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semana13-Funções vetoriais de uma variavel real. Parametrização.Limite e continuidade

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= a2(cos2t + sen2t) = a2.
Logo, x2 + y2 = a2 representa uma equac¸a˜o cartesiana de C.
Note-se que a circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio
conforme t varia de 0 a 2pi .
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Exemplo 13.7
Mostre que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
(x−h)2 +(y− k)2 = a2, a > 0, e´ dada por α(t) = (h+a cos t,
k+a sen t), 0≤ t ≤ 2pi .
Soluc¸a˜o: Seja
C : (x−h)2 +(y− k)2 = a2 (13.1)
Fac¸a X = x− h e Y = y− k. Substituindo estas igualdades em
13.1, temos C : X2+Y 2 = a2. Isto e´, uma circunfereˆncia com equac¸o˜es
parame´tricas:
C :
∣∣∣∣ X = a cos tY = a sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C :
∣∣∣∣ x−h = a cos ty− k = a sen t t ∈ [0,2pi]
⇒ C :
∣∣∣∣ x = h+a cos ty = k+a sen t t ∈ [0,2pi].
Logo, uma parametrizac¸a˜o de C e´ α(t) = (h+a cos t,k+a sen t),
0≤ t ≤ 2pi .
Note-se que a circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio
conforme t varia de 0 a 2pi .
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
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Exemplo 13.8
Deˆ uma parametrizac¸a˜o da elipse C : x
2
a2
+
y2
b2 = 1 (a > 0 e
b > 0).
Soluc¸a˜o:
C : x
2
a2
+
y2
b2 = 1 ⇒ C :
( x
a
)2
+
(y
b
)2
= 1 (13.2)
Seja X = x
a
e Y =
y
b . Substituindo estas igualdades em 13.2, temos
C : X2+Y 2 = 1, isto e´, uma circunfereˆncia com equac¸o˜es parame´tricas:
C :
∣∣∣∣ X = 1 cos tY = 1 sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C :
∣∣∣∣∣∣∣
x
a
= 1 cos t
y
b = 1 sen t
t ∈ [0,2pi]
⇒ C :
∣∣∣∣ x = a cos ty = b sen t t ∈ [0,2pi].
Finalmente, uma parametrizac¸a˜o da elipse C : x
2
a2
+
y2
b2 = 1 (a > 0
e b > 0) e´ dada por C : σ(t) = (a cos t,b sen t), t ∈ [0,2pi]. Note-se que
a elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a
2pi .
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Exemplo 13.9
Mostre que uma parametrizac¸a˜o para a elipse
(
x−h
a
)2
+(
y− k
b
)2
= 1 (a > 0 e b > 0) e´ dada por α(t) = (h+a cos t,
k+b sen t), 0≤ t ≤ 2pi . (Exercı´cio)
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Exemplo 13.10
No Exemplo 31.13 do seu caderno dida´tico prova-se que
uma parametrizac¸a˜o do ramo direito da hipe´rbole dada por
C : x2− y2 = 1 e´ α(t) = (cosht,senht), t ∈ R, e do outro ramo
e´ β (t) = (−cosh t,senht), t ∈ R.
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A
N
A
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M
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U
LO
2
FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES
EM R3. CURVAS EM R3.
Definic¸a˜o 13.2
Uma “func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real a valores em R3”
e´ uma func¸a˜o α : A⊂R→R3, onde A e´ um intervalo ou uma
unia˜o de intervalos. Uma tal func¸a˜o associa a cada real t ∈ A
um u´nico vetor
α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)) t ∈ A ou
= α1(t)~i+α2(t)~j+α3~k, t ∈ A
onde~i = (1,0,0), ~j = (0,1,0),~k = (0,0,1) e α1, α2, α3 sa˜o
func¸o˜es reais de uma varia´vel real definidas para t ∈ A, de-
nominadas func¸o˜es coordenadas ou func¸o˜es componentes de
α . O conjunto imagem de α denotado por α(A) e´
α(A) = {α(t) ∈ R3 | t ∈ A}= {(α1(t),α2(t),α3(t) | t ∈ A}
= {(x,y,z) ∈ R3 | x = α1(t),y = α2(t), z = α3(t), t ∈ A}
e e´ chamado tambe´m de trac¸o, curva ou trajeto´ria da func¸a˜o
α .
� i. O vetor α(t) pode ser representado geometricamente
pelo raio vetor −→OP, onde P = (α1(t), α2(t), α3(t)).
Ver Figura 13.7.
Figura 13.7
ii. Usa-se dizer que a func¸a˜o vetorial α(t) = (α1(t),
α2(t), α3(t)) t ∈ A e´ uma “parametrizac¸a˜o” da
curva C que e´ imagem da func¸a˜o α .
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
iii. As equac¸o˜es C :


x = α1(t)
y = α2(t)
z = α3(t)
, t ∈ A, sa˜o chamadas
equac¸o˜es parame´tricas da curva C ou imagem de
α; a varia´vel t e´ denominada “paraˆmetro”.
iv. Note-se que uma curva C em R3 pode ser parametri-
zada de muitas maneiras diferentes, isto e´, ha´ muitas
func¸o˜es vetoriais que tem a mesma curva imagem.
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Exemplo 13.11
Seja L a reta em R3 que passa pelo ponto P0 = (x0,y0,z0) e
paralela ao vetor −→V = (v1,v2,v3) na˜o nulo.
Note-se que P = (x,y,z) ∈ L⇔ P = P0 + t−→V , t ∈ R.
Isto e´, (x,y,z) = (x0,y0,z0)+ t(v1,v2,v3) t ∈ R
(x,y,z) = (x0 + tv1,y0 + tv2,z0+ tv3) t ∈ R
Logo, uma parametrizac¸a˜o de L e´
α(t) = (x0 + tv1,y0 + tv2,z0 + tv3) t ∈ R.
As equac¸o˜es parame´tricas de L sa˜o


x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
z = z0 + tv3
t ∈R.
Eliminando o paraˆmetro nas equac¸o˜es parame´tricas, obtemos
isolando t em cada equac¸a˜o: x− x0
v1
= t,
y− y0
v2
= t e
z− z0
v3
= t,
com v1, v2, v3 6= 0. Igualando os valores de t, obtemos a ex-
pressa˜o cartesiana da reta L : x− x0
v1
=
y− y0
v2
=
z− z0
v3
.
� i. Se P0 = (x0,y0,z0) e P1 = (x1,y1,z1) sa˜o dois pon-
tos de L, o vetor −→V que e´ um vetor paralelo ao ve-
tor que passa por P0 e P1 pode ser determinado por−→V =−−→P0P1 = P1−P0 = (x1− x0,y1− y0,z1− z0).
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ii. Na parametrizac¸a˜o α(t) = (x0 + t(x1 − x0),y0 +
t(y1−y0),z0+t(z1−z0)), se restringirmos o domı´nio
de t ao intervalo [0,1] resulta a parametrizac¸a˜o
do segmento de reta que une P0 = (x0,y0,z0) a
P1 = (x1,y1,z1).
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Exemplo 13.12
Seja L o segmento de reta no espac¸o que une o ponto
P0 =(3,1,2) ao ponto P1 =(4,3,5). Apresente uma parametrizac¸a˜o
para L.
Soluc¸a˜o:
Figura 13.8
Das observac¸o˜es dadas em 13.11 segue que
P = P0 + t(P1−P0), t ∈ [0,1]
(x,y,z) = (3,1,2)+ t(1,2,3), t ∈ [0,1]
(x,y,z) = (3+ t,1+2t,2+3t), t ∈ [0,1]
Logo, uma parametrizac¸a˜o para L e´ dada por
L : σ(t) = (3+ t,1+2t,2+3t), t ∈ A = [0,1].
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Exemplo 13.13
A curva α(t) =
(√
3
2
cos t,1,
√
3
2
sen t
)
, t ∈ A = [0,pi ], toma
valores no espac¸o tridimensional, mas e´ uma curva plana. Isso
porque satisfaz a equac¸a˜o y = 1. A projec¸a˜o dessa curva no
plano corresponde a` curva β (t) =
(√
3
2
cos t,
√
3
2
sen t
)
, t ∈ A =
[0,pi ]. Sua imagem no plano citado e´ a semicircunfereˆncia
x2 + z2 =
3
4
, z ≥ 0. Observe que α(0) =
(√
3
2
,1,0
)
e
α(pi) =
(
−
√
3
2
,1,0
)
.
O esboc¸o da curva e o sentido de percurso quando o paraˆmetro
aumenta e´ mostrado na Figura 13.9. Note-se que a curva C e´ a
intersec¸a˜o do semi-elipso´ide x2 + y
2
4
+ z2 = 1 z ≥ 0 com o
plano y = 1.
Figura 13.9
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Exemplo 13.14
A curva α(t) = (2 cos t,2 sen t,3), t ∈ I = [0,2pi ], toma va-
lores no espac¸o tridimensional, mas e´ uma curva plana. Isso por-
que satisfaz a equac¸a˜o z = 3. A projec¸a˜o dessa curva no plano
XY corresponde a` curva β (t) = (2 cos t,2 sen t), t ∈ I = [0,2pi ].
Sua imagem no plano citado e´ a circunfereˆncia x2 +y2 = 4. Ob-
serve que α(0)= (2,0,3), α(pi)= (−2,0,3) e α(2pi)= (2,0,3).
O esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.10. Note-se que o
sentido de percurso quando visto de cima e´ anti-hora´rio na me-
dida que o paraˆmetro aumenta. Observe tambe´m que neste caso
a curva C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 4 com o plano
z = 3.
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Figura 13.10
DEFINIC¸A˜O DE LIMITE DE UMA FUNC¸A˜O DE UMA
VARIA´VEL REAL A VALORES EM R2 E R3
a. Se α(t)= (α1(t),α2(t)). Definimos limite de α(t) quando
t se aproxima de a como: lim
t→aα(t)=
(
lim
t→a α1(t), limt→aα2(t)
)
,
se lim
t→aα1(t) e limt→aα2(t) existem.
b. Se α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)). Definimos limite de α(t)
quando t se aproxima de a como: lim
t→aα(t) =
(
lim

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