Circuitos Elétricos I - Poli - Lista 4 - AmpOp, Geradores Vinculados e Análise Nodal

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PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Lista 4: Amplificadores Operacionais, Geradores Vinculados e Análise Nodal 
 
Amplificadores Operacionais e Geradores Vinculados 
 
1 – O circuito da Figura 1 é excitado por se (t) 2H(t), (V, s) . O amp-op do circuito é 
ideal (ganho infinito μ  ) e está alimentado com 10V e +10V. A Figura 2 
mostra a resposta 0e (t) obtida nesse circuito. Assumindo R = 100Ω e C = 100µF, 
determine o valor de 1t . 
 
OBS.: Quando 0e (t) atinge as tensões de alimentação (+10V ou -10V) ele satura, 
ou seja, 0e (t) fica igual a +10V ou –10 V. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
es 
R 
-10V 
+10V 
C 
e0 
-10 
0 
t1 
t(s) 
e0(t) (V) 
2 
 
2 – O circuito da Figura 3 contém um amplificador operacional de ganho infinito, que é 
excitado pelo sinal de tensão  e 1v (t) t H(t) H(t t ) , (V, s)   , sendo que a 
tensão da saída parte de sv (0) 0 . Determine a expressão da tensão de saída sv (t) . 
 
 Figura 3 
 
 
3 – Qual é a relação 0 ie e no circuito da Figura 4 assumindo amp-op ideal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 
 
4 – Considere que não ocorre saturação do circuito da Figura 5 com o amp-op ideal. 
Sabendo que v(0) 5V  e que a chave fecha em t 0 , qual o valor de 0v em 
t 9ms ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ve(t) 
R 
C 
vs(t) 
Figura 5 
R3 
e0 
ei 
R1 
R2 
0,1µF 
10V 
100kΩ 
v(t) 
v0 
t=0 
3 
 
5 – Considere o circuito com amp-op ideal da Figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
a) Determine o valor de 0v em função de av e bv 
b) Determine os valores de bv para os quais o amp-op não satura sabendo que 
av 0,10V . 
 
6 – Para o circuito da Figura 7, calcule os valores de 1v e 2v , e a potência que cada um 
dos elementos recebe. Verifique que a soma destas potências é nula. 
 
 
 
 Figura 7 
 
 
 
 
 
7 – Para o circuito da Figura 8, pede-se: 
 
a) Determine s ev v em função de α, R1, R2, R3 e R4. 
b) Supondo R1 = R2 = R3 = R4, qual é o valor de α tal que s ev v 10 ? 
 
 
 
 
 Figura 8 
 
 
 
 
i3 3ix i1 5ix 
v2 v1 
ix i2 
10Ω 3Ω eg1=12V eg2=12V 
4v1 
αix 
ix 
R4 R3 
R1 
i4 i3 
R2 ve vs 
ib 
ia 
ic 
+15V 
 –10V v0 
vb 
Ra=5kΩ 
 va 
Rb=25kΩ 
Rc=250kΩ 
4 
 
Análise Nodal 
 
1 – Utilizando análise nodal, obtenha a potência fornecida pela fonte de 10 A, no 
circuito da Figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9 Figura 10 
 
 
2 – Utilizando análise nodal, calcule v0 no circuito da Figura 10. 
 
3 – Utilizando análise nodal, calcule a potência fornecida pelo gerador independente da 
Figura 11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Dado o circuito ponte da Figura 12: 
 
a) Determine suas equações de análise nodal; 
b) Calcule id , com precisão melhor que 1 % . 
 
5 – A equação matricial de análise nodal do circuito da Figura 13 é: 
 
 
10 5 3 5
17 5 2
5 2 8
6
0
0
,  

 
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP

L
N
MMM
O
Q
PPP
e
e
e
1
2
3
 
 
ix 
30 
20 10 
40 20 ix 10V v0 
1S 
2S 3S 
4S 
2S 10A 
20A 
3ig 20 
10 
60 25V ig 
Figura 11 
e3 
id 
2,00k 0,02k 1,00k 
1,10k 1,00k 1,99k 6V 
e2 e1 
Figura 12 
5 
 
Determine: 
 
a) a tensão E do gerador independente e as condutâncias G1 e G2 ; 
b) o ganho de corrente . 
c) Mostre que a relação entre e1 e  é do tipo 
 e kk k1
1
2 3
  
onde k1 , k2 e k3 são constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 13 
 
6 – Desenhe circuitos que admitam as seguintes equações de análise nodal: 
 
a) e RR e2
2
1
s  ; b) 4 3 14 3 0


L
NM
O
QP
L
NM
O
QP 
L
NM
O
QP
e
e
i1
2
s1 ; 
 
c) 1
2
3
3 2 0 e 3 sen t 2
2 4 1 e 5
0 1 4 e 3 sen t
                        
 
 
 
Exercícios com o Simulador Numérico 
 
1. Considere o Exercício 5 b) da Seção Amplificadores Operacionais e Geradores 
Vinculados. 
 
 Instruções (para o Multisim 14.0): 
 Para conferir sua resposta, desenhe o seguinte circuito no schematic do Multisim 
14.0: 
G1 
2S 3S 2 
G2 j2 2S E 
e1 e2 
j2 
e3 
6 
 
 Figura 14: Montagem do circuito elétrico. 
 
(a) Os componentes podem ser selecionados em Place → Component. Para 
rodar o componente, digite CTRL+R. 
 os resistores podem ser encontrados no Group: Basic, Family: 
RESISTOR. 
 a fonte de tensão DC pode ser encontrada no Group: Sources, 
Family: POWER_SOURCES, Component: DC_POWER. 
 o amp-op pode ser encontrado no Group: Analog, Family: 
ANALOG_VIRTUAL, Component: OPAMP_5T_VIRTUAL. Não 
altere suas configurações padrão. Para refletir o componente em 
relação à horizontal, digite ALT+X. 
(b) Para adicionar os conectores on-page responsáveis por ligar o circuito de 
alimentação (à esquerda na Figura 14) ao circuito do amp-op (à direita), 
digite CTRL+ALT+O. Para que a conexão seja válida, ambos os conectores 
devem ter mesmo nome (no caso da Figura 14, +V e –V respectivamente). 
Atenção: como o amp-op foi refletido em relação à horizontal, a tensão +15 
V deverá ir embaixo, e a tensão –10 V, em cima. 
(c) Para verificar a resposta do exercício, faça uma varredura DC, que calcula o 
comportamento de um circuito sob a atuação de diversas tensões em um 
dado intervalo. Configure a simulação em Simulate → Analyses and 
simulation. Em Active Analysis, selecione DC Sweep. 
 Na aba Analysis parameters, selecione em Source: a fonte V2. 
Configure a varredura para iniciar em –4 V e terminar em +2 V. 
Escolha um incremento de, por exemplo, 0.01 V. 
 Na aba Output, adicione como variável V(4), que corresponde à 
tensão na conexão 4 da Figura 14, à saída do amp-op. Prossiga 
clicando em ►Run. 
7 
 
(d) A janela do Grapher View deverá mostrar os valores calculados de V(4) em 
função da tensão DC no gerador V2, de -4 V a +2 V. Identifique as regiões 
lineares e de saturação dessa curva característica. 
 
2. Considere o Exercício 4 b) da Seção Análise Nodal. 
 
 Instruções (para o Multisim 14.0): 
 Para conferir sua resposta, desenhe o seguinte circuito no schematic do Multisim 
14.0: 
 Figura 15: Montagem do circuito elétrico. 
 
(a) Os componentes podem ser selecionados em Place → Component. Para 
rodar o componente, digite CTRL+R. 
 os resistores podem ser encontrados no Group: Basic, Family: 
RESISTOR. 
 a fonte de tensão DC pode ser encontrada no Group: Sources, 
Family: POWER_SOURCES, Component: DC_POWER. 
(b) A simulação deve ser uma análise de ponto de operação DC, que calcula o 
comportamento de um circuito sob a atuação de tensões ou correntes 
contínuas. Configure a simulação em Simulate → Analyses and simulation. 
Em Active Analysis, selecione DC Operating Point. 
 Na aba Output, adicione como variável I(R6), que corresponde à 
corrente no resistor R6 da Figura 15. Prossiga clicando em ►Run. 
(c) A janela do Grapher View deverá mostrar o valor calculado de I(R6). Rode 
novamente a simulação, mudando o valor de R3 na Figura 15 para 2 kΩ. O 
que acontece? Pesquise sobre Pontes de Wheatstone para responder. 
1 
 
PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Solução da Lista 4: Amplificadores Operacionais, Geradores Vinculados e Análise 
NodalAmplificadores Operacionais e Geradores Vinculados 
 
1 – 
e
RC
e d H ds
tt
0
00
1
100 2

  zz    b g b g
 
 
Note que o gráfico mostra que o capacitor está inicialmente descarregado 
 
1 110 100 2 50t t ms     
 
2 – A corrente que atravessa o capacitor é 
i t
v t
R
eb g b g
 
 
Como a corrente e a tensão estão na convenção do gerador 
 
v t
C
i d v 0s
t
sb g b g b g  z1 0  
 
 
v t
RC
v ds e
tb g b g  z1 0  
 
 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
De 0 a t1 
 
t 2
t
2
s 0
0
1 1 t
v (t) τ dτ τ
RC 2RC 2RC
     
 
 
Para t > t1 
2
1
s
t
v (t)
2RC
 
 
 
Portanto, 
 
22
1
s 1 1
tt
v (t) H(t) H(t t ) H(t t )
2RC 2RC
     
 
0 
 
0 t t1 
t1 
ve(t) 
 
2 
 
3 – Como o amp-op é ideal, o terminal negativo corresponde a um terra virtual e a 
corrente que passa por R1 e R2 vale 
 
 
Dessa relação obtém-se 
 
 
4 – Com a chave fechada a corrente que carrega o capacitor é 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
5 – a) Como o amp-op é ideal, o valor da tensão no ponto C pode ser dado por: 
vC = v- = v+ = 0 
 
 
Logo, e 
 
 
 
Daí, temos: 
 (na região linear) 
 
Para va=0,10V : 
 
 
Assim, implica em . 
 
6 – 
2
a
 Lei de Kirchhoff: 
 
 
Lei de Ohm: 
 
 
 
 
Potências: 
-resistores: 10Ω: 
 3Ω: 
 
3 
 
-geradores independentes: 
eg1: 
 
eg1: 
eg2: 
 
-geradores vinculados: 
 
 
 
 
Total: 
 
7 – 
a) Temos que: 1 
Mas 2 (1
a
 L.K.) 
Como = 3 
Sendo 4 
 
Substituindo 2 , 3 e 4 em 1 : 
 
 
 
b) 
 
 
 
Análise Nodal 
 
1 – Por análise nodal: 
 
3 2 1
2 9 3
1 3 6
10
0
20
 
 
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP

L
N
MMM
O
Q
PPP
e
e
e
1
2
3
 
 Resolvendo o sistema: e1 = 8,33 V 
 Potência fornecida = 10e1 = 83,3 W. 
 
 
2 – 
 
 e1 = 10 V 
 e3 = - 20 ix 
 
 
 
e1 e3 
e2 
1 3 
2 
ix 
4 
 
1ª LK Nó 1  0,133e1 - 0,1e2 - 0,033e3 - ix = 0 
1ª LK Nó 2  - 0,1e1 + 0,175e2 - 0,05e3 = 0 
 
Substituindo-se as relações acima ( e1 e e3 ) nas equações da 1
a
 L. K., obtêm-se 
2 equações com 2 incógnitas: e2 e ix , com solução: e2 = 24 V = v0 
 ix = - 3,2 A 
 
 
3 – 
 e3 = 25 V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 60 1 10 0
0 1 20
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP 


L
NM
O
QP
e
e
(1 10).25 3i
(1 20).25 3i
1
2
g
g
 
 
Mas ig = e1/60 ( 1
a
 L. K. - nó 0 ) 
O sistema fica: 
 4 60 1 10 0
3 60 1 20
2 5
1 25


L
NM
O
QP
L
NM
O
QP 
L
NM
O
QP
e
e
1
2
,
,
 
 
Resolvendo: e 15 V
e 40 V
1
2


RST
 
 
Potência fornecida pelo gerador de 25 V: 
 
P 25.i
25.e
60
6,25 Wg
1  
 
 
4 – a) A equação matricial de análise nodal do circuito é 
1 9116 0 9091 0 5
0 9091 2 9091 1
0 5 1 515
0
0
300
, , ,
, ,
, ,
 
 
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP

L
N
MMM
O
Q
PPP
e
e
e
1
2
3
 
 
b) Para obter a precisão desejada, é preciso resolver com pelo menos 6 casas 
decimais: 
 
 
e
e
e
1
2
3
L
N
MMM
O
Q
PPP

L
N
MMM
O
Q
PPP
2 951066
2 954203
5 911257
,
,
,
  id = 2 951066 2 954203
11
, ,
,

 = - 0,002852 mA 
 
3ig 
ig 
0 
2 
3 1 
5 
 
5 – a) Por comparação: G1 = 5 S ; G1 + G2 + 2 = 8  G2 = 6 - G1 = 1 S 
 0,5E = 6  E = 12 V 
 
b) Equações nodais em função de  : 
 
 
10 5 3 5
3 5 2
5 2 8
6
2
0
1
,
.
 
 
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
e
e
e
e
1
2
3
  Gn = 
10 5 3 5
3 2 5 2
5 2 8
,  
  
 
L
N
MMM
O
Q
PPP

  
 
  -  + 2 = 17   = 10 
 
c) 
e
e
e
G
1
2
3
n
1
L
N
MMM
O
Q
PPP

L
N
MMM
O
Q
PPP


 
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP

6
0
0
1
68 121
36 34 31
34 16 59 16 10
31 4 36 87 12
6
0
0
   
.
 
 
 e1 = 
216
68 121 
 
 
6 – a) e2 = i R2 
 i = es / R1 
 e2 =  
R
R
2
1
es 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es 
e2 i 
R1 i R2 
3sent 
e1 e2 e3 
2S 1S 
3S 5A 1S 1S 2A 
1 e2 
is 3v 3 0,5 
e1 
v