Gabaritos 2018.2 AD1 MD1 questão 1, 2, 3 e 4

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Um banco oferece treˆs produtos: conta corrente, conta investimento
e caderneta de poupanc¸a. Sabe-se que
• Uma conta investimento so´ pode ser contratada quando se contrata uma conta corrente,
embora seja poss´ıvel contratar uma conta corrente sem uma conta investimento.
• E´ poss´ıvel contratar uma caderneta de poupanc¸a independentemente de se contratar uma
conta investimento ou uma conta corrente.
Ao analisar os dados de seus 720 clientes, que contrataram pelo menos um dos produtos, observou-se
que:
• Os clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que
contrataram conta investimento, um quarto dos clientes que contrataram conta corrente
e um quinto dos que contrataram caderneta de poupanc¸a.
• Todos os clientes que contrataram ambos a caderneta de poupanc¸a e a conta corrente,
tambe´m contrataram uma conta investimento.
(a) Represente, por meio de um diagrama de Venn, a situac¸a˜o descrita, representando por C o
conjunto dos clientes que contrataram uma conta corrente, por I o conjunto dos que contra-
taram uma conta investimento e por P os que contrataram uma caderneta de poupanc¸a.
Represente por x a quantidade de clientes que contrataram todos os treˆs produtos e, a partir
da´ı, complete todas as partes do diagrama em func¸a˜o de x.
(b) Cada cliente pode contratar, no ma´ximo, um produto de cada tipo. Isto e´, na˜o e´ poss´ıvel um
cliente contratar mais de uma conta corrente, mais de uma conta investimento ou mais
de uma caderneta de poupanc¸a. Desta forma, diga quantos produtos de cada tipo foram
contratados. Observe que a soma destas quantidades deve ser maior que 720, pois este e´ o
nu´mero de clientes, na˜o de produtos contratados, e alguns clientes contrataram mais de um
produto.
(c) O nu´mero de contratac¸o˜es de contas correntes corresponde a que percentual do total de
produtos contratados? (Observe que a pergunta e´ relativa ao total de produtos contratados,
na˜o ao nu´mero de clientes.)
Soluc¸a˜o:
(a) Como o todos os clientes que contrataram conta investimento tambe´m contrataram conta
corrente, o conjunto I esta´ contido no conjunto C, logo podemos desenhar o diagrama de Venn
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como abaixo:
Na˜o nos preocupamos em desenhar um conjunto Universo, ja´ que a situac¸a˜o se refere apenas
a clientes que, como explicado, contrataram pelo menos um dos produtos. Se quise´ssemos
representar este conjunto U , haveria 0 clientes fora na parte mais externa do diagrama, isto e´,
fora dos conjuntos C, I e P , como abaixo:
Assim, na˜o vamos mais nos preocupar com o conjunto U . A ana´lise dos clientes mostrou
que “todos os clientes que contrataram ambos a caderneta de poupanc¸a e a conta cor-
rente, tambe´m contrataram caderneta de poupanc¸a”, logo, na˜o existem clientes no conjunto
(P ∩ C)− I, logo podemos colocar um 0 (zero) na parte correspondente no diagrama.
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que
contrataram conta investimento, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram conta
investimento e´ 2x. Como x deles ja´ esta˜o representados na intersec¸a˜o I ∩ C ∩ P , o restante
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Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2018-2 3
do conjunto I possui 2x− x = x elementos, como representado abaixo:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um quarto dos clientes que
contrataram conta corrente, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram conta corrente
e´ 4x. Assim, a parte do conjunto C que ainda na˜o possui valor, no diagrama, representa
4x− x− x− 0 = 2x clientes. Temos enta˜o o diagrama:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um quinto dos clientes que
contrataram caderneta de poupanc¸a, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram
caderneta de poupanc¸a e´ 5x. Assim, a parte do conjunto P que ainda na˜o possui valor, no
diagrama, representa 5x− x = 4x clientes. Atualizando o diagrama, temos
(b) Vamos determinar, no diagrama da questa˜o anterior, o valor de x. Observando o diagrama e
sabendo que ha´ um total de 720 clientes, temos
x+ x+ 2x+ 4x = 720 ∴ 8x = 720 ∴ x = 90.
Assim, temos as seguintes quantidades de produtos contratados:
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• contas correntes: 4x = 4 · 90 = 360 contratac¸o˜es
• contas investimento: 2x = 2 · 90 = 180 contratac¸o˜es
• cadernetas de poupanc¸a: 5x = 5 · 90 = 450 contratac¸o˜es
(c) O total T de produtos contratados e´ dado por
360 + 180 + 450 = 990.
Assim, as 360 contratac¸o˜es de contas correntes, em relac¸a˜o ao total de produtos, a
360
990
=
4
11
= 0,36363636... ≡ 36,36%.
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Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 2 (2,5 pontos) De acordo com o que vimos no EP3, uma proposic¸a˜o do tipo
p e q
e´ falsa se pelo menos uma das duas proposic¸o˜es, p ou q, forem falsas, isto e´, se
(∼ p) ou (∼ q).
De forma semelhante,
p ou q
e´ falsa se ambas as proposic¸o˜es p e q forem falsas, isto e´, se
(∼ p) e (∼ q).
Vimos ainda que uma sequeˆncia da forma
∃x ∈ X|p(x)
e´ falsa se
∀x ∈ X,∼ p(x),
isto e´, e´ falso que ”algum x em X tal que p(x) e´ verdadeiro”se ”para todo x em X, p(x) for falso”.
Da mesma forma,
∀x ∈ X,p(x)
e´ falsa se
∃x ∈ X| ∼ p(x),
isto e´, e´ falso que ”para todo x em X, p(x) e´ verdadeira”se ”existe algum x em X para o qual p(x)
e´ falsa”.
Juntando as informac¸o˜es acima, escreva a negac¸a˜o das sentenc¸as abaixo. Escreva com palavras, sem
utilizar simbologia lo´gico-matema´tica.
(a) Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o carta˜o.
(b) Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com carta˜o.
(c) Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio.
(d) Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio.
(e) Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o ou existe algum cliente que comprou
ontem que tenha comprado um presente.
(f) Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro e todos os clientes
que compraram ontem compraram um presente.
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Nos itens acima, observe que a expressa˜o ”que comprou ontem”determina o conjunto de clientes
dos quais se fala, ou seja, fazem o papel do conjunto ”X”nas expresso˜es ”∃x ∈ X”e ”∀x ∈ X”.
Assim, por exemplo, a expressa˜o, ”Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o
carta˜o”pode ser pensada como ”∀c ∈ X, ’c comprou ontem’ ou ’c pagou com o carta˜o’ ”; pensar
assim ajudara´ a escrever as negac¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
(a) Algum cliente que comprou ontem, na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o.
Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o carta˜o.
m
∀c ∈ X,′ c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∃c ∈ X | ∼ (′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′)
m
∃c ∈ X | ∼ (′c pagou em dinheiro′) e ∼ (′c pagou com o carta˜o′)
m
Algum cliente que comprou ontem, na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o
(b) Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com carta˜oPode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com carta˜o.
m
∃c ∈ X | ′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∀c ∈ X,∼ (′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′)
m
∀c ∈ X,∼ (′c pagou em dinheiro′) e ∼ (′c pagou com o carta˜o′)
m
Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o
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(c) Algum cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um pro-
duto para uso pro´prio
Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio
m
∀c ∈ X,′ c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∃c ∈ X | ∼ (′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
∃c ∈ X | ∼ (′c adquiriu um presente′) ou ∼ (′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
Algum cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um produto para uso pro´prio
(d) Todo cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um pro-
duto para uso pro´prio
Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio
m
∃c ∈ X | ′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∀c ∈ X,∼ (′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
∀c ∈ X,∼ (′c adquiriu um presente′) ou ∼ (′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
Todo cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um produto para uso pro´prio
(e) Algum cliente que comprou ontem na˜o pagou em carta˜o e todo cliente que comprou
ontem, na˜o comprou um presente
Para chegar a esta conclusa˜o, podemos denotar
p :′ Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o′
q :′ existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente.′
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Queremos escrever a negac¸a˜o de ”p ou q”, que sera´ ”∼ p e ∼ q”. Temos
∼ p :′ Algum cliente que comprou ontem na˜o pagou em carta˜o′
∼ q :′ Todo cliente que comprou ontem, na˜o comprou um presente.′
Assim, a negac¸a˜o de ” ’Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o’ ou ’existe
algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente’ ”e´ ” ’Algum cliente que
comprou ontem na˜o pagou em carta˜o’ e ’Todo cliente que comprou ontem, na˜o comprou um
presente’ ”.
(f) Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro ou algum cliente que comprou
ontem na˜o comprou um presente
Para chegar a esta conclusa˜o, podemos denotar
p :′ Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro′
q :′ todos os clientes que compraram ontem compraram um presente.′
Queremos escrever a negac¸a˜o de ”p e q”, que sera´ ”∼ p ou ∼ q”. Temos
∼ p :′ Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro′
∼ q :′ Algum cliente que comprou ontem na˜o comprou um presente.′
Assim, a negac¸a˜o de ” ’Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em
dinheiro’ e ’todos os clientes que compraram ontem compraram um presente’ ”e´ ” ’Todo cliente
que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro’ ou ’algum cliente que comprou ontem na˜o comprou
um presente’ ”.
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Gabarito da Questa˜o 3 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 3 (2,5 pontos) Considerando uma implicac¸a˜o
p⇒ q,
sua contrapositiva e´ a implicac¸a˜o
∼ q⇒∼ p.
Um fato muito importante e´ que uma implicac¸a˜o e sua contrapositiva sa˜o equivalentes, ou seja, a
implicac¸a˜o e´ verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva tambe´m e´. Vejamos um exemplo:
Se Joa˜o pagou no carta˜o, enta˜o o pagamento foi recebido.
Veja, implicac¸a˜o diz que o fato de Joa˜o ter feito o pagamento no carta˜o implicara´ que o pagamento
foi recebido. Assim, a u´nica forma de o pagamento na˜o ter sido recebido e´ Joa˜o na˜o ter feito o
pagamento no carta˜o. Ou seja,
Se o pagamento na˜o foi recebido, enta˜o Joa˜o na˜o pagou no carta˜o.
Se denotarmos: p : ”Joa˜o pagou no carta˜o”, e q : ”o pagamento foi recebido”, a implicac¸a˜o ”se Joa˜o
pagou no carta˜o, enta˜o o pagamento foi recebido”pode ser escrita como p⇒ q, e a implicac¸a˜o ”se o
pagamento na˜o foi recebido, enta˜o Joa˜o na˜o pagou no carta˜o”sera´ sua contrapositiva, representada
por ∼ q ⇒∼ p.
A partir da´ı, resolva os itens abaixo:
Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questa˜o de Matema´tica:
(1) Eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma lista de exerc´ıcios, se, e somente
se, aprendi a resolver a questa˜o ou decorei a soluc¸a˜o da questa˜o.
(2) Por outro lado, se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o certamente eu me dediquei a resolver
a questa˜o quando eu a vi em uma lista de exerc´ıcios
(3) Se eu aprendi a resolver a questa˜o, enta˜o acertei integralmente uma questa˜o semelhante posterior.
(4) Se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o acertei pelo menos metade de uma questa˜o semelhante
posterior.
(5) Se acertei integralmente uma questa˜o semelhante posterior, enta˜o, obviamente, acertei
pelo menos metade de uma questa˜o semelhante posterior.
Denote as proposic¸o˜es das sentenc¸as anteriores da seguinte forma:
m : eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma lista de exerc´ıcios
a : aprendi a resolver a questa˜o
d : decorei a soluc¸a˜o da questa˜o
i : acertei integralmente uma semelhante posterior
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p : acertei pelo menos metade de uma semelhante posterior
(a) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribu´ıdas acima a cada sentenc¸a
(m, a, d, i, p) e os s´ımbolos da lo´gica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
(b) Se na˜o acertei pelo menos metade de uma questa˜o semelhante posterior, baseado nas premissas
dadas, e´ verdadeiro ou falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma
lista de exerc´ıcios?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para
cada questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o.
(c) Se acertei integralmente uma questa˜o semelhante posterior, baseado nas premissas dadas, pode-
se afirmar que eu aprendi a resolver a questa˜o?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para
cada questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
(a) Temos
(1) m⇔ a ∨ d
(2) d⇒ m
(3) a⇒ i
(4) d⇒ p
(5) i⇒ p.
(b) Partindo da premissa de que na˜o acertei pelo menos metade de uma questa˜o semelhante
posterior, temos que p e´ falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d e´ falsa. Pela premissa
(5), temos tambe´m que i e´ falsa, logo por (3), a e´ falsa.
Ate´ aqui, conclu´ımos que a e d sa˜o falsas, logo a∨d e´ falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se
que m e´ falsa.
Assim, e´ falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma lista de
exerc´ıcios.
(c) Na˜o se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposic¸o˜es i e p, e todas as demais falsas. Isto
na˜o tornara´ falsas as premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇔ F ∨ F
(2) F ⇒ F
(3) F ⇒ V
(4) F ⇒ V
(5) V ⇒ V ,
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que sa˜o implicac¸o˜es va´lidas (o que na˜o seria va´lido seria V ⇒ F ).
Por outro lado,podem todas as proposic¸o˜es serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam
sendo respeitadas, pois
(1) V ⇔ V ∨ V
(2) V ⇒ V
(3) V ⇒ V
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ V .
Assim, e´ poss´ıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a e´ verdadeira como em casos em que
a e´ falsa.
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Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
(a) Racionalize e simplifique o nu´mero
√
50√
(−3)2 −√11
Sem calcular o valor de qualquer uma das ra´ızes quadradas que aparecem na racionalizac¸a˜o, diga
se este nu´mero e´ maior ou menor que −5√2. Explique seu racioc´ınio.
(b) Treˆs aumentos consecutivos de 10% em um prec¸o correspondem a qual aumento u´nico de quantos
porcento?
(c) Treˆs aumentos consecutivos e de mesmo percentual de um prec¸o, correspondem a um aumento
final de 30% do prec¸o. Determine o percentual empregado nos treˆs aumentos consecutivos
(utilize uma calculadora, se necessa´rio, mas deixe claro a conta feita e o racioc´ınio utilizado).
Soluc¸a˜o:
(a) Temos
√
50√
(−3)2 −√11 =
√
52 · 2√
9−√11
=
5
√
2
3−√11
=
5
√
2
3−√11 ·
3 +
√
11
3 +
√
11
=
5
√
2 · (3 +√11)
32 − (√11)2
=
15
√
2 + 5
√
2 · √11
9− 11
=
15
√
2 + 5
√
22
−2
= −15
√
2 + 5
√
22
2
Note que
−15
√
2 + 5
√
22
2
< −15
√
2
2
= −15
2
·
√
2 = −7,5
√
2 < −5
√
2.
Algumas observac¸o˜es sobre os ca´lculos utilizados na racionalizac¸a˜o:
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• Na˜o podemos fazer √(−3)2 = −3, isto e´, na˜o se pode “cortar”a raiz quadrada com o
quadrado. De maneira geral, na˜o e´ verdade que
√
a2 = a, pois, para nu´meros negativos
isto na˜o estara´ correto. O que sempre e´ verdade e´ que
√
a2 = |a|.
• Se a 6 0, e´ verdade que (√a)2 = a. Nas contas acima, isto foi utilizado para obter(√
11
)2
= 11.
(b) Vamos considerar um prec¸o P0 qualquer. Um aumento de 10% corresponde a multiplicar P0 por
1 + 10% = 1 +
10
100
=
110
100
=
11
10
.
Assim, o prec¸o apo´s um aumento sera´ de
P1 = P · 11
10
=
11P
10
.
O segundo aumento levara´ este prec¸o a
P2 = P1 · 11
10
=
11P
10
· 11
10
=
121P
100
.
O terceiro aumento levara´ este prec¸o a
P3 = P2·11
10
=
121P
100
·11
10
=
1331P
1000
=
1331
1000
·P = 133,1
100
·P =
(
100
100
+
33,1
100
)
·P = 1+33,1%P.
Assim, treˆs aumentos de 10% correspondem a um u´nico aumento de 33,1%.
Outra forma de pensar seria a partir de um prec¸o arbitra´rio inicial. Fac¸amos, por exemplo,
P = 100. Assim, o prec¸o apo´s um aumento sera´ de
P1 = 100 · 11
10
= 110.
O segundo aumento levara´ este prec¸o a
P2 = 110 · 11
10
=
1210
10
= 121.
O terceiro aumento levara´ este prec¸o a
P3 = 121 · 11
10
=
1331
10
= 133,1 = 100% + 33,1%.
Assim, treˆs aumentos de 10% correspondem a um u´nico aumento de 33,1%.
(c) Cada aumento de a% corresponde a uma multiplicac¸a˜o por
1 + a%.
Assim, aumentar 3 vezes um prec¸o corresponde a multiplicar por
(1 + a%)3,
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logo, o prec¸o P , aumentado 3 vezes consecutivas nos dara´
P · (1 + a%)3.
Pore´m, este valor corresponde a um u´nico aumento de 30%, ou seja, a
P · (1 + 30%) = P · 100 + 30
100
= P · 130
100
= P · 13
10
,
logo
P · (1 + a%)3 = P 13
10
.
Com isso
(1 + a%)3 =
13
10
,
e, portanto,
1+a% =
3
√
13
10
= 3
√
1,3 = 1,0913928831... = 1+0,0913928831... = 1+
9,13928831...
100
= 1+9,13928831...%
Assim, um aumento de 30% corresponde a 3 aumentos consecutivos de aproximadamente 9,14%.
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