ALA - Aula 9 - Retas

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Milene Pimenta 
 Dado os pontos A (x1, y1, z1) conhecido e 
pertencente a reta r e, B(x, y, z) um ponto 
qualquer pertencente a mesma reta r . O 
vetor v = (a,b,c) é um vetor paralelo a reta r 
e é considerado vetor diretor da reta. 
 Como o vetor v é paralelo a reta r , também é 
paralelo ao vetor AB , marcado sobre a reta r , 
temos que v // AB e se m é uma constante, 
então AB = tv e: 
 B - A = tv, ou seja, B = A + tv 
 A expressão: 
 (x, y, z) = (x1 +ta, y1 + tb, z1 + tc) é 
chamada de equação vetorial da reta r . 
Podemos escrever : 
 
 
 
que correspondem as equações paramétricas da reta 
r. 








ctzz
btyy
atxx
1
1
1
 Ao isolarmos o valor de t nas três equações, 
obtemos: 
 
 
 
 que são as equações simétricas da reta. 
 
c
zz
b
yy
a
xx
r 111:





 É possível obter uma outra representação, 
calculando-se y e z em função de x. 
 Desta forma, o par de equações obtidas; 
 
 
 
 correspondem às equações reduzidas da reta 
r. 
 
 





22
11
nxmz
nxmy
Exercícios: 
1) Determine as equações da reta que contem 
os pontos A(1,2,0) e B(2,5,3). 
 
2) Verifique se os pontos A(5,2,-6), B(-1,-4,-3) 
e C(7,4,-7) estão em linha reta. 
 
 
 Condição de paralelismo entre duas retas 
 Quando duas retas são paralelas,, podemos 
deduzir que o vetor diretor u pertencente a 
reta r e o vetor diretor v pertencente a reta s, 
também são paralelos, ou seja, os vetores são 
colineares. 
 Condição de ortogonalidade 
 Se duas retas r e s são ortogonais,, os seus 
vetores diretores também são ortogonais. 
Para mostrarmos a ortogonalidade entre 
duas retas, basta aplicarmos a condição de 
ortogonalidade entre dois vetores, ou seja, 
u. v = 0. 
Retas paralelas aos eixos coordenados 
1) r // Ox  v//i   
 
2) r// Oy  v//j   
 
 
3) r// Oz  v//k   








1
1
1
zz
yy
amxx





1
1
zz
yy








1
1
1
zz
bmyy
xx





1
1
zz
xx








cmzz
yy
xx
1
1
1





1
1
yy
xx
Retas paralelas aos planos coordenados; 
1) r//xOy  v  k  v=(a,b,0)  
 
 
2) r//xOz  v  j  v=(a,0,c)  
 
 
3) r//yOz  v  i  v=(0,b,c)  
 








1
1
1
zz
bmyy
amxx








cmzz
yy
amxx
1
1
1








cmzz
bmyy
xx
1
1
1
 POSIÇÃO RELATIVAS DE DUAS RETAS 
 
 Se duas retas estão contidas no mesmo plano 
dizemos que são coplanares. Caso contrário 
são denominadas reversas. 
 As retas coplanares podem ser paralelas 
(distintas ou coincidentes) ou concorrentes. 
 
 
 Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser: 
 
 * Concorrentes : r1  r2 = {P} 
 
 
 
Paralelas: 
 
Distintas : r1  r2 =  Coincidentes:r1r2=r1 
 
 Reversas: 
 Isto é, não situadas no mesmo plano, nesse 
caso r1  r2 =  
 
 
 
Condição de coplanaridade: As retas r e s, 
onde 
 
 
 
 A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2), u = (a1, b1, c1) e 
 v = (a2, b2, c2), são coplanares  (AB, u, v)=0 
 
 








tczz
tbyy
taxx
r
11
11
11
:








tczz
tbyy
taxx
s
22
22
22
:
 Interseção entre duas Retas: 
 Para se calcular a interseção entre as retas r e 
s, deve-se resolver o sistema de equações 
lineares formado pelas equações das duas 
retas. 
 
 
Exercícios 
1 - Escreva a equação da reta cuja direção é 
definida pelo vetor (2, 1, 2) e que passe pelo 
ponto (-2, 3, 4). 
2 – Ache o valor de a para que as retas (x – 3)/2 = 
(y + 2)/-3 = (z – 5)/4 e [x = 1 + 2 ; y = 4 + 
3 ; z = a + 4] sejam concorrentes. 
3 - Dê um vetor na forma (20, n, m) que seja 
paralelo à reta (x - 2)/4 = (y - 1)/3 = (z + 4)/(-
2). 
4 - Dê um vetor na forma (a, b, 15) que seja 
paralelo à reta x = -3 + 4, y = 2 - 3, z = 5 + 
2. 
 
5 - Dê um ponto que pertença à reta do 
exercício 03 e outro que pertença à reta do 
exercício 4. 
6 - Determine um vetor na forma (5, 2a - 1, a) 
que seja perpendicular à reta do exercício 3. 
7 - Determine um vetor na forma (2a + 2, 3a, 
1), que seja perpendicular à reta do exercício 
4.