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ANÁLISE ESTRUTURAL I Prof.: Judas Tadeu Gomes de Sousa Apresentação das características das Barras Curvas; Análise simplificada de quadros planos com barras curvas; Classificação dos tipos de Arcos; Análise dos arcos isostáticos triarticulados; Linha de pressões. Algumas estruturas podem apresentar elementos cuja posição do eixo principal varia conforme uma determinada curva: Em uma barra curva o eixo x do referencial de definição dos esforços seccionais é tangente ao eixo geométrico, portanto: ◦ A inclinação da seção usada para calcular os esforços varia ao longo do eixo do elemento; ◦ A direção do vetor do esforço normal é também tangente ao eixo no ponto da seção analisada; ◦ A direção do vetor do esforço cortante tem na direção perpendicular a tangente ao eixo e linha de ação contém o centro de curvatura da barra. Para analisar esse tipo de estrutura, considere o problema de calcular os esforços atuantes para uma seção no ponto S, no pórtico da figura: As reações de apoio para estrutura podem ser normalmente. 0 2 0;0;0 A BA Oyx H PRR MFF Considerando agora que a barra tem a forma de um semicírculo de raio R e centro O e a seção S pode ser determinada conhecendo o ângulo q que a horizontal faz com a corda que liga os pontos O e S do arco. Com base no ângulo q, encontramos as seguintes equações para os esforços atuantes: 20cos 2 )( 20sen 2 )( 20)cos1( 2 )( qqq qqq qqq P N P V RP M f Observação: ◦ As equações anteriores não são válidas para q>/2, entretanto devido a simetria existente, não precisamos determinar as equações para o trecho CB e o diagrama de momentos fletores e esforço normal serão simétricos e o diagrama de esforço cortante será antisimétrico. Os diagramas a partir das equações tem a seguinte forma: ◦ Momento Fletor ◦ Esforço cortante ◦ Esforço normal Podemos usar outra metodologia para traçar o diagrama de momentos fletores quando o carregamento atuante é totalmente vertical: Observe que o momento fletor para o ponto S varia linearmente com a distância AM função do ângulo q: AM P M f 2 )( q Agora que se marcarmos os valores dos momentos fletores a partir de uma reta horizontal AB o diagrama apresentará uma forma retilínea: )cos1( 2 )( 2 )( qq q RP M AM P M f f Conclusão: ◦ No caso de barras curvas, sob carregamento vertical podemos traçar os diagramas de momento fletor a partir de uma reta auxiliar, projeção horizontal da barra, quando tal procedimento simplificar o traçado. Considere agora o problema desenhar o diagrama de momentos fletores, para barra curva abaixo com uma carga horizontal no apoio. As reações de apoio para estrutura podem ser normalmente calculadas pelas equações da estática. 1 0 0;0;0 A BA Oyx H RR MFF Traçando o diagrama a partir da reta horizontal AB (projeção), observe que o momento atuante em uma seção genérica vale 1xy (negativo), e o gráfico será limitado pelo eixo da barra, ou seja: Conclusão: ◦ O diagrama tem a forma proporcional a área abaixo do elemento curvo: Com base no que vimos observe a análise do pórtico com barras curvas a seguir: Usando normalmente as equações da estática encontramos as seguintes reações: ;800 ;400 ;200 kNRF kNRM kNHF By AB Ax Como o diagrama de momento fletor dos trechos AC e BC é direta analisemos os esforços no trecho CD do pórtico: Esse problema pode ser decomposto em dois: Desenhando os diagramas a partir da reta CD teríamos: O diagrama final seria, com o trecho CD desenhado a partir da reta CD: Observações: ◦ Em resumo no exemplo o diagrama de momentos fletores da barra curva CD do pórtico plano foi traçado a partir da sua projeção horizontal, pendurando a soma do diagrama de viga biapoiada e do diagrama devido apenas as forças horizontais; ◦ Essa é a forma mais simples para determinar os diagrama de momento fletor em quadros com barras curvas; Definição: ◦ O arco é uma barra curva ou poligonal, utilizado quando se deseja preponderância do esforço normal de compressão frente ao momento fletor, com o objetivo de favorecer o uso de materiais de pouca resistência à tração e/ou de buscar formas arquitetônicas. Classificação: ◦ Triarticulados: Possuem dois apoios do segundo gênero e uma rótula intermediária, por isso são estruturas isostáticas. ◦ Biapoiados: Estão fixados por dois apoios do segundo gênero, portanto são estruturas hiperestáticas de primeiro grau. ◦ Biengastados: Estão fixados por dois engastes, portanto são estruturas hiperestáticas de grau 3. Observe o arco triarticulado submetido ao carregamento vertical abaixo: Podemos associar a esse arco a seguinte viga biapoiada auxiliar em azul: Observações: ◦ A viga auxiliar é do tipo biapoiada, sem rótula, com tem comprimento igual a projeção horizontal do arco; ◦ O carregamento externo vertical no arco é passado integralmente para a viga auxiliar; ◦ As reações nos apoios do arco serão decompostas em duas componentes uma na direção vertical e outra na direção da corda AB; ◦ As reações verticais na viga auxiliar são iguais as do arco mas representadas com uma letra minúscula. Reações de apoio na viga auxiliar: ;0 ;0 ;00 ba ab ax RM RM HF Reações no arco triarticulado: ;'0 ;0 ;0 HHHF RRM RRM BAAB bBA aAB Momento fletor na rótula G: )( cos ' cos )( cos )( ' 0cos')(0 1 11 1 11 1 11 auxiliarviganagemfletorMomentoM f M H f xlPlR f xlPlR H fHxlPlRM g g l i iia l i iiA l i iiA G f Escolhendo uma seção genérica S definida pela abscissa horizontal x, medida do apoio da esquerda e por uma ordenada vertical y medida da linha de fechamento AB, temos os esforços: )cos('sen)( )(sen'cos)( cos')( 1 1 1 HPRN HPRV yHxxPxRM i i iAS i i iAS i i iiAS Considerando os esforços numa seção s na viga auxiliar temos: i i ias i i iias PRV xxPxRM 1 1 )( )( Os esforços no arco podem ser reescritos como: cos ' )cos('sen )(sen'cos cos' f M H HVN HVV yHMM g sS sS sS Considere o seguinte problema: ◦ “Determinar qual a forma de um arco triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as suas seções tenham momento fletor nulo, sendo dados l1, l2, f e .” cos' 0cos' H M y yHMM s sS Qual seria então o valor do esforço cortante para esse arco de momento fletor nulo? ◦ Derivando a expressão anterior teríamos: cos' cos' * H V tgtg yYy H V dx dy s s ◦ Substituindo Vs na expressão para o cortante do arco (VS) teríamos:◦ Portanto o cortante também é nulo. 0 0)('coscos' S S V senHtgtgHV Qual seria então o valor do esforço normal para esse arco de momento fletor nulo? ◦ Como o cortante é nulo, a resultante de todas as forças de um dos lados da seção é igual a composição vetorial da soma das projeções verticais e da soma das projeções horizontais de todas as forças atuantes de um dos lados da seção, ou seja: 22 cos'sen' HHVN sS Graficamente teríamos: 22 cos'sen' HHVN sS Portanto quando um arco triarticulado, para um dado carregamento, está submetido apenas a esforços normais, dizemos que sua forma é a da linha de pressões desse carregamento, definida por : cos ' ; cos' sen' ; cos' f M H H HV tg H M y g s s Para o quadro triarticulado que deve trabalhar seguindo a linha de pressões para o carregamento indicado e de sorte que o esforço normal máximo seja 200kN (compressão), calcular o falor de f.
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