gabarito lista 7 casa b22015

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MAE0116 – Noções de Estatística 
 GRUPO B - 2º. semestre de 2015 
Lista de exercícios 7- Estimação I – C A S A GABARITO 
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Exercício 1 
Sabe-se que a concentração da substância A no sangue de indivíduos do gênero masculino de certa população tem 
distribuição normal. Uma amostra de sangue de 10 homens escolhidos ao acaso dessa população forneceu os se-
guintes valores (em g/ml): 4,2, 3,3, 3,2, 3,0, 3,1, 2,5, 4,2, 2,1, 2,8, 5,6. 
(a) Encontre uma estimativa pontual da concentração média populacional μ da substância A. 
Resposta: 
A estimativa pontual da concentração média populacional  da substância A é dada por �̂ = �̅, sendo 
 
�̅ =
4,2 + 	3,3 + 	3,2 + 	3,0 + 	3,1 + 	2,5 + 	4,2 + 	2,1 + 	2,8 + 	5,6
10
= 3,4
�
��
. 
(b) Sabendo que o desvio padrão populacional da concentração é igual a 1 g/ml, determine o intervalo de confian-
ça para μ com um coeficiente de confiança de 98%. 
Resposta: 
Temos �̂ = 3,4; 	� = 1
�
��
; 	� = 10. Como � = 0,98 então � = 2,32. 
Assim; 
��̂ − �
�
√�
; �̂ + �
�
√�
� 
Logo, 
�3,4 − 2,32
1
√10
; 3,4 + 2,32
1
√10
� = [2,67; 4,13]. 
(c) Qual é o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido ao se estimar a média populacional da con-
centração da substância A não seja superior a 0,1 g/ml, com probabilidade 0,98? 
Resposta: 
Como � = 0,98;	então temos que � = 2,32.	Temos que � = 0,1 e � = 1. 
Então 
� = �
2,32
0,1
�
�
× (1)� = 538,24. 
Logo o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido ao se estimar a média populacional da concentra-
ção da substancia A não seja superior a 0,1 g/ml, com probabilidade 0,98 é n=539 homens. 
(d) Suponha que no item (b) não fosse conhecido o desvio padrão. Como você procederia para determinar o inter-
valo de confiança? Justifique. Construa o intervalo de confiança para μ com o mesmo coeficiente de confiança 
adotado no item (b). 
Quando o valor do � não é conhecido, utilizamos a distribuição t-Student, já que é dito no enunciado que a distribui-
ção populacional da concentração da substância A é normal. 
 
Para encontrarmos o valor de �� vamos a encontrar a variância. 
 
��� =
(4,2 − 3,4)� +	(3,3 − 3,4)� +	(3,2 − 3,4)� +	… +	(5,6 − 3,4)�
9
= 1,03111���� 
Logo, temos que ��= �1,03111����= 1,015. 
 
Estimando o valor de � a partir da amostra obtemos ��= 1,015. Como � = 0,98	então temos que �� = 2,821. Usando 
�̂ = 3,4,	 vem 
��̂ − ����
�
√�
; �̂ + ����
�
√�
� 
Logo, 
�3,4 − 2,821
1,015
√10
; 3,4 + 2,821
1,015
√10
� = [2,49; 4,30]. 
 
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Lista de exercícios 7- Estimação I – C A S A GABARITO 
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Exercício 2 
Um pesquisador de um centro de reabilitação deseja estimar o número médio de dias de fisioterapia necessário 
para a completa reabilitação de homens na faixa etária de 18 a 30 anos após serem submetidos a uma cirurgia nos 
joelhos. Uma amostra de 30 homens dessa faixa etária e submetidos à cirurgia no último ano foi selecionada e os 
valores dos números de dias de fisioterapia até a completa recuperação foram: 
30 31 27 24 23 23 
35 29 28 30 26 28 
39 35 25 33 29 28 
28 29 34 32 32 24 
31 33 27 23 22 37 
 
Supondo que o número de dias necessários de fisioterapia até a completa recuperação tenha distribuição normal, 
calcule, com base nessa amostra, um intervalo de confiança para o número médio de dias de fisioterapia até a 
completa recuperação para homens da faixa etária de 18 a 30 anos submetidos a cirurgia nos joelhos, com 
coeficiente de confiança igual a 90%. 
Resposta: 
Como o valor de � não é conhecido, utilizamos a distribuição t-Student, pois a distribuição do número de dias ne-
cessários de fisioterapia até a completa recuperação é normal. 
Temos �̅ = 29,17. Estimando o valor de	� obtemos o valor ��= 4,41.	Como � = 0,90 então ��� = 1,699. 
Assim 
��̅ − ����
�
√�
; �̅ + ����
�
√�
� 
Logo, 
�29,17 − 1,699
4,41
√30
; 29,17 + 1,699
4,41
√30
� = [27,80; 30,53]. 
 
Exercício 3 
O intervalo [35,21; 35,99] é o intervalo de 95% de confiança, construído a partir de uma amostra de tamanho 100, 
para a média populacional μ das idades dos funcionários de uma grande empresa. 
(a) Supondo que as idades dos funcionários dessa empresa seguem uma distribuição normal com desvio padrão σ 
conhecido, encontre σ e o erro amostral associado ao intervalo de confiança [35,21; 35,99] . 
Como � = 0,95, então � = 1,96. Temos � = 100 e 
 
�̂ =
35,21 + 35,99
2
= 35,6. 
Assim; 
��̂ − �
�
√�
; �̂ + �
�
√�
�. 
 
Para encontrar o valor de � usando o limite inferior do intervalo fazemos 
35,6 − 1,96
�
√100
= 35,21 
Logo; 
� = 1,99 anos. 
O erro amostral associado ao intervalo de confiança [35,21; 35,99] é � = 1,96
�,��
√���
= 0,39. 
 
 
 
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(b) Que tamanho deve ter a amostra para que o erro amostral calculado em (a) seja reduzido à metade? 
 
� = �
1,96
0,195
�
�
× (1,99)� = 400 
Logo o tamanho da amostra deve ser de n=400 funcionários. 
 
(c) Compare o tamanho da amostra obtido no item (b) com o tamanho da amostra dado no item (a). Que resultado 
você pode estabelecer? 
Tamanho de amostra dado no item (a) n=100. 
Tamanho de amostra dado no item (b) n=400. 
Foi necessário aumentar o tamanho de amostra 4 vezes para reduzir o erro à metade. 
 
Exercício 4 
Sabe-se que a altura de indivíduos adultos do sexo feminino que praticam certa modalidade esportiva tem 
distribuição normal. 
(a) Selecionada uma amostra de 100 mulheres dessa comunidade, observou-se uma média de 1,75 m e um desvio 
padrão de 0,75 m. Determine um intervalo de confiança para a altura média populacional com um coeficiente 
de confiança igual a 97%. 
 
Resposta: 
Temos �̅ = 1,75�;		��= 0,75�; � = 100. Como � = 0,97 então ��� = 2,202 (calculado pelo R). Assim 
��̅ − ����
�
√�
; �̅ + ����
�
√�
� 
 
Logo, 
�1,75 − 2,202
0,75
√100
; 1,75 + 2,202
0,75
√100
� = [1,58; 1,91]. 
 
 
(b) Qual é o erro associado ao intervalo construído no item anterior? 
 
O erro associado ao intervalo construído no item anterior é � = 2,202 ∗
�,��
√���
= 0,1651. 
 
(c) Supondo que o desvio padrão populacional σ das alturas dessas mulheres seja igual a 0,80 m, que tamanho 
deve ter uma amostra para que o intervalo 1,75 ± 0,30 tenha 96% de confiança? 
 
Como � = 0,96 então � = 2,05 
Temos que � = 0,30 e �� = (0,80)�. 
Então 
� = �
�,��
�,��
�
�
× (0,80)� = 29,30 ≈ 30 mulheres.