Apostila Integrais

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�Matemática I / Integrais
INTEGRAIS
1. FUNÇÃO PRIMITIVA
 Dada uma função f(x), chama-se função primitiva f(x) a função F(x) que derivada dê f(x), isto é, 
F’(x) = f(x)
Ex.: f(x) = 2x ( F(x) = x2
2. INTEGRAL INDEFINIDA
2.1. CONCEITO
 Chama-se integral indefinida de uma função f(x), a toda expressão do tipo F(x) + c, onde F(x) é uma primitiva de f(x). Indica-se por 
Ex.: 
Obs.: A integração é a operação inversa da diferenciação
 Ex.: 
2.2. PROPRIEDADES
(i) 
(ii) 
3. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
3.1. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
 Dada 
 , não imediata, o método da substituição consiste em fazer uma mudança de variável 
x = g(t) e dx = g’(t) dt, de maneira que a nova integral 
 seja mais fácil de calcular que a original
Ex.:
3.2. INTEGRAÇÃO ENVOLVENDO TRINÔMIO QUADRADO
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
Ex.: 
 = 
Ex.: 
 = 
 = 
 = 
3.3. INTEGRAÇÃO POR PARTES
 Sejam u e v duas funções diferenciais de x. Diferenciando o produto u . v, temos:
 ( 
 ( 
 (
( 
Ex.: I = 
 
 
 I = 
 (não convém)
 nova tentativa:
 
 
 I = –
4. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS
4.1. CÁLCULO DE ÁREAS
4.1.1. CONCEITO
 Consideremos a curva que representa a função y = f(x), positiva e contínua no intervalo 
a ( x ( b. Indicamos por 
, a área limitada por essa curva, e o eixo do x entre os pontos de abscissa a e b
Obs.: (i) 
 (ii) se a ( c ( b ( 
4.1.2. TEOREMA DO VALOR MÉDIO
 Seja y = f(x) uma função positiva e contínua no intervalo [a, b]. Então existe pelo menos um número c entre a e b tal que 
demonstração:
com efeito,
suponhamos que m e M sejam ,respectivamente, os valores mínimos e máximos da função y = f(x) no intervalo considerado
 ( 
 ( 
Obs.: o teorema do valor médio nos mostra que existe um retângulo de base b – a e altura f(c) cuja área é igual a 
4.1.3. ÁREA PELO CÁLCULO INTEGRAL
pelo TVM; 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
fazendo x = a; 
 ( 0 = F(a) + k ( k = -F(a) ( 
fazendo x = b; 
logo: 
Obs.: 
 (integral definida)
4.2. CÁCULO DE VOLUME
Consideremos uma curva de equação y = f(x), onde f(x) é uma função contínua, que delimita com o eixo dos x uma superfície plana ABCD. Fazendo-se a rotação com revolução desta superfície em torno do eixo dos x, será gerado um corpo de revolução cujo volume queremos calcular
dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos, vamos inscrever n cilindros de revolução no corpo considerado;
calculando-se o volume desses cilindros e somando-os, teremos um valor aproximado do volume procurado, ou seja:
V1 = (.f 2(x1).(x1
V2 = (.f 2(x2).(x2
__ __ __ __ __ __
Vn = (.f 2(xn).(xn
fazendo n tender ao infinito, teremos o volume exato do corpo de revolução, ou seja:
 ( 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule as integrais abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k)
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
�
2) Determine as integrais das funções abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
�
3) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa 
1 e 2.
4) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa 
-2 e -1.
5) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa 
-1 e 2.
6) Calcular a área limitada pela curva y = sen x e o eixo dos x entre os pontos de abscissa 0 e 2(.
7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 e y = x
8) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 4x – x2 e y = x
9) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela elipse 
10) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela função 
 , x ( 0 no intervalo [0, 1]
11) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = 4 – x2 e y = x2
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Calcule as integrais abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
�
2) Calcule as integrais abaixo:
�
a) 
b)
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
�
3) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 e y = x2
4) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 16 – x4 e y = x4 – 5x2 + 4
5) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 – 2x e y = x2
6) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x
7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 + 1 , y = x2 / 2 e y = 5
8) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela elipse 
9) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela função y = sen x no intervalo [0, 2(]
10) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = x2 e y = 
11) Um barril de vinho tem a forma de um elipsóide de revolução com as extremidades cortadas. Mais especificamente ,ele é formado geometricamente pela revolução da 
semi- elipse truncada da figura abaixo. Calcule o volume do barril.
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
�
3) 15 / 4 u.a.
4) 15 / 4 u.a.
5) 1 / 4 u.a.
6) 4 u.a.
7) 1 / 6 u.a.
8) 9 / 2 u.a.
9) 64( u.v.
10) 
11) 
 u.v.
�
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
�
3) 1 / 12 u.a.
4) 736 / 15 u.a.
5) 37 /12 u.a.
6) 3 / 2 u.a.
7) 10,42 u.a.
8) 
 u.v.
9) 
 u.v.
10) 
 u.v.
11) 
 u.v.
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�Apostila 15	� PAGE �6�
�Apostila 15	� PAGE �7�
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A
B
C
D
y = f(x)
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