DETERMINAÇÃO DE PARAMETROS DE RESISTENCIA AO CISALHAMENTO COM VISTA A APLICAÇÃO EM ANALISES PROBABILISTICAS

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Determinação de Parâmetros de Resistência ao Cisalhamento com 
Vistas à Aplicação em Análises Probabilísticas. 
 
Silvana Borges Goes Tomassetti 
UEL, Londrina, Brasil, silvanagoes@hotmail.com 
 
Osvaldo Marques de Oliveira Junior 
UEL, Londrina, Brasil, oliveirajr.om@gmail.com 
 
Tatiana Tavares Rodriguez 
UFJF, Juiz de Fora, Brasil, tatiana.rodriguez@ufjf.edu.br 
 
Raquel Souza Teixeira 
UEL, Londrina, Brasil, raquel@uel.br 
 
Carlos José Marques da Costa Branco 
UEL, Londrina, Brasil, cb@mecsolos.com.br 
 
RESUMO: O estudo da resistência ao cisalhamento tem como ponto fundamental a determinação 
dos parâmetros de resistência (intercepto coesivo e ângulo de atrito) necessários, por exemplo, à 
análise de estabilidade de taludes de barragem de terra que tradicionalmente é feita por meio de 
métodos determinísticos. Entretanto, tem sido cada vez mais utilizados métodos pautados na 
probabilidade de ruína onde é necessário o conhecimento do valor médio dos parâmetros de 
resistência e também dos desvios em relação à média. Em muitos casos de projeto, tem sido adotado 
coeficiente de variação de 10% quando não se tem dados suficientes para análise estatística. O 
objetivo do trabalho foi estudar as envoltórias de resistência em amostras compactadas abaixo e 
acima da umidade ótima, determinando os parâmetros necessários à aplicação em análises 
probabilísticas e verificar se os coeficientes de variação do solo estão compatíveis com o indicado 
na literatura. A metodologia consistiu em: confecção das amostras compactadas; ensaios de 
cisalhamento direto na condição embebida, ensaios triaxiais tipo adensado drenado e análise 
estatística. Utilizou-se latossolo vermelho compactado, sendo aplicadas tensões normais de 50 e 100 
kPa nos ensaios de cisalhaemnto direto e tensões confinantes de 50 e 100 kPa nos ensaios triaxiais 
tipo CD. Na análise estatística determinou-se média, variância, desvio padrão e coeficiente de 
variação. A determinação foi feita por regressão linear, sendo utilizadas formulações específicas 
para os resultados dos ensaios triaxiais. Os resultados da análise estatística sobre os resultados dos 
ensaios de cisalhamento direto conduziram a intercepto coesivo médio de 31,67 kPa e ângulo de 
atrito médio de 29,04º, com desvios de 2,18 kPa e 3,21º, e coeficiente de variação de 7 e 12%, 
respectivamente. Nos ensaios triaxiais, Para amostras moldadas a 1% abaixo da umidade ótima, o 
ângulo de atrito médio foi de 43,8° com desvio padrão de 3,5° e coeficiente de variação de 8%, 
enquanto o intercepto coesivo médio foi de 55,90 kPa com desvio padrão de 4,7kPa e coeficiente de 
variação de 8,4%. Para amostras moldadas a 1% acima da ótima, o ângulo de atrito médio foi de 
47,97° com desvio padrão de 5,56° e coeficiente de variação de 11,58%, enquanto o intercepto 
coesivo médio foi de 28,05 kPa com desvio padrão de 7,4kPa e coeficiente de variação de 26,37%. 
Com base nos resultados, conclui-se que, mesmo se tratando de amostra compactada, onde se espera 
certa homogeneidade, os coeficientes de variação foram muito superiores a 10%. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Solo Compactado, Resistência ao Cisalhamento, Análise Estatística. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A análise de estabilidade de taludes de 
barragens é geralmente realizada através da 
utilização da hipótese de equilíbrio-limite, que 
considera que uma determinada massa de solo 
comporta-se como um corpo rígido na 
iminência de escorregar numa dada superfície. 
Esta hipótese está intrínseca, em alguns 
métodos correntes no projeto de taludes como o 
Método do Círculo de Atrito, Método Sueco e 
Método das Cunhas. Através dos quais é 
possível determinar o fator de segurança da 
estrutura de solo, em questão, natural ou 
compactado (Massad, 2003). 
 O menor coeficiente de segurança ocorre em 
uma “linha crítica” que é determinada por 
tentativas e podem ocorrer em uma superfície 
circular ou em uma superfície não circular, em 
alguns casos. 
 De acordo com Cintra e Aoki (2010, página 
67), “é um conceito ultrapassado considerar que 
os fatores de segurança prescritos em norma 
garantam a ausência de risco de ruína.” Esta 
afirmação é decorrente do fato de que os fatores 
de segurança consideram a solicitação média e a 
resistência média da estrutura em questão, 
desprezando assim as incertezas que causam 
variabilidade dos resultados ao longo de toda a 
estrutura. A alternativa que vem sendo adotada 
no meio geotécnico nacional é o uso de métodos 
probabilísticos para análise de risco, como pode 
ser visto nos trabalhos de Dell’Avanzi (1995), 
Guedes (1997), Flores (2008), Maia et al 
(2010), Sayão et al. (2012). A análise de risco 
considera a determinação da probabilidade de 
ruína que está associada à probabilidade de 
decisão que representa o grau de confiança 
individual numa análise, levando em conta os 
elementos e informações disponíveis (Pacheco, 
1990). 
 No caso de estabilidade de talude, a 
probabilidade de ruína pode ser entendida como 
sendo a probabilidade do fator de segurança 
(FS) ser inferior ou igual a unidade, onde FS é 
uma variável aleatória cuja distribuição 
probabilística pode ser estimada por métodos 
estatísticos a partir das distribuições das 
variáveis aleatórias c e , sendo a distribuição 
não conhecida porém representada pelos quatro 
momentos probabilísticos da variável FS 
determinados a partir dos valores médios e 
desvios padrões de c e (Pacheco, 1990). 
 O objetivo do trabalho foi estudar as 
envoltórias de resistência em amostras 
compactadas abaixo e acima da umidade ótima, 
determinando os parâmetros necessários à 
aplicação em análises probabilísticas e verificar 
se os coeficientes de variação do solo estão 
compatíveis com o indicado na literatura. 
 
 
2 SOLOS COMPACTADOS 
 
A compactação de solos é uma atividade 
realizada muito frequentemente nas obras de 
engenharia e é de grande importância, pois o 
solo quando depositado para construção de 
aterros fica fofo, heterogêneo e pode apresentar 
características diferentes ao longo do aterro e 
assim, a compactação serve para corrigir estes 
problemas, diminuindo o índice de vazios do 
solo e deixando-o mais homogêneo. 
 Para se estudar o comportamento dos solos 
compactados é imprescindível avaliar o teor de 
umidade do material a ser compactado visto que 
este interfere tanto na resistência ao 
cisalhamento quanto no coeficiente de 
permeabilidade do solo. 
 Na umidade ótima, a compactação faz com 
que o solo apresente maior deformabilidade, 
enquanto a compactação no ramo seco faz com 
que o solo apresente maior resistência de pico, 
mas com uma ruptura mais suscetível a trincas. 
Solos compactados no ramo seco, ou seja, solos 
compactados a uma umidade menor que a 
umidade ótima, têm permeabilidade maior que 
solos compactados na umidade ótima ou acima 
dela, pois enquanto no ramo seco as partículas 
se associam com grandes vazios entre si, no 
ramo úmido ocorre uma desagregação destas 
partículas, fazendo com que a água passe por 
poros localizados entre as agregações dos grãos 
de solo, diminuindo sua permeabilidade. 
 Os parâmetros de resistência ao cisalhamento 
utilizados para avaliar a estabilidade de taludes 
de obras de terra, como as barragens, podem ser 
determinados tanto por ensaios de cisalhamento 
direto quanto por ensaios triaxiais. Estes ensaios 
podem ser conduzidos na condição saturada ou 
não saturada, sendo a diferença atribuída à 
existência de sucção (Cruz, 1996; Kayadelen et 
al, 2007). 
 
 
3 MÉTODO PROBABILÍSTICO 
 
Os métodos determinísticos comumente 
utilizadospara analisar a estabilidade de talude 
se baseiam na determinação do Fator de 
Segurança. O grande problema destes métodos, 
chamados Métodos Determinísticos, está no uso 
de uma resistência média para o cálculo do 
Fator de Segurança. Isto caracteriza um 
problema porque além da variabilidade dos 
parâmetros ao longo do maciço devido à 
formação do mesmo, também há uma 
variabilidade devido a várias incertezas. 
Segundo Pacheco (1990), as incertezas podem 
ser provenientes de imperfeições no ensaio, de 
erros humanos; de erros estatísticos na 
determinação do valor médio e de erros no 
processo de amostragem. 
 Para tentar contornar melhor as incertezas 
quanto à definição de parâmetros para análise e 
estudo de casos existem os métodos 
probabilísticos, que além do Fator de 
Segurança, possibilitam a avaliação da 
probabilidade de ruptura do talude. Vários 
métodos probabilísticos foram desenvolvidos ao 
longo dos anos. Eles podem ser divididos em 
três categorias: Métodos Analíticos, Métodos 
Aproximados (método do segundo momento de 
primeira ordem e método das estimativas 
pontuais) e Simulação de Monte Carlo. 
 De acordo com Flores (2008), para o caso de 
análise de estabilidade de taludes, o método das 
Estimativas Pontuais é uma alternativa simples 
e que oferece resultado aceitável. O método 
utiliza os valores médios dos parâmetros de 
resitência e os respectivos desvios. O problema 
neste método está relacionado à determinação 
dos desvios, visto que estes podem ser mais 
altos que os esperados. 
 No caso dos ensaios de cisalhamento direto, 
os valores médios dos parâmetros de resistência 
podem ser obtidos a partir da envoltória média 
determinada com os resultados de ensaios 
através da aplicação de regressão linear. A 
regressão linear é, como define Devore (2006), 
a forma mais simples de relacionar duas 
variáveis. No caso de solos, a relação linear é do 
tipo  = a. + b, onde “a” é o coeficiente 
angular da reta e “b” é o coeficiente linear, ou 
termo constante da reta. 
 É importante, neste ponto, utilizar a 
estatística para determinar se a reta obtida é 
representativa para a amostra, se a dispersão 
não está muito alta, ou seja, se o resultado 
obtido é confiável. A avaliação dos resultados 
pode ser feita a partir da verificação de dois 
coeficientes: o coeficiente de variação e o 
coeficiente de correlação de Pearson. 
 O coeficiente de variação (CV) é a relação 
entre o desvio padrão e a média e serve, 
conforme Fonseca e Martins (2008), para 
analisar a dispersão dos dados em relação à 
média. Fonseca e Martins (2008) apresentam 
duas considerações sobre os limites do valor de 
CV. A primeira considera baixa dispersão 
quando o coeficiente der até 10%, média 
dispersão quando estiver entre 10% e 20% e 
grande dispersão quando o CV superar 20%. 
Para a segunda consideração, a dispersão é 
baixa quando CV for menor ou igual a 15%, 
média quando o coeficiente estiver entre 15% e 
30% e alta quando CV for maior ou igual a 
30%. 
 O coeficiente de correlação de Pearson mede, 
conforme explica Devore (2006), o quanto o 
modelo de regressão linear (y = a.x + b) pode 
explicar a variação de y. A Tabela 1 apresenta a 
classificação do grau de correlação em função 
de faixas de valores de coeficiente de correlação 
(Bisquerra et al., 2004). 
 
Tabela 1. Coeficiente de Correlação de Pearson 
(Bisquerra et al., 2004) 
Coeficiente Interpretação 
R = 1 Correlação Perfeita 
0,8<R<1,0 Muito Alta 
0,6<R<0,8 Alta 
0,4<R<0,6 Moderada 
0,2<R<0,4 Baixa 
0,0<R<0,2 Muito Baixa 
R=1,0 Nula 
 
 
4 METODOLOGIA 
 
O solo escolhido para estudo foi o latossolo 
vermelho retirado do CEEG da Universidade 
Estadual de Londrina que, segundo estudos de 
Hauly (2010), quando compactado com energia 
normal, apresenta umidade ótima de 31,7% e 
massa específica seca máxima de 1,44 g/cm
3
. 
Os corpos de prova utilizados nos ensaios de 
cisalhamento direto e triaxial foram obtidos a 
partir de talhagem em amostras compactadas 
em cilindro Proctor. As amostras foram 
compactadas no ramo seco e no ramo úmido 
com variação de 1% em relação à umidade 
ótima e grau de compactação aceitável de 98%. 
Os ensaios de cisalhamento direto foram 
conduzidos com aplicação de tensões normais 
de 50 e 100 kPa em corpos de prova prismáticos 
com dimensões de 6 x 6 x 2 cm, em estado 
saturado. Já os ensaios triaxiais foram 
conduzidos com tensões confinantes de 50 e 
100 kPa em corpos de prova cilíndricos de 3,6 
cm de diâmetro e 12 cm de altura. 
Para determinação das médias dos 
parâmetros de resistência nos ensaios de 
cisalhamento direto foi utilizada a reta de 
regressão do formato y=a.x+b, onde o 
coeficiente angular (a) é a tangente do ângulo de 
atrito interno e a variável independente (b) é o 
valor do intercepto coesivo. 
A regressão linear foi feita através da 
ferramenta EXCEL. A partir desta reta e 
lançando mão dos conhecimentos de regressão 
linear simples e correlação, determinou-se a 
variância dos parâmetros utilizando as 
Equações 1, 2 e 3. Onde V[c] é a variância do 
intercepto coesivo; V[tgf] é a variância da 
tangente do ângulo de atrito interno; MSE é o 
erro médio quadrado; m é a média das tensões 
normais; i é a tensão normal medida em cada 
ensaio; Si é a tensão cisalhante máxima medida 
em cada ensaio; S é a tensão cisalhante obtida 
na reta de regressão para determinada tensão 
normal e N é o número de determinações 
experimentais. 
 
 
 
















N
i
mi
m
N
1
2
1
MSE = cV


 (1) 
 
 
 

N
1i
2
m-
MSE
 = tgV


i
 (2) 
 
2-N
S)-(Si
 = MSE
N
1i
2

 (3) 
 
Após a determinação das variâncias, foi 
possível determinar os desvios e também o 
coeficiente de variação, através das Equações 4, 
5 e 6. Onde c é o desvio padrão do intercepto 
coesivo; tg é o desvio padrão da tangente do 
ângulo de atrito e  é o desvio padrão do 
ângulo de atrito. 
 
 cV = c
 (4) 
 
  tgVtg = 
 (5) 
 
 
2
cos.tg = 
 (6) 
 
Para os ensaios triaxiais foram utilizadas as 
equações 7 a 10 obtidas no trabalho de Pacheco 
(1990). Onde cm é o intercepto coesivo médio; 
am é o coeficiente linear da reta de regressão 
linear; tgmé o coeficiente angular da reta de 
regressão linear; tgm é a tangente do ângulo de 
atrito médio; V[tg] e V[a] são calculados com 
as equações 2 e 3 substituindo pi e pm por i e 
m e também Si e S por qi e qm. 
 
  21
 = cm
mtg
am

 (7) 
 
  21
mtg
 = mg
mtg
t




 (8) 
 
 
  
 
  
   







aVtgV
mtg
mtga 



.
1
.
.
mtg-1
1
 = cV
2
2
2
 (9) 
 
 
 
  
32
mtg-1
 = tgV



tgV
 (10) 
 
 
5 RESULTADOS E ANÁLISES 
 
Nos ensaios de cisalhamento direto com 
amostras saturadas, o critério de ruptura 
utilizado foi o seguinte: o corpo de prova 
apresenta ruptura no momento em que a tensão 
cisalhante apresenta seu pico, ou seja, ponto a 
partir do qual a tensão cisalhante fica constante 
ou decresce ao longo da deformação horizontal. 
Em alguns casos (Figura 1), quando a tensão 
cisalhante não apresentou constância nem 
decréscimo, foi considerado como ponto de 
ruptura o ponto do valor máximo da razão entre 
as tensões cisalhante e normal.Figura 1. Tensão cisalhante versus deslocamento 
horizontal no ensaio de cisalhamento direto. 
 
 A Figura 2 apresenta a envoltória de 
resistência na faixa de tensões adotada nos 
ensaios de cisalhamento direto saturados. 
Observa-se que, de acordo com o coeficiente de 
correlação de Pearson, a correlação é muito alta. 
 
y = 0.547x + 31.48
R² = 0.8318
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Te
ns
ão
 C
isa
lh
an
te
 (k
Pa
)
Tensão Normal (kPa)
 
 
Figura 2. Envoltória de resistência. 
 
 O valor de coeficiente de variação (CV) para 
o parâmetro intercepto coesivo foi inferior a 
10%, sendo portanto de baixa dispersão, 
enquanto o valor de CV para o parâmetro  foi 
superior a 10% (Tabela 2). 
 
Tabela 2. Parâmetros de Resistência para os ensaios de 
cisalhamento direto (Tomassetti., 2012) 
variável c tg 
Média 31.48 kPa 0.547 28.66
0
 
Desvio 2.24kPa 0.006 3.43
0
 
CV 7.12% 11.97% 
 
 As figuras 3 e 4 apresentam as curvas tensão 
desviadora versus deformação axial para os 
ensaios triaxiais com faixas de tensão abaixo e 
acima da umidade ótima respectivamente. 
Observa-se que para deformações axiais até 
15% não houve um comportamento típico. 
Alguns ensaios apresentaram pico de tensão 
desviadora enquanto outros apresentaram tensão 
desviadora crescente com a deformação. Por 
isso, o critério utilizado para definir a tensão de 
desvio na ruptura foi o de obliquidade, ou seja, 
a maior relação entre tensão de desvio e tensão 
confinante que primeiro ocorreu durante o 
ensaio. 
 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15
Te
ns
ão
 d
es
vi
ad
or
a 
(k
Pa
)
deformação axial (%)
CP8
CP10
CP12
CP13
CP14
CP15
CP16
CP18
CP20
 
 
Figura 3. Tensão desviadora versus deformação axial para 
teores de umidade entre 30 e 31% no triaxial. 
 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15
Te
ns
ão
 d
es
vi
ad
or
a 
(k
Pa
)
deformação axial (%)
CP8
CP10
CP12
CP13
CP14
 
 
Figura 4. Tensão desviadora versus deformação axial para 
teores de umidade entre 32 e 33% no triaxial. 
 
 As figuras 5 e 6 apresentam os gráficos p 
versus q para os ensaios triaxiais com faixas de 
tensão abaixo e acima da umidade ótima 
respectivamente. Observa-se que, de acordo 
com o coeficiente de correlação de Pearson, a 
correlação é muito alta. 
 
y = 0.69x + 40.4
R² = 0.97
0
100
200
300
400
500
0 200 400 600
q
p
30a31%
Linear (30a31%)
 
 
Figura 5. Gráfico p versus q para teores de umidade entre 
30 e 31% no triaxial. 
 
y = 0.74x + 18.8
R² = 0.98
0
100
200
300
400
0 200 400 600
q
p
32a33%
Linear (32a33%)
 
 
Figura 6. Gráfico p versus q para teores de umidade entre 
32 e 33% no triaxial. 
 
 As tabelas 3 e 4 apresentam os valores 
médios, desvios e coeficiente de variação dos 
parâmetros de resistência obtidos dos ensaios 
triaxiais para valores abaixo e acima da 
umidade ótima, respectivamente. 
 Os valores de CV para os parâmetros de 
resistência nos ensaios triaxiais abaixo da 
umidade ótima foram inferiores a 10%, sendo 
portanto de baixa dispersão, enquanto os 
valores de CV para os parâmetros nos ensaios 
acima da umidade ótima foram superiores a 
10%. 
 
Tabela 3. Parâmetros de Resistência para teores de 
umidade entre 30 e 31% (Tomassetti., 2012) 
variável c tg 
Média 55.9 kPa 0.956 43.8
0
 
Desvio 4.7kPa 0.118 3.5
0
 
CV 8.41% 8.01% 
 
Tabela 4. Parâmetros de Resistência para teores de 
umidade entre 32 e 33% (Tomassetti., 2012) 
variável c tg 
Média 28.05 kPa 1.10 47.97
0
 
Desvio 7.4kPa 0.216 5.56
0
 
CV 26.37% 11.58% 
 
 
6 CONCLUSÕES 
 
As médias, desvios e coeficientes de variação 
dos parâmetros de resistência foram 
determinados de forma simples pelas equações 
apresentadas para ensaios de cisalhamento 
direto através de regressão linear. Para análise 
dos ensaios triaixiais tomou-se partido da 
regressão linear aplicada aos valores de p e q. 
Os coeficientes de correlação foram elevados, 
indicando correlação muito alta. 
 Os parâmeros médios dos ensaios triaxiais 
abaixo e acima da umidade ótima estão de 
acordo com o esperado, resultando em 
envoltória superior para os ensaios triaxiais com 
teor de umidade abaixo da ótima e em 
envoltória inferior para resultados com teor de 
umidade acima da ótima. A envoltória do ensaio 
de cisalhamento direto na condição saturada foi 
inferior às duas obtidas nos ensaios triaxiais. 
 No ensaio de cisalhamento direto saturado os 
coeficientes de variação para o intercepto 
coesivo e ângulo de atrito foram de 7,12% e 
11,97%, respectivamente, indicando baixa e 
média dispersão. 
 No ensaio triaxial com teor de umidade 
abaixo da umidade ótima, os coeficientes de 
variação para o intercepto coesivo e ângulo de 
atrito foram de 8,41% e 8,01%, 
respectivamente, indicando baixa dispersão. 
 No ensaio triaxial com teor de umidade 
acima da umidade ótima, os coeficientes de 
variação para o intercepto coesivo e ângulo de 
atrito foram de 26,37% e 11,58%, 
respectivamente, indicando alta e média 
dispersão. 
 Com os resultados obtidos, conclui-se que os 
coeficientes de variação dos parâmetros de 
resitência podem ser superiores a 10%, mesmo 
em solo compactado onde se espera certa 
homogeneidade estrutural. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Os autores agradecem a fundação Araucária e 
ao INCT/REAGEO pelo apoio financeiro. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
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Introdução à Estatística: Enfoque informático com o 
pacote estatístico SPSS. [tradução Fátima Murad]. 
Porto Alegre: Artmed, v1, 256p. 
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Projeto Geotécnico. 1 ed. São Paulo: Oficina de 
Textos, 96p. 
Cruz, 1996; CRUZ, P. T. (1996). 100 Barragens 
Brasileiras: Casos históricos, Materiais de 
Construção, Projeto. 2 ed. São Paulo: Oficina de 
Textos: FAPESP, 648p. 
Devore, J. L. (2006). Probabilidade e Estatística: para 
Engenharia e Ciências. 6 ed. [tradução Joaquim 
Pinheiro Nunes da Silva] São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 706p. 
Flores, E. A. F. (2008). Análises Probabilísticas da 
Estabilidade de Taludes considerando a 
Variabilidade Espacial do Solo, RJ. Dissertação de 
Mestrado – Pontifícia Universidade Católica, Rio de 
Janeiro, 178 p. 
Fonseca, J. S.; Martins, G. A. (1996). Curso de 
Estatística. 6 ed. São Paulo: Atlas, 320p. 
Kayadelen, C.; Tekinsoy, M. A.; Taskiran, T. (2007). 
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of a residual clayey soil. Environ Geol, 53 p891-901. 
Hauly, S. L. (2010). Parâmetros de Comportamento do 
Solo Compactado da Cidade de Londrina. Trabalho 
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Universidade Estadual de Londrina, Londrina, PR, 
110p. 
Maia, P. C. A., Sayão, A. S. F. J., Salles, R. O. (2010). 
Aplicação de retroanálise probabilística para 
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Campos dos Goytacazes/RJ, v. 12, n. 1, p. 43-52, 
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Massad, F. (2003). Obras de terra: curso básico de 
geotecnia. São Paulo: Oficina de Textos, 170p. 
Oliveira Junior, O. M. (2011). Aplicação de 
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