lista LANÇAMENTO NÃO VERTICAL

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Prof. LEONARDO MOTTA 
Colégio Naval (CN) 
 LANÇAMENTO NÃO VERTICAL 
 
 
 Lançamento horizontal 
 
 1. (UNIFICADO 97) Na superfície horizontal do patamar superior de uma escada, uma esfera de massa 10 g 
rola de um ponto A, para um ponto B, projetando-se no ar a partir deste ponto para os degraus inferiores. 
Cada degrau tem 20 cm de altura e 30 cm de largura. 
 
Considerando-se desprezível a resistência do ar e g = 10 m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter 
ao passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau logo abaixo, é, em m/s, igual a: 
(A) 0,6 (B) 0,8 (C) 1,0 (D) 1,2 (E) 1,5 
 
2. (UFRJ 03) Duas mesas de 0,80 m de altura estão apoiadas sobre um piso horizontal, como mostra a figura 
abaixo. Duas pequenas esferas iniciam o seu movimento simultaneamente do topo da mesa: 1) a primeira, da 
mesa esquerda, é lançada com velocidade 
0V
 na direção horizontal, apontando para a outra esfera, com 
módulo igual a 4 m/s; 2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre. Sabendo que elas se chocam no 
momento em que tocam o chão, determine: 
a) O tempo de queda das esferas; 
b) A distância x horizontal entre os pontos iniciais do movimento. 
 
3. (ITA 87) Um avião Xavante está a 8 km de altura e voa horizontalmente a 700 km/h, patrulhando as costas 
brasileiras. Em dado instante, ele observa um submarino inimigo parado na superfície. Desprezando as forças 
de resistência do ar e adotando g = 10 m/s2, pode-se afirmar que o tempo de que o submarino dispõem 
para deslocar-se após o avião ter soltado a bomba é de: 
(A) 108 s (B) 20 s (C) 30 s (D) 40 s 
(E) Não é possível determiná-lo se não for conhecida a distância inicial entre o avião e o submarino 
 
4. (UNICAMP 89) De um policial militar (PM), a uma altura de 1,8 m, lançou-se horizontalmente uma bomba 
de gás lacrimogêneo que atingiu os pés de um professor universitário (PU) a 20 m de distância, como mostra 
a figura a seguir. 
 
a) Quanto tempo levou a bomba para atingir o professor? 
b) Com que velocidade v0 (em km/h) foi lançada a bomba? 
 2 
5. (UERJ 09 - mod) Um avião, em trajetória retilínea paralela à superfície horizontal do solo, sobrevoa uma 
região com velocidade constante igual a 360 km/h. Três pequenas caixas são largadas, com velocidade inicial 
nula, de um compartimento na base do avião, uma a uma, a intervalos regulares iguais a 1 segundo. 
Desprezando-se os efeitos do ar no movimento de queda das caixas, determine: 
a) As distâncias entre os respectivos pontos de impacto das caixas no solo; 
b) As trajetórias de três caixas largadas consecutivamente 
 
6. (FUVEST 01) Um motociclista de MotoCross move-se com velocidade v = 10 m/s, sobre uma superfície 
plana, até atingir uma rampa (em A), inclinada de 450 com a horizontal, como indicado na figura. 
 
A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância horizontal D (D = H) do 
ponto A, aproximadamente igual a 
(A) 20 m (B) 15 m (C) 10 m (D) 7,5 m (E) 5 m 
 
7. Uma pedra cai de um balão que se desloca na horizontal. A pedra permanece no ar durante 3 s e atinge o 
solo segundo um ângulo de 30º com a vertical. 
a) Qual é a velocidade horizontal do balão? 
b) De que altura caiu a pedra? 
c) Que distância a pedra percorre na horizontal? 
d) Com que velocidade a pedra atinge o solo? 
 
8. (UFCE) Uma bola de 1 cm de diâmetro rola do alto de uma escada com 99 degraus, a uma velocidade de 
2 m/s, conforme a figura. Os degraus da escada têm 18 cm de altura e 18 cm de largura. Desprezando a 
resistência do ar e considerando g = 10 m/s2, determine o primeiro degrau atingido pela bola. 
 
 
 Lançamento Oblíquo 
 
9. (FUVEST 90) Num dia ensolarado, com sol a pique, um jogador chuta uma bola, que descreve no ar uma 
parábola (desprezando a resistência do ar). O gráfico que melhor representa o valor da velocidade v da 
sombra da bola projetada no solo, em função do tempo T, é: 
 
 
 3 
10. (UNICAMP 05) O famoso salto duplo twist carpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia 
de treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a 
trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em metros), assim como o tempo de duração 
do salto. De acordo com o gráfico a seguir, determine: 
 
a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane. 
b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo - se que a distância percorrida nessa direção é de 1,3 m. 
c) A velocidade vertical de saída do solo. 
 
11. (UNICAMP) Um menino, andando de “skate” com velocidade v = 2,5 m/s num plano horizontal, lança 
para cima uma bolinha de gude com velocidade v0 = 4, 0 m/s (em relação ao skate) e a apanha de volta. 
Considere g = 10 m/s2. 
a) Esboce a trajetória descrita pela bolinha em relação à Terra. 
b) Qual é a altura máxima que a bolinha atinge? 
c) Que distância horizontal a bolinha percorre? 
 
12. (ITA 95) Um avião voa numa altitude e velocidade de módulos constantes, numa trajetória circular de 
raio R, cujo centro coincide com o pico de uma montanha onde está instalado um canhão. A velocidade 
tangencial do avião é de 200 m/s e a componente horizontal da bala é de 800 m/s. Desprezando-se efeitos de 
atrito e movimento da Terra e admitindo que o canhão está direcionado de forma a compensar o efeito da 
atração gravitacional, para o avião, no instante do disparo o canhão deverá estar apontando para um 
ponto à frente do mesmo situado a: 
(A) 4,0 rad. (B) 4,0 π rad. (C) 0,25 R rad. (D) 0,25 π rad. (E) 0,25 rad. 
 
13. (FUVEST 09) O salto que conferiu a medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, 
está representado no esquema ao lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação, 
está indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta (CM). Utilizando a escala 
estabelecida pelo comprimento do salto, de 7,04 m, é possível estimar que o centro de massa da atleta atingiu 
uma altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma distância de 3,0 m, na 
horizontal, a partir do início do salto, como indicado na figura. Considerando essas informações, estime: 
 
 4 
 
a) O intervalo de tempo t1, em s, entre o instante do início do salto e o instante em que o centro de massa da 
atleta atingiu sua altura máxima. 
b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta durante o salto. 
c) O intervalo de tempo t2, em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final 
do salto. 
Desconsidere os efeitos da resistência do ar. 
 
14. (FUVEST) Um gato de 1 kg dá um pulo, atingindo uma altura de 1,25 m e caindo a uma distância de 1,5 
m do local do pulo. 
a) Calcule a componente vertical de sua velocidade inicial; 
b) Calcule a velocidade horizontal do gato. 
 
15. (ITA 04) Durante as Olimpíadas de 1968, na cidade do México, Bob Beamow bateu o recorde de salto 
em distância, cobrindo 8,9 m de extensão. Suponha que, durante o salto, o centro de gravidade do atleta teve 
sua altura variando de 1,0 m do início, chegando ao máximo de 2,0 m e terminando a 0,20 m no fim do salto. 
Desprezando o atrito com o ar, pode-se afirmar que o componente horizontal da velocidade inicial do 
salto foi de: 
(A) 8,5 m/s (B) 7,5 m/s (C) 6,5 m/s (D) 5,2 m/s (E) 4,5 m/s 
 
16. (UNICAMP 02) Até os experimentos de GalileuGalilei, pensava-se que quando um projétil era 
arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade 
constante. Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou 
que a noção de impetus era equivocada. Considerando que um canhão dispara projéteis com uma velocidade 
inicial de 100 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um 
projétil: um deles, Simplício utilizou a noção de ímpetus, o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois 
artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil. 
Considere 
3 1,8
 e Despreze o atrito com o ar. 
a) Qual o alcance do projétil? 
b) Qual a altura máxima alcançada pelo projétil segundo os cálculos de Salviati? 
c) Qual a altura máxima calculada por Simplício? 
 
17. (CESGRANRIO 80) Esta questão apresenta duas afirmações, podendo a segunda ser uma razão para a 
primeira. No seu cartão de resposta marque: 
(A) Se as duas forem VERDADEIRAS e a segunda for uma justificativa da primeira; 
(B) Se as duas forem VERDADEIRAS e a segunda não for uma justificativa da primeira; 
(C) Se a primeira afirmação for VERDADEIRA e a segunda for FALSA; 
(D) Se a primeira afirmação for FALSA e a segunda for VERDADEIRA; 
(E) Se a primeira e a segunda afirmações forem FALSAS. 
 
Duas pedras são arremessadas da janela de um edifício, uma pedra para baixo (pedra 1), a outra para cima 
(pedra 2), mas com velocidades iniciais (
e1 2v v
) de mesmo módulo. (Desprezando-se a resistência do ar). 
 
 5 
 
1ª AFIRMAÇÃO: O módulo da velocidade com que a pedra 1 atinge o solo é maior do que o módulo da 
velocidade com que a pedra 2 atinge o solo. 
 
 PORQUE 
 
2ª AFIRMAÇÃO: O tempo que a pedra 1 leva para atingir o solo é menor que o tempo que a pedra 2 leva 
para atingir o solo. 
 
 
18. Um rifle de longo alcance é apontado a um ângulo de 45º com a horizontal e o tiro é capaz de passar 
pela montanha de tal modo que o pico da montanha quase coincida com o vértice da parábola. Determine vo, 
h e R. 
 
 
19. (IME 82) Um motociclista e sua motocicleta sobem a rampa de inclinação α da figura. Determine em 
função de g, α, H e D, o menor valor da velocidade que o motociclista deve ter em A para chegar em B. 
Nota: Considere o conjunto motocicleta-motociclista como uma partícula e despreze a resistência do ar. 
 
 
20. Um canhão lança um projétil por cima de uma montanha de altura h, de forma a passar quase 
tangenciando o cume C no ponto mais alto de sua trajetória. A distância horizontal entre o canhão e o cume é 
R. Atrás da montanha há uma depressão de profundidade d (fig..). Determine a distância horizontal entre o 
ponto de lançamento O e o ponto P onde o projétil atinge o solo, em função de R, d e h. 
 
 
21. Quando lançado de um ângulo α com a horizontal, um projétil cai a uma distância a antes do alvo, 
enquanto, quando lançada em um ângulo β, ele cai uma distância b depois do alvo. Qual o ângulo θ com 
que ele deve ser lançado para que atinja o alvo? 
 
 6 
22. (AFA 80) Um objeto é atirado com uma velocidade inicial de 40 m/s numa região onde g = 10 m/s2. Se o 
alcance obtido é igual a 80 m, um possível ângulo de lançamento é: 
(A) 30º (B) 45º (C) 60º (D) 75º 
Despreze a resistência do ar 
 
23. Demonstre o resultado de Galileu, mostrando que, para uma dada velocidade inicial v0, um projétil pode 
atingir o mesmo alcance A para dois ângulos de elevação diferentes simétricos em relação à 45º, ou seja, 
para θ = 45º + δ e θ = 45º - δ, contanto que A não ultrapasse o alcance máximo 2
0
m
v
A
g

. Calcule δ em 
função de v0 e A. 
 
24. Um projétil é lançado obliquamente, formando um ângulo α em relação à horizontal, passando por uma 
altura máxima H e atingindo um alcance A. Mudando-se o ângulo de tiro para kα (
k ∈ R
), sem mudar o 
módulo da velocidade inicial de lançamento, o projétil atinge o mesmo alcance A. Determine a altura 
máxima atingida no segundo disparo em função de H e k. 
 
25. Um projétil é lançado com ângulo de tiro igual a θ, atingindo uma altura máxima H em relação ao nível de 
lançamento e um alcance A. Determine o valor de θ em função de H e A. 
 
26. (UERJ 09) Em uma região plana, um projétil é lançado do solo para cima, com velocidade de 400m/s, 
em uma direção que faz 60°com a horizontal. Calcule a razão entre a distância do ponto de lançamento 
até o ponto no qual o projétil atinge novamente o solo e a altura máxima por ele alcançada. 
 
27. (UERJ 07) À margem de um lago, uma pedra é lançada com velocidade inicial V0. No esquema abaixo, 
A representa o alcance da pedra, H a altura máxima que ela atinge, e θseu ângulo de lançamento sobre a 
superfície do lago. 
 
Sabendo que A e H são, em metros, respectivamente iguais a 10 e 0,1, determine, em graus, o ângulo θ 
de lançamento da pedra. 
 
28. Um jogador de basquete quer encestar a bola levantando-a de uma altura de 2 m do chão, com 
velocidade inicial de 7 m/s. A distância da bola à vertical que passa pelo centro do cesto é de 3 m, e o aro 
está a 3,03 m do chão. Em que ângulo em relação à horizontal deve ser lançada a bola? 
 
29. Um jogador de futebol, a 20, 5 m do gol adversário, levanta a bola com um chute a uma velocidade inicial 
de 15 m/s, passando-a ao centro-avante do time, que está alinhado com ele e o gol, a 5,5 m do gol. O centro 
avante que tem 1,8 m de altura, acerta uma cabeçada na bola, imprimindo-lhe um incremento de velocidade 
na direção horizontal, e marca o gol. Sabendo que a altura da trave é de 2,4 m. 
a) De que ângulo a bola havia sido levantada? 
b) Qual foi o incremento de velocidade impresso à bola pela cabeçada? 
Considere cuidadosamente todas as soluções possíveis 
 
 
 
 7 
30. Um homem está de pé sobre um pequeno carro que se desloca a uma velocidade constante de 9,4 m/s, 
e deseja lançar uma bola através de um aro situado a 5 m acima de suas mãos, de tal forma que a bola cruze 
o aro em movimento horizontal. A bola é lançada com uma velocidade inicial de 12,5 m/s em relativamente ao 
homem. Determine: 
a) Qual deve ser o valor da componente vertical da velocidade da bola? 
b) Qual o intervalo de tempo a partir do lançamento a bola cruzará o aro? 
c) A distância horizontal do aro à bola no instante do lançamento? 
 
 
 
31. Dois canhões apontam diretamente um contra o outro, conforme a figura a seguir. Quando atiram, suas 
munições seguem as trajetórias mostradas – o ponto P é o encontro onde as trajetórias se cruzam. Sendo 
desejado um impacto entre as munições, quem deve atirar primeiro, o atirador do canhão A, o atirador 
do canhão B ou ambos devem disparar simultaneamente? 
 
 
 
32. (IME 94) Um míssil viajando paralelamente à superfície da Terra com velocidade de 180 m/s, passa 
sobre um canhão à altura de 4800 m no exato momento em que seu combustível acaba. Neste instante, o 
canhão dispara a 45º e atinge o míssil. O canhão está no topo de uma colina de 300 m de altura. Sabendo-se 
que a aceleração local da gravidade g = 10 m/s², determine a altura da posição de encontro do míssil com 
a bala do canhão, em relação ao solo. Despreza a resistência do ar. 
 
33. (ITA 89) Do alto de uma torre de 20 m de altura, um artilheiro mira um balão que se encontra parado 
sobre um ponto situado a 400 m do pé da torre. O ângulo de visada do artilheiro em relação à horizontal é de 
15°. No instante exato em que o artilheiro dispara um projétil (P) os ocupantes do balão deixam cair um objeto 
 8 
(o) que é atingido pelo disparo. A velocidade do projétil ao deixar o cano da arma é v0 = 200m/s. Despreze a 
resistência do ar. 
a) Faça um esquema indicando a configuração do problema. 
b) Deduza as equações horárias: Xp(t) e Yp(t) para o projétil e Y0(t) para o objeto (literalmente). 
c) Calcule o instante do encontro do projétil - objeto (numericamente). 
d) Calcule a altura do encontro (numericamente). 
 
34. Uma bola é arremessada com velocidade inicial v0 em movimento oblíquo no ar. Em certo instante, a 
velocidade da bola possui um ângulo α com a horizontal, em movimento ascendente. Após um intervalo de 
tempo T, o ângulo passa ser β, em movimento descendente. A razão entre a distância percorrida pela 
bola na horizontal durante esse intervalo de tempo T, e o alcance máximo (considerando mesmo 
nível horizontal) que um projétil poderia ter lançado com essa mesma velocidade inicial v0, vale: 
35. A velocidade de um projétil, na sua altura máxima, é 
6
7
da sua velocidade quando está voando na 
metade daquela altura. Determine o ângulo de lançamento è0, em relação à horizontal. Despreze a 
resistência do ar. 
 
36. Um objeto lançado sob um ângulo α com a horizontal é observado numa luneta situada no lugar do 
lançamento. Para que ângulos de movimento do corpo haverão momentos, em que a sua velocidade 
será perpendicular ao eixo da luneta? 
 
37. Um projétil é disparado do ponto A com uma velocidade inicial Vo. 
 
a) Mostre que o raio de curvatura atinge o seu valor mínimo para o ponto B mais alto da trajetória; 
b) Denominando por θ o ângulo formado pela tangente à trajetória e a horizontal num dado ponto C, mostre 
que o raio de curvatura da trajetória em C é:
min
3cos

 

 
 
 Parábola de segurança 
 
38. (UFC 07 - mod) Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado conforme esquematizado na 
figura abaixo. O plano tem um ângulo de inclinação θ em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com 
velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação α em relação ao plano inclinado. 
Despreze qualquer efeito da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é constante 
(módulo igual a g, direção vertical, sentido para baixo). 
 9 
 
 
a) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas no ponto de lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da partícula, 
assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento. 
b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de coordenadas definido no item (a). 
c) Demonstre que a distância ao longo do plano inclinado, entre o ponto de lançamento (ponto A) e o ponto 
no qual a partícula toca o plano inclinado (ponto B) é igual a: 
 
d) Demonstre também que a maior distância possível (dmáx) é obtida para 
4 2
 
  
. 
 
39. Generalize o resultado de Galileu (problema anterior), mostrando que um projétil lançado do chão com 
velocidade inicial v0 pode atingir um ponto situado á distância x e altura y para dois ângulos de elevação 
diferentes, contanto que o ponto (x,y) esteja abaixo da “parábola de segurança” 
 
2
m
m
1 x
y A
2 A
 
  
 
 
 Am: alcance máximo 
40. As provas do detonador de uma granada efetuam-se no centro do fundo de um poço cilíndrico de 
profundidade H. Os estilhaços da granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não 
sobrepassam v0, não devem cair na superfície da terra. Qual deverá der o diâmetro mínimo D do poço? 
 
41. É necessário lançar da terra uma bola por cima de uma parede vertical de altura H, que se encontra a 
uma distância S, conforme a figura a seguir. 
a) Para qual menor valor de velocidade inicial isso é possível? 
b) Com que ângulo α em relação à horizontal deverá, nesse caso, ser dirigida a velocidade? 
 
 
 
42. Com que velocidade mínima deve ser lançado um corpo de cima de uma torre de altura h, para que ele 
caia a uma distância S do pé da torre? 
 
43. Considere um projétil lançado de uma altura h em relação ao solo com velocidade inicial Vo, sob um 
ângulo de tiro θ0, conforme a figura, o alcance (R) é dado por: 
 
 10 
 
 
Mostre que o alcance (R) é dado por: 2
0
02 2
0 0
v2gh
R 1 1 sen2
2gv sen
 
    
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
GABARITO 
 
1. E 
2. a) 0,4 s; b) 1,6 m 
3. D 
4. a) 0,6 s; b) 120 km/h 
5. a) 100 m; b) 3 arcos de parábolas paralelas 
6. A 
7. a) 17 m/s; b) 45 m; c) 51 m; d) 34 m 
8. 5º 
9. E 
10. a) 1,55 m; b) 1,2 m/s; c) 5,5 m/s 
11. a) arco de parábola; b) 0,8 m; c) 2 m 
12. E 
13. a) 0,5 s; b) 6 m/s; c) 0,67 s 
14. a) 5 m/s; b) 1,5 m/s 
15. A 
16. a) 900 m; b) 125 m; c) 540 m 
17. D 
18. 2 222
2
2H uu u
arc tg 1
gL gL gL
 
  
      
  
 
 
19. a) 400 m/s; b) 460 m; c) 16.600 m 
20. 
g
D sec
2(H Dtg )

 
 
21. 
d
R 1 1
h
  
    
   
 
22. 
 
 
23. D 
24. 
2
0
gA1
arc cos
2 v
  
   
  
  
 
25. 
2
final
2
k
sen
1 k 2
H H
1
sen
1 k 2
   
  
  

   
  
  
 
26. 
A
arccotg
4H
 
   
 
 
27. 
4 3
3
 
28. 2,3º 
29. 67,8º 
30.a) 28,5º; b) 3,85 m/s 
31.a) 77,7º; b) 73 km/h; c) 4 s 
32. a) 10 m/s; b) 1 s; c) 16,9 m 
 12 
33. Simultaneamente 
34. 1675 m 
35. b) c) 
4 2 3 s
 d) 
 20 33 16 3 m
 
 
 
2
P P
2
O
X (t )100 2 3 Y(t ) 20 100 2 3 t 5 t
Y 20 400 2 3 5t
      
    
  
 
 
36. 
2cos θ(tgα + tgβ)
 
 
37. 30º 
38. 
1
0 arc cos
3
 
    
 
 
39. Demonstrações 
40. a) 2gt
x(t ) vcos( )t e y(t ) vsen( )t
2
        
 b) 
2
2 2
gx
y(x ) x tg( )
2v cos( )
    
  
 
41. Demonstração 
42. 
20
min 0
2v
D v 2gH
g
 
 
43. a) 
22g S H H   
 
 b) 
H
arc tg
S
2 4
 
 
 

 
 
44. 
22g S h h   
 
 
45. Demonstração