aplicações de limites

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Limites - aplicações 
Prof. Aurimar 
Aplicações de limites 
Exercícios 
1) Um tanque contém 5000 litros de água. Salmora com uma concentração de 30 gramas de sal por 
litro é despejada no tanque a uma razão de 25 litros por minuto. 
(a) Mostre que a concentração de salmora no tanque após um tempo t (minutos) é dada por 
𝐶 𝑡 =
30 𝑡
𝑡 + 200
. 
(b) Calcule o limite: lim
𝑡→∞
𝐶(𝑡). 
(c ) Construa o gráfico de C(t), para t ≥ 0. 
Solução: 
(a) 
Para t = 1 min => (25l/min)x1min = 25 l de salmora acresc. => M(1) = (30g/l)x25l = 750 g; 
V(1) = 5000l + 25l = 5025l => 𝐶 1 =
M 1
V 1
=
750g
5025l
= 0,14925g/l 
Para t = 2 min => (25l/min)x2min = 50 l de salmora acresc. => M(2) = (30g/l)x(25l/min)x2min = 
(750g/min)x2min; 
Aplicações de limites 
 
V(2) = 5000l + 25x2l = 5050l => 𝐶 2 =
M 2
V 2
=
750∙2
5000+25∙2
= 0,297g/l 
Para t = t min => (25l/min)xtmin de salmora acresc. => M(t) = (30g/l)x(25l/min)xtmin = 
(750g/min)xtmin; 
V(t) = 5000l + 25xtmin => 𝐶 𝑡 =
M t
V t
=
750∙t
5000+25∙t
 
Dividindo o numerador e o denominador por 25, chega-se a expressão dada: 
𝐶 𝑡 =
30 𝑡
𝑡 + 200
. 
(b) 
lim
𝑡→∞
𝐶(𝑡) = lim
𝑡→∞
30𝑡
𝑡
= 30 g/l. 
Aplicações de limites 
t(min) 0 1 10 100 200 300 400 500 1000 
C(t) 0 0,15 1,43 10 15 18 20 21,43 25 
Reta assíntota horizontal 
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 200 400 600 800 1000 1200
C
(g
/l
) 
t(min) 
C(t) = 30t/(t+200) 
(c) 
 
Aplicações de limites 
2) Sob certas condições, a velocidade de uma gota de chuva caindo pode ser dada pela expressão: 
𝑣 𝑡 = 𝑣∗ 1 − 𝑒−
𝑔𝑡
𝑣∗ , 
onde, v* é a velocidade final da gota e g é a aceleração da gravidade. 
Calcule o limite de v(t) quando t ⇾ ∞. 
Admitindo v* = 1,0 m/s e g = 9,8 m/s2, faça o gráfico de v(t). 
Solução: 
lim
𝑡→∞
𝑣(𝑡) = 𝑣∗ 1 − 𝑒−∞ = 𝑣∗ 1 −
1
𝑒∞
= 𝑣∗ 1 − 0 = 𝑣∗. 
•Gráfico de v(t), 
 para v* = 1,0 m/s e g = 9,8 m/s2: 
Aplicações de limites – 
Exercícios propostos 
3) Considere um quadrado de lado a com vértices em A, B, C e D, conforme figura. Vamos construir 
segmentos horizontais e verticais, formando degraus, ligando o vértice C até B. A cada nova figura, 
dividiremos o lado a em duas partes, em três partes, em quatro partes, e assim por diante, em n partes, 
de modo que a função comprimento do segmento que liga C a B é f(n). Calcule o limite de f(n) quando n 
tende ao infinito. 
4) Calcule a área limitada pelos lados AB, AC e o segmento BC da figura anterior, quando n ⇾ ∞. 
Resp.: A = a2/2 = área do triângulo. 
Aplicações de limite – Exercícios resolvidos e 
propostos 
5) De todos os retângulos de perímetro igual a 20 cm, haverá um com área máxima, no qual o comprimento x de 
um dos lados é dado pela solução da equação: 
lim
∆𝑥→0
𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴(𝑥)
∆𝑥
= 0, 
onde A(x) é a área do retângulo e ∆x é uma pequena variação no lado x. Encontre x e a área máxima. 
Solução: 
Chamando x e y os dois lados do retângulo, teremos que 2x + 2y = 20cm, ou que, x + y = 10cm, então y = 10 – x. A 
área do retângulo é dada por 
 𝐴 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 10 − 𝑥 = 10𝑥 − 𝑥2 . 
Substituindo x por x + ∆x na área acima, 
 𝐴 𝑥 + ∆𝑥 = 10 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 + ∆𝑥 2 = 10𝑥 + 10∆𝑥 − (𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2) 
 𝐴 𝑥 + ∆𝑥 = 10𝑥 + (10 − 2𝑥)∆𝑥 − 𝑥2 − ∆𝑥 2) 
Subtraindo por A(x), 
 𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴 𝑥 = 10𝑥 + 10 − 2𝑥 ∆𝑥 − 𝑥2 − ∆𝑥 2 − (10𝑥 − 𝑥2) 
 𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴 𝑥 = (10 − 2𝑥)∆𝑥 − ∆𝑥 2 , 
Aplicações de limites – Exercícios resolvidos e 
propostos 
Dividindo por ∆x, 
𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴(𝑥)
∆𝑥
=
10 − 2𝑥 ∆𝑥 − [∆𝑥]2
∆𝑥
= 10 − 2𝑥 − ∆𝑥. 
Agora, o limite será: 
lim
∆𝑥→0
𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴 𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
10 − 2𝑥 − ∆𝑥 = 10 − 2𝑥 = 0 
10 − 2𝑥 = 0 ⇒ 10 = 2𝑥 ⇒ 5 = 𝑥 
Como o perímetro é 20 cm e um dos lados é x = 5cm, o outro lado é y = 5cm (um quadrado), e a 
área máxima é A(5) = 5x5 = 25 cm2. 
Limites e aplicações – exercícios resolvidos e 
propostos 
6) Uma partícula obedece a seguinte equação horária: s = t2 + 2, sendo s a posição, em metros, da 
partícula em relação a uma origem e t o tempo, em segundos. Calcule a sua velocidade em função do 
tempo, v(t), sendo que ela é dada pela seguinte relação: 
𝑣(𝑡) = lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
𝑠 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑠(𝑡)
∆𝑡
, 
Onde ∆t significa uma pequena variação no tempo t. 
Resp.: v(t) = 2t. 
Limites e aplicações – exercícios resolvidos e 
propostos 
7) De todos os triângulos retângulos de hipotenusa a, haverá um com área máxima, no qual o 
comprimento x de um dos catetos é dado pela solução da equação: 
lim
∆𝑥→0
𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴(𝑥)
∆𝑥
= 0, 
onde A(x) é a área do triângulo e ∆x é uma pequena variação no lado x. Encontre x e a área máxima. 
Solução: 
Chamando x e y os dois lados (catetos) do triângulo, teremos que x2 + y2 = a2, ou que, 𝑦 = 𝑎2 − 𝑥2 , 
então, a área do triângulo é dada por 
𝐴 𝑥 =
𝑥𝑦
2
= 𝑥 ∙
𝑎2 − 𝑥2
2
=
𝑎2𝑥2 − 𝑥4
2
. 
Substituindo x por x + ∆x na área acima, 
 𝐴 𝑥 + ∆𝑥 =
𝑥+∆𝑥
2
𝑎2 − 𝑥 + ∆𝑥 2 =
𝑥+∆𝑥
2
𝑎2 − 𝑥2 − 2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2 
Subtraindo por A(x), 
Limites e aplicações – exercícios resolvidos e 
propostos 
 𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴 𝑥 =
𝑥+∆𝑥
2
𝑎2 − 𝑥2 − 2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2 −
𝑥
2
. 𝑎2 − 𝑥2 
Chamando de R1 a primeira raiz depois da igualdade e de R2 a segunda, 
𝑅1 = 𝑎2 − 𝑥2 − 2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2 e 𝑅2 = 𝑎2 − 𝑥2 
e dividindo por ∆x, teremos, 
𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴(𝑥)
∆𝑥
=
𝑥 + ∆𝑥
2∆𝑥
𝑅1 −
𝑥
2∆𝑥
𝑅2 =
𝑥
2∆𝑥
𝑅1 − 𝑅2 +
𝑅1
2
. 
Agora, tomando o limite, 
lim
∆𝑥→0
𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴 𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑥
2∆𝑥
𝑅1 − 𝑅2 + lim
∆𝑥→0
𝑅1
2
. 
Multiplicando e dividindo o primeiro limite por R1 + R2, chega-se a 
lim
∆𝑥→0
𝑥. (𝑅1 − 𝑅2)
2∆𝑥
(𝑅1+𝑅2)
(𝑅1 + 𝑅2)
= lim
∆𝑥→0
𝑥. (𝑅1
2 − 𝑅2
2)
2∆𝑥(𝑅1 + 𝑅2)
 
= lim
∆𝑥→0
𝑥. (−2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2)
2∆𝑥(𝑅1 + 𝑅2)
= lim
∆𝑥→0
−2𝑥2 − 𝑥∆𝑥
2(𝑅1 + 𝑅2)
=
−2𝑥2
2(2𝑅2)
=
−𝑥2
2𝑅2
. 
O segundo limite é: 
Limites e aplicações – exercícios resolvidos e 
propostos 
lim
∆𝑥→0
𝑅1
2
=
𝑅2
2
. 
Portanto, 
lim
∆𝑥→0
𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴 𝑥
∆𝑥
=
−𝑥2
2𝑅2
+
𝑅2
2
= 0 
𝑅2
2
=
𝑥2
2𝑅2
 → 𝑅2
2 = 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑥2 
𝑎2 = 2𝑥2 → 𝑥2 =
𝑎2
2
 → 𝑥 =
𝑎
2
=
𝑎 2
2
 . 
O outro lado y e a área máxima Amáx são: 
𝑦 = 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 −
𝑎2
2
=
𝑎2
2
=
𝑎
2
=
𝑎 2
2
= 𝑥 
𝐴𝑚á𝑥 =
𝑥 ∙ 𝑦
2
=
𝑥2
2
=
𝑎2
4
. 
Limites e aplicações – exercícios resolvidos e 
propostos 
8) O custo para produzir determinada mercadoria é dado pela expressão C(x) = x2 - 400x + 10000, em que x 
é a quantidade de mercadorias produzidas e C(x) é o custo em R$. Haverá um custo mínimo quando ocorrer 
a seguinte situação limite: 
lim
∆𝑥→0
𝐶 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐶(𝑥)
∆𝑥
= 0, 
onde ∆x representa uma variação na quantidade x. Encontre x e o correspondente custo mínimo. 
Resp.: C(200) = R$ 60.000,00. 
9) Um quadrado de lado x é desenhado numa cartolina. Aumenta-se 2,0 cm em dois lados paralelos e 
diminui a mesma medida nos lados perpendiculares. Calcule o limite da razão entre a área do retângulo 
formado e o menor lado quando x se aproxima de 2. 
Resp.: 4. 
10) Um quadrado de lado 3cm é desenhado numa cartolina. Aumenta-se x cm em dois lados paralelos e 
diminui a mesma medida nos lados perpendiculares. Calcule o limite da razão entre a área do retângulo 
formado e o menor lado quando x se aproxima de 3. 
Resp.: 6. 
Limites e aplicações – exercícios resolvidos e 
propostos 
11) Água move-se no interiorde um tubo com diâmetro D, conforme figura. O perfil de velocidade da 
água está mostrado em uma seção do tubo, é uma função da distância (raio r) a partir do eixo do tubo e é 
dado matematicamente pela expressão: 
 𝑣 𝑟 =
𝛽
4𝜇
𝐷2
4
− 𝑟2 , 
Onde β é uma constante e μ é a viscosidade da água. 
Qual a velocidade na parede do tubo e no centro do tubo, ou seja, os limites quando r ⇾ D/2 e quando r ⇾ 0. 
Qual a tensão de cisalhamento τ(r) na parede do tubo devido a fricção da água: 
𝜏(𝑟) = 𝜇 ∙ lim
∆𝑟→0
𝑣 𝑟 + ∆𝑟 − 𝑣(𝑟)
∆𝑟
? 
 
Qual a tensão de cisalhamento τ numa posição r = D/4 na água? 
Qual a tensão de cisalhamento τ numa posição r = D/2 (na parede)? 
Se persistir o perfil numa distância L ao longo do tubo, qual a força resistente (ou de “arrasto”) induzida no tubo 
pela água, na direção do escoamento? 
Limites e aplicações - Exercícios resolvidos e 
propostos 
12) A lei do fluxo laminar de sangue através de uma artéria é a mesma lei de escoamento de um fluido 
através de um tubo dada acima, ou seja, 
𝑣 𝑟 =
𝑃
4𝜂𝑙
𝑅2 − 𝑟2 , 
Onde P é a variação de pressão na artéria e P/4ηl é uma constante dependente das propriedades do 
sangue. 
 Qual a velocidade na parede e no centro da artéria, ou seja, os limites quando r ⇾ D/2 e quando r ⇾ 0. 
Qual a tensão de cisalhamento τ(r) na parede da artéria devido à fricção do sangue: 
Solução: 
a) Primeiro vamos escrever a lei de velocidade v(r) em uma forma mais simples. Como P, η e l são 
constantes, podemos chamar a relação P/4ηl de uma outra constante, C, por exemplo. Assim, 
𝑣 𝑟 = 𝐶 𝑅2 − 𝑟2 = 𝐶𝑅2 − 𝐶𝑟2. 
Limites e aplicações - Exercícios resolvidos e 
propostos 
Cálculo dos limites. Como D/2 = R, 
lim
𝑟→𝐷/2
𝑣(𝑟) = lim
𝑟→𝑅
𝐶(𝑅2 − 𝑟2) = 𝐶 𝑅2 − 𝑅2 = 0 
Agora, com r ⇾ 0, 
 
Lim
𝑟→0
𝐶 𝑅2 − 𝑟2 = 𝐶𝑅2 
Na parede do tubo r = R, a tensão de cisalhamento é dada pela relação: 
𝜏 𝑅 = 𝜂 ∙ lim
𝑟→𝑅
𝑣 𝑟 − 𝑣 𝑅
𝑟 − 𝑅
 
𝜏 𝑅 = 𝜂 ∙ lim
𝑟→𝑅
𝐶 𝑅2 − 𝑟2 − 𝐶 𝑅2 − 𝑅2
𝑟 − 𝑅
= 𝜂 ∙ lim
𝑟→𝑅
𝐶 𝑅2 − 𝑟2
𝑟 − 𝑅
 
𝜏 𝑅 = 𝜂 ∙ lim
𝑟→𝑅
𝐶 𝑅 − 𝑟 𝑅 + 𝑟
𝑟 − 𝑅
= 𝜂 ∙ lim 
𝑟→𝑅
−𝐶 𝑅 + 𝑟 
𝜏 𝑅 = 𝜂 ∙ −2𝐶𝑅 = 𝜂 ∙
−2𝑅𝑃
4𝜂𝑙
=
−𝑅𝑃
2𝑙
. 
Exercícios resolvidos e propostos 
13) Um tanque de 400 L enche-se com uma solução de 60 Kg de sal (NaCl) em água (H2O). Depois faz-se 
entrar água nesse tanque à razão de 8 L/min, a mistura é mantida homogênea por agitação e sai na mesma 
razão. A concentração da solução em um instante de tempo t (em minutos) é dada por C(t) = 0,15e-t/50. Qual a 
quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora? Em quanto tempo a concentração fica com 0,1% da 
concentração inicial? 
𝐶 𝑡 = 0,15 𝑒−𝑡/50. 
14) Uma montadora de computadores determina que um empregado após x dias de treinamento, monta m 
computadores por dia, onde 
𝑚 𝑥 = 
20𝑥2
𝑥2 + 𝑥 + 5
. 
Qual o comportamento de m(x) para treinamentos longos? 
15) O custo para produzir x unidades de um certo produto é dado por C(x) = 0,25x +3600 em reais. 
(a) Determine o custo médio C(x)/x quando x cresce. 
(b) Interprete o resultado.