Movimento Uniformemente Variado / Plano Inclinado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
ENGENHARIA MECÂNICA 
ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo: Maria Bárbara T. de Macêdo - 11410546 
 Maria Isabel de Oliveira Franco - 11500334 
 Vitória Reginna Cavalcante Ferreira - 11511749 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento Uniformemente Variado / Plano Inclinado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26/08/2016 
João Pessoa 
 
2ª Experiência - Movimento Uniformemente Variado / Plano Inclinado 
 
1. Objetivos 
 
Inicialmente a experiência teve como objetivo, o estudo do movimento de uma esfera 
em um plano inclinado, segundo os princípios da cinemática que tem por finalidade verificar 
sua velocidade média e também sua aceleração de acordo com a variação de velocidade pelo 
tempo. Posteriormente, representar os resultados obtidos através de um gráfico. 
 
2. Fundamentação Teórica 
 
A movimentação de um objeto, pode ser modificada por uma série de fatores. A sua 
velocidade pode sofrer alterações com o passar do tempo, quando sua velocidade aumenta, o 
movimento é chamado de uniformemente acelerado. Quando sua velocidade diminui, 
chamamos seu movimento de uniformemente retardado. A taxa da variação da velocidade em 
relação ao tempo, é chamada de aceleração. 
No movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), a velocidade varia uniformemente 
segundo a aceleração, que determina quanto a velocidade vai variar (positivamente ou 
negativamente) em relação ao tempo. 
A aceleração média é dada por: 𝑎​𝑚𝑒𝑑 ​=∆𝑣​/​∆𝑡 (Equação 1) 
Enquanto a aceleração instantânea é: 𝑎=𝑑𝑣 ​/​𝑑𝑡. (Equação 2) 
Quando a aceleração é constante, o movimento é chamado de movimento retilíneo uniforme 
(MRU), a velocidade média para um intervalo de t=0 até o instante t, é representada pela 
seguinte equação: ​v = v​média​ = ∆x/∆t =1/2(𝑣​0​+𝑣) ​(Equação 3) 
Em que ∆x é a variação da distância percorrida e ∆t é a variação do tempo. 
Considerando que no MRU, a velocidade não varia de acordo com a aceleração, variando 
apenas o tempo, assim como é representado na equação: 𝑣=𝑣​0​+𝑎𝑡 (Equação 4) 
Partindo da equação ​v= ∆x/∆t, ​conseguimos obtemos a função horária do MRU, como 
mostrado abaixo: 
v= (x​f ​-x​0​) / (t ​f ​-t​0​) 
v = (x​f ​-x​0​) / (t ​f ​-0) 
v.t= (x​f ​-x​0​) 
x=x​0​+v.t ​(Equação 5) 
Substituindo o valor de 𝑣 da equação 𝑣=𝑣 ​0​+𝑎𝑡 na equação 3 e, considerando (𝑥​0​=0) obtemos: 
 x=x​0​ + v​0​t + ½ at² (​Equação 6). 
 
3. Material Utilizado 
Na realização do experimento, utilizamos: 
- Plano inclinado; 
- Esfera de aço; 
- Cronômetro ; 
- Trena. 
 
4. Procedimento Experimental 
 
Iniciamos o procedimento experimental cronometrando os tempos em que a esfera percorria 
o plano inclinado, ao longo de “L”, utilizando duas alturas (H) diferentes, correspondendo a 
dois ângulos (θ) diferentes, para obtenção da velocidade e aceleração nos dois casos. 
L = 100,00 cm 
H1 = 6,65 cm 
H2 = 2,78 cm 
θ1 = 3,81º 
θ2 = 1,59 º 
 
O plano inclinado usado estava dividido em cinco partes, com distâncias de 20 cm entre elas. 
Com isso, medimos o tempo em que a esfera passava por cada uma das marcações, repetindo 
a medição dez vezes, a fim de reduzir a margem de erro. Ainda filmamos o movimento para 
comparar com o tempo do cronômetro. 
 
 
5. Resultados 
 
altura X(cm) T​1 T ​2 T​3 T ​4 T​5 T​6 T​7 T​8 T​9 T​10 t(s) t​2​(s) 
 
 
 H​1 
20,00 0,93 0,80 0,98 0,70 0,70 0,89 0,83 0,88 0,75 0,68 0,81 0,65 
40,00 1,48 1,41 1,23 1,33 1,50 1,51 1,50 1,28 1,21 1,35 1,38 1,90 
60,00 1,66 1,65 1,56 1,65 1,50 1,64 1,75 1,76 1,68 1,76 1,66 2,76 
80,00 2,03 1,99 2,03 2,15 1,98 2,06 1,96 2,06 2,11 2,10 2,05 4,20 
100,00 2,30 2,26 2,25 2,35 2,21 2,26 2,25 2,28 2,25 2,25 2,26 5,11 
 
 
altura X(cm) T​1 T​2 T ​3 T​4 T​5 T​6 T​7 T​8 T​9 T​10 t(s) t​2​(s) 
 
 
 H​2 
20,00 1,21 1,33 1,36 1,31 1,36 1,31 1,28 1,23 1,35 1,36 1,31 1,72 
40,00 2,03 2,01 2,01 2,06 2,11 1,99 2,09 2,13 1,96 1,98 2,04 4,16 
60,00 2,76 2,53 2,68 2,63 2,58 2,63 2,53 2,66 2,61 2,74 2,63 6,91 
80,00 3,03 3,01 3,01 2,98 3,07 3,01 2,95 2,96 3,06 3,01 3,01 9,06 
100,00 3,43 3,41 3,38 3,31 3,33 3,38 3,40 3,38 3,28 3,28 3,35 11,22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para H1: 
X(cm) Média do t(s) Desvio padrão 
20 ​0,81 0,07 
40 ​1,38 0,15 
60 ​1,66 0,12 
80 ​2,05 0,05 
100 ​ 2,26 0,02 
 
 
Para H2: 
X(cm) Média do t(s) Desvio padrão 
20 1,31 0,4 
40 2,04 0,5 
60 2,63 0,6 
80 3,01 0,03 
100 3,35 0,05 
 
Medidas com o vídeo: 
Altura X(cm) T(s) Altura X(cm) T(s) 
 
 
 
 H1 
20,00 00:00:00.830 
 
 
 H2 
20,00 00:00:01.734 
40,00 00:00:01.134 40,00 00:00:02.367 
60,00 00:00:01.501 60,00 00:00:02.834 
80,00 00:00:01.734 80,00 00:00:03.234 
100,00 00:00:02.001 100,00 00:00:03.601 
 
 
 
 
 
 
6. Discussão dos Resultados 
No primeiro caso usamos uma altura de 6,65 cm, que ocasionou uma aceleração maior que 
no segundo caso, quando usamos uma altura de 2,78 cm, realizando o percurso em menor 
tempo. A seguir seguem os cálculos desenvolvidos para obtenção do ângulo, velocidade e 
aceleração do projétil. 
Ângulo: Como temos dois experimentos com alturas diferentes, teremos ângulos diferentes 
para as mesmas. Assim: 
θ​1 ​=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝐻1/𝐿) θ2=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝐻2/𝐿) 
θ​1 ​=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (6,65/ 100,00) θ2 =𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (2,78 /100,00) 
θ​1 ​= 3,81º θ2 =1,59 º 
Aceleração: 
Calculamos a aceleração por alguns modelos teóricos: 
a= g​sen (θ) / 1+ Icm/mr​2​, dessa equação obtemos a aceleração de uma esfera por: 
a= g sen(θ) ​/ ​1+ ⅖ ​, substituímos por θ1 e θ2 e obtemos os seguintes resultados: 
Em θ1: Em θ2: 
a1= 9,8 sen(3,81) ​/ ​1+ ⅖ a2 = 9,8 sen(1,59) ​/ ​1+ ⅖ 
a​1= 0,47 m/ s^2 ​a​2= 0,19 m/ s^2 
Calculamos também a aceleração , considerando a esfera uma partícula usando a equação 
a=g.sen(θ). 
Em θ1: Em θ2: 
a​1= g. sen(θ1) ​a​2= g. sen(θ2) 
a​1= 9,8.sen (3,81) ​a​2= 9,8.sen (1,59) 
a​1= 0,65 m/ s^2 ​a​2= 0,27 m/s^2 
 
 
 
Velocidade: 
Para o cálculo da velocidade, utilizamos o tempo do vídeo por ser mais preciso, esses valores 
estão no gráfico acima, e a aceleração obtida pela fórmula g sen(θ) ​/ ​1+ ⅖ (levando em 
consideração o objeto ser uma esfera), e calculamos em cada distância percorrida pelo objeto 
sobre o plano inclinado. 
 
 
 
 
 θ​1 θ​2 
X​1​=20 𝑣 ​1​=𝑣 ​0​+𝑎 ​1​ 𝑡 ​1 
𝑣 ​1​= 0+0,47(0.830) 
𝑣 ​1​= 0,3901 m/s 
𝑣​1​=𝑣​0​+𝑎 ​2​ 𝑡​1 
𝑣​1​= 0+0,27(1.734) 
𝑣​1​= 0,46818 m/s 
X​2​=40 𝑣 ​2​=𝑣 ​0​+𝑎​1​ 𝑡 ​2 
𝑣 ​2​= 0+0,47(1.134) 
𝑣 ​2​=0,53298 m/s 
𝑣​2​=𝑣​0​+𝑎 ​2​ 𝑡​2 
𝑣​2​=0+0,27(2.367) 
𝑣​2​= 0,63909 m/s 
X​3​=60 𝑣 ​3​=𝑣 ​0​+𝑎 ​1​ 𝑡 ​3 
𝑣 ​3​= 0+0,47(1.501) 
𝑣 ​3​= 0,70547 m/s 
𝑣​3​=𝑣​0​+𝑎 ​2​ 𝑡​3 
𝑣​3​=0+0,27(2.834) 
𝑣​3​= 0,76518 m/s 
X​4​=80 𝑣 ​4​=𝑣 ​0​+𝑎 ​1​ 𝑡 ​4 
𝑣 ​4​= 0+0,47(1.734) 
𝑣 ​4​=0,81498 m/s 
𝑣​4​=𝑣​0​+𝑎 ​2​ 𝑡​4 
𝑣​4​= 0+0,27(3.234) 
𝑣​4​= 0,87318 m/s 
X​5​==100 𝑣 ​5​=𝑣 ​0​+𝑎 ​1​ 𝑡 ​5 
𝑣 ​5​= 0+0,47(2.001) 
𝑣 ​5​= 0,94047m/s 
𝑣​5​=𝑣​0​+𝑎 ​2​ 𝑡​5 
𝑣​5​=0+0,27(3.601) 
𝑣​5​= 0,97227 m/s 
 
 
 
7. Questionário 
1. Construa o gráfico da posição versus tempo em papel milimetrado e dilog. Ajustar a 
melhor curva entre os pontos experimentais. 
 
2. Construa o gráfico da posição versus o quadrado do tempo em papel milimetrado. Ajustar 
a melhor curva entre os pontos experimentais e determinar a função que melhor descreve o 
movimento investigado. 
 
3. Escolha o gráfico conveniente e determine a aceleração sofrida pelo objeto. 
 
4. Determine as funções do deslocamento e da velocidade que descrevem o movimento 
investigado experimentalmente. Calcule os valores da aceleração e da velocidade usando 
estas equações. 
R: As funções do deslocamento e velocidade são ​x = vt + ½ at​2 e v = v​0 + at. ​O cálculo da 
aceleração e velocidade foram calculados acima. 
 
5. Calcule o erro percentual entre o valor teórico e o obtido experimentalmente (pelo gráfico). 
 
6. Qual o significado físico da tangente de qualquer ponto da curva do gráfico x versus t? 
R: A tangente no gráfico x versus t nos fornece a velocidade do corpo em cada instante da 
curva. 
 
7. Qual o significado físico da tangente do gráfico v versus t? Qual o significado físico da 
área sobre a curva? 
R:​A partir da tangente do gráfico v versus t encontra-se o valor da aceleração. A área sobre a 
curva nos fornece o espaço transcorrido pela partícula. 
 
8. O ângulo de inclinação influencia o valor da aceleração do objeto? Explique. 
R: ​Sim, pois variando o ângulo, consequentemente, sua aceleração irá ser modificada pela 
variação do seno de θ. 
 
9. O que pode contribuir para os erros de medição? 
R: ​Os erros são causados pelo tempo de reação para a marcação do tempo. 
 
10. Utilizando as funções horárias do deslocamento e da velocidade deduza a expressão 
conhecida como equação de Torricelli 𝑣​2​=𝑣​0​2​+2𝑎(𝑥−𝑥0). 
R:​ Sabemos que v = v​0​ + at, isolando o ​t ​, temos: 
t= (v-v​0​) / a , ​substituindo na equação x=x0 + v0t + ½(at)​2​, ​obtemos: 
x-x​0​=vo(v​f​-v​0​ / a) + a/2 (v ​f​-v​0​ / a)​2 
Δx= (v​f ​v​0​- v​0​2​ / a ) + a/2(v​f ​2​ - 2v​f ​v​0​ + v​0​2​ / a​2​) 
Δx= (v​f ​v​0​ - v0​2​) / a + (v​f​2​ - 2v​f ​v​0​+ v​0​2​) / 2a 
2aΔx / 2a = (2v​f ​v​0​ - 2v​0​2​)/2a + (v​f​2​-2v​f ​v​0​+v​0​2​) / 2a 
2aΔx * 1 = 2v​f ​v ​0​ - 2v​0​2​ + v​f​2​ - 2v​f ​v​0​ + v​0​2 
2aΔx = -v​0​2​ + v​f​2 
vf^2 = v​0​2​ + 2aΔx 
 
 
8. Referências 
 
http://fisicaufpb.blogspot.com.br/p/roteiros-fisica-experimental-i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Conclusões 
 
Concluímos então para o fim do devido trabalho, com relação às experiências realizadas e as 
medidas obtidas por cada uma delas, que os erros dos dados sempre estão presentes nas 
preparações de problemas, já que somos impostos a uma série de fatores que podem 
ocasionar o desvio padrão presente nos dados. Logo por assim dizer, que ficamos satisfeitas 
com os dados obtidos uma vez que podemos correlacioná-las com a teoria da cinemática, 
revelando as ações do trabalho e providência da velocidade e aceleração do movimento da 
esfera, em que tais pudemos nos certificar, quanto às discussões dos resultados, onde 
percebemos a que a velocidade em função do tempo com conservação da aceleração é maior 
que a obtida experimentalmente, a média das acelerações experimentais aproximam-se da 
esfera, como também apresentaram diminuição de seus valores, revelando também uma 
desaceleração mais drástica quanto aos dados experimentais a olho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Bibliografia 
 
[1] Material disponibilizado pelo Prof. Joel 
[2]& Zemansky, Sear; Física I, Young e Freesman; Mecânica. 12ªedição, Edit.Pearson,2008