determinante

Prévia do material em texto

Prof. Ms. Aldo Vieira Determinante 
_____________________________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________________________ 
www.aldovieira.com.br av@aldovieira.com.br 
1 
Prof. Ms. Aldo Vieira 
Aluno: 
 
Determinante 
 
 
 Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A, um valor numérico a ela associado. Tal valor é 
representado por det(A) ou através de barras simples | |. Por exemplo, para a matriz 
A =






4 1
3 2 
temos, 
det(A) = 5 ou 
4 1
3 2 5= . 
 
 
 
 A forma de encontrar o determinante de uma matriz depende da ordem da mesma. Vejamos como calcular 
tal valor para as matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. 
 
 
(I) Matriz de ordem 1. 
 
Se A = [ aij ] , então det(A) = aij , ou seja, o determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da 
matriz. Por exemplo, A = [2] tem determinante det(A) = 2. 
 
 
 
(II) Matriz de ordem 2. 
 
 
Seja A
a a
a a
=






11 12
21 22
 uma matriz de ordem 2. Logo, det(A) = a a a a11 22 21 12. .− , isto é, seu determinante é 
a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Como exemplo, vamos considerar a matriz A =






5 2
4 3 . Seu determinante é igual a det(A) = 5.3 – 4.2 = 7. 
 
 
(III) Matriz de ordem 3. 
 
 
Neste caso, vamos utilizar uma regra chamada “regra de Sarrus”. Para um melhor entendimento desta regra 
vamos calcular o determinante da matriz A = −
−










1 2 1
1 4 3
2 1 2
. 
 
 
 
Prof. Ms. Aldo Vieira Determinante 
_____________________________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________________________ 
www.aldovieira.com.br av@aldovieira.com.br 
2 
 1o passo : 
 
 Repetimos as duas primeiras colunas da matriz 
1 2 1 1 2
1 4 3 1 4
2 1 2 2 1
− −
−
 
 
 1a coluna 
 2a coluna 
 
 2o passo : 
 
 Multiplicamos os elementos como indicados a seguir : 
 
 
 
1 2 1 1 2
1 4 3 1 4
2 1 2 2 1
− −
−
 
 
 
 P4 P5 P6 P1 P2 P3 
 3o passo : 
 
 Calculamos o determinante da matriz através da expressão det(A) = P1 + P2 + P3 – P4 – P5 – P6 , onde 
P1, P2, P3, P4, P5 e P6 são os produtos encontrados no 2o passo. Desta forma, para esta matriz temos 
det(A) = 1.4.(-2) + 2.3.2 + 1.(-1).1 – 2.4.1 – 1.3.1 – (-2).(-1).2 
det(A) = – 8 + 12 – 1 – 8 – 3 – 4 
det(A) = – 12 
 
Exercícios 
1) Calcule os determinantes a seguir : 
 
a) 
3 6
2 5 Resp. 3 
 
b) 
4 6
2 3 Resp. 0 
 
c) 
3 2 5
7 8 6
0 2 3
−
 Resp. -76 
 
d) 
1 2 5
3 2 1
4 7 3
− Resp. 122 
 
Prof. Ms. Aldo Vieira Determinante 
_____________________________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________________________ 
www.aldovieira.com.br av@aldovieira.com.br 
3 
2) Determine x nas equações a seguir : 
 
a) 
x x
x
2
2 4
0
1= Resp. 2 
b) 
x x
x2
1 3
1 2
3 2 3
0 1 0
= Resp. 
3
2
 
c) 
2 3
1 2 1
0 5 4
1 1 0
2 5
4 1 5
x
x− =
−
 Resp. 6 
 
3) Calcule o determinante da matriz A aij x= ( ) 3 3 onde a
se i j
se i jij =
=
≠



1
2 . Resp. 5 
 
 
 
 Vejamos algumas propriedades dos determinantes : 
 
 Propriedades gerais dos determinantes : 
 
1) Um determinante é nulo quando : 
(i) Tem duas linhas ou duas colunas iguais. 
(ii) Tem duas linhas ou duas colunas proporcionais (múltiplas). 
(iii) Tem uma linha ou uma coluna formada apenas por zeros. 
 
Exemplos destes casos : caso (i) caso (ii) caso (iii) 
 
1 2 3
8 5 9
1 2 3
0
1 3 0
2 6 5
3 9 7
0
1 0 5
4 0 7
9 0 6
0= − − =
−
=, , 
 linhas iguais a 2a coluna é toda nula 
 colunas proporcionais (neste caso, a 2a é 3 vezes a 1a) 
 
2) Quando multiplicamos uma linha ou uma coluna de uma matriz por um número, seu determinante fica 
multiplicado por este número. 
1 2 1
2 1 0
3 6 1
−
= –12�multiplicando a 1a linha por dois, o valor do determinante será o dobro�
2 4 2
2 1 0
3 6 1
−
= –24 
 
3) Ao permutarmos duas linhas ou duas colunas, o determinante troca de sinal. 
1 2 1
2 1 0
3 6 1
12
−
= − �trocando as duas primeiras colunas, temos�
2 1 1
1 2 0
6 3 1
12
−
= . 
 
Prof. Ms. Aldo Vieira Determinante 
_____________________________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________________________ 
www.aldovieira.com.br av@aldovieira.com.br 
4 
4) O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais. 
1 2 1
2 1 0
3 6 1
12
−
= − �achando a transposta�
1 2 3
2 1 6
1 0 1
12
−
= − . 
 
5) Quando os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto 
dos elementos da diagonal. 
3 2 1
0 2 5
0 0 1
6
−
= �desta forma, o determinante da matriz identidade é sempre igual a 1. 
 
 
 
A condição necessária e suficiente para que uma matriz A tenha inversa é que seu determinante seja 
diferente de zero. Portanto, 
 
∃ A A− ⇔ ≠1 0det( ) 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Determine a matriz inversa da matriz : 
a) A = 





2 2
3 4 b) E =
−
−






4 2
6 4 c) C =






2 4
3 6 d) D =






5 2
2 1 e) B = − −






5 1
10 2 
 
 
2) Calcule x ≠ 0 ,tal que A
x
x
x
=
−










4 0
0 2 3
1 0
seja uma matriz singular. Resp. : x = 6 
 
 
3) Encontre K tal que A
K
= − −










1 5 3
2 4 3
0 6
 seja invertível. Resp. : K ≠ 9