MANUAL DO CURSO DE FORMAÇÃO DE TÉCNICOS EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS T.T.I.

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MANUAL DO CURSO DE FORMAÇÃO DE TÉCNICOS
EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS
T.T.I.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
2
ÍNDICE
Apresentação
Números e grandezas proporcionais
Razões e proporções
Regra de sociedades
Regra de três
Porcentagem
Preço de venda, lucros e prejuízos
Custos
Juros
Desconto
Capitalização
Inflação
Títulos de crédito
Amortização
Leasing
Bibliografia
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3
4
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13
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18
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29
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34
38
39
40
4
associa a duas ou mais grandezas. Assim, quando falamos em: velocidade, tempo, 
peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão 
relacionadas entre si.
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou 
menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso 
realizado. 
A relação de dependência entre duas grandezas, conforme a condição apresentada, 
pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional. 
Grandeza Diretamente Proporcional:
Definem-se como Grandezas Diretamente Proporcionais aquelas nas quais a variação 
de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção 
e sentido. 
Exemplos: 
a) 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kg de carne então ela pagará “02 
y”. 
b) Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 
borrachas, o custo total será de R$ 2,00, calculado o preço unitário de R$ 0,10. 
Grandeza Inversamente Proporcional
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica 
necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e 
direção contrários. 
Exemplo: Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total 
de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará 
apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. 
Razão e Proporção 
A razão entre dois números, dados em certa ordem, sendo o segundo número sempre 
diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo. 
Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12 
a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10 
a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18 
Observação Importante: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1º número 
é o antecedente e 2º número é o consequente. 
Então:
Cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o consequente,
Seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o consequente.
 Observação importante: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao 
consequente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. 
Ex: c/d e d/c
3
APRESENTAÇÃO
 
A Matemática contribui para estruturar o pensamento e o raciocínio, ajudando a 
resolução de situações das mais variadas atividades humanas, preparando o estudante 
para sua atuação no mercado de trabalho em diferentes carreiras. No caso do 
profissional de transações imobiliárias são-lhe indispensáveis de diferentes 
habilidades e conhecimentos específicos para que possa informar, orientar e oferecer 
segurança ao seu cliente. Dentre esses conhecimentos e habilidades, inclui-se, com 
destaque, a linguagem da Matemática Financeira.
Nesse sentido, o presente trabalho foi elaborado com ênfase na matemática financeira 
básica e fundamental necessária à realização da compra, venda e locação de imóveis, 
incluindo operações sobre mercadorias, taxas de juros, inflação e regimes de 
capitalização.
O estudo do regime de Capitalização Simples é o cenário principal desta seção. Nela é 
abordada a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples, 
cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos.
Todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização. 
A matemática foi, gradativamente, aplicada ao comércio e às finanças devido à 
necessidade de melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das 
melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de 
movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante, descontos. 
A despeito da enorme disponibilidade de ferramentas produzidas pela alta tecnologia, a 
Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois o conhecimento e a informação 
representam um grande poder para a execução de serviços, especialmente, em um 
mercado que não é estático. 
O estudo das questões de natureza econômica não é recente. Os antigos gregos já se 
preocupavam com esse assunto e fizeram importantes contribuições. No entanto, o 
nascimento da economia como corpo teórico de estudo, independentemente da política 
e da filosofia, ocorreu em 1776, quando Adam Smith publicou “Uma investigação sobre 
a natureza e as causas da riqueza das nações”. 
Desde então, muita água passou sob a ponte, como o povo diz. A tecnologia massificou 
o uso das calculadoras eletrônicas, e já quase não se recorre aos cálculos na ponta do 
lápis. Como consequência, o Sindicato dos Corretores de Imóveis do Estado do Rio 
incluiu, no programa de aperfeiçoamento profissional que vem oferecendo por todo o 
território fluminense aos associados e alunos do CAPRI, o Curso de Uso e Domínio da 
Calculadora HP 12C, com grande sucesso.
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS¹
Grandeza
É todo valor que, ao ser relacionado a outro de certa forma, quando há a variação de um, 
o outro, como consequência, varia também. Em nosso dia-a-dia, quase tudo se 
¹ SANTOS, J. A – Matemática para Concursos - 3ª parte – Juliobattisti.com.br – Acessado em 20/12/2010
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3 - Decomposição 
Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro 
ou para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o 
quarto termo.
Aplicação:
Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença 
é 48.
a = maior ; b = menor
a - b = 48
Portanto,
Se a - b = 48, então b = 84 - 48 = 36
4 - Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, 
assim como qualquer antecedente está para seu consequente.
Aplicação: 
Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4
a/b = c/d a - b = c - d ou a - b = c - d
a c b d
a/b = 7/3 a - b = 7 - 3
a 7
48/a = 4/7 a = 48 x 7 = 84
4
a/b = c/d a + c = a ou a + c = c
b b + d db + d
a + b = a, 63 = a a = 63 x 3 = 27
3 + 4 = 3 7 3 7
a + b = b, 63 = b b = 63 x 4 = 36
3 + 4 = 4 7 4 7
5
Proporção é a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.
Observação: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção 
sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são 
chamados termos consequentes e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os 
meios e os 2º e 4º termos, formam os extremos. 
Propriedades das proporções 
1 - Propriedade Fundamental 
Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos. 
2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20 
 Aplicação: 
 7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos 
Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35. 
 
2 - Composição 
Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para 
o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto 
termo.
Aplicação: 
A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o 
valor desses números. 
a = menor; b = menorConclui-se: se o menor vale a = 32, o maior então será 80 - 32 = 48.
2 = 4
5 3
a/b = c/d a + b = c + d ou a + b = c + d
a c b d
a = 2 a + b = 2 + 3
b 3 a 2
a + b = 80
Então, 80 = 5 a = 80 x 2 = 32
a 2 5
7
Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b = 36 = 63. 
5 - Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos 
consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.
6 - Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos 
consequentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de 
seu consequente.
 Aplicação:
A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é 
de 2/3. Encontrar essas medidas. 
a = largura b = comprimento
 a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10 
a = largura = 10m, b = comprimento = 15m 
7- Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma 
nova proporção. 
Aplicação:
A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é 
de 2/3. Determinar esses números.
Logo, a² = 144, a = 12. 
Observação O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento 
para calcular o valor de “a”.
a/b = c/d a - c = a ou a - b = a
b c - d cb - d =
a = c ac = a² ou ac = c²
b d bd b² ou bd d²
a = 2 então a = b, a b = a² , 150 = a²
b 3 2 3 2x3 2² 6 4
a² + b² = 4 + 9 = 13, a² = 468 x 4 = 144
4a² 134
a² + b² = 468, a = 2, a² = 2² = 4 então,
b 3 b² 3² 9
8
Divisão Proporcional²
Divisão em duas partes diretamente proporcionais: Para decompor um número M em 
duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas 
equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas A/p=B/q
A solução segue das propriedades das proporções:
O valor de K é que proporciona a solução pois:
 A = K p e B = K q
Exemplo: para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução 
segue de:
Segue que A = 40 e B = 60.
Exemplo: determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, 
sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema, basta tomar 
A-B=60 e escrever:
Segue que A = 96 e B = 36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X , X , ..., X diretamente proporcionais a p , p , 
1 2 n 1 2
..., p , deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas 
n
X +X +...+X =M e p +p +...+p =P.
1 2 n 1 2 n
² Baseado em SODRÉ, U. -
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/divprop.htm - Acessado em 20/12/2010
10
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, 
sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos 
A-B=10. Assim:
Assim: A=40 e B=30.
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X , X , ..., X inversamente proporcionais a p ,
1 2 n 1
p , ..., p , basta decompor este número M em n partes X , X , ..., X diretamente 
2 n 1 2 n
proporcionais a 1/p , 1/p , ..., 1/p .
1 2 n
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X +X +...+ X =M e 
1 2 n
além disso
cuja solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente 
proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de 
modo que A+B+C=220. Desse modo:
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, 
de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:
9
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente 
proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, tal 
que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de 
modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue as propriedades das proporções:
logo A=-30, B=-60 e C= -90³. 
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, 
deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p 
4e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q .
Assim, basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas, tal que A+B=M. 
Desse modo:
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente 
proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
³ Também existem proporções com números negativos.
4
 O inverso de um número é o quociente de 1 por este número. Exemplos: o inverso de 2 é 1/2, o inverso de 3/5 é 
5/3 e o de 1/5 é 5
11
5Logo, A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e 
inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A 
e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações 
e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
Exemplo: para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as 
proporções:
Assim: A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Exemplo: para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e 
inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para 
resolver este problema, basta escrever que A-B=21 e resolver as proporções:
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes, direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X , X , ..., X diretamente proporcionais a p , 
1 2 n 1
p , ..., p e inversamente proporcionais a q , q , ..., q , basta decompor este número M em 
2 n 1 2 n
n partes X , X , ..., X diretamente proporcionais a p /q , p /q , ..., p /q .
1 2 n 1 1 2 2 n n
5
 Observe que existem proporções com números fracionários
12
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X +X +...+X =M e 
1 2 n
além disso
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: para decompor o número 115 em três partes A, B e C, diretamente 
proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um 
sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo: determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e 
inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
Regra de Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição 
de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão 
participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos 
membros participantes são indicados por: C , C , ..., C e os respectivos tempos de 
1 2 n
participação destes capitais da sociedade por t , t , ..., t .
1 2 n
Definiremos o peso p (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:
k
p = C t
k k k,
14
proporcionais X e Y, e outras duas grandezas W e Z, também diretamenteproporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. 
X/Y=K e W/Z=K então X/Y=Y/Z
Exemplo: na extremidade de uma mola (teórica) colocada verticalmente, foi 
pendurado um corpo com a massa de 10 Kg e verificamos que ocorreu um 
deslocamento no comprimento da mola de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 Kg 
de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da 
mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados 
do problema, temos:
As grandezas envolvidas - massa e deslocamento - são diretamente proporcionais. 
Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor, X, e, pelos 
dados da tabela, podemos montar a proporção:
10/15 = 54/X
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que 
apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta 
que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim 
X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.
Regra de Três Simples Inversa 
A regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente 
proporcionais para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente 
proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D 
de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. 
A X B = K e C X D= K, donde A X B = C X D, logo A/C = D/B
Exemplo:
Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade 
média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 
200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, 
s=segundo).
Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do 
problema, temos:
13
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C + C + ... + C
1 2 n
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor 
M diretamente proporcional aos pesos p , p , ..., p .
1 2 n
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, 
sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B 
entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com 
um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode 
ser um lucro ou um prejuízo) da empresa após certo período posterior, foi de 
R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos 
zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:
p =50x40=2000; p =60x30=1800; p =30x40=1200
1 2 3
A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:
A solução segue das propriedades das proporções:
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e 
Z=5(1200)=6000. 
REGRA DE TRÊS 
Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-
las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a 
"Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa 
regra em seu Liber Abaci (o “Livro do Ábaco”), com o nome de Regra dos três números 
conhecidos.
Regra de Três Simples Direta 
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente 
proporcionais. Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente
16
As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são 
indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as 
grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem 
inversa daquela que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a 
primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D 
inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:
Observação: Problema difícil é analisar, de um ponto de vista lógico, quais 
grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é 
muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns 
exemplos para entender o funcionamento da situação.
Exemplos:
Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma 
mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 
máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados 
do problema, vamos organizar a tabela:
A grandeza Número de Peças (C) servirá de referência para as outras 
grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias 
(B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que 
representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente 
para cada par de grandezas.
Quando consideramos as grandezas Número de peças e Número de 
máquinas, devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas 
operando, produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando 
produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente 
proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas Número de Peças e Número de Dias. 
Novamente devemos usar a lógica para constatar que, se tivermos maior número de 
dias, produziremos maior número de peças; e se tivermos menor número de dias,
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo 
em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto 
valor T. Ou seja, 180/200 = T/20 
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, 
enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que 
apareceram na tabela acima.
Assim, 180x20=200.X, donde 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a 
velocidade do corredor for de 200 Km/h, ele gastará 18s para realizar o mesmo 
percurso. 
Regra de Três Composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente 
proporcionais, inversamente proporcionais, ou uma mistura dessas situações. O 
método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com 
duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação 
enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira 
situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma 
segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em 
obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o 
correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, 
resolvemos a proporção:
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, 
exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente 
proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:
15
18
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e, para 
calcular M% de um número N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
PREÇOS DE CUSTO E DE VENDA, LUCROS E PREJUÍZOS
Em economia, contabilidade, finanças e negócios, preço é o valor monetário expresso 
numericamente associado a uma mercadoria, serviço ou patrimônio. O conceito de 
preço é central para a microeconomia, onde é uma das variáveis mais importantes na 
teoria de alocação derecursos (também chamada de teoria dos preços).
6 R. W. Pfouts conceitua preço como a medida do valor de troca de um bem ou serviço, 
em termos monetários ou em termos de outro bem que tenha grande aceitação. Esse 
termo é também empregado no sentido de prêmio ou compensação, como na 
expressão “o preço do esforço”, ou num sentido mais vago, quase figurado, como em 
"as mercadorias a que se renuncia são o preço da poupança, já que o indivíduo deixa de 
despender toda a sua renda".
O preço é fundamentalmente um quociente que indica os termos da troca de bens e 
serviços. Assim, numa sociedade primitiva, duas facas podem ser trocadas por um 
bezerro. Frequentemente se escolhe uma mercadoria para servir como numerário ou 
padrão em relação às outras mercadorias. Os metais preciosos servem tanto como uma 
mercadoria desejada para fins particulares, quanto como uma unidade de valor e de 
troca. Quando mercadorias uniformes, como ouro, prata, ferro são adotadas como 
numerário, estabelece-se um sistema de preços monetário. Nas economias 
avançadas, o dinheiro (que implica a existência de crédito) não é desejado pelo seu 
valor intrínseco, mas porque pode ser trocado por bens e serviços.
Em Marketing, preço é uma das quatro variáveis no Composto Mercadológico, ou 
“marketing mix”, que os mercadólogos usam para desenvolver um plano de marketing. 
Segundo Jay Conrad Levinson, 14% dos consumidores decidem suas compras 
baseando-se exclusivamente no preço. Computa-se no preço não apenas o valor 
monetário de um produto, mas tudo aquilo que o consumidor tem que sacrificar ao 
adquirir um bem.
A palavra apreçamento, com o sentido de estabelecimento de um preço, refere-se por 
vezes a preços administrados, ou seja, preços que não são completamente 
determinados pela relação existente no mercado entre oferta e procura, mas podem ser 
determinados, dentro de certos limites, pela firma comercial vendedora. O limite dentro 
do qual uma firma poderá administrar os preços é determinado pela situação da procura 
e pelos objetivos da própria firma: maximização dos lucros, ampliação do mercado etc.
6
 PFOUTS, R.W – Dicionário de Ciências Sociais – Fundação Getúlio Vargas/MEC – Rio, 1987 – pág. 962
17
produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas 
grandezas também são diretamente proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente 
proporcionais, logo, basta resolver a proporção: 400/x = (5x6)/(7x9), que pode ser posta 
na forma 400/x = 30/63.
Resolvendo a proporção, obtemos X=840. Assim, se as 7 máquinas 
funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.
2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. 
Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, 
Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. 
De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela do seguinte 
modo:
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras 
grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa 
o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par 
de grandezas.
Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a 
lógica para constatar que, se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior 
quilometragem; e se rodarmos menor número de dias, percorreremos menor 
quilometragem. Assim, temos que estas duas grandezas são diretamente 
proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de Dias e 
Horas por dia. Verificar que, para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número 
de dias utilizaremos menor número de horas por dia; e se tivermos menor número de 
dias, necessitaremos maior número de horas para o mesmo percurso. Logo, estas duas 
grandezas são inversamente proporcionais e, desse modo: 2/5 = (200x5)/(500x4), que 
pode ser posta como 2/X = 1000/2000.
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que, para percorrer 
500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias. 
PORCENTAGEM
Observamos nos meios de comunicação, praticamente todos os dias, expressões 
matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo “por cento” é proveniente do 
Latim “per centum” e quer dizer “por cem”. Toda razão da forma a/b, na qual o 
denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem 
ou ainda percentagem.
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de 
autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra 
cento, utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10%. Isto significa que, em cada 
100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 podem ser obtidos como o 
produto de 10% por 80, isto é:
20
Custeio Direto (ou Variável): é um método de custeio usado para alocação apenas dos 
custos variáveis ao produto. Segundo Leoni "o sistema de custeio variável ou direto é 
um método que considera apenas os custos variáveis de apropriação direta como custo 
do produto ou serviço". Segundo Lopes de Sá (1990, p. 108) diz que o custeio variável é 
"o processo de apuração de custo que exclui os custos fixos". Segundo Meglioni 
"enquanto no custeio por absorção eles são rateados aos produtos, no custeio variável, 
são tratados como custos do período, indo diretamente para o resultado igualmente as 
despesas". A diminuição da necessidade de rateio deve-se ao fato de que no sistema de 
custeio variável, são alocados aos produtos e/ou serviços, somente os custos variáveis 
e, como na maioria dos casos, os custos variáveis também são diretos, não alocando os 
rateios dos custos indiretos. Ele é usado para eliminar qualquer distorção na apuração 
dos custos oriundos de problemas com rateios pois os custos fixos são tratados como 
despesas.
Custeio por absorção (ou integral): o sistema de custeio por absorção é o sistema que 
apura o valor dos custos dos bens ou serviços, tomando como base todos os custos da 
produção incluindo os custos diretos, indiretos, fixos e variáveis. Segundo Meglioni, "o 
custeio por absorção é o método que consiste em atribuir aos produtos fabricados todos 
os custos de produção, quer de forma direta ou indireta. Assim todos os custos, sejam 
eles fixos ou variáveis, são absorvidos pelos produtos.”
Custo-padrão: são custos predeterminados, porém, diferentemente dos custos 
estimados, são calculados com base em parâmetros operacionais, e utilizados em 
operações repetitivas de produção, onde não compensaria calcular o custo individual 
de cada repetição.
Custeio ABC: a alocação dos custos indiretos é baseada nas atividades relacionadas.
GECON (Modelo Gestão Econômica) é um modelo de mensuração de custos baseado 
em gestão por resultados econômicos. Também conhecido por “Grid Economics and 
Business Models Work”.
Custo-meta: o custo-meta, também conhecido como “Target Costing”, é uma estratégia 
de gestão de custos que, a partir do preço de mercado e de uma margem de lucro 
desejada, estabelece um teto de custo para os produtos ou serviços.
Custos Fixos: são os custos que, embora tenham um valor total que não se altera com a 
variação da quantidade de bens ou serviços produzidos, seu valor unitário se altera de 
forma inversamente proporcional à alteração da quantidade produzida. Ex.: o 
pagamento de aluguel.
Custos Variáveis: são os custos que, em bases unitárias possuem um valor que não se 
altera com alterações nas quantidades produzidas, porém, cujos valores totais variam 
em relação direta com a variação dasquantidades produzidas. Ex.: Matéria prima.
Custos Totais: é a soma de Custos Variáveis mais Custos Fixos, representado pela 
formula CT=CF+CV.
Custos Diretos: são os custos suscetíveis de serem identificados com os bens ou 
serviços resultantes, ou seja, têm parcelas definidas apropriadas a cada unidade ou lote 
produzidos. Geralmente são representados por mão-de-obra direta e pelas matérias 
primas.
19
O verdadeiro preço de alguma coisa é o trabalho e a dificuldade para adquiri-la. Por isso, 
os mercadólogos incluem em suas considerações os custos indiretos, custos de 
manutenção, a necessidade de recompra, e mesmo a energia física, o tempo e o custo 
emocional de se adquirir uma oferta.
O preço de venda é o valor que deverá cobrir o custo direto da 
mercadoria/produto/serviço, as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc., 
As despesas fixas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários, pró-
labore, etc., e ainda, sobrar um lucro líquido adequado.
Preço de custo: Trata-se do valor de aquisição dos produtos ou mercadorias mais os 
custos necessários para disponibilizá-los à produção ou venda, podendo ser mão-de-
obra, fretes, energia, estocagem etc. 
CUSTOS
Custos são medidas monetárias dos sacrifícios financeiros com os quais uma 
organização, uma pessoa ou um governo, têm de arcar a fim de atingir seus objetivos, 
sendo considerados esses ditos objetivos, a utilização de um produto ou serviço 
qualquer, utilizados na obtenção de outros bens ou serviços. A Contabilidade Gerencial 
incorpora esses e outros conceitos econômicos para fins de elaborar Relatórios de 
Custos de uso da Gestão Empresarial.
No Brasil, o Decreto-Lei 1.598/77, em seu artigo 14, determina que: “o contribuinte que 
mantiver sistema de contabilidade de custo integrado e coordenado com o restante da 
escrituração poderá utilizar os custos apurados para avaliação dos estoques de 
produtos, principalmente para fins fiscais”. 
Sob a ótica contábil, custos ou são gastos que a entidade realiza com o objetivo de por o 
seu produto pronto para ser comercializado, fabricando-o ou apenas revendendo-o, ou 
o de cumprir com o seu serviço contratado. Uma diferença básica para a despesa é que 
"custo" traz um retorno financeiro e pertence à atividade-fim, pela qual a entidade foi 
criada (determinada no seu Contrato Social, na cláusula Do Objeto). Já despesa é um 
gasto com a atividade-meio e não gera retorno financeiro, apenas propicia certo 
"conforto" ou funcionalidade ao ambiente empresarial. 
A razão para se classificar os gastos correntes de uma entidade em despesas e custos é 
que o primeiro vai direto para o resultado do período. Já “custos” irão formar um estoque 
(na produção de um bem) e, na sua realização (venda), serão finalmente levados ao 
resultado, o que poderá levar meses ou até anos.
Custos industriais geralmente são: matéria prima, energia consumida (eletricidade e/ou 
combustíveis), água consumida, materiais industriais diversos, mão de obra, 
depreciação dos itens imobilizados de produção, entre outros.
22
Lucro de Exploração: parte do Lucro Real formado pelas Receitas oriundas de 
incentivos fiscais do Imposto de Renda (isenção ou redução).
Lucro Presumido: outra base de cálculo do imposto de renda, basicamente sobre 
Receitas, e com escrituração simplificada no Livro Caixa.
JUROS
Histórico
Quando você vê em uma propaganda: "Compre uma televisão à vista por $ 1.000 ou a 
prazo em 5 parcelas de $ 260" é provável que pensasse assim: "É melhor comprar a 
prazo, pois prefiro pagar parcelado e, em apenas 5 meses, eu acabo de pagar.”
Mas você se esqueceu de um "detalhe": 5 parcelas de $ 260 somam o equivalente a $ 
1.300 – que é 30% a mais do que a oferta à vista ($ 1.000). São em situações como 
essas que levam a perceber como a Matemática Financeira é uma ferramenta útil na 
análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo. 
Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação 
financeira.
Juro é o preço ou a remuneração paga, em moeda, pela utilização de uma quantia, "o 
8ágio obtido em dinheiro vivo sobre liquidez futura" . Com muita frequência os 
economistas não se satisfizeram com essa definição banal, indagando o porquê da 
existência do juro.
Em vista da atualíssima discussão, no Brasil, acerca dos juros impostos ao consumidor, 
é oportuno aprofundar nosso conhecimento a partir da lembrança de que economistas 
clássicos entendiam que ele deve ser pago a fim de possibilitar uma poupança 
suficiente para permitir progresso pelo acúmulo de capital. Conquanto se admita 
geralmente que alguma poupança seria possível sem a cobrança de juro, o montante 
seria insignificante.
O juro tem sido considerado um “suborno” necessário para obrigar os que dispõem de 
renda a consumir menos do que poderiam consumir. Sénior, um dos primeiros 
economistas a oferecer uma explicação sem ambiguidades para esse termo, afirma que 
9“o juro compensa os sacrifícios da abstinência” .
8
 KEYNES, J. M. The theory of the rate of interest. In: GAYER, A. D. [org.]. The lessons of monetary experience: 
essays in honour of Irving Fisher. London, Mlen & Unwin, 1937. p. 145; MARSHALL, A. Money, credit ind 
commerce. London, Macmillan, 1923. p. 73; OHLIN, B. G. Some notes on the Stockholm theory of savings and 
invest-ment. In: The economic Journal. 1937. v. XLVII, p. 221-40; ROBERTSON, D. H. Essays in monetary theory. 
London, P. S. Cing, 1940. p. 1-2).
9
 SENIOR, N.W. An outline of the science of politicd economy, 1836. 6. ed. London, Charles Griffin, 1872. p. 58-60; 
ver também BOWLEY, M. Nassau sénior and classical economia. London, Allen & Unwin, 1937. p. 137-66.
21
Custos indiretos: todos os outros custos que dependem da adoção de algum critério de 
rateio para sua atribuição à produção. No jargão da contabilidade brasileira, eles são 
chamados de CIF, de Custos Indiretos de Fabricação.
Lucros e Prejuízos
Lucro é o retorno positivo de um investimento feito por um indivíduo ou uma pessoa nos 
negócios. Já o prejuízo financeiro ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta 
mais do que arrecada. Em contabilidade, o prejuízo é o oposto do lucro. Ambos são 
saldos na conta denominada "resultados" ou "lucros e perdas", que podem ocorrer ao 
final do exercício (em geral, um período de doze meses). Para fins de informação dos 
usuários da contabilidade, as grandes corporações são obrigadas a publicar 
periodicamente uma "demonstração de resultados" (uma das "demonstrações 
financeiras"), também conhecida como "balanço de resultado econômico" ou 
"demonstrativo de lucros e perdas", nas quais são decompostas analiticamente as 
partes componentes que resultaram no lucro ou prejuízo do exercício.
Outro demonstrativo, o de lucros ou prejuízos acumulados, informa o saldo acumulado 
resultante da soma algébrica dos resultados dos exercícios passados.
7Segundo os princípios da Economia Aziendal , o lucro pode ser originário do 
funcionamento (lucro operacional) e do crédito (lucro da gestão econômica). De acordo 
com a estrutura das Demonstrações Contábeis de Resultados utilizados no Brasil, o 
lucro é desdobrado nas seguintes categorias:
Lucro Bruto: diferença positiva de Receitas menos Custo e despesas;
Lucro Operacional: diferença positiva do lucro bruto e das despesas operacionais;
Lucro não operacional: resultado positivo das receitas e despesas não operacionais;
Lucro Líquido: diferença positiva do lucro bruto menos o lucro operacional e o não 
operacional;
Lucro a ser distribuído: lucro líquido menos a quantia destinada a Reservas de Lucros 
ou compensada com os Prejuízos Acumulados;
A legislação tributária criou outras categorias de Lucro,a saber (vide Contabilidade 
tributária):
Lucro Real: Base de Cálculo do Imposto de Renda das pessoas jurídicas. 
(Contabilmente, seria o Lucro Líquido menos as adições e exclusões de despesas feitas 
para fins de apuração do tributo citado).
Lucro Inflacionário: parcela do Lucro Real, composta do saldo credor da correção 
monetária de balanços ajustado pelas variações monetárias e cambiais (e que podia ser 
diferido, ou seja, devido em exercícios futuros).
7
 Economia Aziendal, segundo a maioria dos compêndios de contabilidade, desde a formação das chamadas 
partidas dobradas na configuração do então chamado Ativo (atividade) e Passivo (recursos envolvidos) de ou em 
uma atividade qualquer operacional, ou que envolve consecução de objetivos; seria então, sua contabilização ou 
esse devido objeto de contabilidade que é o que se chamou de Azienda e a sua economia ou consecução.
24
Como D. H. Robertson sempre se dispunha a observar, Keynes quase dizia que o juro 
existe porque se espera que ele difira em grandeza do que é. Um melhor enunciado da 
teoria de preferência pela liquidez diria que o juro não pode cair abaixo de um mínimo 
devido à alternativa de entesouramento, mas que qualquer taxa acima desse mínimo é 
adequada para induzir o desentesouramento (se não forem previstas taxas futuras mais 
altas e se outras circunstâncias forem favoráveis). Com justiça, Robertson censurava 
Keynes por deixar de acentuar que, numa situação de equilíbrio, a taxa de juros deve 
satisfazer tanto à "conveniência marginal de guardar dinheiro" como à "inconveniência 
marginal da abstenção de consumo". Observou R. Harrod que o tomador de 
empréstimo "terá de pagar o preço necessário para satisfazer o prestamista por esperar 
ou o preço necessário a satisfazê-lo por preterir a liquidez, seja qual for o maior. Keynes 
13parece supor que o maior será o segundo ".
Apesar da ênfase que dão à sua teoria favorita do juro, todos os economistas 
reconhecem que a produtividade ou o rendimento do capital são um determinante do 
juro. Entretanto, muita confusão é suscitada pela mistura de análises estáticas e 
dinâmicas. Tanto J. A. Schumpeter como E. Bohm-Bawerk observaram que o 
importante era a produtividade de valor e não a produtividade física. 
14Schumpeter observou que, se não houvesse quaisquer novas mudanças técnicas ou 
perturbações, e se o processo de acumulação de capital não fosse interrompido, 
desapareceria a perspectiva de um produto-valor marginal. Negou que houvesse 
qualquer razão para preferência pelo tempo ou consequente equilíbrio isento de risco 
ou estado estacionário. 
15Também F. H. Knight sustentou que, sem crescimento e mudança contínuos, não 
haveria razão para a preferência pelo tempo de Bohm-Bawerk. Assim, afirmou que, 
apesar de suas negativas categóricas, Bohm-Bawerk defendia uma teoria da 
produtividade. 
O estado estacionário de Schumpeter, para Knight, era uma impossibilidade, pelo 
menos em teoria, uma vez que não existem "limites para o uso do capital". Qualquer 
sociedade estacionária verdadeira seria o resultado de forças "não-econômicas" ou 
sociológicas. As teorias do juro com base na produtividade refletem, assim, o fato de 
que numa economia de livre iniciativa o motivo para a tomada de empréstimo está na 
previsão de rendimento do investimento. 
Embora um Estado socialista pudesse calcular os custos de maneira diferente, e ter 
diferentes escalas de valores, precisaria também considerar os rendimentos para 
efetuar um planejamento racional. Todavia, aqueles que defenderam a preferência pelo 
tempo e a preferência pela liquidez prestaram uma contribuição importante, pois 
mostraram que uma única teoria da produtividade jamais era completa em si mesma.
Atualmente um número cada vez menor de economistas subscreve qualquer uma das 
posições extremas representadas por E. Bõhm-Bawerk, J. M. Keynes ou J. A. 
Schumpeter. Num nível empírico, se reconhece a influência de pelo menos três 
dimensões: perspectivas de lucro devidas a mudanças técnicas etc., preferência pela 
liquidez, e poupança planejada. A esta última pode-se acrescentar a preferência pelo 
tempo. Num artigo aprovado por Keynes, D.C. McCord Wright demonstrou que “a 
eficiência marginal do capital" afetava a taxa de juro através de variações induzidas em 
L, procura de liquidez.
13
 HARROD, R -Towards a dynamic economics. London, Macmillan, 1948. p. 70.
14
 SHUMPETER, J. A. – “Theory of economic development” (Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1934)
15
 KNIGHT, F. H. Interest. In: SELIGMAN, E. R. A. [org.]. Encyclopedia of the social sciences.
New York, Macmillan, 1932. v. VIII, p. 134
23
Os socialistas, entretanto, desprezaram essa ideia, entendendo que, se a abstinência 
traz sacrifício, então os Rothschilds e outros milionários devem ter sofrido atrozmente. 
Sénior poderia naturalmente ter admitido que a prática de poupança pelos ricos não 
envolvia qualquer sacrifício óbvio, ou não, acrescentando, porém que, sem o juro, 
haveria um volume insuficiente de abstenção de consumo. K. Marx afirmou que os 
capitalistas desejariam consumir e, ao mesmo tempo, adquirir poder através da 
acumulação de propriedade. Ë claro que a análise marginal resolve a dificuldade, ao ver 
o juro meramente como o custo de oportunidade da unidade marginal de poupança. 
Quando pequenas poupanças representam suprimento marginal, então ocorre 
"sacrifício" real.
Não obstante, a crítica socialista deixou os economistas numa posição embaraçosa. O 
socorro veio através de uma mudança de ênfase que transformou abstinência em 
preferência pelo tempo.
A explicação do juro através do conceito da preferência pelo tempo foi desenvolvida 
inicialmente no trabalho de W. S. Jevons e da escola austríaca, sobretudo E. Bohm-
Bawerk, que atribuiu ao homem uma "subestimação perspectiva das necessidades 
10futuras” .
Para muitos, essa subestimação explica a preferência por bens presentes em relação a 
bens disponíveis no futuro; a presença desse elemento não constitui, entretanto, 
ingrediente necessário da teoria de preferência pelo tempo, exceto numa sociedade 
estacionária.
“Tudo o que se faz necessário para existência do juro numa sociedade progressista é 
que seus membros sintam alguma relutância em adiar o consumo da renda presente, a 
fim de elevar a renda futura a um nível superior ao presente, a uma taxa mais que 
11limitada” . Poucos economistas negam hoje a importância da preferência pelo tempo, 
porém muitos julgam que a curva de poupança, na qual o volume de poupança é 
apresentado como função da taxa de juro, tem pouca elasticidade em grande parte de 
sua extensão.
Em 1936, J. M. Keynes enfatizou a preferência pela liquidez como uma compulsão para 
12o pagamento de juros . O juro deve ser pago porque as pessoas e as instituições têm a 
alternativa de entesourar suas poupanças monetárias.
Julgava Keynes que um declínio do juro criava expectativa de uma volta em nível mais 
alto. Quanto mais baixa a taxa de juros, mais forte o estímulo ao entesouramento, pois 
toda queda na taxa de juros "reduz os ganhos decorrentes da iliquidez, disponíveis 
como uma espécie de prêmio de seguro para compensar o risco da perda em conta de 
capital, num montante igual à diferença entre os quadrados da velha e da nova taxa de 
juros".
10
 BOHM-BAVERK, E - The positive theory of capital. Trad. ingl. W. Smart. London, Macmillan, 1891. p. 285-424; 
JEVONS, W. S. The theory of political economy, 1871. 4. ed. London, Macmillan, 1911. p. 71-4). Essa teoria foi 
criticada e aperfeiçoada por J. A. Schumpeter, I. Fisher, F. A. Fetter, F. A. von Hayek e outros. 
11
 HAYEK, F. A. von. - The pure theory of capital. London, Routledge & Kegan Paul, 1941. p. 420)
12
 KEYNES,J.M.- The general theory of employment, interest and money. London, Macmillan, 1936. p. 136-7, 
145-6, 166-74, 202)
26
C = 96.000/3 = 32.000,00
Resposta: o capital aplicado foi de R$ 32.000,00. 
Juros Comerciais e Juros Exatos 
Existem situações onde o prazo de uma operação financeira é contado em dias, 
enquanto a taxa de juros é indicada em alguma outra unidade de tempo maior (mês, 
bimestre, trimestre, semestre, ano). 
A contagem do número de dias envolvidos nestas situações será feita, na prática, de 
acordo com uma das convenções abaixo: 
Prazo Comercial: Consideram-se todos os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano 
com 360 dias (ano comercial). Este é o caso mais frequente nos problemas de juros 
simples e os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados de juros 
comerciais ou juros ordinários. 
Prazo Exato: Consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas 
apresentadas. Cada mês poderá ter 30 dias (para abril, junho, setembro e novembro), 
28 dias (para fevereiro, sendo 29 se o ano for bissexto) ou 31 dias (para os demais 
meses do ano). O ano terá um total de 365 dias (ou 366 dias se for bissexto). Os juros 
calculados de acordo com esta convenção são chamados juros exatos. 
Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus 
próprios valores de capital, taxa e prazo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal 
que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzira o mesmo 
total de juros das aplicações originais. 
O prazo médio é sempre a média dos prazos ponderados pelos valores 
correspondentes das taxas e dos capitais a eles associados. 
Exemplo de exercício:
Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados às 
taxas simples de 2%%, 3% e 4% ao mês durante três meses, dois meses ao mês, 
respectivamente. Qual seria o prazo médio para estas três aplicações?
Prazo Médio = (6+12+12)/(2+6+12) = 30/20 = 1,5 (meses)
Portanto, o prazo médio seria de 1 mês e 15 dias. Isto significa que, se 
trocássemos os três prazos por 1 mês e 15 dias, o total de juros produzidos pelas três 
aplicações continuaria inalterado. 
Taxa média é uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações 
dadas, produzira o mesmo total de juros das aplicações originais. A taxa media é 
sempre a média das taxas ponderadas pelos valores correspondentes dos prazos e dos 
capitais a eles associados. 
Exemplo de exercício:
25
Assim, é provável que a conclusão da maioria seja substancialmente a de que o juro 
exerce sua influência em todos os mercados e que, em particular, opera 
simultaneamente sobre a 'margem tríplice' da preferência pelo tempo (decisões de 
consumo), sobre a produtividade marginal do capital (decisões de investimento) e sobre 
a preferência pela liquidez." (William L. Miller)
Cálculo
Juros Simples
Vimos que juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia 
em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. 
Quando falamos em juros, devemos considerar:
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é 
denominada taxa de juros.
3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e 
em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade 
de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é 
denominado montante.
Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa 
de 1% ao período, basta usar a fórmula:
Exemplos:
1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho 
para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 
652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos 
juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa 
loja?
A diferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 - 450,00 = 202,50
A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 202,50 / 5 = 40,50
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da 
seguinte forma:
X% de 450,00 = 40,50
X/100.450,00 = 40,50
450 X / 100 = 40,50
450 X = 4050
X = 4050 / 450
X = 9
Resposta: A taxa de juros é de 9% ao mês.
2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 
1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?
O capital que a aplicação rendeu mensalmente de juros foi de: 
1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser 
expresso por: 3% de C = 960,00
3/100 C = 960,00
3 C /100 = 960,00
3 C = 96.000
28
No cálculo do valor presente (atual) de um título pelo desconto comercial, o valor do 
desconto corresponde a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual, 
logo:
dc = VF - VPc VPc = VF - dc VPc = VF . (1 – i . n)
Algumas observações importantes devem ser levadas em consideração na operação 
de desconto comercial ou por fora.
Observe que, quando a taxa for igual ao inverso do prazo ou maior que este inverso, a 
adoção do desconto comercial simples nos conduz a um absurdo financeiro.
No caso do desconto comercial ou bancário, deverá ser considerado IOF de 0,0041% 
ao dia, correspondendo a 0,123% a.m.
Existindo despesas administrativas, expressa em moeda corrente, essas devem ser 
subtraídas do Valor Atual ou Valor Presente (VP), para se achar o Valor Líquido (VL) da 
operação. Mas caso estejam na forma percentual (%), a fórmula para o cálculo do 
desconto passa a ser:
d = VF x ( i x n + h ), onde: h = refere-se a taxa (%) de despesas administrativas 
16na sua forma unitária.
Desconto Simples Racional (Por Dentro): também denominado de desconto verdadeiro 
ou desconto por dentro, o Desconto Simples Racional é aquele aplicado sobre o valor 
atual do título utilizando-se para o cálculo a taxa efetiva (no conceito do valor inicial 
tomado como base do cálculo). O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo 
dos juros simples. O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual ou Presente 
do título.
O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:
VP = VF / (1 + i n)
Cálculo do valor atual de um título pelo desconto racional
Sabemos que dr = VF – VP, portanto VP = VF – dr 
Mas dr = VF . i . n / 1 + i . n 
logo VPr = VF – VF . i . n / 1 + i . n 
Evidenciando VF, temos:
16
 ANTONIK, Luis Roberto – Apostila do Centro Universitário UNIFA
27
Considerando as aplicações do exemplo anterior: R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e 
R$ 3.000,00, as fixas de 2%%, 3% e 4% ao mês, durante 3, 2 meses, respectivamente. 
Qual seria a taxa média para essas três aplicações?
Taxa Média = (6+12+12)/(3+4+3) = 30/10 = 3%. Isto significa que, se 
trocássemos as três taxas (2%, 3% e 4%), todas para 3% a.m, o total de juros 
produzidos pelas três aplicações continuaria inalterado. 
DESCONTO
Em finanças, chama-se Desconto a diferença entre o Valor Nominal de um título (Valor 
Futuro) “VF” e o Valor Presente ou Atual “VP” deste mesmo título [D = VF – VP]. Há dois 
tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). Define-se 
desconto como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o 
pagamento de um título ou quando o mesmo é resgatado antes de seu vencimento, ou 
ainda, como sendo o juro cobrado por um intermediário para antecipar o recebimento de 
um título, que representa um direito de crédito futuro. É uma operação tradicional no 
mercado financeiro e no comércio em geral.Notações comuns na área de descontos:
Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, e os descontos compostos são 
obtidos com cálculos exponenciais.
Desconto Simples: É aquele obtido em função de cálculos lineares (capitalização 
simples). Distinguem-se dois tipos de descontos simples, o racional e o comercial ou 
bancário. Desconto simples comercial ou simplesmente desconto por fora é o desconto 
aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições 
financeiras e no comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção 
secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de 
curto prazo, merecendo, por isso, toda atenção especial, pois por essa convenção 
altera-se o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juro, 
implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas (custo financeiro 
efetivo). O cálculo desse desconto é análogo ao cálculo do juro simples.
O valor atual ou valor presente (VP) no desconto por fora, é calculado por: 
VP = VF-D = VP = VF - VF.i.n = VP = VF (1-i.n) D = VF - VP
29
Vpr = VF. (1 – i . n / 1 + i . n) VPr = VF. (1 + i . n – i . n / 1 + i . n) VF. 1 / 1 + i . n VPr = 
VF / 1 + i . n
Diferença entre os descontos comercial e racional:
Sendo dc = VF . i . n e dr = VF . i . n / 1 + i . n dc – dr = (VF . i . n - VF . i . n) / 1 + i . n 
dc – dr = (VF . i . n (1 + i . n) – VF . i . n) / 1 + i . n dc – dr = VF . i . n (1 + i . n – 1) / 1 + i . n dc – dr 
= VF . i . n . i . n / 1 + i . n = dc – dr = dr . i . n dc = dr . i . n + dr dc = dr (1 + i . n)
Desconto Comercial Composto
O Desconto Comercial Composto (por fora) não é usado costumeiramente no Brasil e é 
análogo ao cálculo do Juro composto. O que se faz é calcular a diferença entre o valor 
nominal (valor futuro) e o valor atual (valor presente) do compromisso na data em que se 
propõe seja feito o desconto. O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor 
nominal e, o valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
Desconto Racional Composto
Desconto Racional Composto (por dentro) ou Desconto Composto Real é aquele obtido 
pela diferença entre o Valor Nominal ou Valor Futuro (VF) e o Valor Atual ou Valor 
Presente (VP) de um compromisso que seja saldado “n” períodos antes do seu 
vencimento. Para uma melhor compreensão, podemos dizer que o desconto racional 
composto passa a ser sinônimo de juro composto. Este tipo de desconto é muito 
utilizado no Brasil. 
Como D = VF - VP e como VF = VP (1 + i)n , então: 
D = VF – VF (1+i)-n D = VF.[1-(1+i)-n]
O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o 
Valor Atual ou presente (VP) como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal 
ou Futuro (VF) como o montante desta aplicação, levando em consideração que as 
taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos. 
Deste modo, a fórmula para cálculo do Valor Atual ou Valor Presente, com base 
nos juros compostos, ficará:
17CAPITALIZAÇÃO
Até este ponto estudamos o juro durante uma unidade de tempo e desenvolvemos uma 
fórmula para este Juro (lembre-se que J = C.i). Na prática, porém, os problemas 
envolvem vários períodos de aplicação e, portanto, precisaremos estudar a geração 
dos juros durante mais de uma unidade de tempo; para isso, devemos conhecer o 
conceito de regime de capitalização. 
Do ponto de vista das finanças, capitalização é o processo de aplicação de uma 
importância a uma determinada taxa de juros e de seu crescimento por força da
17
 CORTEZ, V. – Comentários de Matemática Financeira –
www.vemconcursos.com/ensino/index.phtml?page_autor=18
30
incorporação desses mesmos juros à quantia inicialmente aplicada. No sentido 
particular do termo, capitalização é uma combinação de economia programada e 
sorteio, sendo que o conceito financeiro acima exposto aplica-se apenas ao 
componente "economia programada", cabendo ao componente lotérico o papel de 
poder antecipar, a qualquer tempo, o recebimento da quantia que se pretende 
economizar ou de um múltiplo dela de conformidade com o plano. 
No final de cada período de Capitalização que é previamente estipulado, os juros 
produzidos são adicionados ao capital, passando a fazer parte do mesmo para efeito de 
cálculo dos próximos juros. Assim, estamos diante de uma aplicação de juros 
compostos. O título é livremente negociável, podendo ser vendido, trocado ou doado, 
desde que seja formalizada junto a Sociedade de Capitalização a transferência 
conjunta do cedente e cessionário. Assim, o cessionário sucede o cedente em todos os 
seus direitos e obrigações.
Para a venda de um título de capitalização é necessário uma série de formalidades que 
visam a garantia do consumidor. A sociedade de capitalização deve submeter o seu 
plano ao órgão fiscalizador do Sistema Nacional de Capitalização – SUSEP.
Histórico 
Em 1850, Paul Viget, diretor de uma cooperativa de minérios da França, idealizou a 
Capitalização, objetivando proporcionar auxílio financeiro aos sócios através de suas 
próprias poupanças. O sistema era baseado em contribuições mensais, visando a 
constituição de um capital garantido, pago no final de prazo previamente estipulado ou, 
antecipadamente, através de sorteio. 
No início do século XX, a capitalização tomou um grande impulso na França e de lá se 
difundiu através dos países de origem latina. No Brasil, as atividades no setor de 
Capitalização surgiram em 1929, tomando grande impulso na década de 30. Em 1947, o 
número de companhias de capitalização operando no país já ascendia a dezesseis, 
sediadas no Rio de Janeiro, São Paulo, Porto Alegre e Salvador. Na década de 50, 
entretanto, o processo inflacionário acelerou-se de tal forma, que o sistema de 
capitalização se tornou desinteressante para a clientela, pois o capital inicialmente 
contratado era corroído pela incessante desvalorização da moeda. Com a instituição da 
correção monetária em 1964, criaram-se as premissas básicas para o ressurgimento da 
capitalização, embora esse processo só tenha deslanchado mesmo dez anos depois, 
quando surgiram no Brasil muitas novas empresas.
Chamaremos de regime de capitalização a maneira como os juros, e por que não, o 
montante, evolui através de vários períodos de aplicação, aos quais a taxa se refere. 
Existem dois tipos de regime de capitalização:
Regime de Capitalização Simples
É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide somente e sempre sobre o 
capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicação, os juros serão sempre 
calculados através do produto do capital inicial pela taxa de juro (J = C.i).
Exemplo:
a) Seja a aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., 
durante três meses, no regime de capitalização simples. Calcule os juros totais e o 
montante?
Solução:
Sabemos que o regime é de capitalização simples e que C = $1.000,00 e i = 
10% a.m. Então no fim do primeiro mês teremos:
J1 = C.i logo J1 = 1.000. 10%
J1 = $100,00
No fim do segundo mês teremos:
J2 = C.i logo J2 = 1.000. 10%
32
M = C + J = 1.000 + 100
1
M = $ 1.100,00
1
Para formar o juro do segundo mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante do fim do 
primeiro mês. Logo:
J = M .i logo J = 1.100 . 10%
2 1 2
J = $ 110,00
2
E o montante do segundo mês será:
M = C + J + J
2 1 2
M = 1.000 + 100 + 110
2
M = $ 1.210,00
2
Para formar o juro do terceiro mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante no fim do 
segundo mês. Então:
J = M .i
3 2
J = 1.210 . 10%
3
J = $121,00
3
E o montante ao final do terceiro mês será:
M = C + J + J + J
3 1 2 3
M = 1.000 + 100 +110 +121
3 
M = $1.331,00
3 
A soma dosjuros totais será de:
J = J + J + J
1 2 3
J = 100 + 110 + 121
J = $ 331,00
Comparação entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta
De acordo com os exemplos anteriores, referentes à capitalização simples e composta, 
os resultados obtidos foram dispostos na tabela seguinte de forma a permitirem uma 
melhor comparação:
Observações: Independentemente do regime de capitalização, o aluno pode reparar 
que o juro e o montante obtidos ao final do primeiro mês de capitalização serão
31
J2 = $100,00
No fim do terceiro mês teremos:
J3 = C.i logo J3 = 1.000. 10%
J3 = $100,00
Logo, os juros totais poderão ser calculados através da soma dos juros em 
cada período (mês):
J = J1+ J2+ J3
J = 100 + 100 + 100
J = $300,00
O montante (M) será o capital acrescido dos juros totais, isto é:
M = C + J
M = 1000 + 300
M = $1.300,00
Regime de Capitalização Composta
É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no 
período anterior, para gerar juro no período atual. Portanto, em cada período de 
aplicação, os juros serão calculados através do produto do montante do período 
anterior pela taxa de juro. (J = M.i)
Um exemplo simples de capitalização composta é o da caderneta de poupança, onde 
você deposita seu dinheiro em um mês esperando que no final do primeiro mês a 
mesma já apresente um montante igual ao capital inicial mais os juros, que foram 
gerados sobre o capital inicial (este era o único montante anterior), observe que a partir 
do primeiro mês, mesmo que você não deposite nada na caderneta de poupança, o 
dinheiro lá existente vai rendendo juros sobre o capital inicial e sobre os juros que já 
estão na conta, sendo este processo conhecido como juros sobre juros ou capitalização 
composta.
Exemplo:
b) Seja a aplicação de um capital de $1.000, a taxa de juro de 10% a.m., durante três 
meses, no regime de capitalização composta. Calcule os juros totais e o montante?
Solução:
A situação é análoga a do exemplo anterior, sendo que o regime agora é de 
capitalização composta, C = $1.000,00 e i = 10% a.m.
Até o fim do primeiro mês temos uma unidade de tempo, logo, o juro em um mês será:
J = C.i logo J = 1.000 . 10%
1 1
J = $100,00
1
33
sempre os mesmos. Daí se pode concluir que ao considerarmos um período único 
de tempo, não há diferença entre os regimes de capitalização, não havendo sentido 
em se distinguir, para apenas um período, a capitalização simples da capitalização 
composta. Isto se dá por que ao final do primeiro período os juros compostos são 
calculados sobre o montante do período anterior, que neste momento é o capital inicial, 
ficando igual ao cálculo dos juros simples. Veja:
J = M.i = C.i (para o primeiro período).
Observe ainda que, no regime de capitalização simples, o montante aumenta de acordo 
com uma progressão aritmética, onde o montante sofre uma variação linear em relação 
aos juros (no exemplo, a razão é 100, ou seja, a cada período o montante sobe de um 
valor constante e igual a 100). Já no regime de capitalização composta, o montante 
varia de acordo com uma progressão geométrica, onde o montante aumenta segundo 
uma variação exponencial em relação aos juros (a razão da progressão geométrica é 
dada por (1 + i) = (1,1). Desse modo, em se tratando de juros ou rendimentos lineares 
estamos falando do regime de capitalização simples e em se tratando de juros ou 
rendimentos exponenciais estamos falando do regime de capitalização composta.
Observação: Será adotada a convenção de que os juros serão devidos ao final 
de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Esta forma de se 
capitalizar os juros é também conhecida como juros postecipados. 
INFLAÇÃO 
Em economia, inflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra do dinheiro. 
Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. Inflação é o oposto de deflação. 
Inflação zero, ou muito baixa, é uma situação chamada de estabilidade de preços.
Em alguns contextos, a palavra inflação é utilizada para significar um aumento no 
suprimento de dinheiro e a expansão monetária, o que é às vezes visto como a causa do 
aumento de preços; alguns economistas (como os da Escola austríaca) preferem o 
primeiro significado, em vez de definir inflação pelo aumento de preços. Assim, por 
exemplo, alguns estudiosos da década de 1920 nos Estados Unidos referem-se à 
inflação, ainda que os preços não estivessem aumentando naquele período. Mas, de 
um modo geral, a palavra inflação é usada como aumento de preços, a menos que um 
significado alternativo seja expressamente especificado. Outra distinção também se faz 
quando se analisam os efeitos internos e externos da inflação: externamente, a inflação 
se traduz mais por uma desvalorização da moeda local frente a outras, e internamente 
ela se exprime mais no aumento do volume de dinheiro e aumento dos preços.
Um exemplo clássico de inflação foi o aumento de preços no Império Romano, causado 
pela desvalorização dos dinares que, antes confeccionados em ouro puro, passaram a 
ser fabricados com todo tipo de impurezas. O imperador Diocleciano, ao invés de 
perceber essa causa, já que a ciência econômica ainda não existia, culpou a avareza 
dos mercadores pela alta dos preços, promulgando em 301 um edito que punia com a 
morte qualquer um que praticasse preços acima dos fixados.
A inflação pode ser contrastada com a reflação, que é ou um aumento de preços de um 
estado deflacionado, ou alternativamente, uma redução na taxa de deflação (ou seja,
34
situações em que o nível geral de preços está caindo em uma taxa decrescente). Um 
termo relacionado é desinflação, que é uma redução na taxa de inflação, mas não o 
suficiente para causar deflação.
A inflação será estudada mais detalhadamente na seção de Economia e 
Mercados. Vale, entretanto, observar como a economia brasileira sofreu com inflação 
alta até 1994, entrando num processo de hiperinflação na década de 80. Esse processo 
só foi interrompido em 1994, com a criação do Plano Real e a mudança da moeda para o 
real (R$). Observe o quadro:
A moeda nacional do Brasil mudou de nome várias vezes, principalmente nos períodos 
de altos índices de inflação. Na maioria das renomeações monetárias, foram cortados 
três dígitos de zero, estratégia esta que impediu que um quilo de carne custasse cerca 
de quatro milhões de unidades da moeda vigente, por exemplo.
TÍTULOS DE CRÉDITO
Crédito é uma palavra de origem latina, que significa crer ou confiar. Crédito, no sentido 
econômico ou comercial, significa confiança de que a pessoa que pediu emprestado 
devolva ao emprestador o objeto do empréstimo ou, em outras palavras, que o devedor 
satisfaça o compromisso assumido, ou pague a dívida contraída.
O crédito é, portanto, a faculdade de usar de um capital alheio, mediante o compromisso 
de devolvê-lo a seu dono no prazo estipulado. O juro é a remuneração a que tem direito 
o dono do capital pelo empréstimo. 
A apreciação, o juízo favorável, enfim, que o possuidor do capital fizer de outra pessoa 
ou de um grupo de pessoas é o que determinará a efetivação ou não da concessão de 
crédito. 
Crédito é, assim o elemento subjetivo; a base de tudo é a confiança, mas ela tem um 
fundamento positivo estabelecido pela garantia material que o devedor possa oferecer 
para o resgate da dívida ou pelo conceito moral de que ele goze. Nas relações de 
negócio está excluída a generosidade ou magnanimidade. O comercio é feito à base da 
segurança e ninguém que possua capital consente em privar-se dele senão com a 
garantia da sua restituição na época determinada. 
O capital em dinheiro está muitas vezes ocioso em mão de quem não tem aptidões para 
empregá-lo.Passando para outras mãos mais hábeis e indo constituir um fator de 
utilidades, desempenhará o papel que lhe compete na produção. 
O elemento principal no crédito e o cronológico. Sem o fator tempo, que se denomina 
prazo, não haverá crédito. 
“É costume definir o crédito como sendo a troca de uma riqueza presente por uma 
riqueza futura”. 
O crédito pode ser também definido como um direito presente a um futuro pagamento. 
O fator confiança, no crédito, assume importância vital, porque nas operações de
36
criador da promissória no mundo jurídico, e o beneficiário ou tomador que é o credor do 
título. Para exemplificar a constituição de uma nota promissória, tome-se a seguinte 
hipótese: Pedro empresta R$ 1.000,00 (mil reais) ao seu amigo André, que por sua vez 
se compromete a efetuar o pagamento do empréstimo em trinta dias, assim sendo, 
emite uma nota promissória no valor do empréstimo onde o beneficiário é o Pedro, com 
vencimento para trinta dias da data. Como nos demais títulos de crédito, a nota 
promissória pode ser transferida a terceiro por endosso, bem como nela é possível a 
garantia do aval. Caso a nota promissória não seja paga em seu vencimento, poderá ser 
protestada, como ainda será possível ao beneficiário efetuar a cobrança judicial, a qual 
ocorre por meio da ação cambial que é executiva, no entanto a parte só pode agir em 
juízo se estiver representada por advogado legalmente habilitado.
A nota promissória é prevista no decreto 2044 de 31 de dezembro de 1908 e na Lei 
Uniforme de Genebra. Suas características são as seguintes:
1. A denominação "nota promissória" lançada no texto do título.
2. A promessa de pagar uma quantia determinada.
3. A época do pagamento, caso não seja determinada, o vencimento será 
considerado à vista.
4. A indicação do lugar do pagamento, em sua falta será considerado o 
domicílio do subscritor (emitente).
5. O nome da pessoa a quem, ou a ordem de quem deve ser paga a 
promissória.
6. A indicação da data em que, e do lugar onde a promissória é passada, em 
caso de omissão do lugar será considerado o designado ao lado do nome do subscritor.
7. A assinatura de quem passa a nota promissória (subscritor).
8. Assinatura de duas testemunhas, identidade e (ou) CPF e endereço das 
mesmas.
9. Sem rasuras, pois perde o valor a nota promissória.
Legislação sobre a Nota Promissória: Decreto n. 57.663, de 24-1-1966, artigo 
75 em diante.
A nota promissória também é conhecida no Brasil como "papagaio", sendo 
esta palavra empregada originalmente para promissórias de valor duvidoso. A provável 
origem deste apelido está na figura do personagem Zé Carioca da Disney 
representando a figura do típico malandro carioca.
* A Duplicata Mercantil ou simplesmente duplicata é uma espécie de título de 
crédito que constitui o instrumento de prova do contrato de compra e venda. Foi criada 
pelo direito brasileiro: já o Código Comercial de 1850 previa, em seu art. 219, que nas 
vendas por atacado o vendedor era obrigado a extrair, em duas vias, uma relação de 
mercadorias vendidas, as quais eram assinadas pelo comprador, ficando cada via com 
uma das partes contratantes. Humberto Piragibe Magalhães e Christóvão Piragibe 
Tostes Malta (Dicionário Jurídico, 1º:371), definem a duplicata como o título de crédito 
constituído por um saque vinculado a um crédito decorrente de contrato de compra e 
venda mercantil ou de prestação de serviços igualado aos títulos cambiários por 
determinação legal. É título casual, formal, circulável por meio de endosso e negociável. 
Geralmente é título de crédito assinado pelo comprador em que há promessa de 
pagamento da quantia correspondente à fatura de mercadorias vendidas a prazo.
A duplicata tem origem em uma só fatura, porém de uma só fatura podem ser extraídas 
diversas duplicatas.
A duplicata deve ser apresentada ao devedor dentro de 30 dias de sua emissão, e ele 
deverá devolvê-la dentro de 10 dias, com a sua assinatura de aceite ou declaração 
escrita esclarecendo por que não a aceita. A duplicata paga, para segurança do
35
crédito há entrega de moeda em troca de uma promessa de reembolso se a operação 
for dinheiro, como há também transferência das utilidades, das mercadorias, dos 
serviços, em troca de promessas de seu pagamento, em ou no próprio gênero da 
recebida. 
O crédito não deixa de ser uma transferência de capital que tem como objetivo o auxilio 
eficaz ao aumento da produção. 
Convém, no entanto, acentuar que o crédito transfere mas não cria riquezas. 
O crédito estimula, incentiva, facilita a produção de riquezas, mas, em si mesmo, é 
apenas um meio, um instrumento. Assim, os papéis representativos de uma obrigação e 
emitidos de conformidade com a legislação específica denominam-se títulos de crédito. 
A definição mais corrente para título de crédito, elaborado por Vivante, é "documento 
necessário para o exercício do direito, literal e autônomo, nele mencionado". Os 
elementos fundamentais para se configurar o crédito decorrem da noção de confiança e 
tempo. A confiança é necessária, pois o crédito se assegura numa promessa de 
pagamento, e o tempo também, pois o sentido do crédito é, justamente, o pagamento 
futuro combinado, pois se fosse à vista, perderia a idéia de utilização para devolução 
posterior.
A classificação mais importante dos títulos de crédito é feita quanto a sua circulação, da 
seguinte maneira:
* Títulos ao portador, que são aqueles que não expressam o nome da pessoa 
beneficiada. Tem como característica a facilidade de circulação, pois se processa com a 
simples tradição.
* Títulos nominativos, que são os que possuem o nome do beneficiário. 
Portanto, tem por característica o endosso em preto
* Títulos à ordem, que são emitidos em favor de pessoa determinada, 
transferindo–se pelo endosso.
Os tipos de títulos de crédito utilizados no Brasil são: 
* A letra de câmbio: título que representa uma obrigação pecuniária, sendo o 
mais usado em operações de crédito entre financiadoras e comerciantes. A emissão da 
letra de câmbio é denominada saque; por meio dele, o sacador (devedor), expede uma 
ordem de pagamento ao sacado (normalmente uma instituição financeira), que fica 
obrigado, havendo aceite, a pagar ao tomador (um credor específico), o valor 
determinado no título.
Apesar de atribuir ao sacado a obrigação de pagar o tomador, o sacador permanece 
subsidiariamente responsável pelo pagamento da letra. Não sendo pago o título no seu 
vencimento, poderá ser efetuado o protesto e a cobrança judicial do crédito, que se dá 
por meio da ação cambial. Porém, para que o credor possa agir em juízo, é necessário 
que esteja representado por um advogado.
Quanto à possibilidade de transferência, diz-se que a letra de câmbio é um título de 
crédito nominativo, ou seja, em favor de um credor específico, suscetível de circulação 
mediante endosso. Assim, o endossante (tomador original), transfere a letra para um 
endossatário (novo tomador).
No Brasil, a letra de câmbio é regulada principalmente pela Convenção de Genebra, 
também conhecida como Lei Uniforme (Decreto 57.663/66), e também pelo Decreto Lei 
n.º 2.044 de 31 de Dezembro de 1908. O Código Civil de 2002 tem valor supletivo (art. 
903).
* A Nota Promissória, título cambiário em que seu criador assume a obrigação 
direta e principal de pagar a soma constante no título. A nota promissória nada mais é do 
que uma promessa de pagamento. A nota promissória é uma promessa de pagamento, 
para seu nascimento são necessárias duas partes, o emitente ou subscritor (devedor),
38
Convém observar que todos esses papéis espelham convenções para a transferência 
de riquezas já existentes. Um título novo não cria nova riqueza e sim representa