Lista de exercicios da Unidade 6

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Lista de exercícios da Unidade 6 
 
Seção 6.1 
 
1) Determine as integrais indefinidas: 
(a) ∫(𝑥 − 2)4 𝑑𝑥 (b) ∫
2
(𝑡−9)2
𝑑𝑡 (c) ∫
2 𝑡 − 1
𝑡2 − 𝑡 + 2
𝑑𝑡 
(d) ∫
𝑒3 𝑥
1−𝑒3 𝑥 
𝑑𝑡 (e) ∫
𝑡
√1−𝑡2
𝑑𝑡 (f) ∫ 𝑦2 √𝑦 + 1
3 𝑑𝑡 
 
2) Determine as integrais definidas: 
(a) ∫ √2𝑥 + 1
4
0
𝑑𝑥 (b) ∫ 3 𝑥 𝑒𝑥
21
0
𝑑𝑥 (c) ∫
𝑥
(𝑥+4)2
4
0
𝑑𝑥 (d) ∫ 𝑥 (1 − 𝑥)3
0,5
0
𝑑𝑥 
 
3) Nos exercícios abaixo, determine a área da região limitada pelas curvas das equações. Em 
seguida, use um programa de plotagem para representar graficamente a região. 
(a) 𝑦 = 𝑥 √𝑥 − 3 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 7 (b) 𝑦 = 𝑥2 √1 − 𝑥 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = −3 
(c) 𝑦 =
𝑥2−1
√2𝑥−1
 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 5 (d) 𝑦 = 𝑥 √𝑥 + 1
3
 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 , 𝑥 = 7 
 
Seção 6.2 
 
1) Nos exercícios abaixo use o método de integração por partes para determinar a integral 
indefinida. 
(a) ∫ 𝑥 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 (b) ∫ 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 (c) ∫ ln 2𝑥 𝑑𝑥 
 
2) Nos exercícios abaixo, determine a integral indefinida. (Nem sempre o melhor método é o da 
integração por partes.) 
(a) ∫ 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 (b) ∫ 𝑥 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 (c) ∫ 𝑡 ln(𝑡 + 1) 𝑑𝑡 
(d) ∫ 𝑥 (ln 𝑥)2 𝑑𝑥 (e) ∫ 𝑥 (𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 (f) ∫
𝑥 𝑒2𝑥
(2𝑥+1)2
𝑑𝑥 
 
3) Nos exercícios abaixo, determine a integral definida. 
(a) ∫ 𝑥2 𝑒𝑥
1
0
𝑑𝑥 (b) ∫ 𝑥5 ln 𝑥
𝑒
1
 𝑑𝑥 
 
4) Nos exercícios abaixo, determine a integral indefinida usando o método especificado. 
(a) ∫ 2𝑥 √2𝑥 − 3 𝑑𝑥 
(a1) Por partes, fazendo 𝑑𝑣 = √2𝑥 − 3 𝑑𝑥 
(a2) Por substituição, fazendo 𝑢 = √2𝑥 − 3 
(b) ∫
𝑥
√4+5𝑥
𝑑𝑥 
(b1) Por partes, fazendo 𝑑𝑣 =
1
√4+5𝑥
𝑑𝑥 
(b2) Por substituição, fazendo 𝑢 = √4 + 5𝑥. 
 
5) Determine a área da região limitada pela curva: 
(a) 𝑦 = 𝑥 𝑒−𝑥 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 4 (b) 𝑦 =
1
9
𝑥 𝑒−
𝑥
3⁄ , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 , 𝑥 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 6.3 
 
1) Nos exercícios abaixo, decomponha a expressão em frações parciais. 
(a) 
2 (𝑥+20)
𝑥2−25
 (b) 
3𝑥2−2𝑥−5
𝑥3+𝑥2
 (c) 
8𝑥2+15𝑥+9
(𝑥+1)3
 
 
2) Nos exercícios abaixo, determine a integral indefinida. 
(a) ∫
5−𝑥
2𝑥2+𝑥−1
𝑑𝑥 (b) ∫
𝑥2+12𝑥+12
𝑥3−4𝑥
𝑑𝑥 (c) ∫
𝑥4
(𝑥−1)3
𝑑𝑥 
(d) ∫
3𝑥2+3𝑥+1
𝑥(𝑥2+2𝑥+1)
𝑑𝑥 
 
3) Nos exercícios abaixo, calcule a integral definida. 
(a) ∫
𝑥−1
𝑥2(𝑥+1)
5
1
𝑑𝑥 (b) ∫
𝑥2−𝑥
(𝑥2+𝑥+1)
1
0
𝑑𝑥 (c) ∫
𝑥3
(𝑥2−2)
1
0
𝑑𝑥 
(d) ∫
𝑥3−4𝑥2−3𝑥+3
(𝑥2−3𝑥)
2
1
𝑑𝑥 
 
4) Uma organização de defesa do meio ambiente solta 100 animais de uma espécie ameaçada de 
extinção em uma reserva biológica. A organização acredita que a reserva tenha capacidade para 
sustentar 1000 animais e que a manada aumente de acordo com o modelo de crescimento 
logístico, ou seja, que o tamanho y da manada seja dado pela equação ∫
1
𝑦 (1000−𝑦)
𝑑𝑦 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡, 
onde t é medido em anos. Determine essa curva logística. Considere y = 100 para t = 0 e y = 134 
para t = 2. 
 
5) Um único indivíduo infectado entra em contato com uma comunidade de 500 indivíduos 
suscetíveis à doença. A doença se dissemina a uma taxa proporcional ao produto do número de 
pessoas infectadas pelo número de pessoas suscetíveis que ainda não foram infectadas. O tempo 
que a doença leva para infectar x indivíduos é dado pela função 𝑡 = 5010 ∫
1
(𝑥+1) (500−𝑥)
𝑑𝑥 , onde 
t é o tempo em horas. 
(a) Determine o tempo necessário para que 75 da população seja infectada (para t = 0 , x = 1) 
(b) Determine o número de pessoas infectadas após 100 horas. 
 
6) Em um campus universitário, 50 estudantes voltam das férias com uma gripe altamente 
contagiosa. A taxa de disseminação do vírus pode ser modelada pela função 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
=
100𝑒−0,1𝑡
(1+4𝑒−0,1𝑡)2
 , 
onde N é o número de estudantes infectados após t dias. 
(a) Determine o número de estudantes infectados t dias após o reinício das aulas. 
(b) Se nada for feito para conter a epidemia, o vírus chegará a infectar metade dos 1000 
estudantes? Justifique sua resposta. 
 
Seção 6.4 
 
1) Nos exercícios abaixo, use a equação indicada da tabela de integrais desta seção para 
determinar a integral indefinida. 
(a) ∫
𝑥
(2+3𝑥)2
𝑑𝑥 , 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 4 (b) ∫
𝑥
√2+3𝑥
𝑑𝑥 , 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 19 
(c) ∫
2𝑥
√𝑥4−9
𝑑𝑥 , 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 25 (d) ∫
𝑥
1+𝑒𝑥
2 𝑑𝑥 , 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 37 
 
2) Nos exercícios abaixo, use a tabela de integrais desta seção para determinar a integral 
indefinida. 
(a) ∫
1
𝑥(1+𝑥)
𝑑𝑥 (b) ∫
1
𝑥 √𝑥2+9
𝑑𝑥 (c) ∫
𝑡2
(2+3𝑡)3
𝑑𝑡 
(d) ∫
𝑠
𝑠2 √3+𝑠
𝑑𝑠 (e) ∫
√𝑥2−9
𝑥2
𝑑𝑥 (f) ∫
1
𝑥2 √𝑥2−4
𝑑𝑥 
 
3) Determine a integral indefinida usando a tabela de integrais desta seção e usando o método 
especificado. 
(a) ∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 (b) ∫ 𝑥4 ln 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
(c) ∫
1
𝑥2 (𝑥+1)
𝑑𝑥 ; 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 (d) ∫
1
𝑥2−75
𝑑𝑥 ; 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 
 
4) Nos exercícios abaixo, complete o quadrado e use a tabela de integração desta seção para 
determinar a integral indefinida. 
(a) ∫
1
𝑥2+6𝑥−8
𝑑𝑥 (b) ∫
1
(𝑥−1) √𝑥2−2𝑥+2
𝑑𝑥 (c) ∫
1
2𝑥2−4𝑥−6
𝑑𝑥 
(d) ∫
𝑥
 √𝑥4+2𝑥2+2
𝑑𝑥 
Seção 6.5 
 
1) Nos exercícios abaixo, determine o valor da integral imprópria, se isso for possível. 
(a) ∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
∞
0
 (b) ∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥
0
−∞
 (c) ∫
𝑥
√𝑥2−16
 𝑑𝑥
∞
5
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) ∫
𝑒√𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥
∞
1
 (e) ∫ 2 𝑥 𝑒−3 𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
−∞
 
 
2) Nos exercícios abaixo, determine o valor da integral imprópria, se isso for possível. 
(a) ∫
1
√𝑥
 𝑑𝑥
4
0
 (b) ∫
1
√𝑥−3
 𝑑𝑥
4
3
 
 
 
 
 
 
(c) ∫
1
(𝑥−1)2/3
 𝑑𝑥
2
0
 (d) ∫
1
(𝑥−1)2
 𝑑𝑥
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Nos exercícios abaixo, determine o valor da integral imprópria. 
(a) ∫
1
√𝑥−1
3 𝑑𝑥
2
0
 (b) ∫
1
√𝑥2−1
 𝑑𝑥
4
3
 (c) ∫
1
𝑥2 √𝑥2−9
 𝑑𝑥
5
3