aula 1 limite

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LIMITES E CONTINUIDADE 
 
1. Introdução 
 
 Vamos introduzir o conceito de limite a partir do exemplo abaixo. Consideremos 
inicialmente uma função simples como f(x) = 2x + 1. Essa é uma função linear (seu 
gráfico é uma linha reta) que passa pelo ponto 1 na intersecção com o eixo y e, para 
cada aumento de uma unidade em x, o valor da função aumenta 2 unidades (coeficiente 
de x é igual a 2). Para x = 1, y = f(x) = 3, e para x = 2, y = 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.1 – Função f(x) = 2x + 1. 
 
 O nosso objetivo, inicialmente, vai ser obter o limite do valor da função acima 
quando o valor de x tende a 2, ou se aproxima de 2. Essa é a idéia básica do conceito de 
limite, obter o valor limite de uma função quando a variável x fica cada vez mais 
próxima de um certo valor, não exatamente igual ao valor, mas bem próximo. 
 Na função acima, quando x se aproxima de 2, o valor limite da função se 
aproxima de 5. Quando x = 1,9, o valor de f(x) = 21,9 + 1 = 4,8; quando x = 1,99, f(x) 
= 21,99 + 1 = 4,98; quando x = 1,999, f(x) = 4,998, que está bem próximo de 5. 
Naturalmente, quando x tende a 2, f(x) tende a 5. Podemos, também, aproximar de 2 a 
partir de valores acima de 2, como por exemplo, x = 2,01, f(x) = 22,01 + 1 = 5,02. Para 
x = 2,001, f(x) = 22,001 + 1 = 5,002; nesse caso, x se aproxima de 2 pela direita; no 
caso anterior, x se aproxima de 2 pela esquerda. 
 Vamos representar o limite da função f(x) = 2x + 1, quando x tende a 2, do 
seguinte modo: 
 
 
  5)12(limlim
22


xxf
xx
. (1.1) 
 
Vimos que esse limite é igual a 5. Usando a mesma função, vamos calcular o limite 
quando x → 0 (x tende a zero). Com valores bem próximos de zero, por exemplo, x = 
0,001, f(x) = 20,001 + 1 = 1,002. Pode-se ver que o limite quando x → 0 é igual a 1, ou 
seja, é o mesmo valor da função quando x = 0, f(0) = 1. 
 
 
  1)12(limlim
00


xxf
xx
. 
 
Exercícios resolvidos: 
x 
y 
1 
0 
5 
2 
f(x)=2x+1 
 
1) lim𝑥→2(𝑥 − 1) = 2 − 1 = 1 
2) lim𝑥→−1(2𝑥
2 − 1) = 2(−1)2 − 1 = 2 − 1 = 1 
3) lim𝑥→1(𝑥
−2 + 𝑥 + 2) = 1−2 + 1 + 2 = 1 + 3 = 4 
4) 
  02112)1()1(2lim 2323
1


xx
x
 
5) 
  0828lim 33
2


x
x
 
6) 
   04.0)22)(22(22lim
2


xx
x
 
7) 
3
10
3
3.31
3
3
11
lim
3










z
zz
 
8) 
  022222)2(282lim 3/33/133/13/1
8


x
x
 
 ou 
  0222228282lim 3 333/13/1
8


x
x
 
9) 
3
1
12
12
1
1
lim
2











 x
x
x
 
10) 
.
7
41
7
16.7
7
1
6
49
1
6
16.236
1
6
136236
1
36
12
1
lim
36



















xx
x
x
 
11) 
2
3
2
3
lim
0






x
 
12) 
2
3
2
3
lim 





ax
. 
 
 
2. Função contínua 
 
 Geralmente, para funções contínuas, o limite de uma função f(x) quando x tende 
a um certo valor a é igual ao valor da função no ponto x = a: 
 
  )(lim afxf
ax


. (1.2) 
Aliás, essa é a definição de uma função contínua, ou seja, quando isso ocorre, o limite é 
igual ao valor da função, a função é chamada de contínua. 
 Porém, nem sempre isso ocorre. Há uma variedade de funções que não são 
contínuas e em algumas vezes o limite não é facilmente determinado, ou pode não 
existir. 
 Consideremos, por exemplo, a função abaixo e calculemos o limite dessa função 
quando x tende a 1. 
 
?)(lim
)1(
)1)(3(
)(
1





xf
x
xx
xf
x
 (1.3) 
 Fazendo uma substituição direta de x = 1 na função, obteremos: 
 
?
0
0
0
04
)1( 

f
 (1.4) 
 Ocorre uma divisão por zero e a razão 0/0 é indeterminada (veja algumas 
indeterminações logo adiante). Agora vamos substituir valores de x próximos de 1, por 
exemplo, x = 0,99, x = 0,999 e x = 1,001. 
 
.4001,4
001,0
001,0001,4
)001,1(
;4999,3
001,0
001,0999,3
)999,0(;99,3
01,0
01,099,3
)99,0(










f
ff
 
 Observe que quando x se aproxima de 1 a função se aproxima de 4 e, portanto, 
esse é o limite da função: 
 
.4)3(lim
)1(
)1)(3(
lim
11




x
x
xx
xx
 (1.5) 
 Note que aproveitamos a oportunidade para dividir (x – 1)/(x – 1) = 1. Note 
também que a função não é definida para x = 1 (ocorre divisão por zero). O gráfico 
dessa função é a própria reta (x + 3) com um furo (um buraco) em x = 1, como abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.2 – Função f(x) = (x + 3)(x – 1)/(x – 1) 
 
 A função (1.3) é indefinida para x = 1, mas o seu limite existe e é igual a 4 
quando x → 1. Como não é definida no ponto, a função não é contínua, ou seja, é 
descontínua em x = 1. 
 A continuidade, ou melhor, a descontinuidade de uma função geralmente ocorre 
em um ou alguns pontos ou conjunto de pontos. Algumas funções podem ter somente 
um ponto onde ela não é definida (um ponto onde ocorre uma divisão por zero, ou onde 
surge uma raiz de um número negativo etc) e, neste ponto, ela não é contínua, nos 
demais pontos ela é contínua. 
 Uma função constante, f(x) = k, independentemente do valor de x ou para 
qualquer valor de x, terá sempre o mesmo valor k, constante. Naturalmente, o limite da 
função constante, quando x  a, qualquer que seja o valor de a, será sempre a mesma 
constante, ou seja, 
 
.lim kk
ax


 
 
 
 
 
 
x 
y 
3 
0 
f(x)=(x+3)(x-1)/(x-1) 
1 
○ 4 
x 
y 
k 
0 
f(x) = k = constante 
a 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) 
2
1
2
1
lim
2

x
 
2) 
5
4
5
4
lim 

 ax
 
3) 
112)1(lim1
4
4
)22(
)22)(12(
)2(
)2)(1(
lim
22







x
x
xx
xx
 
4) 
  0111lim
)2(
)2)(1(
lim
11




x
x
xx
xx
 
5) 
0
3
0
3
211
2
2
lim
2
1





 x
xx
x
 
6) 
2
2
lim
2
2 

 x
xx
x
 
1º. método: Se substituirmos diretamente o valor de x = -2 na expressão do limite, 
vamos obter a indeterminação 0/0. Para obter o limite, devemos usar aproximações (1º. 
método) ou simplificar a expressão usando produtos notáveis (2º. método). 
1º.) Usando aproximações: vamos usar um valor de x próximo de -2, por exemplo, x = -
1,99. 
 
3
2
2
lim399,2
01,0
0299,0
299,1
299,19601,3
2
2 2
2
2











 x
xx
x
xx
x
 
2º.) Usando produtos notáveis: devemos lembrar que uma expressão de segundo grau 
pode ser escrita como (x – a)(x – b) = x2 – (a+b)x – ab, ou seja, o coeficiente de x da 
expressão é o negativo da soma das duas raízes de uma equação de 2º. grau e o termo 
independente é o produto dessas duas raízes. Assim, x
2
 + x – 2 = (x – 1)(x + 2). 
  3121lim
)2(
)2)(1(
lim
2
2
lim
22
2
2







x
x
xx
x
xx
xxx
 
 
7) 
  4222lim
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
22
2
2







x
x
xx
x
x
xxx
 
8) 
  2111lim
1
)1)(1(
lim
1
1
lim
11
2
1







x
x
xx
x
x
xxx9) 
  6333lim
3
)3)(3(
lim
3
9
lim
33
2
3







x
x
xx
x
x
xxx
 
10) 
  14777lim
7
)7)(7(
lim
7
49
lim
77
2
7







x
x
xx
x
x
xxx
 
11) 
  2111lim
1
)1)(1(
lim
1
1
lim
11
2
1







x
x
xx
x
x
xxx
 
12) 
  0333lim
3
)3)(3(
lim
3
9
lim
33
2
3







x
x
xx
x
x
xxx
 
13) 
  6333lim
3
)3)(3(
lim
3
9
lim
33
2
3







x
x
xx
x
x
xxx
 
0 
-1 
1 
x 
y 
14) 
8
1
4
1
lim
)4)(4(
4
lim
16
4
lim
4424








 xxx
x
x
x
xxx
 
 
 
 
Limites Laterais 
 
Definição: Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo 
(d, c) contendo a. Então o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é LD e pela 
esquerda é LE: 
 
    E
ax
D
ax
LxfLxf 
 
lim;lim
 
 
se, para todo  > 0, existir um  > 0 tal que 
 
   )()(0 ED LouLxfentãoax 
 
Obs.: Não confunda o símbolo a
+
 com +a. O símbolo a
+
 significa um valor bem 
próximo de a, à direita de a, maior do que a e a
-
 significa um valor bem próximo de a, à 
esquerda de a, menor do que a (p.ex. 2
+
 corresponderia a um valor bem próximo e 
maior do que 2 como 2,00001 e 2
-
 corresponderia a um valor bem próximo e menor do 
que 2, por exemplo, 1,9999). 
 
 A função sinal é definida por: 
 









01
00
01
sgn
xse
xse
xse
x
 
 
Em outra palavras, à esquerda de x = 0 o valor da função é –1 e à direita de x = 0 o valor 
da função é 1. Em x = 0 o valor da função é zero (veja gráfico abaixo). 
 
 
 o 
 
 
 
 
 
 o 
 
 
Portanto, o limite da função sinal quando x tende a 0 pela esquerda, ou seja, x  0-, é –1 
e, pela direita (x  0+), é 1: 
 
    1sgnlim;1sgnlim
00

 
xx
xx
 
 
Observe que a função acima mostra que o limite à esquerda de um número a é diferente 
do limite à direita de a e, também, diferente do limite quando x tende a a (chamado de 
limite bilateral para distingui-lo dos limites laterais). Atenção ao teorema a seguir: 
 
Teorema: O 
)(lim xf
ax
 existe e será igual a L se e somente se 
)(lim xf
ax 
 e 
)(lim xf
ax 
 existirem e forem iguais a L. 
Neste caso, se 
Lafxf
ax


)()(lim
 então a função f(x) é contínua em x = a. 
Exemplo: É evidente que a função sinal sgn(x) acima é descontínua em x = 0, mas a 
função abaixo, h(x), é contínua em x = 1: 






12
14
)(
2
2
xsex
xsex
xh
 
Os limites laterais são: 
    34limlim 2
11

 
xxh
xx
 
  3)2(limlim 2
11

 
xxh
xz
 
Como 
   xhxh
xx  

11
limlim
 e ambos são iguais a 3, segue do teorema anterior que 
  3)1(lim
1


hxh
x
. Portanto, a função h(x) é continua no ponto x = 1, ou seja, é uma 
função que não dá saltos (ou pula de um valor para outro) no ponto x = 1. 
 
 
 
Limites Infinitos e no Infinito 
 
Definição: Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo 
(d, c) contendo a, exceto possivelmente no próprio ponto a. Quando x tende a a, f(x) 
cresce indefinidamente (vai para +  (mais infinito)) ou decresce indefinidamente (vai 
para -  (menos infinito)), escrevemos: 
 
    

xfxf
axax
lim;lim
. 
 
Exemplos: 

 22 )2(
3
lim
xx
 
Pois, quando x tende a 2 o denominador da fração acima tende a 0 e a fração fica 
0
3
 
que é igual a . Qualquer limite de um número positivo dividido por zero dará sempre 
. Quando o limite tender para 0- no denominador, ou seja, do lado negativo (à 
esquerda) do zero, o resultado de um número positivo dividido por 0
-
 será - . 
Por exemplo, 
 



   0
2
1
2
lim
0
2
1
2
lim
11 x
x
e
x
x
xx
. 
 
O teorema a seguir resume o que foi dito acima: 
 
Teorema: Se r for um inteiro positivo qualquer, então 
 (i) 


r
x x
1
lim
0
 
 (ii) 






 .
1
lim
0 parforrse
ímparforrse
x rx
 
 
Limites no Infinito 
 
Certas funções tendem a um valor limite (finito) quando a variável x tende para  . De 
um modo geral, quando temos uma divisão de um número positivo ou negativo por   
(pense em  como um número muito grande: 1000000, por exemplo), o resultado do 
limite dessa divisão será sempre zero. Divida, por exemplo, -3/1000000 = -0,000003, 
que é um número bem próximo de zero e, no limite, torna-se zero. Veja o teorema a 
seguir. 
 
Teorema: Se r for um inteiro positivo qualquer, então 
 (i) 
0
1
lim 
 rx x
 
 (ii) 
0
1
lim 
 rx x
 
 
Guarde bem esse teorema, pois ele será muito importante na resolução dos problemas a 
seguir. Todas as vezes que tivermos o limite de uma divisão de um polinômio por outro, 
como nos exemplos a seguir, usaremos o teorema anterior. Podemos expandir o teorema 
para 
0lim 
 rx x
c
, sendo c uma constante qualquer e c   . Veja o exemplo a seguir: 
 
Ex. 1) 
?
52
34
lim 


 x
x
x
. 
 
 Uma substituição direta daria: 
?
52
34
52
34
lim 








 x
x
x
 
4 é igual a  (não há um número maior que  (?)) e  - 3 =  (pois, 3 é 
insignificante em relação ao infinito). Do mesmo modo, 2 + 5 = , e o resultado da 
divisão / é indeterminado. 
Um modo de ter uma noção de quanto será o valor desse limite é substituir um 
número muito grande para x, por exemplo, x = 100000. Então, a fração ficaria: 
2999935,1
200005
399997
51000002
31000004



 
Portanto, pode-se ver que o limite da fração quando x   será 2. 
 O procedimento adequado quando temos situações desse tipo, 
)(
)(
lim
xq
xp
x 
, sendo 
p(x) e q(x) polinômios, é dividir p(x) e q(x) pela maior potência (potência de maior grau: 
x
n
). A maior potência do exemplo acima é x
1
 = x. Então, dividindo 4x – 3 e 2x + 5 por x, 
temos: 
2
2
4
02
04
2
4
52
34
lim
)52(
)34(
lim
52
34
lim
5
3


















x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
 
Ex. 2) 
?
52
2
lim
3
3



 x
xx
x
. 
 
 Uma substituição direta daria: 
?
52
2
52
2
lim
3
3
3
3









 x
xx
x
 
Infinito elevado ao cubo é ∞.∞.∞, que é igual , 2 =  + ∞ = ∞ e 5 é 
insignificante em relação ao infinito. Agora, ∞ - ∞ = ? (indeterminado). 
Uma substituição numérica nos mostraria o resultado. Por exemplo, substituindo 
x = 10000 = 10
4
 (um número grande), a expressão ficaria: 
5,0
0052000000000
009999999800
50002000000000
200000001000000000
5102
10210
5)10(2
102)10(
12
412
34
434









 Agora, dividindo toda a expressão por x
3
, que é a maior potência, e substituindo 
+∞, teremos: 
5,0
02
01
/52
/21
/52
/21
lim
/)52(
/)2(
lim
52
2
lim
3
2
3
2
33
33
3
3














 x
x
xx
xxx
x
xx
xxx
, 
que é, praticamente, o mesmo resultado calculado anteriormente. 
 
 Mais um exemplo: 
Ex. 3) 
?
532
3243
lim
23
23



 xxx
xxx
x
 
Dividindo o numerador e o denominador da expressão pela maior potência, x
3
, e 
substituindo -∞, determinamos o limite: 
2
3
002
0003
/5/32
/3/2/43
lim
532
3243
lim
2
32
23
23









 xx
xxx
xxx
xxx
xx
. 
 
Observe que todos os termos de potência menor que x
3
 se anulam quando 
aplicamos x  ∞, pois nesses termos ocorre sempre uma divisão por infinito, que é 
igual a zero. Podemos, então, nesses casos, onde há divisões de polinômios, 
desconsiderar os termos de grau menor que a da potência máxima, ou seja, no exemplo 
acima, podemos desprezar os termos de grau menor que 3 nos polinômios do numerador 
e do denominador e considerar somente o limite das maiores potências 
2
3
2
3
lim
2
3
lim
532
3243
lim
3
3
23
23



 xxx x
x
xxx
xxx
. 
Podemos, portanto, adotar como nova regra, sempre que houver um limite com x  ∞ 
de uma divisão de polinômios, substituir os polinômios pelos termos de maior grau 
apenas. Isso simplifica bastante o cálculo desses limites. 
 
 
 
Exercícios sobre Limites 
 
Calcule os seguintes limites: 
1) 
 

1lim 3
2
x
x
 
2) 
 

1lim 3
1
x
x
 
3) 
 

xx
x
3
1
lim
 
4) 
 

1lim 234
1
xxxx
x
 
5) 
 

4lim 2
2
x
x
 
6) 
   

33lim
3
xx
x
 
7) 








z
zz
1
lim
2
 
8) 
 

8lim 3/1
8
x
x
 
9) 








 1
1
lim
1 x
x
x
 
10) 












)12(
1
lim
49
xx
x
x
 
11) 








 1
1
lim
2
1 x
x
x
 
 Solução: 
.211)1(lim
1
)1)(1(
lim
1
1
lim
11
2
1












x
x
xx
x
x
xxx
 
12) 








 2
4
lim
2
2 x
x
x
 
13) 










 4
2
lim
4 x
x
x
 
14) 








 3
96
lim
2
3 x
xx
x
 
15) 








 4
168
lim
2
4 x
xx
x
 
16) 






 2,1
2,2
)();(lim
2 xse
xsex
xfxf
x
 
17) 






 3,
352
)();(lim
2
3 xsex
xsexx
xfxf
x
 Faça um esboço do gráfico. 
18) Se 
x
x
xh
39
)(


, mostre que 
6
1
)(lim
0


xh
x
. Sugestão: Multiplique o 
numerador e o denominador de h(x) por 
.39 x
 
 
19) 








 223
12
lim
2
2
xx
xx
x
 
20) 








 22
1
lim
2
3
xx
xx
x
 
21) 








 xx
xx
x 2
2
lim
3
2 
22) 








 223
1
lim
20 xx
x
x
 
23) 






 20 3
1
lim
xx
 
24) 








 22
1
lim
2
x
xx
x
 
25) 








 1
lim
3
2
xx
xx
x
 
26) 



 1
1
lim
x
x
x
 
27) 



 1
1
lim
1 x
x
x
 
28) 







 xx
1
lim
0
 
29) 



 xx
x
x
2
0
12
lim
 
30) 




2
1 1
2
lim
x
x
x
 
 Solução: 
.
0
3
11
3
)1(1
21
1
2
lim
22
1

















 x
x
x