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semana13-Funções vetoriais de uma variavel real. Parametrização.Limite e continuidade

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FUNC¸O˜ES VETORIAIS DE UMA VARIA´VEL REAL.
PARAMETRIZAC¸O˜ES. LIMITE E CONTINUIDADE
13
FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES
EM R2. CURVAS EM R2.
Definic¸a˜o 13.1
Uma “func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real a valores em R2”
e´ uma func¸a˜o α : A⊂R→R2, onde A e´ um intervalo ou uma
unia˜o de intervalos. Uma tal func¸a˜o associa a cada real t ∈ A
um u´nico vetor
α(t) = (α1(t), α2(t)), t ∈ A ou
= α1(t)~i+α2(t)~j, t ∈ A
onde ~i = (1,0), ~j = (0,1) e α1, α2 sa˜o func¸o˜es reais de
uma varia´vel real, definidas para t ∈ A, denominadas func¸o˜es
coordenadas ou func¸o˜es componentes de α . O conjunto ima-
gem de α , denotado por α(A), e´
α(A) = {α(t) ∈ R2 | t ∈ A}= {(α1(t),α2(t)) ∈ R2 | t ∈ A}
= {(x,y) ∈ R2 | x = α1(t), y = α2(t), t ∈ A}
e e´ chamado tambe´m de trac¸o, curva ou trajeto´ria da func¸a˜o
α .
Figura 13.1
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
� i. O vetor α(t) pode ser representado geometricamente
pelo raio vetor −→OP, onde P = (α1(t), α2(t)). Ver
Figura 13.2.
Figura 13.2
ii. Usa-se dizer que a func¸a˜o vetorial
α(t) = (α1(t), α2(t)) ∈ R2, t ∈ A
e´ uma “parametrizac¸a˜o” da curva C, que e´ imagem
da func¸a˜o α .
iii. As equac¸o˜es C :
{
x = α1(t)
y = α2(t)
, t ∈ A, sa˜o chamadas
equac¸o˜es parame´tricas da curva C ou imagem de
α . A varia´vel t e´ denominada “paraˆmetro”.
ELIMINANDO O PARAˆMETRO
Muitas vezes temos as equac¸o˜es parame´tricas de uma curva
C e queremos encontrar a equac¸a˜o cartesiana que representa o
gra´fico dessa curva.
Encontrar uma “equac¸a˜o cartesiana” que represente o gra´fi-
co de um conjunto de equac¸o˜es parame´tricas denomina-se
eliminac¸a˜o do paraˆmetro. Assim, se eliminarmos o paraˆmentro
nas equac¸o˜es dadas em (iii), obteremos uma expressa˜o cartesia-
na da curva.
� i. Note-se que as imagens de x e y dadas pelas equa-
c¸o˜es parame´tricas podem ser alteradas pela mudanc¸a
para a forma cartesiana. Neste caso, o domı´nio da
equac¸a˜o cartesiana devera´ ser ajustado de tal forma
que seu gra´fico seja igual ao gra´fico das equac¸o˜es
parame´tricas.
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ii. A eliminac¸a˜o do paraˆmetro e´ uma ferramenta usada
no esboc¸o de curvas. Se as equac¸o˜es parame´tricas
representam a trajeto´ria de um objeto em movimento,
somente o gra´fico na˜o e´ suficiente para descrever o
movimento do objeto. Precisamos ainda das equa-
c¸o˜es parame´tricas para saber a posic¸a˜o, a direc¸a˜o e a
velocidade em um dado instante.
PARAMETRIZAC¸A˜O DE CURVAS
Suponha agora que temos a equac¸a˜o cartesiana que repre-
senta o gra´fico de uma curva C e queremos encontrar uma func¸a˜o
vetorial cuja imagem seja o gra´fico da curva.
Encontrar uma func¸a˜o a valores vetoriais cuja imagem seja
o dado gra´fico de uma curva C, denomina-se parametrizar este
gra´fico ou parametrizar a curva C.
Note-se que tal representac¸a˜o na˜o e´ u´nica. Uma curva C
pode ser parametrizada de muitas maneiras diferentes, isto e´, ha´
muitas func¸o˜es vetoriais que tem a mesma curva imagem.
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Exemplo 13.1
Seja σ : A⊂ R→ R2 a func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real
a valores em R2 definida por t → σ(t) = (t, t), t ∈ A = [0,4].
Figura 13.3
Enta˜o σ(t) = (t, t) 0≤ t ≤ 4 e´ uma parametrizac¸a˜o da curva
ou imagem de σ , onde σ1(t) = t, σ2(t) = t sa˜o as func¸o˜es com-
ponentes de σ .
C :
∣∣∣∣ x = σ1(t) = ty = σ2(t) = t , t ∈A= [0,4], sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas
da curva C e t e´ o paraˆmetro.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Eliminando-se o paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas,
C :
{
x = t
y = t t ∈ [0,4] para obter uma expressa˜o cartesiana, re-
sulta que x = t = y ⇒ x = y. Obtemos assim uma equac¸a˜o
apenas em termos das varia´veis cartesianas: y = x.
A equac¸a˜o cartesiana y = x e´ definida para todos os valores
de x. Mas das equac¸o˜es parame´tricas sabemos que t ∈ [0,4]. Isto
implica que devemos ajustar o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana
resultante. Como x = t ∈ [0,4]⇒ x ∈ [0,4].
Assim, obtemos C : x = y, 0 ≤ x ≤ 4 como uma equac¸a˜o
cartesiana da curva dada.
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Exemplo 13.2
Seja L a reta em R2 que passa pelo ponto P0 = (x0,y0) e e´
paralela ao vetor na˜o nulo −→V = (v1,v2),
Figura 13.4
Note-se que P = (x,y) ∈ L ⇔ P = P0 + t~V , t ∈ R. Isto e´,
(x,y) = (x0,y0)+ t(v1,v2) t ∈ R
(x,y) = (x0 + tv1,y0 + tv2) t ∈ R .
Logo, uma parametrizac¸a˜o de L e´ α(t) = (x0 + tv1,y0 + tv2)
t ∈ R. Observe que as func¸o˜es coordenadas sa˜o func¸o˜es afins.
As equac¸o˜es parame´tricas de L sa˜o
{
x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
t ∈ R.
Eliminando o paraˆmetro nas equac¸o˜es parame´tricas de L,
com o intuito de encontrar uma expressa˜o cartesiana de L.
Suponha v1 6= 0. Isolando t na primeira equac¸a˜o, temos
x− x0
v1
= t. Substituindo o valor de t na segunda equac¸a˜o, ob-
temos y = y0 +
(
x− x0
v1
)
v2, enta˜o y = y0 +
v2
v1
(x− x0) e´ uma
expressa˜o cartesiana da reta.
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� i. Se P0 = (x0,y0) e P1 = (x1,y1) sa˜o dois pontos de L,
o vetor
−→V que e´ um vetor paralelo ao vetor que passa
por P0 e P1 pode ser determinado por
−→V = −−→P0P1 =
P1−P0 = (x1− x0,y1− y0).
ii. Na parametrizac¸a˜o α(t) = (x0 + t(x1 − x0),y0 +
t(y1− y0)), se restringirmos o domı´nio de t ao in-
tervalo [0,1] resulta a parametrizac¸a˜o do segmento
de reta que une P0 = (x0,y0) a P1 = (x1,y1).
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Exemplo 13.3
Seja L o segmento de reta que une o ponto P0 = (3,1) ao
ponto P1 = (4,4). Apresente uma parametrizac¸a˜o para L.
Soluc¸a˜o:
Figura 13.5
Do Exemplo 13.2 e das observac¸o˜es dadas em 12.3 segue que uma
parametrizac¸a˜o para o segmento dado e´
(x,y) = (x0,y0)+ t(P1−P0), t ∈ [0,1]
(x,y) = (3,1)+ t(1,3), t ∈ [0,1]
(x,y) = (3+ t,1+3t), t ∈ I = [0,1]
Logo, uma parametrizac¸a˜o para L e´ dada por L : σ(t) = (3+ t,1+3t),
t ∈ A = [0,1].
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Exemplo 13.4
Seja C : y = f (x) ∀x ∈ A o gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua
f . Uma parametrizac¸a˜o natural (ou trivial ou simples) de C e´
dada fazendo x = t e y = f (t), isto e´, C : σ(t) = (t, f (t)), t ∈ A.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
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Exemplo 13.5
Usando a parametrizac¸a˜o natural, ache uma parametrizac¸a˜o
das seguintes curvas:
a. Reta. C : 3x+4y = 2
b. Para´bola. C : y−2− x2 = 0
Soluc¸a˜o:
a. C : 3x + 4y = 2 ⇒ C : y = 1
4
(2−3x)︸ ︷︷ ︸
f (x)
. Fazendo x = t e
y = f (t) = 1
4
(2−3t) temos a seguinte parametrizac¸a˜o para C:
C : σ(t) =
(
t,
1
4
(2−3t)
)
, t ∈ R
b. C : y−2−x2 ⇒C : y= 2+ x2︸ ︷︷ ︸
f (x)
. Fazendo x= t e y= f (t) = 2+x2
temos a seguinte parametrizac¸a˜o para C:
C : σ(t) = (t,2+ t2), t ∈ R
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Exemplo 13.6
Seja a circunfereˆncia no plano xy de centro na origem e raio
a > 0.
Figura 13.6
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Da Figura 13.6 e´ fa´cil ver que no triaˆngulo retaˆngulo∣∣∣∣∣∣∣
cos t =
x
a
sen t =
y
a
, 0≤ t ≤ 2pi .
Logo,
∣∣∣∣ x = acosty = asen t , 0≤ t ≤ 2pi , sa˜o as equac¸o˜es parame´-
tricas de C.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o desta circunfereˆncia e´ dada
por:
C : σ(t) = (acost,asent) t ∈ [0,2pi ].
Eliminando o paraˆmetro t nas equac¸o˜es parame´tricas de C
resulta que
x2 + y2 = a2cos2t +a2sen2t