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Ca´lculo I - Derivadas
Prof. Dr. Josinaldo Menezes
EC&T - UFRN
15 de abril de 2013
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 1 / 113
Limites Limites Laterais
Limites Laterais
Uma func¸a˜o f(x) tera´ um limite quando x se aproximar de c se e somente se tiver
um limite lateral a` direita e um limite lateral a` esquerda, e os dois limites laterais
forem iguais:
lim
x→c f(x) = L
se e somente se
lim
x→c−
f(x) = lim
x→c+
f(x) = L
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Limites Limites Laterais
Exemplo: a func¸a˜o f(x) =
√
4− x2, cujo dom´ınio e´ [−2, 2], na˜o tem limites
bilaterais em x = ±2, pois
na˜o tem limite pela esquerda em x = −2, apenas pela direita
lim
x→−2+
√
4− x2 = 0
na˜o tem limite pela direita em x = 2, apenas pela esquerda
lim
x→2−
√
4− x2 = 0
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Limites Alguns Limites
Alguns Limites
lim
x→a(x
3 + 7x− 10)
lim
x→a
x4 + x2 − 1
x2 + 5
lim
x→−1
x3 + 4x2 − 3
x2 − 5
lim
x→−2
√
4x2 − 3
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Limites Limites e Indeterminac¸o˜es
Limites e Indeterminac¸o˜es
lim
x→x0
f(x)→ 0
0
=?
lim
x→x0
f(x)→ ±∞±∞ =?
lim
x→x0
f(x)→ 0.(±∞) =?
lim
x→x0
f(x)→ 00 =?
lim
x→x0
f(x)→ 1±∞ =?
lim
x→x0
f(x)→ (±∞)0 =?
lim
x→x0
f(x)→ (+∞−∞) =?
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Limites Na˜o sa˜o indeterminac¸o˜es
Na˜o sa˜o indeterminac¸o˜es
lim
x→x0
f(x)→ N
o 6= 0
0
= ±∞
lim
x→x0
f(x)→ 0
No 6= 0 = 0
lim
x→x0
f(x)→ 0±∞ = 0
lim
x→x0
f(x)→ ±∞
0
= ±∞
lim
x→x0
f(x)→ ±∞
No 6= 0 = ±∞
lim
x→x0
f(x)→ N
o 6= 0
±∞ = 0
lim
x→x0
f(x)→ (−1 < No < 1)+∞ = 0
lim
x→x0
f(x)→ (No > 1)+∞ = +∞
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Limites Exemplos de Limites
Exemplos de Limites
a) limx→1 x
2+2x−1
x2−1
b) limx→0
√
x2+100−10
x2
c) limx→+∞
(x+1)3
x+1
d) limx→−∞ x
2−6 x+8
3 x+1
e) limx→−2− xx+2
f) limx→+∞ (
√
x2 − 5x+ 6− x)
g) limx→+∞ x(
√
x2 + 1− x)
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Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
Suponha que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para qualquer x em um intervalo aberto
contendo x0, e que
lim
x→x0
g(x) = lim
x→x0
h(x) = L.
Enta˜o temos:
lim
x→x0
f(x) = L.
Exemplo: se para qualquer x 6= 0 temos
1− x4 ≤ ux ≤ 1 + x
2
2
,
enta˜o
lim
x→0
u(x) = 1.
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Limites Primeiro Limite Fundamental
Primeiro Limite Fundamental
A maior parte dos limites envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o resolvidos
utilizando o primeiro limite fundamental:
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Exemplos:
lim
x→0
sin
√
2x√
2x
lim
x→0
sin kx
kx
lim
x→0
sin 3x
4x
lim
x→0
sinx
sin 2x
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Limites Segundo Limite Fundamental
Segundo Limite Fundamental
O nu´mero irracional que e´ a base do logaritmo natural, foi obtido
originalmente por Leonard Euler em termos do limite:
lim
x→0
(
1 +
1
x
)
= e.
Exemplos:
lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
lim
x→+∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
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Limites Exemplos de Limites
Exemplos de Limites
Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cosh−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
Limites finitos quando x→ ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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Limites Exemplos de Limites
Limites no infinito de func¸o˜es racionais
a) limx→∞
(
5x2+8x−3
3x2+2
)
= lim
h→∞
(
5 + 8x − 3x2
3 + 2x
)
=
5 + 0 + 0
3 + 0
=
5
3
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Limites Exemplos de Limites
Limites no infinito de func¸o˜es racionais
b) limx→∞
(
11x+2
2x3−1
)
= lim
h→∞
( 11
x2 +
2
x3
2− 1x3
)
=
0 + 0
2− 0 = 0
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Limites Exemplos de Limites
Limites no infinito de func¸o˜es racionais
c) limx→∞ sen 1x
= lim
t→0+
sen t = 0, t =
1
x
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Limites Exemplos de Limites
Limites no infinito de func¸o˜es racionais
d) limx→0− e
1
x
= lim
t→−∞ e
t = 0, t =
1
x
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Limites Exemplos de Limites
Limites infinitos
a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x− 2)(x− 2)
(x− 2)(x+ 2) = limx→2
x− 2
x+ 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x− 2
(x− 2)(x+ 2) = limx→2
1
x+ 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x− 3
(x− 2)(x+ 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x− 3
(x− 2)(x+ 2) =∞
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Continuidade Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Consideremos a func¸a˜o descrita na fugura abaixo.
f e´ cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio [0, 4], exceto em x = 1, x = 2 e
x = 4.
f e´ cont´ınua em x = 0, onde limx→0+ f(x) = f(0).
f e´ cont´ınua em x = 3, onde limx→3 f(x) = f(3).
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Continuidade Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
para 0 < c < 4, c 6= 1, 2, temos que limx→c f(x) = f(c).
f e´ descont´ınua em x = 1, onde na˜o existe limx→1 f(x).
f e´ descont´ınua em x = 2, onde limx→2 f(x) = 1, mas f(2) 6= 1.
f e´ descont´ınua em x = 4, onde limx→4− f(x) = 1, mas f(4) 6= 1.
c < 0 e c > 4 na˜o esta˜o no dom´ınio de f .
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Continuidade Continuidade de pontos interiores e extremos
Continuidade de pontos interiores e extremos
Uma func¸a˜o y = f(x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de seu dom´ınio
quando
lim
x→c f(x) = f(c).
Uma func¸a˜o y = f(x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a ou e´ cont´ınua
na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f(x) = f(a)
ou
lim
x→b−
f(x) = f(b)
respectivamente.
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Continuidade Continuidade de pontos interiores e extremos
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Continuidade Continuidade de pontos interiores e extremos
Temos enta˜o que,
Se f na˜o e´ cont´ınua em c, ela e´ descont´ınua em c, que e´ chamado ponto de
descontinuidade.
f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f(x) = f(c).
f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f(x) = f(c)
f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a` direita e a` esquerda
de c.
f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio se for cont´ınua
a` direita de a e vice-versa.Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 21 / 113
Continuidade Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Estude a continuidade da func¸a˜o f(x) =
√
4− x2 com dom´ınio [−2, 2].
2 Em que pontos a func¸a˜o salto unita´rio U(x), dada na figura abaixo, e´
cont´ınua?
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Continuidade Teste de Continuidade
Teste de Continuidade
Uma func¸a˜o f(x) sera´ cont´ınua em x = c se e somente se ela obedecer a`s treˆs
condic¸o˜es:
1 f(c) existe → c esta´ no dom´ınio de f .
2 limx→c f(x) existe → f tem um limite quando x→ c.
3 limx→c f(x) = f(c) → o limite e´ igual ao valor da func¸a˜o.
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Continuidade Teste de Continuidade
Exemplo: a func¸a˜o maior inteiro contido y = int x
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Continuidade Teste de Continuidade
e´ descont´ınua em todo inteiro porque na˜o existe limite em qualquer inteiro n:
lim
x→n−
int x = n− 1 6= lim
x→n+
int x = n
quando int x = n existe apenas continuidade a` direita
f e´ cont´ınua em cada nu´mero c na˜o inteiro, pois
lim
x→c int x = n− 1 = int c
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Continuidade Func¸o˜es Cont´ınuas
Func¸o˜es Cont´ınuas
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo se e somente se for cont´ınua em
cada ponto do intervalo.
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua se for cont´ınua em cada ponto de seu dom´ınio.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 26 / 113
Continuidade Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Se as func¸o˜es f(x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c, enta˜o as seguintes
combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1 Soma: f + g
2 Diferenc¸a: f − g.
3 Produto: fg.
4 Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5 Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6 Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7 Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em f(c), enta˜o a
composta g ◦ f e´ cont´ınua em c.
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Continuidade Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Estude a continuidade das seguintes func¸o˜es:
1 f(x) = 1x
2 f(x) = |x|
3 f(x) =
√
x2 − 2x− 5
4 f(x) = x
2
3
1+x4
5 f(x) =
∣∣ x−2
x2−2
∣∣
6 f(x) =
∣∣x sen x
x2+2
∣∣
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Continuidade Exerc´ıcios
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Continuidade Teorema do Valor Intermedia´rio para Func¸o˜es Cont´ınuas
Teorema do Valor Intermedia´rio para Func¸o˜es Cont´ınuas
Uma func¸a˜o y = f(x) que e´ cont´ınua em um intervalo fechado [a, b] assume cada
valor entre f(a) e f(b). Em outras palavras, se y0 for qualquer valor entre f(a) e
f(b), enta˜o y0 = f(c) para algum valor c em [a, b].
Qualquer reta horizontal y = y0 cruzando o eixo y entre os valores f(a) e
f(b) cruzara´ a curva y = f(x) pelo menos uma vez no intervalo [a, b].
Se f for descont´ınua em um ponto de [a, b], o teorema pode falhar.
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Derivadas Retas Tangentes
Retas Tangentes
Passos para encontrar a reta tangente a uma curva:
1 Calculamos o coeficiente angular da secante PQ.
2 Encontramos o limite do coeficiente angular da curva quando Q se aproxima
de P ao longo da curva.
3 Se o limite existe, definimos a tangente a` curva em P como a reta atrave´s de
P com esse coeficiente angular.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 31 / 113
Derivadas Retas Tangentes
Exemplo: o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto P (2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h− 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h+ 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x− 2) = 4x− 4.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 32 / 113
Derivadas Retas Tangentes
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 33 / 113
Derivadas Coeficiente Angular e Reta Tangente
Coeficiente Angular e Reta Tangente
O coeficiente angular da curva y = f(x) em um ponto P0(x0, f(x0)) e´ o
nu´mero
m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
desde que o limite existe.
A reta tangente a` curva y = f(x) em P0 e´ a reta que passa por P e tem esse
coeficiente angular.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 34 / 113
Derivadas Coeficiente Angular e Reta Tangente
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 35 / 113
Derivadas Coeficiente Angular e Reta Tangente
Para achar a tangente a` curva y = f(x) em (x0, y0):
1 Calcular f(x0) e f(x0 + h).
2 Calcular o coeficiente angular m = limh→0
f(x0+h)−f(x0)
h .
3 Se o limite existe, enta˜o determine a reta tangente como y = y0 +m(x−x0).
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Derivadas Derivada em um ponto
Taxa de Variac¸a˜o: Derivada em um ponto
A expressa˜o
f(x0 + h)− f(x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com incremento h.
Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´ chamado
derivada de f em x0:
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a derivada e´ o
coeficiente angular da tangente a` curva no ponto x = x0.
Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o, a derivada e´ a
taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a x no ponto x = x0.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 37 / 113
Derivadas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Seja a func¸a˜o y = 1x
1 Determinar o coeficiente angular da curva y em x = a 6= 0.
2 Onde o coeficiente angular e´ − 14 ?
3 O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1a ) quando a varia?
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 38 / 113
Derivadas Exerc´ıcios
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 39 / 113
Derivadas A Derivada como uma func¸a˜o
A Derivada como uma func¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f(x) em relac¸a˜o a` varia´vel x e´ a func¸a˜o f ′ cujo valor
em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
desde que o limite exista.
O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f para o qual o
limite existe.
Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que f e´ deriva´vel.
Exemplo: a derivada de f(x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x+ h− 1)(x− 1)
= − 1
(x− 1)2 .
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 40 / 113
Derivadas Forma Alternativa para a Derivada
Forma Alternativa para a Derivada
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 41 / 113
Derivadas Forma Alternativa para a Derivada
Uma forma alternativa para a derivada e´
f ′(x) = lim
z→x
f(z)− f(x)
(z − x)
desde que o limite exista.
Exemplo: A derivada da func¸a˜o y =
√
x para x > 0 e sua reta tangente para
x = 4 e´ encontrada fazendo-se
f ′(x) = lim
z→x
√
z −√x
z − x
= lim
z→x
√
z −√x
(
√
z −√x)(√z +√x)
= lim
z→x
1√
z +
√
x
=
1
2
√x
.
Assim, a reta tangente que passa por (4, 2) e´ y = 14x+ 1.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 42 / 113
Derivadas Forma Alternativa para a Derivada
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 43 / 113
Derivadas Notac¸o˜es
Notac¸o˜es
Algumas notac¸o˜es para a derivada de uma func¸a˜o y = f(X):
f ′(x) = y′ =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f(x) = D(f)(x) = Dx f(x).
A derivada de f(x) em um nu´mero espec´ıfico x = a e´
f ′(a) =
dy
dx
∣∣
x=a
=
df
dx
∣∣
x=a
=
d
dx
f(x)
∣∣
x=a
.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 44 / 113
Derivadas Func¸o˜es Deriva´veis
Func¸o˜es Deriva´veis
Func¸o˜es deriva´veis em um intervalo aberto possuem uma derivada em cada
ponto do intervalo.
Func¸o˜es deriva´veis em um intervalo fechado [a, b] sa˜o diferencia´veis no
interior (a, b) e existem as derivadas a` direita em a e a` esquerda em b,
respectivamente,
lim
h→0+
f(a+ h)− f(a)
h
lim
h→0−
f(b+ h)− f(b)
h
Uma func¸a˜o possui derivada num ponto se e somente se tiver derivadas a`
direita e a` esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 45 / 113
Derivadas Func¸o˜es Deriva´veis
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 46 / 113
Derivadas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Mostrar que a func¸a˜o y = |x| e´ deriva´vel em (−∞, 0) e (0,∞), mas na˜o em
x = 0.
2 Mostrar que y =
√
x na˜o e´ deriva´vel em x = 0.
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Derivadas Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
A diferenciabilidade de uma func¸a˜o tem a ver com a suavidade do gra´fico de f .
Essas func¸o˜es podem apresentar pontos do gra´fico onde na˜o se pode derivar,
como:
um bico, onde as derivadas laterais sa˜o diferentes.
um ponto cuspidal, onde o coeficiente angular de PQ tende a ∞, de um
lado, e a −∞ do outro.
uma tangente vertical, onde o coeficiente angular de PQ tende a ∞ ou a
−∞ de ambos os lados.
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Derivadas Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
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Derivadas Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
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Derivadas Diferenciabilidade implica continuidade
Diferenciabilidade implica continuidade
Se f tem uma derivada em x = c, enta˜o f e´ cont´ınua em x = c.
Se h 6= 0,
f(c+ h) = f(c) + h[f(c+ h)− f(c)]
= h
f(c) + [f(c+ h)− f(c)]
h
Se h→ 0,
lim
h→0
f(c+ h) = lim
h→0
f(c) + lim
h→0
h lim
h→0
[f(c+ h)− f(c)]
h
= f(c) + f ′(c).0
= f(c)
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Derivadas Propriedade do valor intermedia´rio para derivadas
Teorema de Darboux: Propriedade do valor intermedia´rio
para derivadas
Se a e b sa˜o dois pontos quaisquer de um intervalo em que f e´ deriva´vel, enta˜o f ′
assume todos os valores entre f ′(a) e f ′(b).
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Derivada de uma func¸a˜o constante
Regra 1: Derivada de uma func¸a˜o constante
Se f tem o valor constante f(x) = c, enta˜o
df
dx
=
d
dx
c = 0.
Exemplo: A derivada de f(x) = 8 e´ igual a 0.
Prova:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= 0.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Derivada de uma func¸a˜o constante
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Derivada de uma poteˆncia para inteiros positivos
Regra 2: Derivada de uma poteˆncia para inteiros positivos
Se n for um inteiro positivo, enta˜o
d
dx
xn = nxn−1.
Exemplo: A derivada de f(x) = x3 e´ igual a 3x2.
Prova:
f ′(x) = lim
z→x
f(z)− f(x)
z − x = limz→x
zn − xn
z − x
= lim
z→x
(z − x)(zn−1 + zn−2x+ ...+ zxn−2 + xn−1)
z − x
= lim
z→x(z
n−1 + zn−2x+ ...+ zxn−2 + xn−1)
= nxn−1.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da multiplicac¸a˜o por uma constante
Regra 3: Derivada de uma func¸a˜o multiplicada por uma
constante
Se u e´ uma func¸a˜o deriva´vel de x e c e´ uma constante, enta˜o
d
dx
(cu) = c
du
dx
.
Exemplo: A derivada de f(x) = 3x2 e´ 6x.
Prova:
d
dx
(cu) = lim
h→0
cu(x+ h)− cu(x)
h
= c lim
h→0
u(x+ h)− u(x)
h
= c
du
dx
.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da multiplicac¸a˜o por uma constante
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da derivada da soma
Regra 4: Derivada da soma de func¸o˜es
Se u e v sa˜o func¸o˜es deriva´veis de x, enta˜o a soma das duas, u+ v, e´ deriva´vel
em qualquer ponto onde ambas sejam deriva´veis. Nesses pontos
d
dx
(u+ v) =
du
dx
+
dv
dx
.
Exemplo: A derivada de f(x) = x4 + 12x e´ f ′(x) = 4x3 + 12.
Prova:
d
dx
(u+ v) = lim
h→0
[u(x+ h) + v(x+ h)]− [u(x) + v(x)]
h
= lim
h→0
[
u(x+ h)− u(x)
h
+
v(x+ h)− v(x)
h
]
=
du
dx
+
dv
dx
.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Derive a func¸a˜o polinomial f(x) = x3 + 43x
2 − 5x+ 1.
2 A curva y = x4 − 2x2 + 2 tem algumas tangentes horizontais? Em caso
positivo, onde esta˜o?
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Derivada da Func¸a˜o Exponencial Natural
Derivada da Func¸a˜o Exponencial Natural
A derivada da func¸a˜o exponencial natural e´ ela pro´pria
d
dx
ex = ex.
Prova:
d
dx
ex = lim
h→0
ex+h − ex
h
= lim
h→0
exeh − ex
h
= lim
h→0
ex
eh − 1
h
= ex lim
h→0
eh − 1
h
= ex.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da derivada do produto
Regra 5: Derivada do produto de duas func¸o˜es
Se u e v sa˜o deriva´veis em x, enta˜o o produto uv tambe´m e´, e
d
dx
(uv) = u
dv
dx
+ v
du
dx
.
Exemplo: A derivada de y = 1x (x
2 + ex) e´
y′ =
1
x
(2x+ ex) + (x2 + ex)
(
− 1
x2
)
= 2 +
ex
x
− 1− e
x
x2
= 1 + (x− 1) e
x
x2
.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da derivada do produto
Prova:
d
dx
(uv) = lim
h→0
[
u(x+ h)v(x+ h)− u(x+ h)v(x)h
]
+ lim
h→0
[
u(x+ h)v(x)− u(x)v(x)
h
]
= lim
h→0
u(x+ h) lim
h→0
[
v(x+ h)− v(x)
h
]
+ v(x) lim
h→0
[
u(x+ h)− u(x)
h
]
= u(x)
dv
dx
+ v(x)
du
dx
.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da derivada do quociente
Regra 6: Derivada do quociente de duas func¸o˜es
Se u e v sa˜o deriva´veis em x e se v(x) = 0, enta˜o o quociente u/v e´ deriva´vel em
x, e
d
dx
(u
v
)
=
v dudx − u dvdx
v2
.
Exemplo: A derivada de y = t
2−1
t2+1 e´
dy
dt
=
(t2 + 1)2t− (t2 − 1)2t
(t2 + 1)2
=
2t3 + 2t− 2t3 + 2t
(t2 + 1)2
=
4t
(t2 + 1)2
.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da derivada do quociente
Prova:
d
dx
(u
v
)
= lim
h→0
 u(x+h)v(x+h) − u(x)v(x)
h

= lim
h→0
[
v(x)u(x+ h)− u(x)v(x+ h)
h v(x+ h)v(x)
]
= lim
h→0
[
v(x)u(x+h)−u(x)h − u(x) v(x+h)−v(x)h
v(x+ h)v(x)
]
=
v(x)u′(x)− u(x)v′(x)
v(x)2
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Regra da potenciac¸a˜o para inteiros negativos
Regra 7: Regra da potenciac¸a˜o para inteiros negativos
Se n e´ um inteiro negativo e x 6= 0, enta˜o
d
dx
xn = nxn−1.
Exemplo: A derivada de y = 4x3 e´
y′ =
d
dx
4x−3 = −12x−4 = −12
x4
.
Prova:
d
dx
xn =
d
dx
x−m =
xm ddx1− 1 ddxxm
x2m
= −−mx
m−1
x2m
= −mx−m−1 = nxn−1
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Determine a derivada de y = (x2 + 1)(x3 + 3).
2 Derive y = (x−1)(x
2−2x)
x4 desenvolvendo primeiro a expressa˜o.
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Regras de Derivac¸a˜o para polinoˆmios, exponenciais, produtos e quocientes Derivadas de Ordem Superior
Derivadas de Ordem Superior
A func¸a˜o f ′′(x) = (f ′(x))′ e´ chamada segunda derivada de f(x) porque e´
derivada da primeira derivada
f ′′(x) =
d2f(x)
dx2
=
d
dx
(
dy
dx
)
=
dy′
dx
= y′′ = D2(f)(x) = D2xf(x)
que existe se f ′ for uma func¸a˜o deriva´vel.
Derivada terceira de y em relac¸a˜o a x:
y′′′ =
dy′′
dx
=
d3y
dx3
= D3xy
Ene´sima terceira de y em relac¸a˜o a x para qualquer n inteiro:
yn =
d
dx
yn−1 =
dny
dxn
= Dnxy.
Para a func¸a˜o y = x3 − 3x2 + 2 temos
y′ = 3x2 − 6x, y′′ = 6x− 6, y′′′ = 6, y(4) = 0.
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A derivada como uma taxa de variac¸a˜o Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a x em x0 e´ a derivada
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
desde que o limite exista.
As taxas de variac¸a˜o instantaˆneas sa˜o limites de taxas me´dias.
Exemplo: A a´rea A de um c´ırculo esta´ relacionada com seu diaˆmetro pela
equac¸a˜o A = pi4D
2. A taxa que a a´rea muda em relac¸a˜o a D, quando o
diaˆmetro vale 10 m e´:
dA
dD
∣∣
D=10
=
pi
4
2D
∣∣
D=10
=
piD
2
∣∣
D=10
= 5pim2/m
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A derivada como uma taxa de variac¸a˜o Movimento ao Longo de uma Reta
Movimento ao Longo de uma Reta
Um objeto deslocando-se ao longo de um eixo coordenado, tem posic¸a˜o como
func¸a˜o do tempo s = f(t).
O deslocamento do objeto no intervalo t a t+ ∆t e´
∆s = f(t+ ∆t)− f(t)
A velocidade me´dia nesse intervalo e´
vm =
∆s
∆t
=
f(t+ ∆t)− f(t)
∆t
O mo´dulo da velocidade e´ o valor absoluto da velocidade:
|v(t)| = ∣∣ds
dt
∣∣
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 69 / 113
A derivada como uma taxa de variac¸a˜o Movimento ao Longo de uma Reta
A velocidade instantaˆnea e´ a derivada da posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo:
v(t) =
ds
dt
= lim
∆t→0
f(t+ ∆t)− f(t)
∆t
A acelerac¸a˜o e´ a derivada da velocidade em relac¸a˜o ao tempo:
a(t) =
dv
dt
=
d2s
dt2
A sobreacelerac¸a˜o e´ a derivada da acelerac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo:
j(t) =
da
dt
=
d2v
dt2
=
d3s
dt3
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 70 / 113
A derivada como uma taxa de variac¸a˜o Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 71 / 113
A derivada como uma taxa de variac¸a˜o Exerc´ıcios
Observe a figura anterior onde a bola tem queda livre partindo do repouso em
t = 0 s.
1 Se a acelerac¸a˜o da gravidade e´ 9, 8m/s2, quantos metros a bola cai nos
primeiros 2 s?
Como s = 4, 9t2, entre t = 0 e t = 2s a bola cai
s(2) = 4, 9.22 = 19, 6m
2 Quais sa˜o sua velocidade, o mo´dulo de sua velocidade, sua acelerac¸a˜o e sua
sobreacelerac¸a˜o nesse instante?
Como
v =
ds
dt
= 2.4, 9t = 9, 8t
a =
dv
dt
= 9, 8
j =
da
dt
= 0
temos que em t = 2s, os valores sa˜o v(2) = 19, 6m/s (para baixo),
|v(2)| = 19, 6m/s, a(2) = 9, 8m/s2 e j(2) = 0.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 72 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas Derivada da Func¸a˜o Seno
Derivada da Func¸a˜o Seno
A derivada da func¸a˜o seno e´ a func¸a˜o cosseno:
d
dx
(senx) = cosx.
Exemplo: A derivada de y = x2 − senx e´ y′ = 2x− cosx.
Prova: c
f ′(x) = lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
= lim
h→0
senx cosh+ cosxsenh− senx
h
= lim
h→0
sen(x)
cosh− 1
h
+ lim
h→0
cos(x)
senh
h
= sen(x) lim
h→0
cosh− 1
h
+ cos(x) lim
h→0
senh
h
= sen(x).0 + cos(x).1
= cos(x)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 73 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas Derivada da Func¸a˜o Cosseno
Derivada da Func¸a˜o Cosseno
A derivada da func¸a˜o seno e´ o oposto da func¸a˜o seno:
d
dx
(cosx) = − senx.
Exemplo: A derivada de y = 5ex + cosx e´ y′ = 5ex − senx.
Prova:
f ′(x) = lim
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
= lim
h→0
cosx cosh− senxsenh− cosx
h
= lim
h→0
cos(x)
cosh− 1
h
− lim
h→0
sen(x)
senh
h
= cos(x) lim
h→0
cosh− 1
h
− senx lim
h→0
senh
h
= cos(x).0− sen(x).1
= − sen(x)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 74 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas Derivada da Func¸a˜o Cosseno
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Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas Derivadas de Outras Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivadas de Outras Func¸o˜es Trigonome´tricas
A derivada da func¸a˜o tangente
d
dx
tgx =
d
dx
senx
cosx
= sec2x.
A derivada da func¸a˜o cotangente
d
dx
cotgx =
d
dx
cosx
senx
= − cosec2 x.
A derivada da func¸a˜o secante
d
dx
secx =
d
dx
1
cosx
= secxtgx.
A derivada da func¸a˜o cossecante
d
dx
cosecx =
d
dx
1
senx
= − cosecxcotgx.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 76 / 113
A Regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas Regra da Cadeia
Regra da Cadeia
Se f(u) e´ deriva´vel no ponto u = g(x) e g(x) e´ deriva´vel em x, enta˜o a func¸a˜o
composta (f ◦ g)(x) = f(g(x)) e´ deriva´vel em x e
(f ◦ g)′(x) =f ′(g(x)).g′(x).
Ou seja, se y = f(u) e u(g(x), enta˜o
dy
dx
=
dy
du
du
dx
onde dydu e´ calculada em u = g(x).
Exemplo: A func¸a˜o y = 32x pode ser reescrita como y =
1
2 (3x). Isto quer
dizer que pode ser vista como uma func¸a˜o composta y = 12u, onde u = 3x.
Pela regra da cadeia, sua derivada e´
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
2
(3) =
3
2
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 77 / 113
A Regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas Regra da Cadeia
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 78 / 113
A Regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Derive as func¸o˜es:
a) y = ex senx
b) y = sen xx
c) y = senx cosx
d) y = cos x1−sen x
e) y = sen xcos x
2 Determine y′′ se y = secx.
3 Usando a regra da cadeia, derive as func¸o˜es em relac¸a˜o a x:
a) y = 9x4 + 6x2 + 1
b) y = sen(x2 + ex)
c) y = ecos x
d) y = tg(5− sen(2t))
e) y = (5x3 − x4)7
f) y = 13x−2 = (3x− 2)−1
4 Encontre o coeficiente angular da reta tangente a` curva y = sen5x em
x = pi3 .
5 Mostre que o coeficiente angular de qualquer reta tangente a` curva
y = 1(1−2x)3 e´ positivo.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 79 / 113
A Regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas Equac¸o˜es Parame´tricas
Equac¸o˜es Parame´tricas
Se x e y sa˜o dados como func¸o˜es x = f(t) e y = g(t) ao longo de um intervalo de
valores de t, enta˜o o conjunto de pontos (x, y) = (f(t), g(t)) definido por essas
equac¸o˜es e´ uma curva parametrizada.
x = f(t) e y = g(t) sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas para a curva.
t e´ um paraˆmetro para a curva.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 80 / 113
A Regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas Equac¸o˜es Parame´tricas
O intervalo do paraˆmetro e´ o dom´ınio da curva, se for fechado, os pontos
inicial e final sa˜o (f(a), g(a)) e (f(b), g(b)) respectivamente.
Exemplo: as equac¸o˜es x =
√
t, y = t para t ≥ 0 descrevem a metade de uma
para´bola, pois
y = t = (
√
t)2 = x2
para t ≥ 0.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 81 / 113
A Regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Trace as curvas que descrevem o deslocamento em uma circunfereˆncia no
sentido anti-hora´rio, x = a cos t, y = a sen t para 0 ≤ t ≤ 2pi.
2 Encontre uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta com extremidade
(−2, 1) e (3, 5).
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 82 / 113
A Regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas Fo´rmula Parame´trica para as Derivadas Primeira e Segunda
Fo´rmula Parame´trica para as Derivadas Primeira e Segunda
Se as treˆs derivadas existem e dxdt 6= 0, enta˜o
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
Analogamente se dxdt 6= 0,
d2y
dx2
=
dy′/dt
dx/dt
Exemplo: Se x = t− t2 e y = t− t3, temos
y′ =
dy/dt
dx/dt
=
1− 3t2
1− 2t
y′′ =
dy′/dt
dx/dt
=
2− 6t+ 6t2
(1− 2t)3 .
pois
dy′
dt
=
d
dt
(
1− 3t2
1− 2t
)
=
2− 6t+ 6t2
(1− 2t)2
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 83 / 113
Derivac¸a˜o impl´ıcita Passos Para a Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Passos Para a Derivac¸a˜o Impl´ıcita
1 Derive os dois lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x, considerando y como uma
func¸a˜o deriva´vel de x.
2 Reuna os termos que conte´m dydx em um lado da equac¸a˜o.
3 Encontre dydx .
Exemplo: Consideremos a equac¸a˜o y2 = x.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 84 / 113
Derivac¸a˜o impl´ıcita Passos Para a Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Soluc¸o˜es Expl´ıcitas: Se y2 = x, temos que y = ±√x. Assim, para y1 =
√
x
temos
dy1
dx
=
1
2
√
x
.
e para y2 = −
√
x,
dy2
dx
= − 1
2
√
x
.
Derivac¸a˜o Impl´ıcita: Derivando de ambos os lados da equac¸a˜o
2y
dy
dx
=
dx
dx
que resulta
dy
dx
=
1
2y
= ± 1
2
√
x
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 85 / 113
Derivac¸a˜o impl´ıcita Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Descrever o movimento de uma part´ıcula cuja posic¸a˜o P (x, y) no tempo e´
dada por x = a cos t e y = b sen t para 0 ≤ t ≤ 2pi. Em seguida, encontrar a
reta tangente a` curva no ponto ( a√
2
, b√
2
) quando t = pi4 . Considere a > 0 e
b > 0.
2 Calcular o coeficiente angular do c´ırculo x2 + y2 = 25 no ponto (3,−4).
3 Determinar dydx se y
2 = x2 + sen(xy).
4 Encontrar a segunda derivada d
2y
dx2 se 2x
3 − 3y2 = 8.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 86 / 113
Derivac¸a˜o impl´ıcita Exerc´ıcios
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Derivac¸a˜o impl´ıcita Regra da Potenciac¸a˜o para Poteˆncias Racionais
Regra 8: Potenciac¸a˜o para Poteˆncias Racionais
Se pq e´ um nu´mero racional, enta˜o x
p
q e´ deriva´vel em qualquer ponto interior do
dom´ınio de x
p
q−1 e
d
dx
x
p
q =
p
q
x
p
q−1
Exemplo: A derivada de y = x
1
2 e´ y′ = 12x
− 12 = 1
2
√
x
.
Prova: Derivamos implicitamente y = x
p
q , reescrito como yq = xp e com
y 6= 0
qyq−1y′ = pxp−1
y′ =
pxp−1
qyq−1
=
p
q
xp−1
(x
p
q )q−1
=
p
q
x(p−1)(p−
p
q ) =
p
q
x
p
q−1
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 88 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Regra da Derivada para Func¸o˜es Inversas
Regra 9: Regra da Derivada para Func¸o˜es Inversas
Se f apresenta um intervalo I como dom´ınio e f ′(x) existe e nunca e´ nulo em I,
enta˜o f−1 e´ deriva´vel em qualquer ponto de seu dom´ınio.
O valor de (f−1)′ no ponto b do dom´ınio de f−1 e´ a rec´ıproca do valor de f ′
no ponto a = f−1(b):
(f−1)′(b) =
1
f ′(f−1(b))
ou
df−1
dx
∣∣
x=b
=
1
df
dx
∣∣
x=f−1(b)
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 89 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Regra da Derivada para Func¸o˜es Inversas
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Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Regra da Derivada para Func¸o˜es Inversas
Exemplo: se f = x3 − 2, o valor de (f−1)′ em x = 6 = f(2) e´
df−1
dx
∣∣
x=f(2)
=
1
df
dx
∣∣
x=2
=
1
3x2
∣∣
x=2
=
1
12
.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 91 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Derivada da Func¸a˜o Logaritmo Natural
Regra 8: Derivada da Func¸a˜o Logaritmo Natural
A derivada da func¸a˜o logaritmo natural de x e´ o inverso de x,
d
dx
(lnx) =
1
x
Exemplo: se k e´ uma constante, a derivada de y = ln(kx) e´
y′ =
1
kx
k =
1
x
Prova: a func¸a˜o exponencial e´ a inversa do logaritmo e e´ deriva´vel em
qualquer parte,
(f−1)′(x) =
1
f ′(f−1(x))
=
1
ef−1
=
1
eln x
=
1
x
.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 92 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Exerc´ıcios
Exerc´ıcios:
1 Calcular as seguintes derivadas
a) ddxx
− 43
b) ddx (1− x2)
1
4
c) ddx (cosx)
− 15
d) ddx (ln 2x)
2 Mostrar que f(x) = x2, x ≥ 0 e sua inversa f−1(x) = √x apresentam as
derivadas f ′(x) = 2x e (f−1)′(x) = 1
2
√
x
.
3 Calcular as derivadas dos logaritmo natural y = ln(x2 + 3).
4 Uma reta com coeficiente angular m e que passa pela origem, e´ tangente a`
curva de y = lnx. Qual o valor de m?
Prof. Dr. Josinaldo Menezes(EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 93 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Outras Regras de Derivadas
Outras Regras de Derivadas
Se a > 0 e u e´ uma func¸a˜o deriva´vel de x, enta˜o au e´ uma func¸a˜o deriva´vel
de x e
d
dx
au =
d
dx
eln(a
u) =
d
dx
eu ln a
= (ln a) eu ln a
du
dx
= au ln a
du
dx
.
Se a > 0 e a 6= 1,
d
dx
loga u =
d
dx
lnu
ln a
=
1
u ln a
du
dx
.
Exemplo: A derivada de y = loga asen x e´
y′ =
1
asen x ln a
d
dx
(asen x)
=
1
asen x ln a
asen x ln a
d
dx
(senx) = cosx
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 94 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Derivada Logarit´ımica
Derivada Logarit´ımica
Seja a func¸a˜o
y =
(x2 + 1)(x+ 3)
1
2
x− 1 ,
com x > 1.
Calculando os logaritmos de ambos os lados:
ln y = ln
(x2 + 1)(x+ 3)
1
2
x− 1 = ln[(x
2 + 1)(x+ 3)
1
2 ]− ln(x− 1)
= ln(x2 + 1) + ln(x+ 3)
1
2 − ln(x− 1)
= ln(x2 + 1) +
1
2
ln(x+ 3)− ln(x− 1).
Derivando dos dois lados,
1
y
dy
dx
=
1
x2 + 1
2x+
1
2
1
x+ 3
− 1
x− 1
dy
dx
= y
(
2x
x2 + 1
+
1
2x+ 6
− 1
x− 1
)
.
dy
dx
=
(x2 + 1)(x+ 3)
1
2
x− 1
(
2x
x2 + 1
+
1
2x+ 6
− 1
x− 1
)
.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 95 / 113
Derivadas de Func¸o˜es Inversas e Logaritmos Exerc´ıcios
Exerc´ıcios: forma geral da regra da potenciac¸a˜o
Se u e´ uma forma positiva deriva´vel de x e n e´ qualquer nu´mero real, enta˜o un e´
uma func¸a˜o deriva´vel de x e
d
dx
un = nun−1
du
dx
.
Dessa forma, derive as func¸o˜es
1 f(x) = x
√
2
2 f(x) = [2 + 3 sen(3x)]pi
3 f(x) = xx, com x > 0.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 96 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Func¸o˜es Inversas da tangente, cotangente, secante e cossecante
Func¸o˜es Inversas da tangente, cotangente, secante e
cossecante
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 97 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Func¸o˜es Inversas da tangente, cotangente, secante e cossecante
Exemplo: Se α = sen−1
(
2
3
)
, temos que cosα, tgα, secα, cosecα e cotgα
sa˜o encontrados considerando o triaˆngulo retaˆngulo:
Assim,
cosα =
catetoadjecente
hipotenusa
=
√
5
3
tgα =
senα
cosα
=
2
3√
5
3
=
2√
5
secα =
1
cosα
=
1
√
5
3
=
3√
5
cosecα =
1
senα
=
1
2
3
=
3
2
cotgα =
1
tgα
=
1
2√
5
=
√
5
2
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 98 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada do arco seno
Derivada do arco seno
A derivada do arco seno e´
d
dx
(
sen−1 u
)
=
1√
1− u2
du
dx
, |u| < 1.
Exemplo: a derivada de y = sen−1 x2 e´
y′ =
1√
1− (x2)2
d
dx
(x2) =
2x√
1− x4 .
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 99 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada do arco seno
Prova: considerando y = senx e y−1 = sen−1(x)
(sen−1 x)′ =
1
cos(sen−1(x))
=
1√
1 sen2(sen−1)(x)
=
1√
1− x2
onde usamos cosx =
√
1− sen2 x.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 100 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada do arco tangente
Derivada do arco tangente
A derivada do arco tangente e´
d
dx
(
tg−1 u
)
=
1√
1 + u2
du
dx
.
Exemplo: a derivada de y = tg−1
√
x e´
y′ =
1√
1 + (
√
x)2
d
dx
(
√
x) =
1
1 + x
1
2
√
x
.
Prova: considerando y = tg x e y−1 = tg−1(x)
(tg−1 x)′ =
1
sec2(tg−1(x))
=
1
1 + tg2(tg−1(x))
=
1
1 + x2
.
onde usamos sec2 x = 1 + tg2 x
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 101 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada do arco secante
Derivada do arco secante
A derivada do arco secante e´
d
dx
(
sec−1 u
)
=
1
|u|√u2 − 1
du
dx
.
Exemplo: a derivada de y = sec−1(5x4) e´
y′ =
1
|5x4|√(5x4)2 − 120x3 = 4x√25x8 − 1
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 102 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada do arco secante
Prova: considerando y = sec−1 x, temos que sec y = x. Derivando de ambos
os lados,
sec y tg y
dy
dx
= 1
dy
dx
=
1
sec y tg y
para sec y tg y 6= 0, pois |x| > 1 e (0, pi2 )U(pi2 , pi). Tomando sec y = x e
tg y = ±
√
sec2 y − 1 = ±
√
x2 − 1
temos
dy
dx
= ± 1
x
√
x2 − 1 =
1
|x|√x2 − 1 .
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 103 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada do arco secante
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 104 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada das outras func¸o˜es trigonome´tricas inversas
Derivada das outras func¸o˜es trigonome´tricas inversas
Identidades da func¸a˜o inversa - cofunc¸a˜o inversa
cos−1 x =
pi
2
− sen−1 x
sen−1 x =
pi
2
− tg−1 x
cosec−1 x =
pi
2
− sec−1 x
Exemplo: A derivada de y = cotg−1 x e´
d
dx
cotg−1 x =
d
dx
(pi
2
− tg−1x
)
=
d
dx
(−tg−1x) = − 1
1 + x2
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 105 / 113
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas Derivada das outras func¸o˜es trigonome´tricas inversas
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 106 / 113
Linearizac¸a˜o e Diferenciais Aproximac¸a˜o linear padra˜o
Aproximac¸a˜o linear padra˜o
Se f e´ deriva´vel em x = a, enta˜o a func¸a˜o aproximac¸a˜o
L(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)
e´ a linearizac¸a˜o de f em a.
A aproximac¸a˜o f(x) ≈ L(x) e´ a aproximac¸a˜o linear padra˜o de f em a.
O ponto x = a e´ o centro da aproximac¸a˜o.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 107 / 113
Linearizac¸a˜o e Diferenciais Aproximac¸a˜o linear padra˜o
Exemplo: A linearizac¸a˜o de f(x) = cosx quando x = pi2 e´ encontrada
tomando-se f ′(x) = − senx:
L(x) = f
(pi
2
)
+ f ′
(pi
2
)(
x− pi
2
)
= −x+ pi
2
.
Assim, cosx ≈ −x+ pi2 .
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 108 / 113
Linearizac¸a˜o e Diferenciais Diferenciais
Diferenciais
Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel. A diferencial dx e´ uma varia´vel
independente e a diferencial dy e´
dy = f ′(x)dx.
Exemplo: se y = x5 + 37x, temos que dy = (5x4 + 37)dx, cujo valor quando
x = 1 e dx = 0, 2 e´ dy = 8, 4.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 109 / 113
Linearizac¸a˜o e Diferenciais Diferenciais
Se y = f(x) e´ deriva´vel quando x = a e x varia de a para a+ x, enta˜o a
variac¸a˜o ∆y de f e´ dada por uma equac¸a˜o na forma
∆y = f ′(a)∆x+ �∆x
na qual �→ 0 a` medida que ∆x→ 0.
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 110 / 113
Linearizac¸a˜o e Diferenciais Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Determine a linearizac¸a˜o de f(x) =
√
1 + x quando x = 0 e x = 3. Compare
os valores das func¸o˜es originais e suas aproximac¸o˜es.
2 Determine os diferenciais d(tg 2x) e d( xx+1 ).
3 A que taxa o n´ıvel do l´ıquido diminui dentro de um tanque cil´ındrico vertical
se bombearmos o l´ıquido para fora a uma taxa de 3000l/min ?
4 O raio de uma circunfereˆncia aumenta de a = 10m para 10, 1m. Utilizar dA
para estimaro aumento da a´rea A da circunfereˆncia. Estime a a´rea do c´ırculo
aumentado e compare essa estimativa com a a´rea real.
5 Para calcular a profundidade de um poc¸o a partir da equac¸a˜o s = 4, 9t2
determinando quanto tempo leva para uma pedra derrubada na entrada do
poc¸o encontrar a a´gua no fundo do poc¸o. Qual sera´ a sensibilidade dos
ca´lculos a um erro de 0, 1s na medic¸a˜o do tempo?
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 111 / 113
Linearizac¸a˜o e Diferenciais Exerc´ıcios
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 112 / 113
Linearizac¸a˜o e Diferenciais Exerc´ıcios
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Derivadas 15 de abril de 2013 113 / 113
	Limites
	Limites Laterais
	Alguns Limites
	Limites e Indeterminações
	Não são indeterminações
	Exemplos de Limites
	Teorema do Confronto
	Primeiro Limite Fundamental
	Segundo Limite Fundamental
	Exemplos de Limites
	Continuidade
	Ilustrando a continuidade de uma função
	Continuidade de pontos interiores e extremos
	Exercícios
	Teste de Continuidade
	Funções Contínuas
	Propriedades das Funções Contínuas
	Exercícios
	Teorema do Valor Intermediário para Funções Contínuas
	Derivadas
	Retas Tangentes
	Coeficiente Angular e Reta Tangente
	Derivada em um ponto
	Exercícios
	A Derivada como uma função
	Forma Alternativa para a Derivada
	Notações
	Funções Deriváveis
	Exercícios
	Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?
	Diferenciabilidade implica continuidade
	Propriedade do valor intermediário para derivadas
	Regras de Derivação para polinômios, exponenciais, produtos e quocientes
	Derivada de uma função constante
	Derivada de uma potência para inteiros positivos
	Regra da multiplicação por uma constante
	Regra da derivada da soma
	Exercícios
	Derivada da Função Exponencial Natural
	Regra da derivada do produto
	Regra da derivada do quociente
	Regra da potenciação para inteiros negativos
	Exercícios
	Derivadas de Ordem Superior
	A derivada como uma taxa de variação
	Taxa de Variação Instantânea
	Movimento ao Longo de uma Reta
	Exercícios
	Derivadas de Funções Trigonométricas
	Derivada da Função Seno
	Derivada da Função Cosseno
	Derivadas de Outras Funções Trigonométricas
	A Regra da cadeia e as equações paramétricas
	Regra da Cadeia
	Exercícios
	Equações Paramétricas
	Exercícios
	Fórmula Paramétrica para as Derivadas Primeira e Segunda
	Derivação implícita
	Passos Para a Derivação Implícita
	Exercícios
	Regra da Potenciação para Potências Racionais
	Derivadas de Funções Inversas e Logaritmos
	Regra da Derivada para Funções Inversas
	Derivada da Função Logaritmo Natural
	Exercícios
	Outras Regras de Derivadas
	Derivada Logaritímica
	Exercícios
	Funções Trigonométricas Inversas
	Funções Inversas da tangente, cotangente, secante e cossecante
	Derivada do arco seno
	Derivada do arco tangente
	Derivada do arco secante
	Derivada das outras funções trigonométricas inversas
	Linearização e Diferenciais
	Aproximação linear padrão
	Diferenciais
	Exercícios