Gabaritos AD1 - MD1 questão 1, 2, 3 e 4 - 2018.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Em uma turma, o nu´mero de alunos que na˜o gostam de Matema´tica e´ o
dobro do nu´mero de alunos que gostam. Um terc¸o dos que gostam de Matema´tica gostam tambe´m
de Portugueˆs. Sabe-se ainda que o nu´mero de alunos que gostam de Portugueˆs e´ o dobro dos que
gostam de Matema´tica.
Representando por x o nu´mero de alunos que gostam de Matema´tica, preencha o diagrama abaixo
colocando, em cada parte, a frac¸a˜o de x correspondente.
Soluc¸a˜o:
Como pede o enunciado, vamos representar por x o nu´mero de alunos que gostam de Matema´tica. E´
dado que um terc¸o dos alunos que gostam de Matema´tica, ou seja
x
3
, tambe´m gostam de Portugueˆs.
Com isso, a intersec¸a˜o entre os conjuntos “Matema´tica”e “Portugueˆs”do diagrama e´
x
3
.
Como o nu´mero de alunos que gosta de Matema´tica e´ x, dos quais
x
3
tambe´m gosta de Portugueˆs,
o nu´mero de alunos que gosta apenas de Matema´tica e´ dado por
x− x
3
=
3x− x
3
=
2x
3
.
Preenchendo no diagrama, temos:
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2018-1 2
O nu´mero de alunos que gostam de Portugueˆs e´ o dobro dos que gostam de Matema´tica, logo e´
dado por 2x. Como a intersec¸a˜o entre os conjuntos e´
x
3
, o nu´mero de alunos que gostam apenas de
Portugueˆs e´ dado por
2x− x
3
=
6x− x
3
=
5x
3
.
Preenchendo no diagrama:
O nu´mero de alunos que na˜o gostam de Matema´tica e´ o dobro do nu´mero de alunos que gostam,
logo, 2x. Estes alunos correspondem a` regia˜o destacada abaixo:
Destes, ja´ conhecemos a quantidade que gosta de Portugueˆs, dada por
5x
3
. Assim, aqueles que na˜o
gostam nem de Matema´tica e nem de Portugueˆs sa˜o dados por
2x− 5x
3
=
6x− 5x
3
=
x
3
.
Temos enta˜o o seguinte diagrama preenchido:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2018-1 3
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Questa˜o 2 (2,5 pontos) Para esta questa˜o, considere as seguintes definic¸o˜es:
• O lucro obtido com uma venda e´ o prec¸o de venda menos os custos envolvidos (custo de
fabricac¸a˜o ou aquisic¸a˜o junto a um fornecedor, impostos, etc).
• O ponto de equil´ıbrio financeiro (ou break-even, como e´ muito usual se dizer) e´ atingido
quando na˜o ha´ lucro ou preju´ızo em uma determinada transac¸a˜o ou atividade.
Apo´s um levantamento sobre o processo de fabricac¸a˜o e venda de um determinado produto, um
fabricante percebeu que:
• Um terc¸o do prec¸o do prec¸o pelo qual vende seus produtos a`s lojas e´ formado por impostos,
isto e´, deve ser recolhido para o governo;
• O custo com mate´rias-primas, por unidade do produto, e´ de R$10,00;
• O pagamento de ma˜o de obra, maquina´rio e instalac¸o˜es representa um gasto fixo mensal,
independente da quantidade fabricada, de R$100.000,00.
(a) Determine a expressa˜o do lucro L com a fabricac¸a˜o e venda de um produto, considerando apenas
o custo com mate´rias primas e impostos, tendo como varia´vel o prec¸o P de venda a`s lojas.
(b) Determine a expressa˜o que representa o lucro Lt mensal obtido com a fabricac¸a˜o e venda de
N unidades mensais do produto, vendidas a`s lojas pelo prec¸o P . Para este lucro, considere os
gastos que incidem sobre cada unidade (mate´rias-primas e impostos) e os gastos fixos.
(c) Para que o ponto de equil´ıbrio financeiro (break-even) seja atingido, quantas unidades precisam
ser produzidas em um meˆs, considerando-se que todas sera˜o vendidas?
Soluc¸a˜o:
(a) Considerando a venda de apenas um produto, e sendo P seu prec¸o de venda a`s lojas, pelo
primeiro item informado acima, os impostos correspondem a
1
3
P . Pelo segundo item, o custo
com mate´rias primas e´ de R$10,00. Com isso, o custo total e´ de C =
P
3
+10, logo, o lucro, em
reais, obtido na venda de um produto e´ dado por
L = P −
(
P
3
+ 10
)
= P − P
3
− 10 = 2P
3
− 10.
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2018-1 2
(b) A venda de N unidades do produto pelo prec¸o P resultara´ numa receita de Rt = N · P , e em
custos de Ct = N ·
(
P
3
+ 10
)
+ 100.000 (impostos e custo por unidade, adicionados do custo
fixo). Assim, o lucro total sera´ de
Lt = Rt − Ct = NP −
[
N ·
(
P
3
+ 10
)
+ 100.000
]
= NP − NP
3
− 10N − 100.000.
∴ Lt =
2NP
3
− 10N − 100.000.
(c) No ponto de equil´ıbrio financeiro, na˜o ha´ lucro ou preju´ızo, isto e´, Lt = 0. Mas
Lt = 0 ⇔ 2NP
3
− 10N − 100.000 = 0
⇔ N
(
2P
3
− 10
)
= 100.000
⇔ N = 100.000
2P
3
− 10
⇔ N = 100.000
2P−30
3
⇔ N = 300.000
2P − 30
Assim, sera´ necessa´rio produzir
300.000
2P − 30 unidades. Note que isto so´ faz sentido para P > 15.
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Gabarito da Questa˜o 3 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Questa˜o 3 (2,5 pontos) A Secretaria de Sau´de de Longefica esta´ se preparando para uma nova
campanha de vacinac¸a˜o contra a Auriculite Caprina (AC), que afeta pessoas que tiveram contato
com animais infectados. Nesta nova campanha, a vacinac¸a˜o sera´ feita em duas doses, de acordo
com o protocolo a seguir:
• Devem tomar a segunda dose todos aqueles que tomarem a primeira, e somente estes, exceto
no caso de manifestarem sintomas entre a primeira e a segunda doses.
• Todos os moradores que na˜o foram vacinados em campanhas anteriores e que na˜o tenham
contra´ıdo a doenc¸a em algum momento anterior a` nova campanha de vacinac¸a˜o devera˜o tomar
a primeira dose.
• Na˜o devem tomar a vacina aqueles que ja´ tenham contra´ıdo a doenc¸a em algum momento
anterior a` nova campanha de vacinac¸a˜o.
(a) Escreva, utilizando s´ımbolos da lo´gica proposicional, cada diretriz do protocolo acima. Utilize
a seguinte notac¸a˜o para as proposic¸o˜es:
p: deve tomar a primeira dose
q: deve tomar a segunda dose
a: foi vacinado em campanhas anteriores
s: apresentou sintomas da Auriculite Caprina entre a primeira e a segunda doses da va-
cinac¸a˜o.
j: ja´ contraiu a doenc¸a em algum momento anterior a` nova vacinac¸a˜o.
Sabe-se que a populac¸a˜o de Longefica e´ de 10000 habitantes, dos quais 1000 ja´ contra´ıram ou tera˜o
contra´ıdo a Auriculite Caprina antes da primeira fase da nova campanha de vacinac¸a˜o, e 2000 ja´ foram
vacinados em campanhas anteriores. A Secretaria de Sau´de na˜o sabe se ha´ algue´m que tenha sido
vacinado anteriormente e que tenha contra´ıdo a doenc¸a. A vacinac¸a˜o na˜o impede que haja conta´gio
ou manifestac¸a˜o de sintomas no per´ıodo de um meˆs apo´s a vacinac¸a˜o; na verdade, especula-se ate´
que a pro´pria vacina possa causar sintomas. Estima-se que pelo menos 100 pessoas da cidade devam
manifestar sintomas da doenc¸a entre a primeira e a segunda dose da nova campanha de vacinac¸a˜o,
independentemente de terem sido vacinadas ou na˜o.
E´ consenso entre a comunidade cient´ıfica que quem ja´ contraiu a doenc¸a na˜o apresentara´ mais
sintomas em toda a sua vida.
(b) Supondo que o protocolo de vacinac¸a˜o seja cumprido a` risca, qual o nu´mero m´ınimo e ma´ximo
de habitantes que podera˜o comparecer a cada dose da vacinac¸a˜o?
Soluc¸a˜o:
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2018-1 2(a) Da primeira diretriz do protocolo podem ser conclu´ıdas duas afirmac¸o˜es:
• Se um morador tomar a primeira dose (p) e na˜o manifestar sintomas entre a primeira e a
segunda dose (∼s), enta˜o ele devera´ tomar a segunda dose (q). Assim, temos
p ∧ (∼ s)⇒ q.
• Por outro lado, se um morador deve tomar a segunda dose (q), enta˜o tomou a primeira
(p) e na˜o manifestou sintomas entre a primeira e a segunda doses (∼s). Assim,
q⇒ p ∧ (∼ s).
Juntando as duas implicac¸o˜es, temos
Primeira diretriz: p ∧ (∼ s)⇔ q.
A segunda diretriz pode ser lida da seguinte forma: “Se um morador na˜o foi vacinado em cam-
panhas anteriores (∼a) e na˜o contraiu a doenc¸a em algum momento anterior a` nova vacinac¸a˜o
(∼j), enta˜o ele deve tomar a primeira dose (p). Assim, temos
Segunda diretriz: (∼ a) ∧ (∼ j)⇒ p.
A terceira diretriz, por sua vez, diz que “Se um morador ja´ contraiu a doenc¸a anteriormente
a` nova campanha (j), enta˜o ele na˜o deve tomar a primeira dose (∼p). (Na verdade, ele na˜o
deve tomar qualquer dose da vacina, mas na˜o tomar a primeira ja´ implica na˜o tomar a segunda).
Assim, temos
Terceira diretriz: j⇒∼ p.
(b) Vamos representar a situac¸a˜o por meio de um diagrama de Venn, no qual o conjunto-universo U
representa toda a populac¸a˜o, o conjunto J representa os que tiveram ou tera˜o a Auriculite Caprina
antes da nova campanha de vacinac¸a˜o, e A representa os que ja´ foram vacinados anteriormente.
Sabemos, pelas informac¸o˜es dadas, que U possui 10000 elementos, J possui 2000 e A possui
1000, mas na˜o sabemos quantos elementos ha´ na intersec¸a˜o entre J ∩A. Esta intersec¸a˜o pode
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possuir, no m´ınimo 0 elementos, como abaixo,
ou, no ma´ximo, 1000 elementos, como abaixo,
De maneira geral, sendo n o nu´mero de pessoas na intersec¸a˜o, temos 0 6 n 6 1000 e o diagrama
abaixo:
O nu´mero de habitantes em U , mas fora da unia˜o J ∪ A e´ dado por
10000− [(1000− n) + n+ (2000− n)] = 7000 + n.
Assim, como 0 6 n 6 1000, a populac¸a˜o 7000+n que nunca foi vacinada e nem tera´ manifestado
a doenc¸a antes da nova vacinac¸a˜o esta´ entre 7000 (quando n = 0) e 8000 (quando n = 1000).
Mas e´ exatamente esta a populac¸a˜o, que nunca foi vacinada e nunca teve a doenc¸a, que, segundo
as diretrizes da campanha, deve tomar a primeira dose. Assim, se as diretrizes forem seguidas a`
risca, tomara˜o a primeira dose, no m´ınimo 7000 habitantes e, no ma´ximo 8000.
Desses habitantes que tomarem a primeira dose, alguns podera˜o manifestar sintomas da doenc¸a
antes da aplicac¸a˜o da segunda dose. Estima-se que pelo menos 100 habitantes manifestara˜o
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estes sintomas, que podem estar ou na˜o entre os que tomaram a primeira dose. Vamos chamar
de m, com m > 100, o nu´mero de pessoas que manifestara˜o a doenc¸a.
O nu´mero ma´ximo de pessoas que podem tomar a segunda dose continua sendo 8000, no caso
em que nenhuma das pessoas que manifestarem os sintomas estejam entre os que tomaram a
primeira dose, como representado abaixo:
com 100 6 m 6 1000.
O nu´mero m´ınimo de pessoas que podem tomar a segunda dose ocorre quando 7000 pessoas
tomam a primeira dose, e, dessas, m pessoas, com m > 100, manifestam os sintomas, como
representado abaixo:
com 100 6 m 6 7000.
Note que 100 6 m 6 7000. Assim, se m = 7000, isto e´, se manifestarem a doenc¸a todas as
pessoas que nunca tiveram a doenc¸a e nunca foram vacinadas, o nu´mero de pessoas que tomara˜o
a segunda dose sera´ 0.
Assim, devem tomar a segunda dose, no m´ınimo, 0 pessoas e, no ma´ximo, 8000.
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Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
(a) Racionalize a expressa˜o √
7−√2√
7 +
√
2
.
Soluc¸a˜o:
√
7−√2√
7 +
√
2
=
√
7−√2√
7 +
√
2
·
√
7−√2√
7−√2
=
(√
7−√2) · (√7−√2)(√
7 +
√
2
) · (√7−√2)
=
(√
7−√2)2(√
7
)2 − (√2)2
=
(√
7
)2 − 2√7√2 + (√2)2
7− 2
=
7− 2√14 + 2
5
=
9− 2√14
5
(b) A empresa de eletricidade Fotofo´bica S.A. foi recentemente acusada de fraude no recolhimento
de impostos embutidos na conta de fornecimento ele´trico. Sobre o valor V dos servic¸os presta-
dos, incide um imposto de 20%, de forma que o cliente pagaria na conta o valor de V +20%V ,
dos quais a empresa arrecadaria V e recolheria 20%V para os devidos o´rga˜os fazenda´rios das
treˆs instaˆncias de governo.
Pore´m, a Fotofo´bica S.A, resolveu adotar um ca´lculo diferente e, digamos, bastante questiona´vel
do ponto de vista da honestidade... Apo´s calcular o valor V dos servic¸os prestados ao consu-
midor, emitia as contas de luz por um valor M maior que V + 20%V , e de forma que 80%
deste valor M fosse o valor real V dos servic¸os prestados, e o restante, 20% de M , fossem
apresentados incorretamente como imposto.
Depois, a companhia repassava ao governo apenas o valor correto do imposto, 20%V , e na˜o os
20% de M que apresentava como imposto na conta. Quanto a` parcela do imposto indevida-
mente cobrado do consumidor e na˜o recolhido ao governo... bem, essa parcela a Fotofo´bica S.A.
embolsava!
Sabendo que, em todo o meˆs de janeiro do ano atual, a Fotofo´bica aplicou esta pra´tica tenebrosa,
e que o valor total cobrado de todos os seus clientes foi de R$ 100.000.000,00 (cem milho˜es
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de reais), determine (i) o valor dos servic¸os prestados, (ii) o valor recolhido ao governo como
imposto e (iii) o valor indevidamente cobrado como imposto e desonestamente embolsado pela
famigerada Fotofo´bica S.A.
Atenc¸a˜o: Voceˆ pode utilizar uma calculadora para fazer as operac¸o˜es mais complexas, pore´m,
e´ importante que sua resposta apresente cada passo do desenvolvimento e que seja indicado em
que passagem voceˆ fez uso da calculadora.
Soluc¸a˜o:
(i) O valor cobrado (irregularmente) dos clientes foi
M = 100.000.000.
Sendo V o valor dos servic¸os prestados, temos
V = 80%M =
80
100
· 100.000.000 = 80.000.000.
(ii) Dos 100.000.000 cobrados, 80.000.000 correspondem aos servic¸os prestados, logo o valor
recolhido ao governo e´ de
20% · 80.000.000 = 20
100
· 80.000.000 = 16.000.000.
(iii) A Fotofo´bica, pore´m, cobrou dos consumidores 20% dos 100.000.000 como imposto, por-
tanto R$20.000.000,00. Como vimos, o valor correto cobrado como imposto deveria ser 16.000.000.
Com isso, 4.000.000 foram cobrados incorretamente, e embolsados pela Fotofo´bica S.A.
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