Oper Matriciais aula1 sem Mat

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Operações com Matrizes
Adição de Matrizes
Consideremos duas matrizes A e B do tipo 2  3 :
A  3 5 −2
2 8 −6 B 
1 −4 −1
7 0 2
Vamos determinar uma matriz C tal que cij  aij  bij:
c11  a11  b11  3  1  4 c21  a21  b21  2  7  9 c12  a12  b12  5  −4  1
c22  a22  b22  8  0  8 c13  a13  b13  −2  −1  −3 c23  a23  b23  −6  2  −4
Ou seja:
A  B  C
3 5 −2
2 8 −6 
1 −4 −1
7 0 2
 3  1 5  −4 −2  −1
2  7 8  0 −6  2 
4 1 −3
9 8 −4
A matriz C assim obtida denomina-se soma da matriz A com a matriz B.
Para exercitar:
Dadas as matrizes A  −2 4
0 −1 , B 
4 2
−6 0 e C 
3 0
−5 2 , calcule:
a) A  B b) A  C c) B  C d) A  B  C
Se as matrizes fossem de ordens diferentes a adição poderia ser feita?
Propriedades da adição de matrizes
Números reais Matrizes m  n
Comutativa a  b  b  a
Associativa a  b  c  a  b  c
Elemento Neutro a  0  0  a  a
Elemento Oposto a  −a  −a  a  0
Cancelamento a  b  a  c  b  c
Subtração de Matrizes
Sendo A e B duas matrizes do tipo m  n, denomina-se diferença entre A e B (representada por
A − B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B.
A − B  A  −B  C
A matriz C é chamada matriz diferença de A e B, nessa ordem.
Por exemplo,
A − B  A  −B  C
3 −2 5
10 0 −1 −
2 −3 6
−4 5 1 
3 −2 5
10 0 −1 
−2 3 −6
4 −5 −1 
1 1 −1
14 −5 −2
Para exercitar:
1
Dadas as matrizes A 
2 1
6 3
3 1
,B 
1 − 2
6 0
2 1
e C 
0 1
4 − 1
−2 6
, calcule:
a) A  B − C b) A − B  C c) A − B − C
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dada a matriz A  5 8 −1−4 3 6 , vamos determinar A  A.
A  A  5 8 −1−4 3 6 
5 8 −1
−4 3 6 
10 16 −2
−8 6 12 .
Considerando que A  A  2A, temos:
2A  2 5 8 −1−4 3 6 
2  5 2  8 2  −1
2  −4 2  3 2  6 
10 16 −2
−8 6 12
Observamos, então, que o produto de um número real pela matriz A é uma matriz que se obtém
multiplicando-se esse número por cada um dos elementos de A.
Para exercitar:
Se A  5 −4
2 10
, então calcule:
a) 3A b) 12 A
Multiplicação de Matrizes
A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até
então, ou seja, não basta multiplicar os elementos correspondentes.
Vamos tentar descobrir esse processo através de uma aplicação:
Uma companhia vende diferentes produtos e possui 4 filiais. A tabela abaixo é uma maneira
concisa de acompanhamento dos estoques.
Filial Esquis Varas Amarras Macacões
1 120 110 90 150
2 200 180 210 110
3 175 190 160 80
4 140 170 180 140
Suponha que os preços sejam: 220 reais para o esqui, 50 para a vara, 100 para amarra e 150 para
o macacão. Chame de A a matriz referente à tabela acima e de P a matriz coluna que expressa os
preços de cada mercadoria.
Encontre a matriz que representa o valor de estoque em cada loja.
2
Antes de definirmos a multiplicação de matrizes, vamos definir produto de linha por coluna.
Definição:
Sejam as matrizes A  aijmk e B  bijkn. Consideremos a linha i de A e a coluna j de B, isto é:
ai1 ai2 ai3 … aik e
b1j
b2j
b3j
…
bkj
.
O produto da linha pela coluna é: ai1b1j  ai2b2j  ai3b3j …aikbkj. Ou seja, multiplicamos,
ordenadamente, os elementos da linha i pelos elementos da coluna j e somamos os resultados
obtidos.
Podemos, agora, definir produto de matrizes.
Definição:
O produto da matriz A  aijmk pela matriz B  bijkn, que se indica por AB ou por A  B, é a
matriz C  cijmn tal que cada elemento cij é igual à soma dos produtos dos elementos da linha i
de A pelos elementos da coluna j de B.
Assim,
dadas as matrizes A 
3 2
5 0
1 4
e B  3 1
6 2
, para encontrar AB, procedemos assim:
AB 
3 2
5 0
1 4
3 1
6 2

Se A 
1 9
2 0
1 −1
e B 
2 0
5 1
4 −4
, calcule AB.
Para realizar a multiplicação de duas matrizes A e B, é preciso que ___________________.
Podemos notar que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Amk  Bkn  ABmn
↖↗nº de colunas de A igual ao nº de linhas de B
Para exercitar:
a) O produto de uma matriz A de ordem 2  3 por outra B de ordem 3  5 existe? E a matriz
produto, caso exista, tem que ordem?
b) Comutando as matrizes acima (fazendo BA ao invés de AB), o produto existe? Explique:
3
c) Considere B  3 1
6 2
. Encontre a matriz B2.Agora responda: a matriz B2 pode ser obtida
simplesmente elevando-se ao quadrado os elementos da matriz B? Lembre sempre desta
resposta!
Propriedades da multiplicação de matrizes
1. Propriedade associativa: sendo A, B e C matrizes de tipos m x n, n x k, k x p, respectivamente,
temos que ABC  ABC.
Explique por que é possível fazer essas multiplicações.
2. Propriedade distributiva à direita: sendo A,B e C matrizes de tipos m x n, m x n e n x k,
respectivamente, tem-se que A  BC  AC  BC.
3. Propriedade distributiva à esquerda: sendo A,B e C matrizes de tipos m x n, n x k e n x k,
respectivamente, tem-se que AB  C  AB  AC.
4. Sendo A uma matriz do tipo m x n, tem-se que: AIn  A e ImA  A, ou seja, o elemento neutro
da multiplicação de matrizes é a matriz identidade I.
Qual o elemento neutro da multiplicação de números reais?
5. Sendo A e B matrizes de tipos m x n e n x k, respectivamente, e sendo r um número qualquer,
tem-se que rAB  ArB  rAB.
6. Sendo A e B matrizes de tipos m x n e n x k, respectivamente, tem-se que AB t  BtAt.
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX  In e XA  In, então X é
chamada de matriz inversa de A e é indicada por A−1. Dizemos que A é uma matriz inversível.
Dada a matriz A  1 −1
2 0
, mostre que sua inversa é A−1  0
1
2
−1 12
.
Exercícios:
1. Dadas as matrizes A  −2 4
0 −1 ;B 
4 2
−6 0 e C 
3 0
−5 2 , calcule:
a) A  B b) A  C c) B  C d) A  B  C
e) A  B − C f) A − B  C g) A − B − C
2. A e B são duas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são dados por bij  aij2 e
aij  3i − 2j. Calcule A − B.
3. Sendo A  2 0 −1−4 1 3 e B 
0 −1 2
5 0 6
, determine:
a) −2B b) 12 A c) 2A  3B d) 3A − 12 B
4. Prove, através de um exemplo, que a propriedade comutativa da multiplicação não é válida
para matrizes.
5. Determine os produtos:
a)
6 5
1 0
2 4
1 3
b)
1 3 6
2 5 1
4 0 2
5 0
2 4
3 2
c)
4
5 1
3 2
0 5 1 6
2 −1 4 −3
6. Calcule a matriz X sabendo que:
a) A  4 1
2 −1 ,B 
24
6
e AX  B
b) A  1 2
0 1
,B  2
1
e AX  B
c) X
2 4
2 5
 I2
7. Sendo A  2 1
3 2
e B  1 5
2 −2 , determine:
a) 3A t b) AtB c) AAt d) AtBt eA  B t
8. Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de:
a) A  5 8
2 3
b) A  3 2
6 4
9. Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus
três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:
Modelo
Componentes
A B C
Eixos 2 3 4
Rodas 4 6 8
.
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela:
Meses
Modelo
Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15
.
Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas
rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção
planejada ?
10. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num
restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na
composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante.
C 
1
3
2
arroz
carne
salada
P 
2 1 1
1 2 1
2 2 0
prato P1
prato P2
prato P3
.
Determine a matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3.
11. Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere amatriz A  aij abaixo, em que aij representa quantas unidades do material j serão
empregadas para fabricar uma roupa do tipo i.
A 
5 0 2
0 1 3
4 2 1
.
5
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa tipo 2 ?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas
do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
12. Uma indústria de alimentos trabalha basicamente com dois cereais na composição de três
produtos básicos. Os cereais que chamaremos de A e B, têm as seguintes quantidades de
proteína, carboidrato e gordura, para cada 30g, representada na matriz M.
M 
4g 2g
20g 16g
3g 1g
proteínas
carboidratos
gorduras
Chamaremos X, Y e Z, os três produtos fabricados pela indústria. Eles têm a composição de
cereais indicada na matriz N.
N  450g 300g 150g
150g 300g 450g
cereal A
cereal B
ProdutoX ProdutoY ProdutoZ
A partir dessas matrizes, determine qual desses produtos é o mais rico em proteínas e qual deles
pode ser indicado como dietético, ou seja, qual deles é o mais pobre em gordura.
13. Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para a produção desses doces são utilizados
os ingredientes amendoim, castanhas e nozes, conforme indica a tabela:
Doces
Ingredientes
A B
amendoim 5g 8g
castanhas 3g 2g
nozes 4g 7g
Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B, por dia. Determine a
quantidade de amendoim, castanhas e nozes utilizadas ao todo, por dia.
Referências Bibliográficas:
DANTE, L.R.Matemática, Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática, 2000.
BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática. São Paulo: Moderna, 2000.
BEZERRA, M.J. Matemática para o ensino médio.São Paulo: Scipione, 2001.
GIOVANNI, J.R. e outros; Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 1994.
Matrizes_operações - Respostas dos exercícios
1. a 2 6−6 −1 b
1 4
−5 1 c
7 2
−11 2 d
5 6
−11 1 e
−1 6
−1 −3
f −3 2
1 1
g −9 2
11 −3
2.
0 −2
−12 −2
3. a 0 2 −4−10 0 −12 b
1 0 − 12
−2 12 32
c 4 −3 4
7 2 24
d 6
1
2 −4
− 292 3 6
4. a ser discutido em aula
6
5. a 17 39
2 4
b
29 24
23 22
26 4
c 2 24 9 27
4 13 11 12
6. a 5
4
b 0
1
c
5
2 −2
−1 1
7. a 6 9
3 6
b 8 4
5 1
c 5 8
8 13
d 17 −2
11 −2 e
3 5
6 0
8. a −3 8
2 −5 b não existe A
−1
9.
215 154
430 308
10.
7
9
8
11. aa23  3 b33
12.
70 60 50
380 360 340
50 40 30
13.
410
190
340
7