪
{(
0 1
2 1
)
,
(
0 0
0 1
)}
é uma base de M2(R);
(d) B tem dois elementos e B ∪
{(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)}
é uma base de M2(R);
(e) B tem dois elementos e B ∪
{(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 1
)}
é uma base de M2(R).