aula 6 Coordenadas cilidricas

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Inicialmente estudamos o movimento de um 
ponto material para um sistema de eixos 
coordenados fixos. 
 
 
 Depois estudamos o movimento do ponto 
material para um sistema de eixos normal, 
tangencial e binormal, com origem no 
próprio ponto material a cada instante. 
 
 
 Em alguns problemas de engenharia, no entanto, é mais 
conveniente estudar o movimento de um ponto material em 
termos de coordenadas cilíndricas, ou seja o sistema de 
coordenadas polares (r, ) mais o eixo z. 
 Estudemos inicialmente o movimento plano 
◦ Coordenadas: para o movimento plano serão duas: 
 Coordenada radial r que se estende para fora a partir da 
origem fixa O até a partícula; 
 Coordenada transversal que é o ângulo no sentido anti-
horário entre uma linha de referência fixa e o eixo r; 
 
◦ Vetores unitários: seguindo o procedimento comum a 
álgebra vetorial definimos dois vetores unitários nas 
direções dos eixos usados: 
 Vetor ur, na direção do aumento de r, quando é 
mantido fixo; 
 Vetor u , na direção do aumento do ângulo , quando r é 
mantido fixo; 
 
 Posição 
◦ Em cada instante a posição do ponto P é definida 
pelo vetor de posição: 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde 
 r é a coordenada r; 
 ur é o vetor unitário na direção do aumento do eixo r. 
rr ur
 Velocidade 
◦ A velocidade instantânea é dada pela derivada 
temporal do vetor de posição. Uma vez que o vetor 
ur varia ao longo da trajetória da partícula, temos: 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 
 
 
 
rr
r rr
dt
rd
uur
)u(
v 
.de direção 
na unitário vetor do temporal derivada a é
; coordenada da temporal derivada a é
r
rr
r
 
 
 
u

 Pergunta: Como determinar dur/dt ? 
◦ Seguindo um procedimento semelhante ao método 
empregado no cálculo da variação temporal do 
vetor tangente, podemos escrever o seguinte 
diagrama vetorial: 
 
 
 
 
◦ Ou seja, uma variação fará o vetor ur mudar para 
u’r, vetorialmente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Portanto a variação de ur é ur. 
rrr uuu'
◦ Para ângulos pequenos, como os vetores são 
unitários, o módulo de ur, pode ser aproximado 
por: 
 
 
 
 
 
◦ Observe, pela diagrama, que o vetor ur tem mesma 
direção e sentido do vetor u , portanto: 
1ru
uur
◦ Se dividirmos ur por t e fizermos t tender a zero 
teremos dur/dt, ou seja: 
 
 
 
 
 
 uu
u
u
u


r
t
r
t
r
tt limlim 00
◦ Agora o vetor velocidade pode ser escrito como: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 vr é a componente radial do vetor velocidade; 
 v é a componente transversal do vetor velocidade; 
 



rv
rv
vv
rr
r
rr
rr
;
uuv
uuv
◦ A intensidade da velocidade é simplesmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
◦ A direção do vetor velocidade é sempre tangente a 
trajetória da partícula; 
 rvrv
vvv
r
r
;
22
 Aceleração 
◦ A aceleração é dada pela derivada temporal do 
vetor velocidade, logo: 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 
 
 
 
uuuuua
uuv
a


rrrrr
dt
rrd
dt
d
rr
r
.de direção 
na unitário vetor do temporal derivada a é
 
 u
 Pergunta: Como determinar du /dt ? 
◦ Seguindo um procedimento semelhante ao método 
empregado no cálculo da variação temporal do 
vetor ur, podemos escrever o seguinte diagrama 
vetorial: 
 
 
 
 
◦ Ou seja uma variação fará o vetor u mudar para 
u’ , vetorialmente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Portanto a variação de u é u . 
uuu'
◦ Para ângulos pequenos, como os vetores são 
unitários, o módulo de u , pode ser aproximado 
por: 
 
 
 
 
◦ Observe, pelo diagrama, que o vetor u tem mesma 
direção mas sentido contrário ao vetor ur, portanto: 
1u
ruu
◦ Se dividirmos u por t e fizermos t tender a zero 
teremos du /dt, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
r
r
tt tt
uu
u
u
u

 limlim
00
◦ Finalmente o vetor aceleração pode ser reescrito, 
agora que encontramos todos os seus termos, 
como: 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 ar é a componente radial do vetor aceleração; 
 a é a componente transversal do vetor aceleração; 
 
 


rra
rra
aa
r
rr
2
2
uua
◦ A intensidade da aceleração é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Já a direção do vetor aceleração é determinada pela 
soma vetorial das duas componente e não é 
tangente a trajetória. 
 


rra
rra
aaa
r
r
2
2
22
 Se o ponto material se move ao longo de uma curva 
espacial então sua posição pode ser especificada pelas 
três coordenadas cilíndricas r, e z. Sendo a 
coordenada z igual a usado no sistema de coordenadas 
cartesianas 
 Posição 
 
 
 Velocidade 
 
 
 Aceleração 
zr zr uur
uuuv zrr r 
zr zrrrr uuua  2
2
 Um radar de rastreamento situa-se no plano vertical da 
trajetória de um foguete que está se deslocando em vôo sem 
propulsão acima da atmosfera. Para o instante em que =30°, 
os dados de rastreamento fornecem r=8.104m, 
dr/dt=1200m/s, e d /dt=0,80 graus/s. A aceleração do 
foguete é devida apenas a atração gravitacional e para sua 
altitude em particular é 9,20m/s2 verticalmente para baixo. 
Para essas condições determine: 
 
 ; erv