aula 15 Forcas conservativas e energia potencial

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Mecânica dos Sólidos II 
Prof.: Judas Tadeu G de Sousa 
 
 Introduzir o conceito de forças conservativas 
e não conservativas; 
 Definir o conceito de energia potencial; 
 Apresentar as principais formas de energia 
potencial; 
 Demonstrar o princípio da conservação da 
energia. 
 
 Definição: 
◦ “Se o trabalho de uma força é independente da 
trajetória e depende apenas das posições inicial e 
final da partícula, podemos classificar esta força 
como conservativa.” 
 
 Exemplos: 
◦ Peso próprio de uma partícula e a força 
desenvolvida por uma mola; 
 
 
 Por exemplo o trabalho realizado pela força de gravidade no 
movimento de um ponto material da Elevação 1 até a 
Elevação 2 independe da trajetória considerada. 
mghhWUgravidade 
 Definição: 
◦ “De forma contrária, quando o trabalho realizado 
por uma força sobre um ponto material depende da 
trajetória seguida pelo ponto material diz-se que a 
força é não conservativa.” 
 
 Exemplos: 
◦ Força de atrito exercida por uma superfície fixa 
sobre um objeto em escorregamento sobre ela. 
 Por exemplo o trabalho realizado para arrastar um tijolo 
numa superfície horizontal áspera ao longo de uma reta 
(trajeto A) do ponto 1 até o ponto 2 é menor que o realizado 
ao longo de um trajeto curvo (trajeto B). 
 Definição de energia: 
◦ “Energia pode ser definida como a capacidade para 
realizar trabalho”. 
 Exemplo: 
◦ Se uma partícula está parada e depois se move 
então pelo princípio do trabalho e energia cinética: 
 
 
 
 
 Ou seja, a energia cinética é igual ao trabalho 
necessário para levar a partícula do repouso até um 
estado de movimento com velocidade v. 
221 TU  
 Definição de energia potencial. 
◦ “A energia potencial está associada à posição de 
uma partícula e é uma medida da quantidade de 
trabalho realizado por uma FORÇA CONSERVATIVA, 
quando a partícula move de uma referência até uma 
dada posição” 
 
 Exemplo 
◦ Energia criada pela gravidade ou por uma mola 
elástica. 
 
 
 Se um ponto material se situa a uma distância 
y acima de uma referência escolhida 
arbitrariamente pode-se associar a ele uma 
energia potencial gravitacional 
 
 
 
◦ Onde: 
 W é o módulo do peso da partícula; 
 y é distância do ponto material a linha de referência 
yWVg 
 Situações possíveis: 
◦ Partícula acima da referência 
 
 
 
◦ Partícula abaixo da referência 
 
 
 
◦ Partícula sobre da referência 
 
 
 
yWVg 
yWVg 
0gV
 Quando uma mola elástica sofre uma 
deformação s a energia potencial elástica 
associada a essa deformação pode ser 
expressa por: 
 
 
 
◦ Onde: 
 k é a constante elástica da mola; 
 s é a deformação da mola em relação ao seu 
comprimento não deformado 
 
2
2
1
skVe 
 Situações possíveis: 
◦ Mola indeformada 
 
 
 
◦ Mola alongada 
 
 
 
◦ Mola comprimida 
 
 
 
2
2
1
ksVe 
0eV
2
2
1
ksVe 
 Quando o material está submetido 
simultaneamente a forças gravitacionais e 
elásticas a energia potencial total é dada por 
 
 
 
 Onde: 
◦ V é chamada função potencial a qual depende da 
localização do ponto em relação as referências 
adotadas. 
)()()( posiçãoVposiçãoVposiçãoV eg 
 Por exemplo a função potencial para uma 
partícula de peso W suspensa de uma mola 
expressa em termos de sua posição s é dada 
por: 
 
 
 
2
2
1
ksWsVVV eg 
 Se uma partícula encontra-se num ponto 
(x1,y1,z1) o trabalho realizado por uma FORÇA 
CONSERVATIVA para deslocá-lo até o ponto 
(x2,y2,z2) é medido pela diferença 
 
 
 
 
◦ Sendo V1 a função potencial para partícula no ponto 
1 e V2 a função potencial para partícula no ponto 2 
 
 
 
),,(),,( 2222111121 zyxVzyxVU 
 Por exemplo: 
◦ O trabalho realizado pela força peso quando a 
partícula sai do seu referencial até o topo pode ser 
calculado, como: 
 
 
 
 
 
 
 
WyVVU
WyVVWyU




2121
2121 ;;0
 Relação entre a Função Potencial e a Força 
Atuante num sistema conservativo: 
◦ Considere uma partícula move-se do ponto s1 de 
coordenadas (x,y,z) para o ponto s2 de coordenadas 
(x+Dx,y+Dy,z+Dz) o trabalho necessário para esse 
deslocamento seria: 
VUU
zzyyxxVzyxVU
VVU
DD
DDD




21
21
2121
),,(),,(
◦ Fazendo o ponto s1 se aproximar cada vez mais do 
ponto s2 
dVdU
dzzdyydxxVzyxVU
dzzdyydxx


DDD
 ),,(),,(
;;;
21
◦ Considerando que V é uma função das coordenadas 
x, y e z, se aplicarmos a regra da cadeia do cálculo 
diferencial, teremos: 
 Cadeiada Regra 
),,(
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dU
zyxdVdU










◦ Agora representando o trabalho em termos da força 
atuante e o deslocamento da partícula, em 
coordenadas cartesianas, temos: 
dzFdyFdxFdU
dzdydxFFFdU
ddU
zyx
zyx



)()( kjikji
rF
◦ Comparando-se as expressões para o trabalho 
realizado: 
 
 
 
 
 
◦ Verificamos que: 
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dzFdyFdxF zyx









z
V
F
y
V
F
x
V
F zyx








 ;;
◦ Assim vetorialmente: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde ∇representa o operador vetorial nabla. 
 
potencial) funçãoda Gradiente o (menos V
V
zyx
VVV
z
V
y
V
x
V
zyx


























F
kjiF
kjikjiF
kji
zyx 








 Quando um ponto material é submetido 
simultaneamente a forças conservativas e não 
conservativas pelo princípio do trabalho e 
energia cinética temos: 
    12212121 TTUUU consnãocons   
 Mas da definição de energia potencial temos 
 
 
 
 Então 
  2121 VVU cons  
 
  222111
122121
TVUTV
TTUVV
consnão
consnão






 Considerando que somente forças 
conservativas atuem no ponto então 
 
 
 
 Princípio da conservação da energia 
mecânica: 
◦ “Durante o movimento a soma das energias 
cinéticas e potencial permanece constante” 
2211 VTVT 
 Por exemplo se deixamos uma bola de peso 
W cair de uma altura h acima do solo: 
 
 
 
 Na posição inicial: 
 
 
 Quando a bola cai de uma distância h/2 
 
 
 
WhVTE  011
  WhhWgh
g
W
E
ghv
h
Wv
g
W
VTE


22
1
22
1
2
2
22
 Na posição final: 
 
 
 
 
 
 Ou seja: 
 
 
 
 
 
  Whgh
g
W
E
ghvv
g
W
VTE


02
2
1
20
2
1
2
2
33
constante332211  VTVTVT
 Analogamente se um sistema de pontos 
materiais é submetido apenas a forças 
conservativas, então temos 
 
 
 
 Ou seja: 
◦ “A soma das energias cinética e potencial iniciais do 
sistema é igual a soma das energias cinética e 
potenciais finais do sistema.” 
constante2211   VTVT
 Quando o mecanismo é liberado a partir do repouso na 
posição em que q=60º, o carro cai e a esfera de 6kg sobe. 
Determine a velocidade v da esfera quando q=180º. Despreze 
a massa das conexões e trate a esfera como uma partícula. 
 Se o sistema é liberado a partir do repouso determine as 
velocidades de ambas as massas após B ter se deslocado em 
1m. Despreze o atrito e as massas das polias.