Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN 16 de maio de 2013 Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 1 / 27 Primitivas Determinando Primitivas Determinando Primitivas Uma func¸a˜o F (x) e´ uma primitiva de f(x) em um intervalo I se F ′(x) = f(x) para qualquer x em I. Encontrar F (x) a partir de f(x) chama-se primitivac¸a˜o ou antiderivac¸a˜o. Exemplo: Se f(x) = 2x, enta˜o pode ser F (x) = x2. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 2 / 27 Primitivas Determinando Primitivas Se F e´ uma primitiva de f em um intervalo I, enta˜o a primitiva mais geral de f em I e´ F (x) + C (1) onde C e´ uma constante arbitra´ria. A fam´ılia de func¸o˜es F (x) + C sa˜o gra´ficos onde cada um e´ uma translac¸a˜o vertical do outro. Exemplo: Se f(x) = 2x, a resposta completa e´ que F (x) = x2 + C. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 3 / 27 Primitivas Determinando Primitivas Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 4 / 27 Primitivas Exerc´ıcios Exerc´ıcios 1 Determinar a primitiva de: a) f(x) = x5 b) g(x) = 1√ x c) h(x) = sen(2x) d) i(x) = cos ( x 2 ) e) j(x) = e−3x f) k(x) = 2x 2 Escrever a primitiva mais geral de f(x) = 3√ x + sen(2x). Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 5 / 27 Primitivas Regras de Linearidade para Primitivas Regras de Linearidade para Primitivas Se F (x) + C e G(x) + C sa˜o as primitivas de f(x) e g(x), respectivamente, temos que Regra da Multiplicac¸a˜o: A derivada de kf(x), sendo k uma constante, e´ kF (x) + C Regra da Oposta: A derivada de −f(x), e´ −F (x) + C Regra da Soma ou da Diferenc¸a: A derivada de f(x)± g(x) e´ F (x)±G(x) + C Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 6 / 27 Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Encontrar uma primitiva y(x) de uma func¸a˜o f(x) e´ resolver a equac¸a˜o dy dx = f(x) (2) que e´ uma equac¸a˜o diferencial. Para encontrar a constante da primitiva, especificamos uma condic¸a˜o inicial, y(x0) = y0. A equac¸a˜o diferencial junto com a condic¸a˜o inicial e´ um problema de valor inicial. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 7 / 27 Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exemplo: a primitiva de f(x) = senx que satisfac¸a F (0) = 3 e´ encontramos a primitiva geral F (x) = − cosx+ C aplicamos a condic¸a˜o inicial F (0) = − cos 0 + C = 3 ou seja C = 4. A primitiva desejada e´ F (x) = − cosx+ 4 Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 8 / 27 Primitivas Exerc´ıcios Exerc´ıcios 1 Determinar a curva cujo coeficiente angular no ponto (x, y) e´ 3x2 sabendo que ela deve passar pelo ponto (1,−1). 2 Um bala˜o que sobe a uma taxa de 12pe´s/s, esta´ a uma altura de 80pe´s aima do solo quando um pacote e´ jogado. Quanto tempo o pacote demora para chegar ao solo? Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 9 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Integral Indefinida O conjunto de todas as primitivas de f e´ a integral indefinida de f em relac¸a˜o a x, denotada por ∫ f(x) dx (3) ∫ e´ o s´ımbolo da integral A func¸a˜o f e´ o integrando da integral e x e´ a varia´vel de integrac¸a˜o. A integral ∫ (x2 − 2x+ 5)dx e´∫ (x2 − 2x+ 5)dx = x 3 3 − x2 + 5x+ C (4) Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 10 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 11 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Alguns procedimentos sa˜o utilizados para adequar integrais a fo´rmulas ba´sica Fazer uma substituic¸a˜o. Completar quadrados. Usar uma identidade trigonome´trica. Eliminar uma raiz quadrada. Reduzir uma frac¸a˜o impro´pria. Separar uma frac¸a˜o. Multiplicar por uma fo´rmula unita´ria. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 12 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o A regra da substituic¸a˜o e´ dada por∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du (5) onde u = g(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel cuja imagem e´ um intervalo I, e f e´ cont´ınua em I. Exemplo: Calcular ∫ 2x−9√ x2−9x+1dx. Considerando u = x2 − 9x+ 1, du = (2x− 9)dx temos 2x− 9√ x2 − 9x+ 1dx = ∫ du√ u = ∫ u− 1 2 du = 2u 1 2 + C = 2 √ x2 − 9x+ 1 + C Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 13 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Calcular ∫ dx√ 8x−x2 . Completamos o quadrado 8x− x2 = −(x2 − 8x) = −(x2 − 8x+ 16)− 16 = 16− (x− 4)2 (6) (7) Assim, ∫ dx√ 8x− x2 = ∫ dx√ 16− (x− 4)2 (8) Com a = 4 e u = x− 4, temos que du = dx e∫ dx√ 16− (x− 4)2 = ∫ du√ a2 − u2 = = 2 sen−1 (u a ) + C = sen−1 ( x− 4 4 ) + C Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 14 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Calcular ∫ (secx+ tg x)2dx. Expandindo o integrando (secx+ tg x)2 = sec2 x+ 2 secx tg x+ tg2 x Substituindo a identidade trigonome´trica tg2 x+ 1 = sec2 x temos∫ (secx+ tg x)2dx = ∫ (2 sec2 x+ secx tg x− 1)dx = 2 ∫ sec2 xdx+ 2 ∫ secx tg xdx− ∫ dx = 2 tg x+ 2 secx− x+ C. (9) Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 15 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Calcular ∫ √ 1 + cos(4x)dx Usamos a identidade trigonome´trica: cos2 θ = 1 + cos(2θ) 2 → 1 + cos 4x = 2 cos2(2x). Reescrevemos a integral∫ √ 1 + cos(4x)dx = ∫ √ 2 cos2 2xdx = √ 2 ∫ | cos 2x|dx. Quando cos 2x > 0, temos √ 2 ∫ | cos 2x|dx = √ 2 ∫ cos 2xdx = √ 2 ( sen 2x 2x ) . Quando cos 2x < 0, temos √ 2 ∫ | cos 2x|dx = − √ 2 ∫ cos 2xdx = − √ 2 ( sen 2x 2x ) . Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 16 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Calcular ∫ 3x2−7 3x+2 dx. Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto, 3x2 − 7 3x+ 2 = x+ 3 + 6 3x+ 2 Reescrevemos a integral∫ 3x2 − 7x 3x+ 2 dx = ∫ ( x− 3 + 6 3x+ 2 ) dx = x2 2 − 3x+ 2 ln |3x+ 2|+ C Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆnciase Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 17 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Calcular ∫ 3x+2√ 1−x2 dx. Separando as frac¸o˜es∫ 3x+ 2√ 1− x2 dx = ∫ 3x√ 1− x2 dx+ ∫ 2√ 1− x2 dx Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx,∫ 3x√ 1− x2 dx = − 3 2 ∫ du√ u = −3 2 ∫ u− 1 2 du = −3 2 ( u 1 2 1 2 ) + C1 = −3 √ 1− x2 + C1 Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 18 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Fazendo a segunda integral,∫ 2√ 1− x2 dx = 2 ∫ dx√ 1− x2 = 2 sen −1 x+ C2 A soluc¸a˜o final e´∫ 3x+ 2√ 1− x2 dx = −3 √ 1− x2 + C1 + 2 sen−1 x+ C2 = −3 √ 1− x2 + 2 sen−1 x+ C onde juntamos as constantes C1 + C2 = C. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 19 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Calcular ∫ secxdx. Multiplicando o integrando por uma forma unita´ria,∫ secxdx = ∫ secx.1dx = ∫ secx secx+ tg x secx+ tg x dx = ∫ sec2 x+ secx tg x secx+ tg x dx Utilizando u = tg x+ secx e du = (sec2 x+ secx tg x)dx, temos∫ sec2 x+ secx tg x secx+ tg x dx = ∫ du u = ln |u|+ C = ln | secx+ tg x|+ C. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 20 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Calcular ∫ 3x2−7 3x+2 dx. Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto, 3x2 − 7 3x+ 2 = x+ 3 + 6 3x+ 2 Reescrevemos a integral∫ 3x2 − 7x 3x+ 2 dx = ∫ ( x− 3 + 6 3x+ 2 ) dx = x2 2 − 3x+ 2 ln |3x+ 2|+ C Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 21 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Calcular ∫ 3x+2√ 1−x2 dx. Separando as frac¸o˜es∫ 3x+ 2√ 1− x2 dx = ∫ 3x√ 1− x2 dx+ ∫ 2√ 1− x2 dx Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx,∫ 3x√ 1− x2 dx = − 3 2 ∫ du√ u = −3 2 ∫ u− 1 2 du = −3 2 ( u 1 2 1 2 ) + C1 = −3 √ 1− x2 + C1 Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 22 / 27 Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Fazendo a segunda integral,∫ 2√ 1− x2 dx = 2 ∫ dx√ 1− x2 = 2 sen −1 x+ C2 A soluc¸a˜o final e´∫ 3x+ 2√ 1− x2 dx = −3 √ 1− x2 + C1 + 2 sen−1 x+ C2 = −3 √ 1− x2 + 2 sen−1 x+ C onde juntamos as constantes C1 + C2 = C. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 23 / 27 Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis de x, a regra do produto diz que d dx [f(x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) que fazemos ∫ d dx [f(x)g(x)] = ∫ [f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)] dx = ∫ f ′(x)g(x)dx+ ∫ f(x)g′(x)dx Ou seja, ∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)− ∫ g(x)f ′(x)dx A fo´rmula geral para a integrac¸a˜o por partes e´∫ u dv = u v − ∫ v du Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 24 / 27 Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Exemplo 1: Determinar ∫ x cosxdx. Com u = x e dv = cosxdx temos v = senx du = dx. Integrando por partes∫ x cosxdx = x senx− ∫ senxdx = x senx+ cosx+ C. (10) Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 25 / 27 Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Exemplo 2: Outras opc¸o˜es da aplicac¸a˜o da integrac¸a˜o por partes para a integral∫ x cosxdx. 1 Assumir u = 1 e dv = x cosxdx na˜o serve pois na˜o sabemos encontrar v. 2 Tomar u = x cosx e dv = dx leva-nos a du = (cosx− x senx)dx v = x Assim, ∫ x cosxdx = x2 cosx− ∫ (x cosx− x2 senx)dx sendo a integral final mais complicada que a inicial. 3 Finalmente, considerar u = cosx e dv = xdx nos da´ du = − senxdx v = x 2 2 resultando em ∫ x cosxdx = x2 2 cosx− ∫ x2 2 senxdx que tambe´m e´ um problema pior que o inicial. Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 26 / 27 Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios Exerc´ıcios Calcule as seguintes integrais: 1 ∫ lnxdx 2 ∫ x2exdx 3 ∫ ex cosxdx Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 27 / 27 Primitivas Determinando Primitivas Exercícios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equações Diferenciais Exercícios Técnicas de Integração Integral Indefinida Adequando integrais a fórmulas básicas Técnicas de Integração - A Regra da Substituição Técnicas de Integração - Completando os Quadrados Técnicas de Integração - Usando uma identidade trigonométrica Técnicas de Integração - Eliminando uma Raiz Técnicas de Integração - Fração Imprópria Técnicas de Integração - Separando Frações Técnicas de Integração - Multiplicando por uma Forma Unitária Técnicas de Integração - Fração Imprópria Técnicas de Integração - Separando Frações Integração por Partes Técnicas de Integração - Integração por Partes Exercícios
Compartilhar