Circuitos Elétricos II - Poli - Lista 5 - potência e energia em RPS

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PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Lista 5: Potência e energia em Regime Permanente Senoidal 
 
1 – No circuito da Figura 1, as 3 cargas são alimentadas por uma linha monofásica, que 
pode ser representada pela impedância 0,05 + j0,5 . A carga 1 absorve uma 
potência média de 8 kW, com fator de potência atrasado igual a 0,8; a carga 2 
absorve 20 kVA, com fator de potência adiantado de 0,6 ; e a carga 3 é uma 
impedância Z = 2,5 + j5,0 . 
 
Determine: 
 
a) a expressão de vs(t) em regime permanente senoidal, sabendo-se que a 
frequência do gerador é 60 Hz, 
b) as potências reais absorvidas pelas cargas e dissipada na linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Dois alternadores monofásicos, trabalhando em paralelo, alimentam uma carga 
resistiva de 3000 kW e um conjunto de motores que absorve 5000 kW, a fator de 
potência 0,71 (atrasado). Um dos alternadores está fornecendo 5000 kW, a fator 
de potência 0,8 (atrasado). Quanto fornece o outro alternador? Qual o seu fator de 
potência? 
 
3 – Dois bipolos ligados em série recebem, respectivamente, as potências aparentes 
complexas 
 
Pa1 = 100 + j200 ( VA ) 
Pa2 = 200 - j100 ( VA ) 
 
quando a associação é alimentada por uma tensão senoidal de 200 volts eficazes. 
 
Calcule: 
 
a) a impedância complexa da associação, 
b) as impedâncias complexas dos dois bipolos. 
 
4 – A impedância de carga ZL no circuito da Figura 2 é ajustada até ser obtida máxima 
potência em ZL. Pede-se: 
 
a) Qual o valor de ZL nestas condições? 
b) Qual a máxima potência ativa transferida à carga ZL. 
j0,50  
250 0 
0,05  
1 3 2 vs 
Vef 
Figura 1 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – No sistema monofásico a 3 fios indicado na Figura 3, pede-se: 
 
a) Quais as potências ativa e reativa fornecidas à instalação? 
b) Determine as correntes 
Ia
, 
Ib
 e 
In
. 
c) Desenhe um diagrama fasorial com as grandezas de linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga A: lâmpadas incandescentes, consumido 5 kW 
Carga B: lâmpadas fluorescentes, consumindo 5 kW, a cos = 0,6 (atrasado) 
Carga C: Z = 4 + j6  
 
 
 
6 – Uma subestação alimenta as seguintes cargas ( monofásicas ): 
 
i) 250 kW a fator de potência unitário. 
ii) 1500 kW a fator de potência 0,9 atrasado. 
iii) 1000 kW a fator de potência 0,8 atrasado. 
iv) 700 kW a fator de potência 0,9 adiantado. 
 
Pede-se: 
 
a) Qual o fator de potência visto pela subestação? 
b) Se todas essas cargas forem alimentadas por uma mesma linha, calcule a 
potência que a linha poderia transportar, com fator de potência unitário e com o 
mesmo aquecimento. 
 
 
 
Figura 2 
Vef 
j10  25  
100 0 
I1
 
ZL j3  
 A 
110 0 
Vef 
 
110 0 
Vef 
 B 
Ia
 
In
 
Ib
 Figura 3 
 C 
3 
 
7 – Determine as potências ativa e reativa fornecidas pelos geradores ao circuito da 
Figura 4. Verifique a conservação das potências ativas e reativas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – a) Sabendo que uma carga monofásica, alimentada pela tensão fasorial V , recebe 
uma potência aparente complexa Pap, demonstre que o fasor da corrente na carga 
é dado por 
 
  I P V jQ V* * 
 
 
Para os itens seguintes, considere o circuito da Figura 5, em que 
E1 127
 0o e 
E2
 = 127 120o volts eficazes, as cargas indutivas 1 e 1’ consomem, cada 
uma, 25 kVA e 12 kW, ao passo que a carga 2 consome 50 kVA, com uma 
potência reativa igual a -12 kVAr. 
 
b) Determine o fasor 
Ia
. 
c) Sabe-se que o gerador 
E1
 fornece 36,76 kVA, com fator de potência 
0,7040 (capacitivo). Qual a potência aparente complexa fornecida pelo gerador 
E2
 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício com o Simulador Numérico 
 
Considere o Exercício 7 e suponha  = 1 rad/s. Confira sua resposta fazendo uma 
análise AC do circuito da Figura 4 em uma única frequência. Calcule as potências ativa 
e reativa recebidas ou fornecidas por cada bipolo. Verifique se as potências ativa e 
reativa são conservadas no circuito simulado. Atenção: o Multisim calcula a potência 
para fontes independentes usando a convenção do receptor. 
 
100 0o Vef 
10  
j5  100 90o Vef 
10  
~ ~ 
Figura 4 
Figura 5 
I'1
 
I2
 
Ib
 
Ia
 
E1
 
E2
 
I1
 
1 
1’ 
2 
~ 
~ 
1 
 
PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Solução da Lista 5: Potência e energia em Regime Permanente Senoidal 
 
1 – Cargas P( kW ) Q( kVAr )  Pap  ( kVA ) cos  
 
 C1 8 6 10 0,8 atr. 
 C2 12 -16 20 0,6 ad. 
 C3 5 10 11,18 0,45 atr. 
 
 25 0 
 
 Carga 1: P =  Pap  cos   Pap  = 10 kVA 
 Q =  Pap  sen  Q = 6 kVAr ( > 0 ind.) 
 
 Carga 2: P =  Pap  cos = 12 kW 
 Q =  Pap  sen = -16 kVAr 
 
 Carga 3: Y = 
1
Z
1
2,5 j5


 = 0,08 - j0,16 
 
 Pap = G V 2 - j B V 2 = 5 + j10 
 
 Pap total = ( 25 + j0 ) kVA 
 
 Pap  = V  IL   IL  = 25000/250 = 100 Aef 
 
 Como Qt = 0  
IL
 = 100 0 
 
 
Vp
 = 100( 0,05 + j0,5 ) = 5 + j50 
 
 
Vs
 = 
Vp
 + 250 0 = 255 + j50 = 259,86 11,09 
 
 vs(t) = 367,49 cos( 377t + 11,09 ) (V,s) 
 
 Potência real nas cargas: P1 = 8 kW 
 P2 = 12 kW 
 P3 = 5 kW 
 
 Potência real na linha: 0,05 . IL 2 = 0,5 kW 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
2 – 
 
 
 
 Carga 1: P1 = 3000 kW 
 cos = 1 
 Q1 = 0 
 
 
 Carga 2: P2 = 5000 kW 
 cos = 0,71 (atr.) 
 Q2 = 
P2
cos
 sen = 4959,2 kVAr 
 
 Gerador G1  PG1 = 5000 kW 
 cos = 0,8 (atr.)(convenção de gerador) 
 QG1 = 
G1P sen
0,8

 = 3750 kVAr 
 
 Teorema da conservação das potências: 
 
 P1 + P2 = PG1 + PG2  PG2 = 3000 kW 
 Q1 + Q2 = QG1 + QG2  QG2 = 1209,2 kVAr 
 
 conv. conv. 
 receptor gerador 
 
 tg 2 = 
1209 2
3000
,

Q
P
G2
G2
 = 0,40 
 
 cos2 = 0,93 (atr.)  conv. gerador ! 
 
3 – a) Pap total = 300 + j100 = Pap1 + Pap2 
 
 
   
2 2
ap totalP 300 100 
 = 316,23 = V  I   I  = 1,58 Aef 
 
 Ptotal = R( ) I 2  R( ) = 300/(1,58)2 = 120  
 Qtotal = X( ) I 2  X( ) = 100/(1,58)2 = 40   Z = 120 + j40  
 
b) P1 = R1 I 2  R1 = 40  P2 = R2 I 2  R2 = 80  
 Q1 = X1 I 2  X1 = 80  Q2 = X2 I 2  X2 = - 40  
 Z1 = 40 + j80  Z2 = 80 – j 40  
 
 
G1 1 2 
G2 
~ 
~ 
3 
 
 
 
4 – Gerador de Thévenin equivalente: 
 
 Tensão em aberto: Divisor de tensão : 
 
 
E
100 0 . j3
25 j10 j3
300 90
28,18 27,5
0
o o
o

 

 
 
 
E 10,65 62,50
o
 
 
 Impedância : 
Z 25 j10 / / j3
25 j10 j3
25 j13
0   


b g b g
 
 
Z 2,87 84,3 0,28 j2,850   
  
 
 Condição de máxima transferência de potência ativa à carga ZL : 
 
a) ZL = 
Z0
*
 = 0,28 – j 2,85  
b) Pmáx = E
4 R
0
2

10 65
4 0 28
2
,
,
b g
.
 = 101,3 W 
 
5 – a) P ( kW ) Q( kVAr ) cos Pap /( kVA ) 
 
 A 5 0 1 5 
 B 5 6,67 0,6 atr. 8,33 
 C 3,72 5,58 0,55 atr. 6,71 
 
 13,72 12,25 
 
 Carga C: Y = 
1
4 j6
 = 0,0769 – j0,1154 S 
 
 Pap = 0,0769 V 2 + 0,1154 V 2 = 3,72 + j5,58 kVA 
 Pap total = 13,72 + j12,25 kVA 
 Ptotal = 13,72 kW Qtotal = 12,25 kVAr 
 
b) 
IA 
5000
110
 0 = 45,45 0 Aef 
 
 
IB 
8333
110
 -53,13 = 75,75 -53,13 Aef 
 
 
I
j6
C 

220 0
4
 = 30,51 -56,31 Aef 
 
  I I Ia A C 
 = 67,34 -22,15 Aef 
E0
 
Z0 
ZL 
4 
 
 
 
  I - I Ib B C d i
 = 106,23 125,96 Aef 
 
 
  I I In A B 
 = 60,6 90 Aef 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
6 – 
 Cargas P (kW) Q (kVAr) cos  Pap (kVA) 
 i 250 0 1 250 
 ii 1500 726,48 0,9 at. 1666,67 
 iii 1000 750 0,8 at. 1250 
 iv 700 -339,02 0,9 ad. 777,78 
 
  P = 3450 kW  Q = 1137,45 kVAr 
 
 a) Pap t = 3450 + j 1137,45 kVA 
 
 
cos
,
, t P
P
t
ap t
  
3450
3632 67
0 95
 atrasado 
 
 b) linha I 
 Mesmo aquecimento mesma  I  
 Vc carga Pt = Vc I cos t = 3450 kW 
 Para cost’ = 1, mantendo fixos Vc e I 
 
P V It c
'
,
,  
3450
0 95
3632 67
 kW 
 
7 – Por análise de malhas: 
 
 
 
 
 
 
 2ª LK : 
 
10 5 100 901 1 2
  I j I I o  d i
 
j5 100 0o 
R1 
I2
 
100 90o L1 
10 10 
R2 
I1
 
 I1  I2
 
 V , V1 2
 
In
 
Ib
 
V3
 
Ia
 
5 
 
 
j I I I o5 10 100 01 2 2
    d i
 que fornece o sistema : 
 
10 5 5
5 10 5
100 90
100
1
2
 
 
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP
j j
j j
I
I


 
 
 Resolvendo : 
 
 
I1
 = 5 90o Aef 
I2
 = 11,18 -206,56o Aef 
 Pap g1 = 100 90o . 
*I1
 = 500 + j 0 VA fornecida 
 Pap g2 = 100 0o . 
 *I2d i
 = 1000 + j 500 VA fornecida 
 PR1 = R1 . 
I1
2
 = 10 . 25 = 250 W 
 PR2 = R2 . 
I2
2
 = 10 . (11,18)2 = 1250 W 
 QL1 = 5 . 
 I I1 2
2
e j
 = 500 Var 
 
 Portanto: Pg1 + Pg2 = PR1 + PR2 = 1500 W 
 Qg1 + Qg2 = QL1 = 500 Var 
 
 
8 – 
 a) Sabe-se que: Pap = 
 . *V I
 = P + j Q 
 


*I
P jQ
V


 
 

  * * *I
P jQ
V
P
V
j
Q
V


 
 
 
 ( aplicando-se propriedades dos números complexos ) 
 
b) 
  I I Ia  1 2
 Carga 1: P = 12 kW 
 V E 1
 = 127 0o 
 
Q P Pap 
2 2
 = 21.931,71 Var 
 
 
 . . ,I
j
1
12 000
127
21931 71
127
 
 ( item a ) 
 
I1
 = 196,85 -61,31o Aef 
 
 Carga 2: Q = -12.000 kVAr P = 
P Qap
2 2
 = 48.538,64 W 
 
  V E E1 2 
 = 127 60o Vef 
 
 
 . , .I2 



48538 64
127 60
12 000
127 60 
j
 = 393,69 73,89o Aef 
 
 
  I I Ia 1 2 
 = 289,41 45,25o Aef 
I 
V 
6 
 
c) Pap g1 = 25,88 - j 26,10 kVA 
 Carga 1 P1 = 12 kW Q1 = 21,93 kVAr 
 Carga 1’ P1’ = 12 kW Q1’ = 21,93 kVAr 
 
 Carga 2 P2 = 48,54 kW Q2 = –12 kVAr 
 
 Pela conservação das potências: 
 Pg2 = P1 + P1’ + P2 – 25,88 =46,66 kW 
 Qg2 = Q1 + Q1’ + Q2 + 26,10 = 57,96 kVAr 
 
 Portanto: 
 
 Pap g2 = 46,66 + j 57,96 kVA fornecida.