lista derivadas

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- Ca´lculo 1: Lista sobre Derivadas -
1. Lembrando que (uv)′ = u′v + uv′ e
(
u
v
)′ = vu′−uv′v2 , calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2x2 + 3;
(b) f(x) = 3x− 1;
(c) f(x) = 32;
(d) f(x) = 5x3 − 2x+ 3;
(e) f(x) = x
2
3 − 3x+ 52 ;
(f) f(x) = (x+ 1)(x− 3);
(g) f(x) = 3(x− 2);
(h) f(x) = 4xx−1 ;
(i) f(x) = 3x+2x2−2x+3 ;
(j) f(x) = x−12x3−5x+3 − 3x2 + 7.
2. Lembrando que (ex)′ = ex, (senx)′ = cosx e (cosx)′ = −sen x, calcule as derivadas das func¸o˜es:
(a) f(x) = 2x2 + 3ex;
(b) f(x) = 3xex;
(c) f(x) = (2x+ 1)sen x;
(d) f(x) = 1ex ;
(e) f(x) = 5x3 − 2x2 + 3ex ;
(f) f(x) = x
2
3 cosx− 3ex;
(g) f(x) = 5ex cos x ;
(h) f(x) = 3 cosx sen x;
(i) f(x) = tanx = senxcosx ;
(j) f(x) = 3xe
x−1
4 .
3. Calcule f ′(x) e f ′(1) em cada caso:
(a) f(x) =
{
x2, se x ≥ 1,
2x, se x < 1.
(b) f(x) =
{
x2 + 1, se x ≥ 1,
2x, se x < 1.
As func¸o˜es acima sa˜o cont´ınuas em x = 1? Justifique.
4. Seja f(x) =
{
x2
|x| , se x 6= 0,
2x, se x = 0.
f e´ cont´ınua em x = 0? f e´ diferencia´vel em x = 0? Justifique.
5. Prove a regra do quociente a partir da regra do produto da seguinte forma: escreva y = uv na forma yv = u,
derive com relac¸a˜o a x pela regra do produto e resolva a equac¸a˜o resultante para dydx .
6. Mostre que as tangentes a` curva y = x2 nos pontos x = a e x = a+2 se interceptam sobre a curva y = x2−1.
7. Nos casos abaixo, determine as compostas F = f ◦ g e calcule suas derivadas diretamente e atrave´s da regra
da cadeia:
(a) f(x) = x2, g(x) = x− 1;
(b) f(x) = 2x− 3, g(x) = 3x+ 1;
(c) f(x) = x, g(x) = 3x;
(d) f(x) = ex, g(x) = 3x+ 2;
(e) f(x) = cosx, g(x) = 4x2.
- Derivac¸a˜o Impl´ıcita -
Uma varia´vel pode ser expressa explicitamente em termos de outra, como y =
√
x, y = x2senx, y = f(x), etc, ou
implicitamente, como x2 + y2 = 25, x3 + y3 = 6xy. Em alguns casos, podemos explicitar essa dependeˆncia. Por
exemplo:
x2 + y2 = 25⇒ y = ±
√
25− x2.
Mas, para determinar a derivada de uma func¸a˜o, na˜o e´ necessa´rio resolver a equac¸a˜o expl´ıcita. Podemos utilizar
um me´todo chamado derivac¸a˜o impl´ıcita.
A partir do exerc´ıcio 3, usaremos a derivac¸a˜o impl´ıcita para calcular derivadas de func¸o˜es inversas tais como as
func¸o˜es logar´ıtmicas, que sa˜o inversas de func¸o˜es exponenciais.
Exemplo: Dada a equac¸a˜o x2 + y2 = 25, vamos calcular dydx . Para isso, basta tomar a derivada com relac¸a˜o a`
varia´vel x em ambos os lados da equac¸a˜o e isolar dydx . Assim:
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(25)⇒ d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) = 0⇒ 2x+ d
dy
(y2)
dy
dx
= 0⇒ 2x+ 2y dy
dx
= 0.
Isolando dydx , obtemos:
dy
dx
= −2x
2y
= −x
y
.
Finalmente, como y = ±√25− x2, podemos escrever:
dy
dx
= − x√
25− x2 ou
dy
dx
=
x√
25− x2 .
Observe que poder´ıamos calcular a derivada diretamente utilizando que y =
√
25− x2 e usando a Regra da Cadeia.
Fazendo f(x) =
√
x e g(x) = 25− x2 temos y = f(g(x)). Assim,
dy
dx
= f ′(g(x)) · g′(x).
Como f ′(x) = 12x
−1/2, enta˜o, f ′(g(x)) = 12 (25− x2)−1/2 e, ale´m disso, g′(x) = −2x. Portanto,
dy
dx
=
1
2
(25− x2)−1/2 · (−2x) = − x√
25− x2 .
Da mesma forma, no caso y = −√25− x2, obtemos dydx = x√25−x2 .
1. Encontre dydx nas seguintes equac¸o˜es usando a derivac¸a˜o impl´ıcita:
(a) x2 + y2 = 4;
(b) x3 + y3 = 6xy;
(c) sen (x+ y) = y2 cosx.
2. Encontre dydx para o item 1a atrave´s da fo´rmula expl´ıcita.
3. Considere y no intervalo [0, pi2 ]. Enta˜o, nesse caso, podemos definir as func¸o˜es trigonome´tricas inversas:
sen−1x = arcsenx = y ⇔ seny = x
cos−1x = arccosx = y ⇔ cosy = x
Sabendo disso e usando a derivac¸a˜o impl´ıcita, calcule as derivadas das func¸o˜es:
(a) y = arcsenx;
(b) y = arccosx.
4. Lembrando que lnx = y ⇔ ey = x e usando a derivac¸a˜o impl´ıcita, prove que ddx (lnx) = 1x . Ale´m disso,
usando a Regra da Cadeia, prove tambe´m que ddx (ln g(x)) =
g′(x)
g(x) .
5. Diferencie as seguintes func¸o˜es em relac¸a˜o a x, usando a Regra da Cadeia e os resultados do exerc´ıcio
anterior:
(a) f(x) = ln (cosx);
(b) f(x) = (lnx)2/3;
(c) f(x) = ln
(
2x+3√
x
)
.
6. Calcule dydx nos seguintes casos:
(a) y = 4x2 − 3x+ 2;
(b) y = 3e2x;
(c) y = x3e4x;
(d) y = sen(x+ 1);
(e) y = e3x+2;
(f) y = x2e5x
3−2x+4;
(g) y = 3x+2ln x ;
(h) y = ex ln (x+ 2);
(i) y = x3 − 32e2x − 4 lnx;
(j) y = cos ex;
(k) y =
√
x
ln (x+3) ;
(l) x3 + 3y = 5;
(m) x4 − y2 + 3 = 0;
(n) xy + 2x+ 3x2 = 4;
(o) 1x +
1
y = 1;
(p)
√
x+
√
y = 1;
(q) yx−y = x
2 + 1;
(r) 4 cosxseny = 1;
(s) y = sen−1(x2) = arcsen(x2);
(t) y = (sen−1x)2 = (arcsenx)2.
7. Duas curvas sa˜o ortogonais se, em cada ponto de intersecc¸a˜o suas tangentes sa˜o perpendiculares. Mostre
que a curva xy = 3 e´ ortogonal a` curva x2 − y2 = 2.