Unidade 5 Integracao e Suas Aplicacoes

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Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 380 
 
5.1. Antiderivadas e Integrais Indefinidas 
5.2. A Regra da Potência Generalizada 
5.2.1. Integrais de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
5.3. Áreas e o Teorema Fundamental do Cálculo 
5.4. A Área de uma Região Limitada por Duas Curvas 
5.4.1. Aproximação Numérica da Integral 
5.5. Volumes de Sólidos de Revolução 
5.6. Exercícios 
 
 
Unidade 5 – Integração e suas Aplicações 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 381 
5.1- Antiderivadas e Integrais Indefinidas 
- Diferenciais 
 Quando definimos derivada como o limite da razão ∆ 𝑦/∆ 𝑥, quando ∆ 𝑥 → 0, parecia natural 
conservar o simbolismo de quociente para o próprio limite. 
 Assim, a derivada de y em relação à x foi representada como: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = lim
∆𝑥→0
 
∆𝑦
∆𝑥
 
embora o símbolo 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 não fosse interpretado como a razão de duas grandezas e sim um operador 
denominado Operador Derivada. 
 
- Definição de Diferencial 
 Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função derivável. 
 A diferencial de x (representada por dx) é qualquer número real diferente de zero. 
 A diferencial de y (representada por dy) é dada por: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥. 
 
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 Como se pode ver na Figura 3.61, a variação em y correspondente a uma variação em x é dada por: 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) . 
 
Quanto menor o valor de ∆𝑥, mais o valor de ∆𝑦 se aproxima do 
valor de dy. 
 
Para ∆𝑥 suficientemente pequeno, ∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦 e: 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥. 
 
Essa aproximação da reta tangente constitui a base para a 
maioria das aplicações das diferenciais. 
 
 
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- Equações das Diferenciais 
 Utilizamos a definição de diferencial para escrever as regras de derivação na forma diferencial. 
 Assim, por exemplo, se u e v são funções deriváveis de x, então 𝑑𝑢 = (
𝑑𝑢
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 e 𝑑𝑣 = (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 , 
e, portanto, a Regra do Produto pode ser escrita na seguinte forma diferencial: 
 
 
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O quadro abaixo mostra as formas diferenciais das regras de derivação apresentadas na Unidade 3. 
 
 
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Exemplo 
Determinar o diferencial dy de cada função: 
 
 
 
 
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- Antiderivadas 
 Até o momento, estivemos preocupados com o seguinte problema: dada uma função, determinar a 
derivada. Muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso: dada a derivada de 
uma função, determinar a função. 
 Essa operação de determinar a função original a partir da derivada é a operação inversa da derivação, 
conhecida como antiderivação. 
 
- Definição de Antiderivada 
Uma função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) se, para qualquer x no domínio de f(x), 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 
 
 Se F(x) é uma antiderivada de f(x), então F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária, também é uma 
antiderivada de f(x). Assim, por exemplo, 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 , 𝐺(𝑥) = 𝑥3 − 5 , e 𝐻(𝑥) = 𝑥3 − 0,3 
são antiderivadas de 3 𝑥2 por que a derivada dessas três funções é 3 𝑥2. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 387 
 Na verdade, todas as antiderivadas de 3 𝑥2 são da forma 𝑥3 + 𝐶. 
 
 Assim, o processo de antiderivação não determina uma única função, e sim uma família de funções 
cuja diferença em seus componentes é uma constante. 
 
- Notação de Antiderivadas e Integrais Indefinidas 
 O processo de antiderivação também é chamado de integração, e é representado pelo símbolo: 
∫ 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 
que recebe o nome de Sinal de Integral. 
 O símbolo 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 
representa a integral indefinida de f(x), que inclui todas as antiderivadas de f(x). 
 
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 Assim, se 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para qualquer valor de x, podemos escrever: 
∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
onde f(x) é o integrando; 
 C é a constante de integração e 
 A diferencial dx identifica a variável de integração. 
 Assim, o símbolo ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 representa a "antiderivada de f(x) em relação à x"; 
da mesma forma que o símbolo " 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦" representa a “derivada de y em relação à x”. 
 
- Determinação de Antiderivadas 
 A relação entre as operações de integração e derivação, como mutuamente inversas, pode ser 
mostrada simbolicamente, da seguinte forma: 
𝑑
𝑑𝑥
[ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥) A derivação é o inverso da integração 
∫𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 A integração é o inverso da derivação 
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 Essa relação entre integração e derivação permite obter as expressões de integração a partir das 
expressões de derivação. 
 O quadro abaixo mostra algumas expressões de integração que correspondem a expressões de 
derivação já conhecidas e estudadas. 
 
 Observe que a Regra da Potência inclui a restrição de que n não pode ser igual a -1. 
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Exemplo 1 
Determine ∫3 𝑥 𝑑𝑥 . 
Solução 
Reescrevendo o integrando para a utilização da Regra da Potência: 
∫3 𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 Regra da Multiplicação por uma Constante 
∫3 𝑥 𝑑𝑥 = 3 (
𝑥2
2
) + 𝐶 Regra da Potência com n = 1 
∫3 𝑥 𝑑𝑥 =
3
2
 𝑥2 + 𝐶 Simplificar 
 
 Observe, a partir desse exemplo, que o padrão geral da integração é semelhante ao da derivação. 
 
 
 
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Exemplo 2 
Determine as integrais indefinidas: 
(a) ∫
1
𝑥3
 𝑑𝑥 (b) ∫√𝑥 𝑑𝑥 
Solução 
Reescrevendo o integrando para a utilização da Regra da Potência: 
 
 
 
 
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Exemplo 3 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 (b) ∫(3 𝑥4 − 5 𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 
Solução 
(a) Reescrevendo o integrando, com identidades trigonométricas, para uma forma conhecida de derivada. 
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(
1
cos 𝑥
) (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
) 𝑑𝑥 
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(sec 𝑥)(tan 𝑥) 𝑑𝑥 
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 
 
(b) Utilize as várias regras básicas de integração para calcular esta integral. 
∫(3 𝑥4 − 5 𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 = 3 (
𝑥5
5
) − 5 (
𝑥3
3
) + (
𝑥2
2
) + 𝐶 
 
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Exemplo 4 
Determine a integral indefinida: 
∫
𝑥 + 1
√𝑥
 𝑑𝑥 
Solução 
Reescrevendo o integrando para a utilização da Regra da Potência: 
∫
𝑥 + 1
√𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(
𝑥
√𝑥
+ 
1
√𝑥
) 𝑑𝑥 
 = ∫(𝑥
1
2⁄ + 𝑥− 
1
2⁄ ) 𝑑𝑥 
 = 
𝑥
3
2⁄
3
2⁄
 + 
𝑥
1
2⁄
1
2⁄
+ 𝐶 
 = 
2
3
 𝑥
3
2⁄ + 2 𝑥
1
2⁄ + 𝐶 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 394 
- Soluções Particulares 
 Uma equação diferencial é aquela que envolve as variáveis x, y e derivadas de y. 
 A equação 𝑦 = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 é equivalente à equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) cuja solução apresenta um 
número infinito de soluções, que diferem apenas por uma constante. 
 Isto significa que as curvas das antiderivadas de f(x) diferem, entre si,apenas por uma translação vertical. 
 A Figura 5.1 mostra, por exemplo, as curvas de várias antiderivadas da 
função 𝑓(𝑥) = 3 𝑥2 − 1. Portanto, 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 e: 
∫𝑑𝑦 = 𝑦 = 𝐹(𝑥) = ∫(3 𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 
 
onde 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 é chamada de solução geral da equação 
diferencial. 
 
 Em muitas aplicações, dispomos de informações suficientes para obter uma 
solução particular a partir da solução geral. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 395 
 Para tal, basta conhecermos F(xi) na coordenada xi (informação denominada condição inicial). 
 Assim, por exemplo, na Figura 5.1, existe apenas uma curva que passa pelo ponto (2 , 4). 
Para determinarmos essa solução particular, basta combinarmos a solução 
geral com o valor inicial (Condição Inicial – CI). 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 Solução geral 
𝐹(2) = 4 Condição Inicial 
 
Substituindo a condição inicial na solução geral, obtemos: 
𝐹(𝑥) = 23 − 2 + 𝐶 = 4 , 
o que nos dá: 
𝐶 = −2 . 
Assim, a solução particular é: 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 − 2 Solução particular 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 396 
Exemplo 5 
Determine a solução geral da equação 𝐹′(𝑥) = 2 𝑥 − 2 e a solução particular que satisfaz a condição 
inicial 𝐹(1) = 2. 
Solução 
- Determinando a integral da função dada para encontrar a solução geral. 
𝐹(𝑥) = ∫(2 𝑥 − 2) 𝑑𝑥 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 2 𝑥 + 𝐶 
 
- Determinando a constante de integração por meio das condições iniciais. 
𝐹(1) = (1)2 − 2 (1) + 𝐶 = 2 
𝐶 = 3 
 
- Explicitando a solução particular. 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 2 𝑥 + 3 
 
Algumas curvas da solução geral e a solução particular estão ilustradas na Figura 5.2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 397 
Exemplo 6 
Uma bola é arremessada para cima, com uma velocidade inicial de 𝑣0 = 64 𝑝é𝑠/𝑠 a partir de uma altura 
de 𝑠0 = 80 𝑝é𝑠, como mostra a Figura 5.3. 
Determine a função posição [s(t)] da bola. Quanto tempo leva a bola para chegar ao chão? 
Solução 
- Determinando as condições iniciais 
Seja t = 0, o instante inicial. As duas C I’s são as seguintes: 
𝑆(0) = 𝑠0 = 80 Altura inicial 
𝑆′(0) = 𝑣0 = 64 Velocidade inicial 
- Determinando a função velocidade 
Sabendo que a aceleração da gravidade é constante e igual a: 
𝑔 = −32 𝑝é𝑠/𝑠2: 
𝑆′′(𝑡) = −𝑔 Função aceleração 
𝑑 𝑆′(𝑡)
𝑑 𝑡
= 𝑆′′(𝑡) ⟹ 𝑆′(𝑡) = ∫𝑆′′(𝑡) 𝑑𝑡 = −∫𝑔 𝑑𝑡 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 398 
𝑆′(𝑡) = −𝑔 𝑡 + 𝐶1 Função velocidade 
Com a condição inicial da velocidade obtemos 𝐶1 = 𝑣0 . 
𝑆′(𝑡) = −𝑔 𝑡 + 𝑣0 
- Determinando a função posição 
𝑑 𝑆(𝑡)
𝑑 𝑡
= 𝑆′ (𝑡) ⟹ 𝑆(𝑡) = ∫𝑆′(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫(−𝑔 𝑡 + 𝑣0) 𝑑𝑡 
𝑆(𝑡) = −
𝑔
2
 𝑡2 + 𝑣0 𝑡 + 𝐶2 Função posição 
Com a condição inicial da posição obtemos 𝐶2 = 𝑠0. 
𝑆(𝑡) = −
𝑔
2
 𝑡2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑠0 ⟹ 𝑆(𝑡) = −16 𝑡
2 + 64 𝑡 + 80 
- Domínio prático: 𝑡 ∈ [0 ,∞). 
- Determinando o tempo que a bola leva para chegar ao chão. 
𝑆(𝑡) = −16 𝑡2 + 64 𝑡 + 80 = 0 
𝑡1 = −1 𝑒 𝑡2 = 5 
Logo, a bola leva 5 s para chegar ao chão. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 399 
5.2- A Regra da Potência Generalizada 
 A adequação do integrando a uma forma analítica conhecida pode demandar também uma mudança 
de variáveis para facilitar a integração. 
 Por exemplo, suponhamos que queremos encontrar uma forma conhecida para o integrando: 
∫2𝑥 (𝑥2 + 1)3 𝑑𝑥 
Se imaginarmos a substituição 𝑢 = 𝑥2 + 1 , então 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 𝑥 teremos a regra da cadeia aplicada à variável 
u e o cálculo da antiderivada para o novo integrando na forma de potência será: 
∫(𝑥2 + 1)3⏞ 
𝑢3
 2 𝑥⏟
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 ⟹⏟
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠
 ∫ 2𝑥 (𝑥2 + 1)3 𝑑𝑥 =
1
4
(𝑥2 + 1)4 + 𝐶 
Porém, a integração é feita no domínio da variável x. 
 Este é um exemplo da chamada Regra da Potência Generalizada para integração. 
 
- Regra da Potência Generalizada para Integração 
Se u é uma função derivável de x, então: 
∫𝑢𝑛 (
𝑑𝑢
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥
⏟ 
𝑑𝑢
≡ ∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 , 𝑛 ≠ −1 
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Exemplo 1 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫3 (3 𝑥 − 1)4 𝑑𝑥 
 
 
(b) ∫(2 𝑥 + 1) (𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
(c) ∫3 𝑥2 √𝑥3 − 2 𝑑𝑥 
 
 
(d) ∫
−4 𝑥
(1−2 𝑥2)2
 𝑑𝑥 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 401 
Exemplo 2 
Determine ∫𝑥 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 
Solução: 
- Identificando a variável u: 
Seja 𝑢 = 3 − 4 𝑥2 ⟹ 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −8 𝑥. 
 
- Criando, no integrando, um fator igual a 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −8 𝑥. 
É preciso multiplicar o integrando com o elemento neutro da multiplicação 
−8
−8
. 
- Aplicando a Regra da Potência: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 402 
Exemplo 3 (Um caso no qual a Regra da Potência Generalizada não funciona) 
Determine ∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 
Solução: 
- Identificando a variável u: 
Seja 𝑢 = 3 − 4 𝑥2 ⟹ 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −8 𝑥. 
- Criando, no integrando, um fator igual a 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −8 𝑥 
É preciso multiplicar o integrando com o elemento neutro da multiplicação 
𝑥
𝑥
. 
Porém, essa estratégia não funciona com variáveis visto que a integral resultante não teria sentido: 
∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 ≠ 
1
𝑥
 ∫(3 − 4 𝑥2)2 (−8 𝑥) 𝑑𝑥 
A solução é expandir o integrando e aplicar a Regra da Potência. 
∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 = ∫(−72 + 192 𝑥2 − 128 𝑥4) 𝑑𝑥 
∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 = −72 𝑥 + 64 𝑥3 −
128
5
 𝑥5 + 𝐶 
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Exemplo 4 
Determine ∫7 𝑥2 √𝑥3 + 1 𝑑𝑥 . 
Solução 
- Identificando a variável u: 
Seja 𝑢 = 𝑥3 + 1 ⟹ 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3 𝑥2. 
- Criando, no integrando, um fator igual a 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3 𝑥2 
É preciso multiplicar o integrando com o elemento neutro da multiplicação 
3
3
. 
Porém, o fator 7/3 não é necessário como parte de du/dx e pode ser colocado para fora do integral. 
- Aplicando a Regra da Potência. 
 
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- Substituição (𝑢𝑛) (𝑑𝑢) 
 A técnica de integração utilizada nos Exemplos 1 a 4 depende da capacidade de criação de um 
integrando da forma (𝑢𝑛) (𝑢′) ou equivalente à regra da cadeia agregada à regra da potência. 
 No caso de integrandos complicados, é difícil identificar os passos necessários para expressar o 
integrando na forma supracitada. 
 Quando isso acontece, um método alternativo, conhecido como substituição ou mudança de 
variável, pode ser empregado. 
 Nesse método, escrevemos a integral inteira em termos de u e du. 
 A integração é realizada no domínio da variável u. 
 Se u = f(x), então 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥, e a Regra da Potência Generalizada assume a forma: 
∫𝑢𝑛 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 = ∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 405 
Exemplo 5 
Determine ∫√1 − 3 𝑥 𝑑𝑥. 
Solução 
- Identificando a variável u como: 𝑢 = 1 − 3𝑥. 
 Nesse caso, 𝑑𝑢 = −3 𝑑𝑥. 
 Isso significa que 𝑑𝑥 = −𝑑𝑢 3⁄ , e teremos o cálculo da integral como: 
- Aplicando a Regra da Potência: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 406 
5.2.1 - Integrais de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
- Utilizando as Regras da Exponencial 
 Para cada uma das regras de derivação das funçõesexponenciais existe uma regra de integração 
correspondente. 
 
- Integrais de Funções Exponenciais 
Seja u uma função derivável de x. 
∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
∫𝑒𝑢 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 407 
Exemplo 1 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 (b) ∫2 𝑒2 𝑥 𝑑𝑥 (c) ∫(𝑒𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 
Solução: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 408 
Exemplo 2 
Determine ∫𝑒3 𝑥+1 𝑑𝑥. 
Solução: 
- Identificando a variável u. 
Seja 𝑢 = 3 𝑥 + 1 e, portanto 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = 3. 
Podemos introduzir o fator 3 no integrando multiplicando e dividindo por 3. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 409 
Exemplo 3 
Determine ∫5 𝑥 𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥. 
Solução: 
- Identificando a variável u. 
Seja 𝑢 = −𝑥2 e, portanto 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = −2 𝑥. 
Podemos introduzir o fator (-2 x) no integrando multiplicando e dividindo por (-2). 
 
 
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- Utilizando as Regras do Logaritmo 
 Quando as Regras da Potência para integração foram apresentadas nas Seções 5.1 e 5.2, observamos 
que não eram válidas para n = -1. 
 As Regras do Logaritmo para integração se aplicam justamente às funções que não são cobertas 
pelas Regras da Potência, ou seja, funções da forma ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 ou ∫𝑢−1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 ou ainda ∫
1
𝑢
 𝑑𝑢. 
 
- Integrais de Funções Logarítmicas 
Seja u uma função derivável de x. 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 
∫ 
1
𝑢
 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 411 
 Essas regras são fáceis de demonstrar por derivação. 
 Para demonstrar que 
𝑑
𝑑𝑥
[ln|𝑥|] , basta observar que: 
ln|𝑥| = 𝑦 
𝑒𝑦 = |𝑥| 
Para 𝑥 > 0: 
𝑒𝑦 = 𝑥 
Derivando: 
(𝑒𝑦)′ = (𝑥)′ ⟹ 𝑒𝑦 𝑦 ′ = 1 ⟹ 𝑦 ′ =
1
𝑒𝑦
=
1
𝑥
 
Para 𝑥 < 0: 
𝑒𝑦 = −𝑥 
Derivando: 
(𝑒𝑦)′ = (−𝑥)′ ⟹ 𝑒𝑦 𝑦′ = −1 ⟹ 𝑦 ′ =
−1
𝑒𝑦
=
−1
−𝑥
=
1
𝑥
 
Assim, 
𝑑
𝑑𝑥
[ln 𝑥] = 
1
𝑥
 e 
𝑑
𝑑𝑥
[ln(−𝑥)] = 
−1
−𝑥
= 
1
𝑥
 
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Exemplo 4 
Determine as integrais indefinidas: 
(a) ∫
4
𝑥
 𝑑𝑥 (b) ∫
2 𝑥
𝑥2
 𝑑𝑥 (c) ∫
3
3 𝑥 + 1
 𝑑𝑥 
Solução: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 413 
Exemplo 5 
Determine ∫
1
2𝑥 − 1
 𝑑𝑥. 
Solução: 
- Identificando a variável u. 
 Seja 𝑢 = 2 𝑥 − 1 ; então 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = 2 . 
 Podemos criar o fator 2 no integrando multiplicando e dividindo por 2. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 414 
Exemplo 6 
Determine ∫
6𝑥
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 . 
Solução: 
- Identificando a variável u. 
 Seja 𝑢 = 𝑥2 + 1 ; então 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = 2 𝑥 . 
 Podemos criar o fator 2x no integrando dividindo e multiplicando por 3. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 415 
Exemplo 7 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫
3 𝑥2+2 𝑥−1
𝑥2
 𝑑𝑥 (b) ∫
1
1 + 𝑒−𝑥
 𝑑𝑥 (c) ∫
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1
 𝑑𝑥 
Solução: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 416 
Exemplo 8 
Encontre ∫
2 𝑥
(𝑥 + 1)2
 𝑑𝑥. 
 
 
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5.3- Áreas e o Teorema Fundamental do Cálculo 
- Áreas e Integrais Definidas 
 A área é um número que define o tamanho de uma região fechada. 
 No caso de regiões simples, como retângulos, triângulos e círculos, as áreas 
podem ser calculadas por meio de equações geométricas. 
 Técnicas do Cálculo podem ser utilizadas para a determinação do tamanho 
de uma região irregular fechada como a que aparece na Figura 5.5. 
 
- Definição de Integral Definida 
Seja f(x) uma função não negativa e contínua no intervalo [a , b]. 
A área da região limitada pela curva de f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é representada por: 
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
A expressão ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 é chamada de integral definida da função f(x) de (a) a (b), 
onde, (a) é o limite inferior de integração e (b) é o limite superior de integração. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 418 
Exemplo 1 
Determine ∫ 2 𝑥
2
0
 𝑑𝑥 . 
Solução: 
Essa integral definida representa a área da região limitada pela curva da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , o eixo x e a 
reta x = 2, como mostra a Figura 5.6. 
Não sabemos como resolver a integral definida. 
No entanto, o gráfico da função pode ser feito e verificamos que a região 
delimitada pelos limites de integração é triangular, com uma altura de quatro 
unidades e uma base de duas unidades. 
Então teremos a seguinte equivalência da geometria: 
∫ 2𝑥
2
0
 𝑑𝑥 = 
1
2
 (𝑏𝑎𝑠𝑒) (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) Expressão da área do triângulo 
∫ 2𝑥
2
0
 𝑑𝑥 = 
1
2
 (2) (4) = 4 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 419 
- O Teorema Fundamental do Cálculo 
 Considere a função A(x) representante do tamanho da região (área) 
destacada na Figura 5.7. 
 Para determinarmos a relação entre A(x) e f(x), vamos supor que x sofra 
um acréscimo ∆𝑥. 
 Isso faz com que a área aumente de ∆ 𝐴. 
 Sejam f(m) e f(M) os valores mínimo e máximo de f(x) no intervalo 
[𝑥 , 𝑥 + ∆ 𝑥]. 
 Como mostra a Figura 5.8, podemos escrever as seguintes desigualdades: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 420 
 
Assim, se 𝑓(𝑥) = 𝐴′(𝑥), então, a família de curvas A(x) cuja derivada é f(x) será: 
𝐴(𝑥) = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ; onde, 𝐹′(𝑥) ≡ 𝐴′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
 A partir da Figura 5.8, podemos determinar o valor de C da integral indefinida A(x): 
Como 𝐴(𝑎) = 0 , 
então 𝐶 = −𝐹(𝑎) . 
Logo, 𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 421 
Portanto, se 𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎), então, o valor A(b) será calculado por: 
𝐴(𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) que é igual à área total sob a curva de f(x) ou 
𝐴(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 De acordo com essa equação, se for possível determinar a antiderivada de f(x), esta pode ser usada 
para calcular a integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 . 
 Esse resultado é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
- Teorema Fundamental do Cálculo 
Se f(x) é uma função não negativa e contínua no intervalo fechado [a , b], então 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
onde F(x) é qualquer função tal que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para qualquer x no intervalo [a , b]. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 422 
 Podemos definir um procedimento geral para a utilização do Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
 Antes de introduzirmos o Teorema Fundamental do Cálculo, supomos que a função f(x) era não 
negativa no intervalo fechado [a , b] e definimos a integral definida como uma área. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 423 
 O Teorema Fundamental do Cálculo permite ampliar a definição paraincluir funções que assumem 
valores negativos no intervalo fechado [a , b]. 
 Mais especificamente, se f(x) é qualquer função contínua no intervalo fechado [a , b], então a 
integral definida de f(x) de (a) a (b) é dada por: 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)]𝑎
𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
onde F é a antiderivada de f. 
 
Obs.: 
1) As integrais definidas não representam necessariamente áreas e podem ser positivas, negativas ou 
nulas. 
2) É importante que a diferença entre integral indefinida e integral definida fique bem compreendida. 
A integral indefinida ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 representa uma família de funções, cada uma das quais é uma 
antiderivada de f(x), enquanto a integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 é um número. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 424 
 Considere as seguintes propriedades algébricas das Integrais Definidas: 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 425 
Exemplo 2 
Determine a área da região limitada pelo eixo x e pela curva da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 , 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 
Solução: 
Observe que 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo (1 ≤ 𝑥 ≤ 2) , como mostra a Figura 5.9. 
Assim, a área da região pode ser representada por uma integral definida. 
Para determinarmos a área, utilizaremos as regras da integração indefinida e, posteriormente, aplicaremos 
o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Assim, a área da região é 4/3 unidades quadradas. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 426 
Exemplo 3 
Determine a integral definida: 
∫ (4 𝑡 + 1)2
1
0
 𝑑𝑡 
e desenhe a região cuja área é representada pela integral. 
Solução: 
- Integrando no domínio da variável t: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 427 
- Integrando no domínio da variável u: 
Seja a variável 𝑢 = 4 𝑡 + 1. 
 Nesse caso, 𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
4
. 
 Fazendo a substituição de variáveis temos: 
𝐼 = ∫ (4 𝑡 + 1)2
1
0
 𝑑𝑡 ≡ ∫ (𝑢)2
𝑏
𝑎
 
𝑑𝑢
4
 
- Identificando os limites de integração antes da aplicação da Regra da Potência e Teorema Fundamental 
do Cálculo: 
Para: {
𝑡 = 0 ⟹ 𝑢 = 1
𝑡 = 1 ⟹ 𝑢 = 5
 
Assim, 
𝐼 = ∫ (4 𝑡 + 1)2
1
0
 𝑑𝑡 ≡
1
4
∫ (𝑢)2
5
1
 𝑑𝑢 ⟹ 𝐼 =
1
4
 [
(𝑢)3
3
]
1
5
=
1
4
 [
(5)3
3
−
(1)3
3
] 
𝐼 =
31
3
 𝑢. 𝑎. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 428 
Exemplo 4 
Determine as integrais definidas: 
(a) ∫ 𝑒2 𝑥
3
0
 𝑑𝑥 (b) ∫
1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥 (c) ∫ −3 √𝑥
4
1
 𝑑𝑥 
Solução: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 429 
Exemplo 5 
Determine ∫ |2 𝑥 − 1|
2
0
 𝑑𝑥. 
A região representada pela integral definida aparece na Figura 5.11. 
De acordo com a definição de valor absoluto, temos: 
|2 𝑥 − 1| = {
−(2 𝑥 − 1), 𝑥 <
1
2
(2 𝑥 − 1), 𝑥 >
1
2
 
Utilizando a propriedade 3 das integrais definidas, podemos escrever a 
integral como a soma de duas integrais definidas: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 430 
- Valor Médio 
 O valor médio de uma função em um intervalo fechado é definido da seguinte forma: 
 
- Definição do Valor Médio de uma Função 
Se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a , b], 
 então o valor médio de f(x) no intervalo [a , b] é dado por: 
 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎 , 𝑏] = 
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 431 
Exemplo 6 
O custo unitário c(t) para produzir um artigo, em um período de dois anos, é modelado pela função: 
𝑐(𝑡) = 0,005 𝑡2 + 0,01 𝑡 + 13,15 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 24 
onde t é o tempo em meses. 
Determine o custo médio unitário durante o período de dois anos. 
Solução: 
O custo médio pode ser calculado integrando a função c(t) no intervalo [0 , 24]. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 432 
- Funções Pares e Ímpares 
 Várias funções comuns são simétricas em 
relação ao eixo y ou à origem. 
 Se uma função f(x) é simétrica em relação ao 
eixo y, como na Figura 5.13(a), 
 então 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) e dizemos que f(x) é 
uma função par. 
 Se uma função f(x) é simétrica em relação à 
origem, como na Figura 5.13(b), 
 então 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), e dizemos que f é uma função ímpar. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 433 
Exemplo 7 
Determine as integrais definidas: 
(a) ∫ 𝑥2
2
−2
 𝑑𝑥 (b) ∫ 𝑥3
2
−2
 𝑑𝑥 . 
Solução 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 434 
5.4- A Área de uma Região Limitada por Duas Curvas 
 Com algumas modificações, a utilização de integrais definidas, para determinar o tamanho de uma 
região sob uma curva, pode ser generalizado para incluir a determinação do tamanho de uma região 
limitada por duas curvas. 
 Considere a região limitada pelas curvas de f(x) e g(x), e ainda x = a e x = b, na Figura 5.14. 
 Como as curvas de f(x) e g(x) estão acima do eixo x, o tamanho da região entre as curvas pode ser 
interpretado como a região sob o gráfico de f(x) menos a região sob o gráfico de g(x), como mostra a 
Figura 5.14. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 435 
 Embora a Figura 5.14 mostre os gráficos de f(x) e g(x) acima do eixo x, essa condição não é 
necessária, e o mesmo integrando [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] pode ser usado, contando que as duas funções sejam 
contínuas e 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) no intervalo [a , b]. 
 
- Área de uma Região Limitada por Duas Curvas 
Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo fechado [a , b] e 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) para qualquer x no 
intervalo, a área da região limitada pelas curvas de f(x) e g(x) e pelas retas x = a e x = b é dada por: 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 Para identificarmos a condição 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) seria necessário resolver, analiticamente, a inequação. 
 Porém, como nem sempre será uma tarefa analítica fácil, recorreremos ao recurso gráfico (software 
gráfico ou conceitos de esboço de gráfico) para identificarmos o domínio onde essa inequação é 
verdadeira. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 436 
Exemplo 1 
Determine a área da região limitada pelas curvas das funções 𝑦1 = 𝑥
2 + 2 e 𝑦2 = 𝑥, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
Solução 
- Começamos por traçar as curvas das duas funções, como mostra a Figura 5.15. 
- Podemos ver, na figura, que 𝑦2 < 𝑦1 ou 𝑥 < 𝑥
2 + 2 para qualquer valor 
de x no intervalo [0 , 1]. 
- Logo, fazemos 𝑦1 ≡ 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 + 2 e 𝑦2 ≡ 𝑔(𝑥) = 𝑥 no integrando. 
- A área pode ser calculada por: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 437 
Exemplo 2 
Determine a área da região limitada pelas curvas das funções 𝑦1 = 2 − 𝑥
2 e 𝑦2 = 𝑥 . 
Solução 
- Neste problema, os valores dos limites de integração a e b não são dados e é preciso calculá-los, 
determinando os pontos de interseção das duas curvas. 
- Para isso, basta igualar as duas funções e resolver a equação resultante. 
𝑦1 = 𝑦2 
2 − 𝑥2 = 𝑥 ⟹ 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 
 
- Fazendo isso, obtemos: 
𝑥1 = −2 𝑒 𝑥2 = 1 
 
- Como podemos ver, na Figura 5.16, a curva de 𝑦1 = 2 − 𝑥
2 está 
acima da curva de 𝑦2 = 𝑥 para qualquer valor de x em [-2 , 1]. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 438 
- Logo, 𝑦1 ≡ 𝑓(𝑥) e 𝑦2 ≡ 𝑔(𝑥) no integrando da equação geral. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. MárioDuarte 439 
Exemplo 3 
Determine a área da região limitada pela curva da função 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 e o eixo x. 
Solução 
- Começamos por determinar os pontos em que a curva intercepta o 
eixo x (y = 0). 
- Para isso, igualamos a função a zero e resolvemos a equação 
resultante. 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
(𝑥 − 4) (𝑥 + 1) = 0 
 
Obtemos para as duas raízes: 
𝑥2 = 4 , 𝑥1 = −1 
 
 
- Como se pode ver, na Figura 5.17, 𝑥2 − 3𝑥 − 4 ≤ 0 para qualquer valor de x no intervalo [-1 , 4]. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 440 
- Assim, consideramos 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 e determinamos a área: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 441 
Exemplo 4 
Determine a área da região limitada pelas curvas das funções: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 10𝑥 e 𝑔(𝑥) = − 𝑥2 + 2𝑥 . 
Solução 
- Para determinar os pontos de interseção das duas curvas, igualamos as funções e resolvemos a equação 
resultante. 
 
- Esses três pontos de interseção determinam dois intervalos de integração: [-2 , 0] e [0 , 2]. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 442 
- Podemos ver na Figura 5.18 que 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) no intervalo [-2 , 0] e que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) no intervalo 
[0 , 2]. 
- Assim, devemos utilizar duas integrais para determinar a área da região limitada pelas curvas de f(x) e 
g(x): uma para o intervalo [-2 , 0] e outra para o intervalo [0 , 2]. 
 
 
 
Logo, a região tem 24 unidades de área. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 443 
5.4.1 – Aproximação Numérica da Integral 
A Regra do Ponto Central 
 Quando não é possível utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo (desconhecimento da 
antiderivada do integrando), podemos recorrer a técnicas de aproximação para a obtenção do valor da 
integral. 
 Uma dessas técnicas se baseia na chamada Regra do Ponto Central. 
 
 A Regra do Ponto Central pode ser utilizada para estimar o valor de qualquer integral definida. 
 
 No entanto, recorreremos a essa Regra apenas quando não for possível encontrar, analiticamente, 
uma antiderivada do integrando. 
 
 Considere o intervalo fechado [a , b] dividido em n subintervalos de largura ∆𝑥 =
(𝑏 − 𝑎)
𝑛⁄ . 
 Vamos chamar xi a coordenada x do ponto central do subintervalo de ordem i. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 444 
- Roteiro para Utilizar a Regra do Ponto Central 
Para estimar o valor da integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 utilizando a Regra do Ponto Central, devemos 
determinar as coordenadas (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖) ) em cada subintervalo: 
1. Dividir o intervalo [a , b] em n intervalos de largura. 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
 
 
2. Determinar a coordenada central 𝑥𝑖 de cada intervalo. 
𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑥𝑖 = {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛} 
Onde, 𝑥1 = 𝑎 +
∆𝑥
2
; 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 ⋯ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + ∆𝑥 
 
3. Determinar as coordenadas f(xi), a partir das coordenadas centrais xi de todos os intervalos, somar esses 
valores e multiplicar o resultado por 
𝑏−𝑎
𝑛
 . 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≈ 
𝑏 − 𝑎
𝑛
 [𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)] 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 445 
Exemplo 1 
Use os cinco retângulos da Figura 5.22 para estimar a área da região limitada pelas curvas: 
da função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5 , o eixo x e as retas x = 0 e x = 2. 
Solução 
- Determinando as alturas dos cinco retângulos calculando o valor de f(xi) nas coordenadas centrais dos 
seguintes intervalos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 446 
Exemplo 2 
Use a Regra do Ponto Central com n = 5 para determinar o valor aproximado de ∫
1
𝑥2+1
1
0
𝑑𝑥. 
Solução 
- Determinando a largura dos cinco subintervalos: 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
1 − 0
5
=
1
5
=
2
10
 
- Determinando as coordenadas centrais: 
𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 = {
1
10
 ,
3
10
 ,
5
10
 ,
7
10
,
9
10
} 
 
- O valor estimado da integral definida é dado por: 
∫
1
𝑥2 + 1
1
0
𝑑𝑥 ≈
1
5
 (
1
1,01
+
1
1,09
+
1
1,25
+
1
1,49
+
1
1,81
) ≈ 0,786 
A Figura 5.23 mostra a região cuja área é representada pela integral 
definida. 
A área exata da região é 
𝜋
4
≈ 0,785; assim, o erro cometido pela Regra é de 0,001. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 447 
Exemplo 3 
Use a regra do Ponto Central com n = 10 para estimar o valor de ∫ √𝑥2 + 1
3
1
𝑑𝑥. 
Solução 
- Determinando a largura dos subintervalos: 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
3 − 1
10
=
1
5
=
2
10
 
 
- Determinando as coordenadas centrais: 
𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 = {
11
10
 ,
13
10
 ,
15
10
 ,
17
10
,
19
10
 ,
21
10
 ,
23
10
 ,
25
10
 ,
27
10
,
29
10
} 
 
- O valor estimado da integral definida é dado por: 
∫ √𝑥2 + 1
3
1
𝑑𝑥 ≈
1
5
 (√1,12 + 1 + √1,32 + 1 +⋯+ √2,92 + 1) 
≈ 4,504 
A Figura 5.24 mostra a região cuja área é representada pela integral definida cujo valor é 4,505. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 448 
Regra do Trapézio 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a , b] e n o número de subintervalos iguais (figura com 𝑛 = 4). 
 De acordo com a Regra do Trapézio, o valor ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 será dada 
aproximadamente por: 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 449 
Exemplo 4 
Utilize a Regra do Trapézio para aproximar ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
0
 𝑑𝑥. 
Compare os resultados para 𝑛 = 4 e 𝑛 = 8 como indicado na Figura 4.44. 
 
 
Obs. 
Pela Regra do Ponto Central: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ≈ 2,052 𝐸𝑟𝑟𝑜 = −0,052 
Pela Regra do Trapézio: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ≈ 1,896 𝐸𝑟𝑟𝑜 = 0,104 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 450 
 
 
Obs. 
Pela Regra do Ponto Central: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ≈ 2,013 𝐸𝑟𝑟𝑜 = −0,0129 
Pela Regra do Trapézio: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ≈ 1,974 𝐸𝑟𝑟𝑜 = 0,026 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 451 
- A Integral Definida como Limite de uma Soma 
 Após a estimativa do ponto central de n retângulos: 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≈ 𝑓(𝑥1)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2)∆𝑥 + 𝑓(𝑥3)∆𝑥 + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)] ∆𝑥 
 O resultado do somatório se torna mais preciso, em relação à integral, à medida que n aumenta. 
 Na verdade, o limite dessa soma, quando n tende a infinito, é igual ao valor da integral definida. 
 Assim, 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)] ∆𝑥 
 
Obs.: Considerar que sempre que n for finito existirá um erro embutido no resultado do cálculo que será 
tanto menor quanto maior for o valor de n. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 452 
5.5- Volumes de Sólidos de Revolução 
 Outra importante aplicação da integral definida é o cálculo do volume de sólidos tridimensionais. 
 Um tipo particular de sólido tridimensional é denominado de sólidos de revolução. 
 Esses sólidos, na forma de eixos, funis, pílulas, garrafas e pistões, são muito utilizados na engenharia 
e em objetos domésticos, e exemplos podem ser visualizados na Figura 7.12. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 453 
- O Método do Disco 
 Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma figura plana em 
torno de uma reta, querecebe o nome de eixo de revolução. 
 O mais simples dos sólidos de revolução é o cilindro circular reto ou 
disco, o qual é formado pela rotação de um retângulo em torno de um 
eixo adjacente, a um dos lados desse retângulo, como mostrado na 
Figura 7.13. 
 
 O volume de tal disco é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜) (𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜) 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = 𝜋 𝑅2 𝑤 
onde R é o raio do disco e w sua largura. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 454 
 Considere uma função contínua f(x) que seja não negativa no intervalo [a , b]. 
 Suponha que a área da região seja aproximada por n retângulos justapostos de largura ∆𝑥, como 
mostra a Figura 7.14. 
 Fazendo girar os retângulos em torno do eixo x, obtemos n discos; 
O volume de cada disco é 𝑉 = 𝜋 [𝑓(𝑥𝑖)]
2∆𝑥. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 455 
 O volume do sólido formado pela rotação da região plana em torno do eixo x é aproximadamente 
igual à soma dos volumes dos discos. 
 
 Tomando o limite quando n tende a infinito, podemos ver que o volume exato é dado por uma integral 
definida. Esse resultado é conhecido como Método do Disco. 
 
- Método do Disco 
O volume do sólido formado pela rotação da região limitada pela curva de f(x), pelo eixo x e pelas retas 
x = a e x = b em torno do eixo x é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 456 
 Para se encontrar o volume de um sólido de revolução, com a utilização do método do disco, 
podemos girar o retângulo de referência do elemento de área tanto em torno do eixo horizontal (x) quanto 
em torno do eixo vertical (y), como mostrado na Figura 7.15. 
A equação de volume deverá ser adaptada para cada uma das situações conforme mostrado abaixo. 
 
Rotação em torno do Eixo Horizontal Rotação em torno do Eixo Vertical 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑦)]2 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 457 
Exemplo 1 
Determine o volume do sólido formado pela rotação da região limitada pelo gráfico da função 
𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝑥) e o eixo x , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, em torno do eixo x. 
Solução 
Começamos por desenhar a região limitada pela curva de f(x) e o eixo x. Na parte superior da Figura 7.16, 
desenhamos um retângulo cuja altura é R(x) e sua largura é ∆𝑥. 
De acordo com esse retângulo, o raio do sólido é 𝑅(𝑥) = 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Utilizando o método do disco, podemos determinar o volume do sólido de 
revolução. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 458 
Exemplo 2 
Encontre o volume do sólido formado pela revolução da região limitada pelo gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 1 e em torno da linha 𝑦 = 1 como mostrado na Figura 7.17. 
Solução 
Analisando o gráfico das funções f(x) e g(x) determinamos os pontos de 
interseção em 𝑥 = ±1. 
 
Para determinarmos o raio do disco subtraímos g(x) de f(x). 
𝑅(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
𝑅(𝑥) = (2 − 𝑥2) − (1) 
𝑅(𝑥) = 1 − 𝑥2 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 459 
Utilizando o método do disco: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑥)]2 𝑑𝑥
1
−1
 
𝑉 = 𝜋 ∫ (1 − 𝑥2)2 𝑑𝑥
1
−1
 
𝑉 = 𝜋 ∫ (1 − 2𝑥2 + 𝑥4) 𝑑𝑥
1
−1
 
𝑉 = 𝜋 [
𝑥5
5
−
2 𝑥3
3
+ 𝑥]
−1
1
=
16 𝜋
15
≈ 3,351 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 460 
- O Método do Anel 
 O método do Disco pode ser generalizado para permitir o cálculo de um sólido de revolução com 
um furo substituindo a representação de um disco pela representação de um anel. 
 O anel é formado pela revolução de um retângulo em torno de um eixo, como mostrado na 
Figura 7.18. 
Sejam r e R os raios interno e externo, respectivamente, do anel e seja ainda 
w sua espessura. 
Assim, o volume desse anel será dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙 = 𝜋 (𝑅2 − 𝑟2) 𝑤 
 
 Utilizando este conceito para se encontrar o volume de um sólido de 
revolução, considere uma região limitada por uma função raio externo 
R(x) e outra função raio interno r(x) como mostrado na Figura 7.19. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 461 
 Quando fazemos essa região girar em torno de um eixo de revolução, o volume do sólido resultante 
é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ {[𝑅(𝑥)]2 − [𝑟(𝑥)]2} 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Podemos ressaltar que a integral envolvendo o raio interno representa o volume do buraco que é 
subtraído do volume representado pela integral do raio externo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 462 
- Método do Anel 
Sejam R(x) e r(x) duas funções contínuas e não negativas no intervalo fechado [a , b], como mostra a 
Figura 7.19 (esquerda). 
Se 𝑟(𝑥) ≤ 𝑅(𝑥) para qualquer x no intervalo, então o volume do sólido formado pela rotação da região 
limitada pelas curvas de R(x) e r(x) e pelas retas x = a e x = b em torno do eixo x é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝜋 ∫ {[𝑅(𝑥)]2 − [𝑟(𝑥)]2} 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 ; 𝑜𝑢 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝜋 ∫ {[𝑅(𝑦)]2 − [𝑟(𝑦)]2} 𝑑𝑦
𝑏
𝑎
 
R é o raio externo e r é o raio interno. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 463 
Exemplo 3 
Encontre o volume do sólido formado pela revolução da região limitada pelos gráficos: 
𝑦 = √𝑥 e 𝑦 = 𝑥2 em torno do eixo x, como mostrado na Figura 7.20. 
Solução 
- Determinando a interseção entre as duas funções: 
√𝑥 = 𝑥2 ⟹ 𝑥 = 𝑥4 
𝑥 − 𝑥4 = 0 ⟹ 𝑥 (1 − 𝑥3) = 0 
Logo, 
Os pontos de interseção são 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 1 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙. 3). 
 
- Determinando qual das duas funções está acima da outra no intervalo [0 , 1]. 
Ao estabelecermos a pergunta acima, na forma de uma inequação, teremos: 
 
𝑥 − 𝑥4 ≥ 0 ⟹ (𝑥 − 0) (1 − 𝑥3) ≥ 0 
Respondendo à pergunta, por meio de uma tabela de valores, teremos: 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 464 
 Prod. Monom. 
Valor teste. 
(𝑥 − 0) (1 − 𝑥3) ≥ 0 ? 
-1 (−) (+) Não 
0 (0) (+) Sim 
1
2
 (+) (+) Sim 
1 (+) (0) Sim 
2 (+) (−) Não 
 
O gráfico das duas funções nos termos determinados está mostrado na 
Figura 7.20. 
 
Podemos verificar, na figura dada, que os raios, interno e externo, 
correspondem a: 
 
𝑟(𝑥) = 𝑥2 e 𝑅(𝑥) = √𝑥, respectivamente. 
 
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Integrando, entre os limites 0 e 1, teremos: 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 466 
Exemplo 4 
Encontre o volume do sólido formado pela revolução da região limitada pelos gráficos de 𝑦 = 𝑥2 + 1 , 
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 em torno do eixo y, como mostrado na Figura 7.21. 
 
Solução 
A região plana está mostrada na Figura 7.21. 
Vemos que quando 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, R(y) = 1 e 𝑟(𝑦) = 0. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 467 
Porém, quando 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 , o raio externo é R(y) = 1 , o raio interno r(y) será determinado pela equação 
𝑦 = 𝑥2 + 1 , o que implica que 𝑟(𝑦) = √𝑦 − 1. 
Logo, a definição por partes das funções raio do problema será: 
𝑟(𝑦) = {
0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
√𝑦 − 1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
 𝑒 𝑅(𝑦) = {
1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
 
 
Observando a definição por partes dos raios, podemos utilizar duas integrais para encontraro volume. 
 
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Exemplo 5 
Uma broca faz um buraco através do centro de uma esfera metálica de raio 5 polegadas, como mostrado 
na Figura 7.23(a). O buraco tem um raio de 3 polegadas. Qual é o volume do anel metálico resultante? 
Solução 
Podemos imaginar que o anel será gerado pelo segmento do círculo cuja 
equação é 𝑥2 + 𝑦2 = 25, como mostrado na Figura 7.23(b). 
Em função do buraco de 3 polegadas, nós podemos fazer 𝑦 = 3 e resolver a 
equação 𝑥2 + 𝑦2 = 25 para determinar os limites de integração que serão 
𝑥 = ±4. 
Portanto, os raios interno e externo são 𝑟(𝑥) = 3 e 𝑅(𝑥) = √25 − 𝑥2 , 
respectivamente, e o volume será dado por: 
 
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5.6 – Exercícios 
 Resolver exercícios da lista e outros diversos das referências bibliográficas. 
 
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REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B.; Calculus of a Single Variable, 10 ed., Boston, MA - USA, Brooks/Cole Cengage 
Learning, 2014. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Calculus, 9 ed., Belmont - CA - USA, Brooks/Cole, 2010. 
 
LARSON, R., Brief Calculus An Applied Approach, 8 ed., Houghton Mifflin Company, Boston – New York, 2009. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de Janeiro 
– RJ, LTC, 2008. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda., 1977.