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i i i i i i i i Semana FUNC¸O˜ES VETORIAIS DE UMA VARIA´VEL REAL. PARAMETRIZAC¸O˜ES. LIMITE E CONTINUIDADE 13 FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES EM R2. CURVAS EM R2. Definic¸a˜o 13.1 Uma “func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real a valores em R2” e´ uma func¸a˜o α : A⊂R→R2, onde A e´ um intervalo ou uma unia˜o de intervalos. Uma tal func¸a˜o associa a cada real t ∈ A um u´nico vetor α(t) = (α1(t), α2(t)), t ∈ A ou = α1(t)~i+α2(t)~j, t ∈ A onde ~i = (1,0), ~j = (0,1) e α1, α2 sa˜o func¸o˜es reais de uma varia´vel real, definidas para t ∈ A, denominadas func¸o˜es coordenadas ou func¸o˜es componentes de α . O conjunto ima- gem de α , denotado por α(A), e´ α(A) = {α(t) ∈ R2 | t ∈ A}= {(α1(t),α2(t)) ∈ R2 | t ∈ A} = {(x,y) ∈ R2 | x = α1(t), y = α2(t), t ∈ A} e e´ chamado tambe´m de trac¸o, curva ou trajeto´ria da func¸a˜o α . Figura 13.1 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade � i. O vetor α(t) pode ser representado geometricamente pelo raio vetor −→OP, onde P = (α1(t), α2(t)). Ver Figura 13.2. Figura 13.2 ii. Usa-se dizer que a func¸a˜o vetorial α(t) = (α1(t), α2(t)) ∈ R2, t ∈ A e´ uma “parametrizac¸a˜o” da curva C, que e´ imagem da func¸a˜o α . iii. As equac¸o˜es C : { x = α1(t) y = α2(t) , t ∈ A, sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas da curva C ou imagem de α . A varia´vel t e´ denominada “paraˆmetro”. ELIMINANDO O PARAˆMETRO Muitas vezes temos as equac¸o˜es parame´tricas de uma curva C e queremos encontrar a equac¸a˜o cartesiana que representa o gra´fico dessa curva. Encontrar uma “equac¸a˜o cartesiana” que represente o gra´fi- co de um conjunto de equac¸o˜es parame´tricas denomina-se eliminac¸a˜o do paraˆmetro. Assim, se eliminarmos o paraˆmentro nas equac¸o˜es dadas em (iii), obteremos uma expressa˜o cartesia- na da curva. � i. Note-se que as imagens de x e y dadas pelas equa- c¸o˜es parame´tricas podem ser alteradas pela mudanc¸a para a forma cartesiana. Neste caso, o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana devera´ ser ajustado de tal forma que seu gra´fico seja igual ao gra´fico das equac¸o˜es parame´tricas. 176 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 ii. A eliminac¸a˜o do paraˆmetro e´ uma ferramenta usada no esboc¸o de curvas. Se as equac¸o˜es parame´tricas representam a trajeto´ria de um objeto em movimento, somente o gra´fico na˜o e´ suficiente para descrever o movimento do objeto. Precisamos ainda das equa- c¸o˜es parame´tricas para saber a posic¸a˜o, a direc¸a˜o e a velocidade em um dado instante. PARAMETRIZAC¸A˜O DE CURVAS Suponha agora que temos a equac¸a˜o cartesiana que repre- senta o gra´fico de uma curva C e queremos encontrar uma func¸a˜o vetorial cuja imagem seja o gra´fico da curva. Encontrar uma func¸a˜o a valores vetoriais cuja imagem seja o dado gra´fico de uma curva C, denomina-se parametrizar este gra´fico ou parametrizar a curva C. Note-se que tal representac¸a˜o na˜o e´ u´nica. Uma curva C pode ser parametrizada de muitas maneiras diferentes, isto e´, ha´ muitas func¸o˜es vetoriais que tem a mesma curva imagem. � � � � Exemplo 13.1 Seja σ : A⊂ R→ R2 a func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real a valores em R2 definida por t → σ(t) = (t, t), t ∈ A = [0,4]. Figura 13.3 Enta˜o σ(t) = (t, t) 0≤ t ≤ 4 e´ uma parametrizac¸a˜o da curva ou imagem de σ , onde σ1(t) = t, σ2(t) = t sa˜o as func¸o˜es com- ponentes de σ . C : ∣∣∣∣ x = σ1(t) = ty = σ2(t) = t , t ∈A= [0,4], sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas da curva C e t e´ o paraˆmetro. C E D E R J 177 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade Eliminando-se o paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas, C : { x = t y = t t ∈ [0,4] para obter uma expressa˜o cartesiana, re- sulta que x = t = y ⇒ x = y. Obtemos assim uma equac¸a˜o apenas em termos das varia´veis cartesianas: y = x. A equac¸a˜o cartesiana y = x e´ definida para todos os valores de x. Mas das equac¸o˜es parame´tricas sabemos que t ∈ [0,4]. Isto implica que devemos ajustar o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana resultante. Como x = t ∈ [0,4]⇒ x ∈ [0,4]. Assim, obtemos C : x = y, 0 ≤ x ≤ 4 como uma equac¸a˜o cartesiana da curva dada. � � � � Exemplo 13.2 Seja L a reta em R2 que passa pelo ponto P0 = (x0,y0) e e´ paralela ao vetor na˜o nulo −→V = (v1,v2), Figura 13.4 Note-se que P = (x,y) ∈ L ⇔ P = P0 + t~V , t ∈ R. Isto e´, (x,y) = (x0,y0)+ t(v1,v2) t ∈ R (x,y) = (x0 + tv1,y0 + tv2) t ∈ R . Logo, uma parametrizac¸a˜o de L e´ α(t) = (x0 + tv1,y0 + tv2) t ∈ R. Observe que as func¸o˜es coordenadas sa˜o func¸o˜es afins. As equac¸o˜es parame´tricas de L sa˜o { x = x0 + tv1 y = y0 + tv2 t ∈ R. Eliminando o paraˆmetro nas equac¸o˜es parame´tricas de L, com o intuito de encontrar uma expressa˜o cartesiana de L. Suponha v1 6= 0. Isolando t na primeira equac¸a˜o, temos x− x0 v1 = t. Substituindo o valor de t na segunda equac¸a˜o, ob- temos y = y0 + ( x− x0 v1 ) v2, enta˜o y = y0 + v2 v1 (x− x0) e´ uma expressa˜o cartesiana da reta. 178 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 � i. Se P0 = (x0,y0) e P1 = (x1,y1) sa˜o dois pontos de L, o vetor −→V que e´ um vetor paralelo ao vetor que passa por P0 e P1 pode ser determinado por −→V = −−→P0P1 = P1−P0 = (x1− x0,y1− y0). ii. Na parametrizac¸a˜o α(t) = (x0 + t(x1 − x0),y0 + t(y1− y0)), se restringirmos o domı´nio de t ao in- tervalo [0,1] resulta a parametrizac¸a˜o do segmento de reta que une P0 = (x0,y0) a P1 = (x1,y1). � � � � Exemplo 13.3 Seja L o segmento de reta que une o ponto P0 = (3,1) ao ponto P1 = (4,4). Apresente uma parametrizac¸a˜o para L. Soluc¸a˜o: Figura 13.5 Do Exemplo 13.2 e das observac¸o˜es dadas em 12.3 segue que uma parametrizac¸a˜o para o segmento dado e´ (x,y) = (x0,y0)+ t(P1−P0), t ∈ [0,1] (x,y) = (3,1)+ t(1,3), t ∈ [0,1] (x,y) = (3+ t,1+3t), t ∈ I = [0,1] Logo, uma parametrizac¸a˜o para L e´ dada por L : σ(t) = (3+ t,1+3t), t ∈ A = [0,1]. � � � � Exemplo 13.4 Seja C : y = f (x) ∀x ∈ A o gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua f . Uma parametrizac¸a˜o natural (ou trivial ou simples) de C e´ dada fazendo x = t e y = f (t), isto e´, C : σ(t) = (t, f (t)), t ∈ A. C E D E R J 179 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade � � � � Exemplo 13.5 Usando a parametrizac¸a˜o natural, ache uma parametrizac¸a˜o das seguintes curvas: a. Reta. C : 3x+4y = 2 b. Para´bola. C : y−2− x2 = 0 Soluc¸a˜o: a. C : 3x + 4y = 2 ⇒ C : y = 1 4 (2−3x)︸ ︷︷ ︸ f (x) . Fazendo x = t e y = f (t) = 1 4 (2−3t) temos a seguinte parametrizac¸a˜o para C: C : σ(t) = ( t, 1 4 (2−3t) ) , t ∈ R b. C : y−2−x2 ⇒C : y= 2+ x2︸ ︷︷ ︸ f (x) . Fazendo x= t e y= f (t) = 2+x2 temos a seguinte parametrizac¸a˜o para C: C : σ(t) = (t,2+ t2), t ∈ R � � � � Exemplo 13.6 Seja a circunfereˆncia no plano xy de centro na origem e raio a > 0. Figura 13.6 180 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Da Figura 13.6 e´ fa´cil ver que no triaˆngulo retaˆngulo∣∣∣∣∣∣∣ cos t = x a sen t = y a , 0≤ t ≤ 2pi . Logo, ∣∣∣∣ x = acosty = asen t , 0≤ t ≤ 2pi , sa˜o as equac¸o˜es parame´- tricas de C. Portanto, uma parametrizac¸a˜o desta circunfereˆncia e´ dada por: C : σ(t) = (acost,asent) t ∈ [0,2pi ]. Eliminando o paraˆmetro t nas equac¸o˜es parame´tricas de C resulta que x2 + y2 = a2cos2t +a2sen2t= a2(cos2t + sen2t) = a2. Logo, x2 + y2 = a2 representa uma equac¸a˜o cartesiana de C. Note-se que a circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a 2pi . � � � � Exemplo 13.7 Mostre que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia (x−h)2 +(y− k)2 = a2, a > 0, e´ dada por α(t) = (h+a cos t, k+a sen t), 0≤ t ≤ 2pi . Soluc¸a˜o: Seja C : (x−h)2 +(y− k)2 = a2 (13.1) Fac¸a X = x− h e Y = y− k. Substituindo estas igualdades em 13.1, temos C : X2+Y 2 = a2. Isto e´, uma circunfereˆncia com equac¸o˜es parame´tricas: C : ∣∣∣∣ X = a cos tY = a sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C : ∣∣∣∣ x−h = a cos ty− k = a sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C : ∣∣∣∣ x = h+a cos ty = k+a sen t t ∈ [0,2pi]. Logo, uma parametrizac¸a˜o de C e´ α(t) = (h+a cos t,k+a sen t), 0≤ t ≤ 2pi . Note-se que a circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a 2pi . C E D E R J 181 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade � � � � Exemplo 13.8 Deˆ uma parametrizac¸a˜o da elipse C : x 2 a2 + y2 b2 = 1 (a > 0 e b > 0). Soluc¸a˜o: C : x 2 a2 + y2 b2 = 1 ⇒ C : ( x a )2 + (y b )2 = 1 (13.2) Seja X = x a e Y = y b . Substituindo estas igualdades em 13.2, temos C : X2+Y 2 = 1, isto e´, uma circunfereˆncia com equac¸o˜es parame´tricas: C : ∣∣∣∣ X = 1 cos tY = 1 sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C : ∣∣∣∣∣∣∣ x a = 1 cos t y b = 1 sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C : ∣∣∣∣ x = a cos ty = b sen t t ∈ [0,2pi]. Finalmente, uma parametrizac¸a˜o da elipse C : x 2 a2 + y2 b2 = 1 (a > 0 e b > 0) e´ dada por C : σ(t) = (a cos t,b sen t), t ∈ [0,2pi]. Note-se que a elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a 2pi . � � � � Exemplo 13.9 Mostre que uma parametrizac¸a˜o para a elipse ( x−h a )2 +( y− k b )2 = 1 (a > 0 e b > 0) e´ dada por α(t) = (h+a cos t, k+b sen t), 0≤ t ≤ 2pi . (Exercı´cio) � � � � Exemplo 13.10 No Exemplo 31.13 do seu caderno dida´tico prova-se que uma parametrizac¸a˜o do ramo direito da hipe´rbole dada por C : x2− y2 = 1 e´ α(t) = (cosht,senht), t ∈ R, e do outro ramo e´ β (t) = (−cosh t,senht), t ∈ R. 182 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES EM R3. CURVAS EM R3. Definic¸a˜o 13.2 Uma “func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real a valores em R3” e´ uma func¸a˜o α : A⊂R→R3, onde A e´ um intervalo ou uma unia˜o de intervalos. Uma tal func¸a˜o associa a cada real t ∈ A um u´nico vetor α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)) t ∈ A ou = α1(t)~i+α2(t)~j+α3~k, t ∈ A onde~i = (1,0,0), ~j = (0,1,0),~k = (0,0,1) e α1, α2, α3 sa˜o func¸o˜es reais de uma varia´vel real definidas para t ∈ A, de- nominadas func¸o˜es coordenadas ou func¸o˜es componentes de α . O conjunto imagem de α denotado por α(A) e´ α(A) = {α(t) ∈ R3 | t ∈ A}= {(α1(t),α2(t),α3(t) | t ∈ A} = {(x,y,z) ∈ R3 | x = α1(t),y = α2(t), z = α3(t), t ∈ A} e e´ chamado tambe´m de trac¸o, curva ou trajeto´ria da func¸a˜o α . � i. O vetor α(t) pode ser representado geometricamente pelo raio vetor −→OP, onde P = (α1(t), α2(t), α3(t)). Ver Figura 13.7. Figura 13.7 ii. Usa-se dizer que a func¸a˜o vetorial α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t)) t ∈ A e´ uma “parametrizac¸a˜o” da curva C que e´ imagem da func¸a˜o α . C E D E R J 183 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade iii. As equac¸o˜es C : x = α1(t) y = α2(t) z = α3(t) , t ∈ A, sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas da curva C ou imagem de α; a varia´vel t e´ denominada “paraˆmetro”. iv. Note-se que uma curva C em R3 pode ser parametri- zada de muitas maneiras diferentes, isto e´, ha´ muitas func¸o˜es vetoriais que tem a mesma curva imagem. � � � � Exemplo 13.11 Seja L a reta em R3 que passa pelo ponto P0 = (x0,y0,z0) e paralela ao vetor −→V = (v1,v2,v3) na˜o nulo. Note-se que P = (x,y,z) ∈ L⇔ P = P0 + t−→V , t ∈ R. Isto e´, (x,y,z) = (x0,y0,z0)+ t(v1,v2,v3) t ∈ R (x,y,z) = (x0 + tv1,y0 + tv2,z0+ tv3) t ∈ R Logo, uma parametrizac¸a˜o de L e´ α(t) = (x0 + tv1,y0 + tv2,z0 + tv3) t ∈ R. As equac¸o˜es parame´tricas de L sa˜o x = x0 + tv1 y = y0 + tv2 z = z0 + tv3 t ∈R. Eliminando o paraˆmetro nas equac¸o˜es parame´tricas, obtemos isolando t em cada equac¸a˜o: x− x0 v1 = t, y− y0 v2 = t e z− z0 v3 = t, com v1, v2, v3 6= 0. Igualando os valores de t, obtemos a ex- pressa˜o cartesiana da reta L : x− x0 v1 = y− y0 v2 = z− z0 v3 . � i. Se P0 = (x0,y0,z0) e P1 = (x1,y1,z1) sa˜o dois pon- tos de L, o vetor −→V que e´ um vetor paralelo ao ve- tor que passa por P0 e P1 pode ser determinado por−→V =−−→P0P1 = P1−P0 = (x1− x0,y1− y0,z1− z0). 184 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 ii. Na parametrizac¸a˜o α(t) = (x0 + t(x1 − x0),y0 + t(y1−y0),z0+t(z1−z0)), se restringirmos o domı´nio de t ao intervalo [0,1] resulta a parametrizac¸a˜o do segmento de reta que une P0 = (x0,y0,z0) a P1 = (x1,y1,z1). � � � � Exemplo 13.12 Seja L o segmento de reta no espac¸o que une o ponto P0 =(3,1,2) ao ponto P1 =(4,3,5). Apresente uma parametrizac¸a˜o para L. Soluc¸a˜o: Figura 13.8 Das observac¸o˜es dadas em 13.11 segue que P = P0 + t(P1−P0), t ∈ [0,1] (x,y,z) = (3,1,2)+ t(1,2,3), t ∈ [0,1] (x,y,z) = (3+ t,1+2t,2+3t), t ∈ [0,1] Logo, uma parametrizac¸a˜o para L e´ dada por L : σ(t) = (3+ t,1+2t,2+3t), t ∈ A = [0,1]. C E D E R J 185 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade � � � � Exemplo 13.13 A curva α(t) = (√ 3 2 cos t,1, √ 3 2 sen t ) , t ∈ A = [0,pi ], toma valores no espac¸o tridimensional, mas e´ uma curva plana. Isso porque satisfaz a equac¸a˜o y = 1. A projec¸a˜o dessa curva no plano corresponde a` curva β (t) = (√ 3 2 cos t, √ 3 2 sen t ) , t ∈ A = [0,pi ]. Sua imagem no plano citado e´ a semicircunfereˆncia x2 + z2 = 3 4 , z ≥ 0. Observe que α(0) = (√ 3 2 ,1,0 ) e α(pi) = ( − √ 3 2 ,1,0 ) . O esboc¸o da curva e o sentido de percurso quando o paraˆmetro aumenta e´ mostrado na Figura 13.9. Note-se que a curva C e´ a intersec¸a˜o do semi-elipso´ide x2 + y 2 4 + z2 = 1 z ≥ 0 com o plano y = 1. Figura 13.9 � � � � Exemplo 13.14 A curva α(t) = (2 cos t,2 sen t,3), t ∈ I = [0,2pi ], toma va- lores no espac¸o tridimensional, mas e´ uma curva plana. Isso por- que satisfaz a equac¸a˜o z = 3. A projec¸a˜o dessa curva no plano XY corresponde a` curva β (t) = (2 cos t,2 sen t), t ∈ I = [0,2pi ]. Sua imagem no plano citado e´ a circunfereˆncia x2 +y2 = 4. Ob- serve que α(0)= (2,0,3), α(pi)= (−2,0,3) e α(2pi)= (2,0,3). O esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.10. Note-se que o sentido de percurso quando visto de cima e´ anti-hora´rio na me- dida que o paraˆmetro aumenta. Observe tambe´m que neste caso a curva C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 4 com o plano z = 3. 186 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Figura 13.10 DEFINIC¸A˜O DE LIMITE DE UMA FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES EM R2 E R3 a. Se α(t)= (α1(t),α2(t)). Definimos limite de α(t) quando t se aproxima de a como: lim t→aα(t)= ( lim t→a α1(t), limt→aα2(t) ) , se lim t→aα1(t) e limt→aα2(t) existem. b. Se α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)). Definimos limite de α(t) quando t se aproxima de a como: lim t→aα(t) = ( limt→aα1(t), lim t→aα2(t), limt→aα3(t) ) , se lim t→aα1(t), limt→aα2(t) e limt→aα3(t) existem. Lembremos que o domı´nio de α e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das func¸o˜es coordenadas. DEFINIC¸A˜O DE CONTINUIDADE DE UMA FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES EM R2 E R 3 a. Seja α(t) = (α1(t),α2(t)) ∈ R2, α(t) e´ contı´nua em t = a ∈ A ⇔ lim t→aα(t) = α(a)⇔ α1(t) e α2(t) sa˜o contı´- nuas em t = a. b. Se α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)) ∈ R3, α(t) e´ contı´nua em t = a ∈ A ⇔ lim t→aα(t) = α(a)⇔ α1(t), α2(t) e α3(t) sa˜o contı´nuas em t = a. Dizemos que a func¸a˜o α(t) e´ contı´nua em A se α(t) e´ contı´nua para todo t ∈ A. C E D E R J 187 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade EXERCI´CIOS RESOLVIDOS Exercı´cio 13.1 Descreva a imagem das seguintes func¸o˜es vetoriais: a. α(t) = (2+ cost,3+ sent), t ∈ [0,2pi ] b. β (t) = (3 cos t +1,2 sen t +5), t ∈ [0,2pi ] Soluc¸a˜o: a. As func¸o˜es coordenadas de α(t) sa˜o x= 2+cos t e y= 3+sent. Neste caso, podemos facilmente eliminar o paraˆmetro t, isto e´, (x−2)2 = cos2t e (y−3)2 = sen2t obtendo a equac¸a˜o (x−2)2+ (y− 3)2 = sen2t + cos2t = 1 apenas em termos das varia´veis cartesianas, ou seja, (x−2)2 +(y−3)2 = 1 que e´ a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de centro (2,3) e raio 1. Observe que para t = 0: x(0) = 2+ cos0 = 3 e y(0) = 3+ sen0 = 3⇒ P0 = (3,3). Para t = pi 2 x (pi 2 ) = 2+ cos pi 2 = 2 e y (pi 2 ) = 3+ sen pi 2 = 3+1 = 4⇒ P1 = (2,4). Para t = 2pi x(2pi) = 2+cos 2pi = 3 e y(2pi) = 3+sen 2pi = 3 ⇒ P2 = (3,3). A medida que t aumenta de 0 para 2pi , o ponto comec¸a em P0 = (3,3) e termina no ponto P2 = (3,3). Note-se enta˜o que a circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a 2pi . b. As func¸o˜es coordenadas de β (t) sa˜o x = 3cos t + 1 e y = 2sen t + 5. Neste caso, podemos facilmente eliminar o paraˆmetro t. Note-se que ( x−1 3 )2 = cos2t e ( y−5 2 )2 = sen2t, assim obtemos a equac¸a˜o (x−1) 2 9 + (y−5)2 4 = 1, que e´ a equac¸a˜o de uma elipse de centro (1,5), semi-eixo maior 3 e semi-eixo menor 2. Observe que para t = 0: x(0) = 3cos 0+1 = 4 e y(0) = 2sen 0+5 = 5⇒ P0 = (4,5). Para t = pi 2 x (pi 2 ) = 3cos pi 2 +1 = 1 e y (pi 2 ) = 2sen pi 2 +5 = 7⇒ P1 = (1,7). 188 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Para t = 2pi x(2pi) = 3cos 2pi +1 = 4 e y(2pi) = 2sen 2pi +5 = 5⇒ P2 = (4,5). A medida que t aumenta de 0 para 2pi , o ponto comec¸a em P0 = (4,5) e termina no ponto P2 = (4,5). Note-se enta˜o que a elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a 2pi . Exercı´cio 13.2 Determine uma parametrizac¸a˜o para as curvas seguintes: a. a reta 5x+3y = 6; b. a para´bola y−4 =−(x+5)2; c. a para´bola x−4 =−(y+5)2; d. a circunfereˆncia (x−1)2 +(y+2)2 = 9; e. a circunfereˆncia x2 + y2 +2x−4y+1 = 0; f. a elipse (x+3) 2 4 + (y−2)2 1 = 1. Soluc¸a˜o: Lembremos do Exemplo 13.5 que se C e´ uma curva no plano xy, gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua y= f (x), x∈ I, enta˜o fazendo x = t e y = f (t) obtemos uma parametrizac¸a˜o natural de C, isto e´, α(t) = (t, f (t)) t ∈ I. Usando este fato para os itens a e b, temos: a. Como 5x+ 3y = 6, enta˜o y = 13(6− 5x). Fazendo x = t, enta˜o y = 1 3 (6−5t). Portanto, uma parametrizac¸a˜o da reta e´ dada por α(t) = ( t, 1 3(6−5t) ) , t ∈ R. b. Como y− 4 = −(x + 5)2, enta˜o y = 4− (x + 5)2. Fazendo x = t, enta˜o y = 4− (t + 5)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o da para´bola e´ dada por β (t) = (t,4− (t +5)2), t ∈ R. Analogamente, sabemos que se C e´ uma curva no plano xy, gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua x = g(y), y ∈ I, enta˜o fazendo y = t e x = g(t) obtemos uma parametrizac¸a˜o natural de C, isto e´, γ(t) = (g(t), t) t ∈ I. Usando este fato para o item c, temos: C E D E R J 189 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade c. Como x− 4 = −(y + 5)2, enta˜o x = 4− (y + 5)2. Fazendo y = t, enta˜o x = 4− (t + 5)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o da para´bola e´ dada por γ(t) = (4− (t +5)2, t), t ∈ R. d. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia (x−h)2+(y−k)2 = a2 e´ dada por α(t)= (h+a cos t,k+a sen t), 0≤ t ≤ 2pi . Assim, para a circunfereˆncia (x−1)2+(y+2)2 = 9, temos h = 1, k = −2 e a = 3. Logo, α(t) = (1+ 3cos t,−2+ 3sen t), 0≤ t ≤ 2pi , e´ uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia dada. e. Dada a equac¸a˜o da circunfereˆncia x2 + y2 + 2x− 4y + 1 = 0, completando quadrados temos (x2 +2x+1)+(y2−4y+4) = 4 ou (x+1)2 +(y−2)2 = 22. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia (x − h)2 + (y − k)2 = a2 e´ dada por α(t) = (h + acos t,k + asen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Assim h = −1, k = 2, a = 2 e uma parametrizac¸a˜o da circunfereˆncia dada re- sultam α(t) = (−1+2cos t,2+2sen t), 0≤ t ≤ 2pi . f. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse ( x−h a )2 +( y− k b )2 = 1 e´ dada por α(t) = (h + acos t,k + bsen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Na elipse (x+3) 2 4 + (y−2)2 1 = 1 ou( x+3 2 )2 + ( y−2 1 )2 = 1, temos h =−3, k = 2, a = 2, b = 1. Portanto, uma parametrizac¸a˜o para a elipse dada e´: α(t) = (−3+2cos t,2+ sen t), 0≤ t ≤ 2pi . Exercı´cio 13.3 Determine os pontos de continuidade das seguintes func¸o˜es ve- toriais: a. α(t) = ( cos t t−1 , ln(t 2+1), 3 √ t−4 ) b. β (t) = (cos2t + sen2t,esent ,senet) c. γ(t) = (√ t, 3 √ t−3, t 2−1√ t−1 ) 190 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Soluc¸a˜o: No´s sabemos que uma func¸a˜o vetorial α(t)= (x(t),y(t),z(t)) e´ contı´nua em a se, e somente se, cada uma das func¸o˜es componentes x(t), y(t) e z(t) sa˜o contı´nuas em a. Assim, os pontos de continuidade de α(t) sa˜o os pontos de continuidade que sa˜o comuns a todas suas func¸o˜es componentes. Logo, a. Como α(t) = ( cos t t−1︸ ︷︷ ︸ x(t) , ln(t2 +1)︸ ︷︷ ︸ y(t) , 3 √ t−4︸ ︷︷ ︸ z(t) ) e x(t) = cos t t−1 e´ contı´nua em R−{1} y(t) = ln(t2 +1) e´ contı´nua em todo R z(t) = 3 √ t−4 e´ contı´nua em todo R. Lembrando que o domı´nio de α e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das func¸o˜es coordenadas, resulta que α(t) e´ contı´nua em R−{1}. b. Como β (t) = (cos2t + sen2t︸ ︷︷ ︸ x(t) ,esen t︸︷︷︸ y(t) ,sen et︸ ︷︷ ︸ z(t) ) e x(t) = cos2t + sen2t = 1 e´ contı´nua em todo R y(t) = esen t e´ contı´nua em todo R z(t) = senet e´ contı´nua em todo R. Lembrando que o domı´nio de β e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das func¸o˜es coordenadas, resulta que β (t) e´ contı´nua em todo R. c. Como γ(t) = ( √ t︸︷︷︸ x(t) , 3 √ t−3︸ ︷︷ ︸ y(t) , t2−1√ t−1︸ ︷︷ ︸ z(t) ) e x(t) = √ t e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ [0,+∞) y(t) = 3 √ t−3 e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ R z(t) = t2−1√ t−1 e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ (1,+∞). Lembrando que o domı´nio de γ e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das func¸o˜es coordenadas, resulta que γ(t) e´ contı´nua em todo t ∈ (1,+∞). C E D E R J 191 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade PASSO A PASSO DOS EXERCI´CIOS PROPOSTOS NO CADERNO DIDA´TICO Exercı´cio 13.4 Fac¸a um esboc¸o das seguintes curvas: a. α(t) = (2t,3t+1) t ∈ [0,1] b. γ(t) = (5cos2t,−2sen2t) t ∈ [ 0, pi 2 ] c. δ (t) = (t2−1, t3+1) t ∈ [−2,2] (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no8: a, c modifi- cado e d, respectivamente) � Do seu caderno dida´tico voceˆ conhece as func¸o˜es vetoriais cujasfunc¸o˜es coordenadas sa˜o func¸o˜es afins. Ou seja, as func¸o˜es coordenadas sa˜o do tipo αi(t) = ait +bi, onde ai e bi sa˜o nu´meros reais. Sabemos tambe´m de la´ que “se existe pelo menos um i, tal que ai 6= 0, o trac¸o da func¸a˜o sera´ uma reta”. Soluc¸a˜o: a. α(t) = (2t,3t +1) t ∈ [0,1] Observe, neste caso, que as func¸o˜es coordenadas x(t) = 2t e y(t) = 3t +1 sa˜o func¸o˜es afins e basta que um dos coeficientes a1 e a2 seja diferente de zero (neste caso, os dois coeficientes a1 = 2 e a2 = 3 sa˜o diferentes de zero). Assim, o trac¸o da func¸a˜o e´ uma reta. Como t ∈ [0,1], α(0) = (0,1) e α(1) = (2,4), pode- mos afirmar que a curva e´ um segmento de reta de ponto inicial α(0) = (0,1) e ponto final α(1) = (2,4), como mostrado na Figura 13.11. Figura 13.11 192 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Outra forma de esboc¸ar a curva e´ por eliminac¸a˜o do paraˆmetro. As func¸o˜es coordenadas como sabemos sa˜o x(t) = 2t e y(t) = 3t + 1. Neste caso, podemos facilmente eliminar o paraˆmetro t: x 2 = t e y = 3t +1. Obtemos assim uma equac¸a˜o apenas em termos das varia´veis cartesianas: y = 3 2 x+1. A equac¸a˜o cartesiana y = 3 2 x+1 e´ definida para todos os valo- res de x. Mas das equac¸o˜es parame´tricas sabemos que t ∈ [0,1]. Isto implica que devemos ajustar o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana resultante. Note-se que t ∈ [0,1], isto e´, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2t︸︷︷︸ x ≤ 2 ⇒ 0≤ x≤ 2. Assim, resulta a equac¸a˜o cartesiana da curva C : y = 3 2 x+1 0≤ x≤ 2 A qual corresponde ao segmento (de reta) acima indicado. b. γ(t) = (5cos 2t,−2sen 2t) t ∈ [ 0, pi 2 ] As func¸o˜es coordenadas sa˜o x(t) = 5cos2t e y(t) = −2sen2t t ∈ [ 0, pi 2 ] . Para determinar o trac¸o desta curva, podemos usar o mesmo expediente que foi usado no exemplo anterior: “eliminar o paraˆmetro”. As func¸o˜es coordenadas como sabemos sa˜o x(t) = 5cos2t e y(t) =−2sen 2t t ∈ [ 0, pi 2 ] . Neste caso, para eliminar o paraˆmetro t fazemos o seguinte: x 5 = cos2t e y −2 = sen2t ⇒ ( x 5 )2 = cos22t e ( y −2 )2 = sen22t, assim ⇒ (x 5 )2 + ( y −2 )2 = cos22t + sen22t = 1. Obtemos assim uma equac¸a˜o apenas em termos das varia´veis cartesianas: x 2 25 + y2 4 = 1 que e´ a equac¸a˜o de uma elipse cen- trada em (0,0) com eixo maior de ve´rtices em (−5,0) e (5,0) e eixo menor de comprimento 2b = 4. Mas das equac¸o˜es pa- rame´tricas podemos ver que a curva esta´ definida apenas para t ∈ [ 0, pi 2 ] . Por outro lado, do Ca´lculo I, sabemos que a func¸a˜o C E D E R J 193 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade sen2t e´ uma compressa˜o horizontal da func¸a˜o sen t, logo pode- mos ver que para t ∈ [ 0, pi 2 ] resulta que 0 ≤ sen2t ≤ 1. Assim, 0 ≥ −2sen 2t︸ ︷︷ ︸ y ≥ −2, isto e´, −2 ≤ y ≤ 0. Isso implica que o gra´fico da curva esta´ restrito somente a` parte inferior da elipse. Ou seja, a semi-elipse C : x2 25 + y2 4 = 1 −2≤ y≤ 0 . Observe que para t = 0: x(0) = 5cos 0= 5 e y(0) =−2sen0= 0 ⇒ P0 = (5,0). Para t = pi 4 x (pi 4 ) = 5cos 2pi 4 = 0 e y (pi 4 ) =−2sen 2pi 4 =−2 ⇒ P1 = (0,−2). Para t = pi 2 x (pi 2 ) = 5cos 2pi 2 =−5 e y (pi 2 ) =−2sen2pi 2 = 0 ⇒ P2 = (−5,0). A medida que t aumenta de 0 para pi 2 , o ponto comec¸a em P0 = (5,0), passa pelo ponto P1 = (0,−2) e termina no ponto P2 = (−5,0). Note-se enta˜o que a semi-elipse e´ percorrida no sentido hora´rio conforme t varia de 0 a pi 2 , como mostrado na Figura 13.12. Figura 13.12 c. δ (t) = (t2−1, t3 +1) t ∈ [−2,2] As func¸o˜es coordenadas sa˜o x(t) = t2 − 1 e y(t) = t3 + 1 t ∈ [−2,2]. Para determinar o trac¸o desta curva, podemos usar o mesmo expediente que foi usado no exemplo anterior: “eliminar o paraˆmetro” e apo´s a eliminac¸a˜o do paraˆmetro ajustaremos o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana resultante. Neste caso, para eliminar o paraˆmetro t fazemos o seguinte: x = t2−1⇒ x+1 = t2 t ∈ [−2,2] (13.3) y = t3 +1⇒ y−1 = t3 ⇒ t = (y−1) 13 t ∈ [−2,2] (13.4) 194 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Substituindo 13.4 em 13.3, temos a equac¸a˜o cartesiana x+1 = (y−1) 23 ou (x+1)3 = (y−1)2 (13.5) Observe que a equac¸a˜o cartesiana x+ 1 = (y− 1) 23 e´ definida para todos os valores de x ≥ −1 (de fato, note que como (x+1)3 = (y−1)2 e o segundo membro desta igualdade sempre sera´ maior que zero, resulta que (x+ 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ −1). Mas da definic¸a˜o da curva δ (t) = (t2 − 1, t3 + 1) sabemos que ela esta´ definida apenas para t ∈ [−2,2]. Isto implica que devemos restringir o domı´nio para os valores de x, tal que t ∈ [−2,2]. De fato, −2≤ t ≤ 2⇔ |t| ≤ 2⇔ 0≤ |t|2 ≤ 4 ⇔ 0 ≤ t2 ≤ 4 ⇔ −1≤ t2−1︸ ︷︷ ︸ x ≤ 3. Assim, x ∈ [−1,3]. De 13.5 segue enta˜o que (x+1) 32 = (y−1) ou y = 1+(x+1) 32 , para x ∈ [−1,3]. Por outro lado, note-se que: Para t = −2: x(−2) = (−2)2 − 1 = 4− 1 = 3 e y(−2) = (−2)3 +1 =−8+1 =−7⇒ P0 = (3,−7). Para t = 0: x(0) = 0 − 1 = −1 e y(0) = 0 + 1 = 1 ⇒ P1 = (−1,1). Para t = 2: x(2) = (2)2 − 1 = 4− 1 = 3 e y(2) = (2)3 + 1 = 8+1 = 9⇒ P2 = (3,9). Ou seja, a medida que t aumenta de −2 para 2, o ponto comec¸a em P0 = (3,−7) e termina no ponto P2 = (3,9). Note-se que a curva e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de −2 a 2, como mostrado na Figura 13.13. Figura 13.13 C E D E R J 195 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade Exercı´cio 13.5 Determine uma parametrizac¸a˜o para cada uma das seguintes curvas: a. x−3 =−(y+1)2; b. (x+3)2 +(y−2)2 = 4; c. 9(x−1)2 +4(y+2)2 = 36. (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no 10: a, b e d, respectivamente) Soluc¸a˜o: a. Como x− 3 = −(y + 1)2, enta˜o x = 3− (y + 1)2. Fazendo y = t, enta˜o x = 3− (t + 1)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o da para´bola x−3 =−(y+1)2 e´ dada por γ(t) = (3− (t +1)2, t), t ∈ R. b. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia (x−h)2+(y−k)2 = a2 e´ dada por α(t)= (h+acos t,k+asen t), 0≤ t ≤ 2pi . Assim, para a circunfereˆncia (x+3)2+(y−2)2 = 4, temos h = −3, k = 2 e a = 2. Logo, α(t) = (−3 + 2cos t, 2+ 2sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi , e´ uma parametrizac¸a˜o para a circun- fereˆncia dada. c. Dada 9(x−1)2+4(y+2)2 = 36, enta˜o 9(x−1) 2 36 + 4(y+2)2 36 = 1⇔ (x−1) 2 4 + (y+2)2 9 = 1⇔ ( x−1 2 )2 + ( y+2 3 )2 = 1. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse ( x−h a )2 +( y− k b )2 = 1 e´ dada por α(t) = (h + acos t,k + bsen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Assim, para a elipse ( x−1 2 )2 + ( y+2 3 )2 = 1, temos h = 1, k =−2, a = 2 e b = 3. Portanto, uma parametriza- c¸a˜o desta elipse, e´ dada por α(t) = (1+ 2cos t,−2+ 3sen t), 0≤ t ≤ 2pi . 196 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Exercı´cio 13.6 Ache uma parametrizac¸a˜o para a reta que e´ a intersec¸a˜o dos planos x− y+ z =−3 e 2x+ y−2z = 6. (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no6) Soluc¸a˜o: A reta L e´ a intersec¸a˜o dos planos { x− y+ z =−3 2x+ y−2z = 6 . Consideremos separadamente as equac¸o˜es dos planos: x− y+ z =−3 (13.6) 2x+ y−2z = 6 (13.7) De 13.6 segue que z =−3− x+ y (13.8) Substituindo 13.8 em 13.7, resulta 2x+ y−2(−3− x+ y) = 6, ou seja, 2x+ y+6+2x−2y = 6 de onde simplificando, temos 4x− y = 0 (13.9) De 13.8 e 13.9 temos enta˜o um novo sistema que representa L L : { z =−3− x+ y 4x− y = 0 ou L : { z =−3− x+ y y = 4x (13.10) Nesteu´ltimo sistema fica mais fa´cil escolher uma parametrizac¸a˜o para a reta L. Fac¸a x = t, y = 4t e z =−3− t +4t =−3+3t com t ∈R. Assim, uma parametrizac¸a˜o para a reta L e´ dada por α(t) = (t,4t,−3+3t), t ∈ R. Exercı´cio 13.7 Fac¸a um esboc¸o da curva β (t) = (1− t,3−2t, t) t ∈ [0,1]. (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no8-b) Soluc¸a˜o: As equac¸o˜es parame´tricas correspondentes sa˜o x = 1− t y = 3−2t z = t com t ∈ [0,1], que sa˜o reconhecidas como as equac¸o˜es parame´tricas C E D E R J 197 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade do segmento de reta de ponto inicial β (0) = (1− 0,3− 2(0),0) = (1,3,0) = P0 e ponto final β (1) = (1−1,3−2(1),1) = (0,1,1) = P1. O segmento e´ mostrado na Figura 13.14. Figura 13.14 Exercı´cio 13.8 Trace a curva α(t) = (t,2cos2pit,2sen2pit) t ≥ 0. (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no 9) Soluc¸a˜o: As equac¸o˜es parame´tricas da curva ou imagem de α sa˜o x = t y = 2cos2pit z = 2sen2pit . Das duas u´ltimas equac¸o˜es parame´tricas obtemos y2+z2 = 4. Isso quer dizer que a curva esta´ sobre o cilindro circular reto de raio 2, centrado no eixo x. Para localizar a curva sobre este cilindro podemos usar a primeira equac¸a˜o parame´trica x = t, com t ≥ 0. Note-se na Figura 13.15 que a medida que t varia de 0 ate´ 1, o ponto (x,y,z) gira sobre o cilindro y2 + z2 = 4 produzindo uma volta na curva C, denominada “he´lice circular ou helico´ide”; observe que na medida que t varia, o ponto α(t) se afasta do plano x = 0. Observe tambe´m que na Figura 13.15 esta´ desenhada so´ uma parte da curva pedida. A forma de saca-rolhas da he´lice circular deste exemplo e´ a mesma das molas espirais. Elas tambe´m aparecem no modelo do DNA (a´cido desoxirribonucle´ico, material gene´tico de ce´lulas vivas). 198 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Figura 13.15 So´ para conferir, verifiquemos uma volta da he´lice, calculando os valores de α a medida que t varia de 0 ate´ 1: Se t = 0, α(0) = (0, 2cos 0, 2sen 0) = (0,2,0). Se t = 1 4 , α ( 1 4 ) = ( 1 4 , 2cos 2pi ( 1 4 ) , 2sen2pi ( 1 4 )) =( 1 4 ,2cos (pi 2 ) ,2sen pi 2 ) = ( 1 4 ,0,2 ) . Se t = 1 2 , α ( 1 2 ) = ( 1 2 , 2cos 2pi ( 1 2 ) , 2sen2pi ( 1 2 )) =( 1 2 ,2cos pi,2sen pi ) = ( 1 2 ,−2,0 ) . Se t = 3 4 , α ( 3 4 ) = ( 3 4 , 2cos 2pi ( 3 4 ) , 2sen2pi ( 3 4 )) =( 3 4 ,2cos ( 3pi 2 ) ,2sen 3pi 2 ) = ( 3 4 ,0,−2 ) . Se t = 1, α(1) = (1, 2cos 2pi, 2sen 2pi) = (1,2,0). Exercı´cio 13.9 Calcule os limites das seguintes func¸o˜es: a. lim t→0 ( t2−2 t +1 , sent t ) b. lim t→1 ( t3−1 t2−1 , t−1 3√t−1 , tgpi(t−1) t−1 ) (Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no2: a e d) C E D E R J 199 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade Soluc¸a˜o: a. Observe que lim t→0 t2−2 t +1 = −2 1 = −2 e lim t→0 sen t t = 1. Portanto, lim t→0 ( t2−2 t +1 , sen t t ) = (−2,1). b. Lembre que lim t→1 t3−1 t2−1 L′H = lim t→1 3t2 2t = lim t→1 3t 2 = 3 2 lim t→1 t−1 3 √ t−1 L′H = lim t→1 1 1 3 t −2/3 = limt→1 3 3√ t2 = 3 lim t→1 tgpi(t−1) (t−1) = pi limt→1 tgpi(t−1) pi(t−1) = pi . Lembre que limu→0 tgu u = 1. Portanto, lim t→1 ( t3−1 t2−1 , t−1 3√t−1 , tgpi(t−1) t−1 ) = ( 3 2 ,3,pi ) Exercı´cio 13.10 Calcule os valores de a e b, tais que a func¸a˜o α(t) = { (at +b,4t−3), se t ≥ 1 (2t +3,2at2−b), se t < 1 seja contı´nua. (Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no3) Soluc¸a˜o: Observe que α e´ uma func¸a˜o vetorial contı´nua para t > 1 e para t < 1. Note-se que as func¸o˜es componentes sa˜o polinoˆmios e sabemos que as func¸o˜es polinomiais sa˜o contı´nuas, assim para que α seja contı´nua em todo R so´ falta verificar a continuidade em t = 1. Isto e´, precisamos provar que lim t→1 α(t) = α(1). Lembre que lim t→1 α(t) existe se, e somente se, existem lim t→1+ α(t) e lim t→1− α(t) e, ale´m disso, lim t→1+ α(t) = lim t→1− α(t). Note-se que lim t→1+ α(t) = lim 1+ (at +b,4t−3) = (a(1)+b,4(1)−3) = (a+b,1) lim t→1− α(t) = lim t→1− (2t +3,2at2−b) = (2+3,2a(1)2−b) = (5,2a−b) Logo, como queremos que lim t→1+ α(t) = lim t→1− α(t), enta˜o (a+b,1) = (5,2a−b)⇔ { a+b = 5 2a−b = 1 ⇔ { a = 2 b = 3 Assim, se a= 2 e b= 3, temos que lim t→1 α(t)=α(1) = (5,1). Logo, temos a continuidade de α em t = 1, portanto α e´ contı´nua. 200 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Exercı´cio 13.11 Encontre uma parametrizac¸a˜o para a reta que conte´m os pontos (1,−1) e (−3,4). (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no4) Soluc¸a˜o: Da Aula 31, pa´gina 166 do caderno dida´tico, sabemos que a equac¸a˜o α(t) = (1− t)A+ tB t ∈ R, onde A e B sa˜o dois vetores dados, tem por trac¸o a reta determinada por esses vetores, caso A 6= B. Portanto, uma parametrizac¸a˜o da reta neste caso e´ α(t) = (1− t)(1,−1)+ t(−3,4) = (1− t,−1+ t)+ (−3t,4t) = (1−4t,−1+5t) t ∈ R. Exercı´cio 13.12 Encontre uma parametrizac¸a˜o para a reta que e´ paralela ao vetor ~v = (−2,5) e que conte´m o ponto (2,1). (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no5) Soluc¸a˜o: Observe que, neste caso, podemos utilizar a parametrizac¸a˜o α(t) = t~v+A, t ∈R que e´ a parametrizac¸a˜o da reta que conte´m o ponto A e e´ paralela ao vetor na˜o nulo~v. Portanto, α(t) = t(−2,5)+ (2,1) = (−2t +2,5t +1) = (2−2t,1+5t) t ∈ R. Exercı´cio 13.13 Encontre a parametrizac¸a˜o α(t) da reta r, tal que α(1)= (−3,2,1) e α(0) = (0,0,−2). (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no7) Soluc¸a˜o: Novamente da Aula 31, pa´gina 166 do caderno dida´tico, sabemos que a equac¸a˜o α(t) = (1− t)A+ tB, t ∈ R, onde A e B sa˜o dois vetores dados, tem por trac¸o a reta determinada por esses vetores, caso A 6= B. Ale´m disso, α(0) = A e α(1) = B. Neste exercı´cio, sabemos que α(0) = (0,0,−2) = A e α(1) = (−3,2,1) = B, assim a parametrizac¸a˜o que satisfaz as condic¸o˜es pedidas e´ α(t) = (1− t)(0,0,−2)+ t(−3,2,1) t ∈ R Isto e´, α(t) = (0,0,−2(1− t))+ t(−3,2,1) = (−3t,2t,−2+2t + t) = (−3t,2t,−2+3t) t ∈ R. C E D E R J 201 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade Exercı´cio 13.14 Determine uma parametrizac¸a˜o para a coˆnica y2−4x2 = 1 (ramo superior). (Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no10-c) Soluc¸a˜o: Observemos que a coˆnica dada e´ a hipe´rbole y2− (2x)2 = 1 (13.11) Fac¸a Y = y e X = 2x, substituindo estas igualdades em 13.11, temos Y 2−X2 = 1 (13.12) Por outro lado, sabemos que as func¸o˜es trigonome´tricas hiperbo´licas satisfazem a identidade hiperbo´lica cosh2t− senh2t = 1 (13.13) Portanto, a imagem da curva α(t) = (senh t,cosh t) certamente esta´ na hipe´rbole 13.12 C : ∣∣∣∣ X = senh tY = cosh t t ∈R ⇒ C : ∣∣∣∣ 2x = senh ty = cosh t t ∈ R ⇒ C : ∣∣∣∣∣ x = 1 2 senh t y = cosh t t ∈R Finalmente, uma parametrizac¸a˜o da hipe´rbole y2 − (2x)2 = 1 e´ dada por C : α(t) = ( 1 2 senh t,cosh t ) t ∈ R. Observe que cosh t = e t + e−t 2 ≥ 1, ∀t ∈ R, logo y ≥ 1; assim, α e´ somente o ramo superior da hipe´rbole, onde y ≥ 1 ∀t ∈ R, e por ou- tro lado, senh t = e t − e−t2 ∀t ∈ R e´ uma func¸a˜o bijetora e pode-se verificar que x = 1 2 senh t ≥ 0 ∀t ≥ 0 e x = 1 2 senh t < 0 ∀t < 0. Assim, α(t) recobre toda a extensa˜o do ramo superior da hipe´rbole. Note que a hipe´rbole e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de −∞ a +∞. 202 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 Exercı´cio 13.15 Calcule os seguintes limites a. lim t→+∞ ( t t2+1 , 2t−3√ t2 +4 ) b. lim t→√2 ( t2−2 t−√2 , e √ 2− et t3−2√2 ) (Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no2: b e c, res- pectivamente) c. lim t→−∞ ( t t2+1 , 2t−3√ t2 +4 ) Soluc¸a˜o: a. lim t→+∞ ( t t2 +1 , 2t−3√ t2 +4 ) Observe que quando t → +∞, t t2 +1 e´ uma forma indetermi- nada da forma ∞ ∞ . Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a regra de L’Hoˆpital e temos lim t→+∞ t t2 +1 L′H = lim t→+∞ 1 2t = 0. Analogamente, quando t →+∞, 2t−3√ t2 +4 e´ uma forma indeter- minada da forma ∞ ∞ . Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a regra de L’Hoˆpital, pore´m algumas vezes a aplicac¸a˜o da regra de L’Hoˆpital para calcular uma forma indeterminada nos leva a situac¸o˜es estranhas. ( Tente calcular lim t→+∞ 2t−3√ t2 +4 usando a re- gra de L’Hoˆpital e descreva o que acontece! ) Por outro lado, do Ca´lculo I, sabemos que este limite pode ser facilmente calcu- lado por me´todos alge´bricos. De fato, lim t→+∞ 2t−3√ t2 +4 = lim t→+∞ 2t−3 t√ t2+4 t (∗) = lim t→+∞ 2− 3t√ t2+4√ t2 = lim t→+∞ 2− 3t√ 1+ 4t2 = 2 (∗) Lembre-se que quando t →+∞⇒ t > 0 e t = |t|= √ t1. Assim, lim t→+∞ ( t t2 +1 , 2t−3√ t2 +4 ) = (0,2). C E D E R J 203 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade b. lim t→√2 ( t2−2 t−√2 , e √ 2− et t3−2√2 ) Observe que quando t →√2, t 2−2 t−√2 e´ uma forma indetermi- nada da forma 00 . Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a regra de L’Hoˆpital e temos lim t→√2 t2−2 t−√2 L′H = lim t→√2 2t 1 = 2 √ 2 Analogamente, quando t →√2, e √ 2− et t3−2√2 e´ uma forma indeter- minada da forma 00. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a regra de L’Hoˆpital e temos lim t→√2 e √ 2− et t3−2√2 L′H = lim t→√2 −et 3t2 = −e √ 2 3(2) =− 1 6e √ 2 Portanto, lim t→√2 ( t2−2 t−√2 , e √ 2− et t3−2√2 ) = ( 2 √ 2,−16e √ 2 ) c. lim t→−∞ ( t t2 +1 , 2t−3√ t2 +4 ) Observe que quando t →−∞, t t2 +1 e´ uma forma indetermi- nada da forma ∞ ∞ . Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a regra de L’Hoˆpital e temos lim t→−∞ t t2 +1 L′H = lim t→−∞ 1 2t = 0 Analogamente, quando t →−∞, 2t−3√ t2 +4 e´ uma forma indeter- minada da forma ∞ ∞ . Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a regra de L’Hoˆpital, pore´m, como ja´ foi mencionado acima, algumas vezes a aplicac¸a˜o da regra de L’Hoˆpital para calcular uma forma indeterminada nos leva a situac¸o˜es estranhas. Por outro lado, do Ca´lculo I, sabemos que este limite pode ser facil- mente calculado por me´todos alge´bricos. De fato, 204 C E D E R J i i i i i i i i SE M A N A 13 2 M ´ O D U LO 2 lim t→−∞ 2t−3√ t2 +4 = lim t→−∞ 2t−3 t√ t2+4 t (∗) = lim t→−∞ 2− 3t√ t2+4 − √ t2 = lim t→−∞− 2− 3t√ 1+ 4t2 =−2 (∗) Lembre-se que quando t →−∞⇒ t < 0 e t =−|t|=− √ t2. Assim, lim t→−∞ ( t t2 +1 , 2t−3√ t2 +4 ) = (0,−2). Exercı´cio 13.16 Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva C : x2 = y−2, onde −1 2 ≤ x≤ 1. Uma vez parametrizada a curva esboce a mesma e indique o sentido de percurso quando o paraˆmetro aumenta. Soluc¸a˜o: Sabemos que sendo C : y = f (x), ∀x ∈ I o gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua f , uma parametrizac¸a˜o natural (ou trivial ou sim- ples) de C e´ dada fazendo x = t e y = f (t), isto e´, C : α(t) = (t, f (t)), t ∈ I. Neste exercı´cio vamos usar a parametrizac¸a˜o natural. Note-se que x2 = y− 2 ⇔ y = x2 + 2. Seja x = t e y = f (t) = t2 + 2 para todo −1 2 ≤ t ≤ 1, logo α(t) = (t, t2 + 2), t ∈ [ −1 2 ,1 ] . Observe que α ( −1 2 ) = ( −1 2 , 1 4 +2 ) = ( −1 2 , 9 4 ) e α(1) = (1,1+2) = (1,3). O esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.16. Note-se que a para´bola e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de −1 2 a 1. 2 Figura 13.16 C E D E R J 205 i i i i i i i i Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade Exercı´cio 13.17 Encontre uma parametrizac¸a˜o para a coˆnica 3x2 +4y2 +12x−8y+4 = 0. Uma vez parametrizada a curva esboce a mesma e indique o sentido de percurso quando o paraˆmetro aumenta. Soluc¸a˜o: Dada a equac¸a˜o da coˆnica 3x2 + 4y2 + 12x− 8y+ 4 = 0, completando quadrados temos (3x2+12x+ )+(4y2−8y+ )+4= 0, isto e´, 3(x2 + 4x + 4) + 4(y2 − 2y + 1) = 12 + 4 − 4 ou 3(x + 2)2 + 4(y − 1)2 = 12, enta˜o (x+2) 2 4 + (y−1)2 3 = 1 ⇔( x+2 2 )2 + ( y−1√ 3 )2 = 1. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse( x−h a )2 + ( y− k b )2 = 1 e´ dada por α(t) = (h+ acos t,k+ bsen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Assim, para a elipse ( x+2 2 )2 + ( y−1√ 3 )2 = 1, temos h=−2, k= 1, a= 2, b=√3. Portanto, uma parametrizac¸a˜o desta elipse, e´ dada por α(t) = (−2+2cos t,1+ √ 3sen t), 0≤ t ≤ 2pi. Observe que a elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a 2pi . Com efeito, note-se que α(0) = (0,1), α (pi 2 ) = (−2,1+√3) e α(2pi) = (0,1). O esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.17. ( +2 ) x ( -1)y Figura 13.17 206 C E D E R J
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