Semana 3 Os Elementos de Euclides

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
[Os Elementos] constitui o desenvolvimento lógico mais rigorosamente tratado da matemática elementar 
que já fora erigido, e dois mil anos deveriam passar-se antes que surgisse uma apresentação mais 
cuidadosa. Durante esse intervalo, a maior parte dos matemáticos considerou a exposição de Euclides 
como logicamente satisfatória e pedagogicamente aceitável (Boyer, 1974).
INTRODUÇÃO
A obra de Euclides, escrita cerca de 300 a.C., é composta de 13 livros (ou capítulos) que reúne 
conhecimentos de geometria, álgebra e aritmética. Trata-se de uma obra que foi amplamente divulgada, 
sendo o livro mais editado após a Bíblia.
Esta obra reúne o conhecimento matemático de seu tempo. Embora algumas demonstrações sejam de 
autoria de Euclides, sua maior contribuição está na apresentação axiomática desse conhecimento. Os 
Elementos, de Euclides, considera a distinção aristotélica entre postulado e axioma, atualmente não 
mais empregada, em que o primeiro refere-se a proposições especificamente geométricas, e o último, às 
noções gerais, que são comuns às demais ciências (PUC-SP, 2017).
Para os gregos, um discurso lógico consistia em uma sequência de afirmações constituídas por 
raciocínio dedutivo a partir de um conjunto aceito de afirmações iniciais, que deveriam ser explicitadas.
Nesta obra, a maioria das proposições estão voltadas para a construção geométrica a partir da utilização 
de régua não graduada e de compasso. Lembra-se dos instrumentos de Euclides tratados no final da 
aula anterior?
Um texto difícil
Apesar de a coleção de 13 livros que constituem a obra Os Elementos ser considerada hoje um texto 
elementar sobre geometria, não foi sempre assim. Conta-se que o rei Ptolomeu pediu um caminho na 
Geometria que fosse mais curto do que Os Elementos. Euclides respondeu que "não há estrada real 
para a geometria”. Mais recentemente, Sir Thomas Little Heath escreveu na introdução da edição de 
1932 da editora Everyman's Library.
"A simples verdade é a de que ele não foi escrito para meninos e meninas em idade escolar, mas para 
homens crescidos que teriam o conhecimento e a capacidade de julgamento necessários para apreciar 
Os Elementos de Euclides. Eudoxo e os 
incomensuráveis. Apolônio e as seções 
cônicas. Geometria analítica. Geometrias não 
euclidianas
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TEXTO-BASE
Os Elementos de Euclides
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os assuntos altamente controvertidos que devem ser abordados em qualquer tentativa de se estabelecer 
os pontos essenciais da geometria euclidiana como um sistema lógico…".
A primeira passagem difícil do Livro I é chamada de pons asinorum, que em latim significa "ponte de 
burros" (tradicionalmente, é difícil
A geometria elementar apresentada em livros didáticos dos atuais Ensinos Fundamental e Médio está 
presente nessa obra composta por 465 proposições (sendo 93 problemas e 372 teoremas) deduzidas a 
partir de 5 axiomas, 5 postulados e 138 termos definidos (PUC-SP, 2017).
O livro I, destinado à apresentação da geometria plana, contém 48 proposições, deduzidas a partir de 5 
axiomas, 5 postulados e 23 termos definidos.
Figura 1: Página de rosto de Os Elementos, de Euclides, traduzida para o inglês. Fonte: EVES, 2011, p.172.
Essa obra, como a conhecemos, é resultado de muitas alterações ao longo dos séculos, devido às 
transcrições manuais, traduções e algumas introduções propositais, como a de Theon de Alexandria 
que, não contente com a versão veiculada por quase 700 anos, inseriu passos às demonstrações em 
uma linguagem mais clara, acrescentando demonstrações alternativas e inserindo teoremas secundários 
novos (PUC -SP, 2017).
Mesmo que Os Elementos seja um marco na história da matemática, considerando a época em que foi 
escrito, muitos de seus conceitos, embora intuitivos, não foram adequadamente esclarecidos. 
Exemplificando essa colocação, é possível apontar as noções de que conceitos como: 
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Figura 2: Na figura acima, é possível ver a demonstração da Proposição I 5 de Euclides (EVES, 2011, p.174)
não foram definidos. Trata-se de uma obra que dá grande importância aos desenhos que, por serem 
esclarecedores, faziam parte das demonstrações. Contudo, as condições de existência de alguns 
elementos não são garantidas.
Por mais de 2000 anos Os Elementos foram aceitos como verdades evidentes. Todavia, o Postulado V, 
por não ser tão evidente, mesmo na Antiguidade, despertou o interesse de matemáticos que julgavam 
que o mesmo poderia ser demonstrado a partir dos demais teoremas.
Euclides
Temos poucas informações sobre a vida e a personalidade de Euclides, desconhecendo inclusive a data 
de seu nascimento.
É provável que sua formação matemática se deu na escola platônica de Atenas.
Euclides foi professor do Museu em Alexandria e escreveu cerca de 1 dúzia de tratados, cobrindo 
tópicos desde ótica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções cônicas.
Todavia, mais da metade da sua obra se perdeu.
estar entre,a.
da mesma parte,b.
maior quec.
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Dentre aquelas que sobreviveram, temos: Os Elementos, Os Dados, Divisão de Figuras, Os Fenômenos
e Óptica.
OS ELEMENTOS
Os Elementos apresentava os seguintes conteúdos, resumidos no Quadro 1.
Livro I
Inicia-se com definições, axiomas e postulados e apresenta 48 
proposições que estão assim distribuídas:
Muitos historiadores creditam a maioria do material deste livro aos 
antigos pitagóricos.
Livro II
Apresenta 14 proposições que lidam com transformações de áreas e com a 
álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui os equivalentes 
geométricos de muitas identidades algébricas.
Livro III
Consiste em 39 proposições contendo teoremas familiares sobre círculos, 
cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos.
Livro IV
Apresenta 16 proposições que discutem a construção, com régua e 
compasso, de polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 15, bem como inscrição 
desses polígonos num círculo dado.
Livro V
Expõe a teoria das proporções de Eudoxo. Foi por meio desta teoria, 
aplicável tanto a grandezas comensuráveis como a grandezas 
incomensuráveis, que se resolveu o problema dos números irracionais 
descobertos pelos pitagóricos.
Livro VI
Aplica a teoria eudoxiana das proporções à geometria plana. Apresenta os 
teoremas fundamentais da semelhança de triângulos; construções de 
terceiras, quartas e médias proporcionais; a resolução geométrica de 
equações quadráticas; a demonstração de que a bissetriz de um ângulo de 
um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros 
dois lados; uma generalização do teorema de Pitágoras (em vez de 
quadrados, traçam-se sobre os lados de um triângulo retângulo três figuras 
semelhantes descritas de maneira análoga).
Livro VII
Inicia-se com o processo hoje conhecido como algoritmo euclidiano para 
achar o máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, e o usa 
para verificar se dois inteiros são primos entre si. Mostra também uma 
exposição da teoria das proporções numérica ou pitagórica.
Livro VIII
Ocupa-se das proporções contínuas e progressões geométricas 
relacionadas.
as primeiras 26 tratam de propriedades do triângulo e incluem 
os 3 teoremas de congruência;
a.
as proposições de 27 a 32 estabelecem a teoria das paralelas 
e provam que a soma dos ângulos de um triânguloé igual a 
dois ângulos retos;
b.
as proposições de 33 a 46 lidam com paralelogramos, 
triângulos e quadrados, com atenção especial a relações 
entre áreas;
c.
a proposição 47 é o Teorema de Pitágoras, com a 
demonstração atribuída ao próprio Euclides e
d.
a proposição 48 é o recíproco do Teorema de Pitágoras.e.
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Livro IX
Contém teoremas significativos: teorema fundamental da aritmética 
(todo número inteiro maior que 1 pode se expressar como produtos 
de primos); fórmula da soma dos primeiros n termos de uma 
progressão geométrica; fórmula para números perfeitos.
Livro X
Prioriza os números irracionais, mostrando comprimentos de segmentos de 
reta incomensuráveis com um segmento de reta dado.
Livros, XI, XII, XIII
Tratam de geometria sólida:
Livro XI: mostra as definições, os teoremas sobre retas e planos no 
espaço e os teoremas sobre paralelepípedos.
Livro XII: Apresenta o método de exaustão, desempenhando um 
papel importante na abordagem de volumes.
Livro XIII: Desenvolve construções, visando a inscrição dos cinco poliedros 
regulares numa esfera.
Quadro 1: Conteúdo dos livros de Os Elementos, de Euclides. Fonte: Imática, 2017; BOYER, 1974.
REFERÊNCIAS
BOYER, C.B. História da Matemática. Trad. GOMIDE, E.F. São Paulo: Ed. Edgard Blücher, 1974.
IMÁTICA. Euclides e os “Elementos”. 2017. Disponível em: < 
http://www.matematica.br/historia/euclides.html (http://www.matematica.br/historia/euclides.html) >
PUC-SP. Elementos de Euclides. Pensamento matemático. 2017. Disponível em: < 
http://www.pucsp.br/pensamentomatematico/GH/H_2.htm
(http://www.pucsp.br/pensamentomatematico/GH/H_2.htm) >.
WIKIPEDIA. Os Elementos. 2017. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
(https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos) >.
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