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MAE116 - Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2012
Lista de exerc´ıcios 11 - Teste Qui-quadrado (gabarito)
Exerc´ıcio 1.
(2,5 pontos) O nu´mero de dias, em uma semana, em que ocorreram acidentes de trabalho
numa grande indu´stria foi anotado para uma amostra de 200 semanas. O resultado foi o
seguinte:
Nu´mero de dias, em uma semana, em que ocorreram acidentes
0 1 2 3 4 5
Frequeˆncia 64 56 40 24 8 8
Pode-se afirmar que o nu´mero de dias, em uma semana, em que ocorreram acidentes segue
uma distribuic¸a˜o binomial com n = 5 e p = 0, 20? Especifique as hipo´teses estat´ısticas H e A
apropriadas e conclua com base no n´ıvel descritivo, considerando n´ıvel de significaˆncia de 10%.
Resposta:
Para podermos saber se e´ poss´ıvel fazer tal afirmac¸a˜o e´ necessa´rio realizar um teste de hipo´teses.
As hipo´teses neste caso sa˜o
H: O nu´mero de dias, em uma semana, em que ocorreram acidentes possui distribuic¸a˜o binomial
com paraˆmetros n = 5 e p = 0, 20;
A: O nu´mero de dias, em uma semana, em que ocorreram acidentes na˜o possui distribuic¸a˜o
binomial com paraˆmetros n = 5 e p = 0, 20.
Se denotarmos por X uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o b(5; 0, 20), utilizando o fato
de que P (X = k) =
(
5
k
)
0, 20k0, 805−k, ou o programa R, podemos obter que a distribuic¸a˜o de
probabilidades de X sera´
k 0 1 2 3 4 5
P(X = k) 0,32768 0,40960 0,20480 0,05120 0,00640 0,00032
Assim, como foi utilizada uma amostra de 200 semanas, sob a hipo´tese H, podemos utilizar
as probabilidades acima para calcular o nu´mero esperado de dias, em uma semana, em que
ocorreram acidentes. Isso e´ feito multiplicando cada uma das respectivas probabilidades por
200. Assim, teremos as seguintes frequeˆncias esperadas (e observadas) na tabela abaixo.
Frequeˆncias observadas e esperadas do nu´mero de acidentes em uma semana
0 1 2 3 4 5
Oi 64,000 56,000 40,000 24,000 8,000 8,000
Ei 65,536 81,920 40,960 10,240 1,280 0,064
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Desse modo, podemos calcular a estat´ıstica do teste fazendo
χ2
obs
=
(64− 65, 536)2
65, 536
+ . . .+
(8− 0, 064)2
0, 064
= 0, 036 + . . .+ 984, 064
= 1046, 094
Neste caso temos que k = 6 e, portanto, usando a distribuic¸a˜o de qui-quadrado com
q = k − 1 = 6− 1 = 5 graus de liberdade, temos que o n´ıvel descritivo sera´
P = P (χ2
5
> χ2
obs
) = P (χ2
5
> 1046, 094) ≈ 0.
Portanto, como P ≈ 0 < α = 0, 10, temos que ha´ evideˆncias para rejeitarmos H, ou seja,
conclu´ımos ao n´ıvel de significaˆncia de 10% que o nu´mero de dias, em uma semana, em que
ocorreram acidentes na˜o possui distribuic¸a˜o binomial com n = 5 e p = 0, 20. �
Exerc´ıcio 2.
(2,5 pontos) Em um estudo que esta´ sendo realizado por uma pesquisadora da Escola de
Educac¸a˜o F´ısica, deseja-se avaliar caracter´ısticas das lutas de judoˆ em diferentes categorias.
Um dos dados coletados refere-se ao nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas por jogadores em
uma luta. Um dos objetivos do estudo e´ comparar caracter´ısticas de lutas de competidores do
sexo feminino e masculino. Assim, considerando-se a classe seˆnior na categoria de peso me´dio
do sexo masculino, sabe-se que: 5% dos competidores usam treˆs diferentes te´cnicas em uma
luta; 15% usam quatro diferentes te´cnicas; 25% empregam cinco te´cnicas; 30% utilizam seis
te´cnicas; 20% empregam sete te´cnicas e, finalmente, 5% utilizam oito te´cnicas em uma mesma
luta. Para comparar com competidores do sexo feminino, um total de 104 competidoras (da
classe seˆnior) em diferentes lutas de um campeonato estadual foram observadas e os seguintes
resultados foram obtidos:
Nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas em cada luta
3 4 5 6 7 8
Frequeˆncia (competidores) 7 19 26 29 21 2
(a) (0,5 ponto) O que representam os valores dessa tabela?
Resposta:
Representam o nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas em cada luta (variando de 3 ate´ 8)
e a frequeˆncia observada, para cada nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas, de lutadoras,
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dentre 104 competidoras observadas. �
(b) (2,0 pontos) Utilizando um procedimento estat´ıstico adequado, pode-se afirmar que o
nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas por competidores do sexo feminino em lutas de
judoˆ segue a mesma distribuic¸a˜o de competidores do sexo masculino? Adote o n´ıvel signi-
ficaˆncia igual a 5%.
Resposta:
Para avaliar se o nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas por competidores do sexo fe-
minino em lutas de judoˆ segue a mesma distribuic¸a˜o de competidores do sexo masculino
realizaremos um teste com as hipo´teses
H: O nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas por competidores do sexo feminino em lutas
de judoˆ segue a mesma distribuic¸a˜o de competidores do sexo masculino
A: O nu´mero de diferentes te´cnicas utilizadas difere entre competidores do sexo masculino
e feminino.
Se denotarmos por pi a probabilidade de serem utilizadas i te´cnicas diferentes durante a luta,
teremos que, sob a hipo´tese H, o valor esperado do nu´mero de te´cnicas utilizadas, dentre
as 104 competidoras sera´ 104×pi. Tais valores (Ei), acrescidos dos valores observados (Oi)
podem ser encontrados na tabela abaixo.
i pi Ei Oi
3 0,05 5,2 7
4 0,15 15,6 19
5 0,25 26,0 26
6 0,30 31,2 29
7 0,20 20,8 21
8 0,05 5,2 2
Com base na tabela acima, podemos calcular a estat´ıstica do teste
χ2
obs
=
(7− 5, 2)2
5, 2
+ . . .+
(2− 5, 2)2
5, 2
= 0, 623 + . . .+ 1, 969
= 3, 49.
Neste caso, temos que k = 6. Logo, usando a distribuic¸a˜o qui-quadrado com
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q = k − 1 = 6− 1 = 5 graus de liberdade, o n´ıvel descritivo sera´
P = P (χ2
5
> χ2
obs
) = P (χ2
5
> 3, 49) = 0, 625.
Portanto, como P = 0, 625 > 0, 05 = α, na˜o ha´ evideˆncias para rejeitarmos a hipo´tese H,
ou seja, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, conclu´ımos que o nu´mero de diferentes te´cnicas
utilizadas na˜o difere entre competidores do sexo masculino e feminino. �
Exerc´ıcio 3.
(2,5 pontos) Uma Associac¸a˜o de Imprensa fez um levantamento com 1200 leitores, para verifi-
car se a prefereˆncia de leitura por um jornal e o n´ıvel de instruc¸a˜o do indiv´ıduo esta˜o associados.
Os resultados obtidos foram:
Escolaridade
Jornal
Dia-a-dia Hoje em not´ıcias Outros
Ate´ ensino me´dio 375 340 185
Universita´rio 155 110 35
(a) (0,5 ponto) Considerando leitores que teˆm n´ıvel de escolaridade ate´ n´ıvel me´dio, qual e´
a proporc¸a˜o estimada daqueles que preferem o Dia-a-Dia? E considerando os leitores que
teˆm n´ıvel universita´rio?
Resposta:
A tabela acima pode ser reescrita com seus totais absolutos, resultando em
Escolaridade
Jornal
Total
Dia-a-dia Hoje em not´ıcias Outros
Ate´ ensino me´dio 375 340 185 900
Universita´rio 155 110 35 300
Total 530 450 220 1200
Assim, com base na tabela acima, fica mais fa´cil calcular as probabilidades requeridas.
A proporc¸a˜o estimada de leitores que preferem o Dia-a-Dia, considerando apenas os que
teˆm escolaridade ate´ n´ıvel me´dio, corresponde a
375
900
≈ 0, 42.
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A proporc¸a˜o estimada de leitores que preferem o Dia-a-Dia, considerando apenas os que
teˆm n´ıvel universita´rio, corresponde a
155300
≈ 0, 52.
�
(b) (0,5 ponto) Especifique as hipo´teses H e A de um teste de hipo´tese estat´ıstico adequado
ao objetivo da Associac¸a˜o.
Resposta:
H: A prefereˆncia por determinado tipo de jornal na˜o depende da escolaridade do leitor.
A: Existe relac¸a˜o entre a escolaridade dos leitores e sua prefereˆncia de jornal. �
(c) (0,5 ponto) Se o n´ıvel de escolaridade na˜o interfere na prefereˆncia dos leitores, qual e´ o
nu´mero esperado daqueles que sa˜o universita´rios e que leˆem o Dia-a-dia?
Resposta:
Utilizando a tabela apresentada no item (b) temos que o nu´mero esperado daqueles que
sa˜o universita´rios e que leˆem o Dia-a-dia corresponde a
300× 530
1200
= 132, 5.
�
(d) (1,0 ponto) Atrave´s do n´ıvel descritivo, conclua sobre suas hipo´teses utilizando um n´ıvel
de significaˆncia de 1%.
Resposta:
De forma ana´loga ao item anterior, calculamos os demais valores esperados e obtemos o
valor da estat´ıstica do teste
χ2
obs
=
(375− 397, 5)2
397, 5
+ . . .+
(35− 55)
55
= 1, 27 + . . .+ 7, 27
= 14, 87.
Usando a distribuic¸a˜o qui-quadrado com (2− 1)× (3− 1) = 1× 2 = 2 graus de liberdade,
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temos que o n´ıvel descritivo do teste sera´
P = P (χ2
2
> χ2
obs
) = P (χ2
2
> 14, 87) ≈ 0, 001.
Logo, como P ≈ 0, 001 < 0, 01 = α, rejeitamos a hipo´tese H, ou seja, ao n´ıvel de signi-
ficaˆncia de 1%, conclu´ımos que o n´ıvel de escolaridade interfere na prefereˆncia dos leitores.
�
Exerc´ıcio 4.
(2,5 pontos) O Ministro da Aerona´utica deseja saber se os atrasos e cancelamentos de voˆos
nacionais dependem da companhia ae´rea. Dos voˆos dome´sticos previstos durante certa semana,
levantou-se uma amostra aleato´ria de 1500, observando duas varia´veis: a companhia ae´rea (Vo-
eBem; DecolaJa; outras) e a condic¸a˜o de realizac¸a˜o (atrasado; cancelado; dentro-do-previsto).
Do seu levantamento observou-se que:
• 300 atrasaram e 180 foram cancelados;
• 550 eram da VoeBem, sendo que destes 385 realizaram dentro do previsto e 65 cancelaram;
• dos 500 voˆos da DecolaJa levantados, 95 atrasaram e 70 cancelaram.
(a) (0,5 ponto) Escreva as informac¸o˜es do levantamento em uma tabela de contingeˆncia;
Resposta:
�
Companhia Condic¸a˜o de realizac¸a˜o
Total
Ae´rea Atrasado Cancelado Dentro-do-previsto
VoeBem 100 65 385 550
DecolaJa 95 70 335 500
Outras 105 45 300 450
Total 300 180 1020 1500
(b) (0,5 ponto) Qual e´ a estimativa da proporc¸a˜o de voˆos atrasados na semana? Considerando
a Cia. VoeBem, qual e´ a estimativa de voˆos atrasados? E para a DecolaJa?
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Resposta:
A estimativa da proporc¸a˜o de voˆos atrasados na semana e´
300
1500
= 0, 20.
Considerando a Cia. VoeBem, a estimativa de voˆos atrasados sera´
100
550
≈ 0, 18.
Considerando a Cia. DecolaJa, a estimativa de voˆos atrasados sera´
95
500
= 0, 19.
�
(c) (0,5 ponto) Se a condic¸a˜o de realizac¸a˜o do voˆo na˜o tem relac¸a˜o com a companhia ae´rea,
quantos voˆos seriam esperados da VoeBem com atraso, e quantos da DecolaJa? Quantos
foram observados em cada caso?
Resposta:
Com base na tabela apresentada no item (a), temos que o nu´mero esperado de voˆos com
atraso da VoeBem seria
300× 550
1500
= 110,
enquanto que o nu´mero observado foi de 100 voˆos. Ja´ o nu´mero esperado de voˆos com
atraso da DecolaJa seria
300× 500
1500
= 100,
enquanto que o nu´mero esperado foi de 95 voˆos. �
(d) Realize um teste de hipo´teses estat´ıstico, que atenda a` indagac¸a˜o do Ministro, fornecendo:
(d1) (0,5 ponto) as hipo´teses estat´ısticas H e A adequadas e o nu´mero de graus de liber-
dade associado a` estat´ıstica do teste.
Resposta:
As hipo´teses estat´ısticas adequadas sa˜o
H: A condic¸a˜o de realizac¸a˜o de voˆo na˜o depende da companhia ae´rea;
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A: Existe dependeˆncia entre a companhia e a condic¸a˜o de realizac¸a˜o de voˆo.
Aqui o nu´mero de graus de liberdade sera´ q = (r− 1)× (s− 1) = (3− 1)× (3− 1) =
2× 2 = 4. �
(d2) (0,5 ponto) a conclusa˜o sobre as hipo´teses, com base no n´ıvel descritivo, utilizando
n´ıvel de significaˆncia α = 10%. Comente o resultado.
Resposta:
Com base na tabela apresentada no item (a) podemos, assim como no item anterior,
obter os valores esperados em cada uma das ce´lulas da tabela, para enta˜o calcular a
estat´ıstica do tese
χ2
obs
=
(100− 110)2
110
+ . . .+
(300− 306)2
306
= 0, 909 + . . .+ 0, 118
= 7, 356.
Assim, usando a distribuic¸a˜o qui-quadrado com 4 graus de liberdade, temos que o
n´ıvel descritivo sera´
P = P (χ2
2
> χ2
obs
) = P (χ2
2
> 7, 356) ≈ 0, 12.
Portanto, como P ≈ 0, 12 > 0, 10 = α, na˜o rejeitamos a hipo´tese H, ou seja, con-
clu´ımos, ao n´ıvel de significaˆncia de 10%, que a condic¸a˜o de realizac¸a˜o de voˆo na˜o
depende da companhia ae´rea. �
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