Derivada parcial, gradiente e divergente

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Universidade Federal do Paraná – CEM 
Prof. Roberta Brondani Minussi 
 
MATERIAL SUPLEMENTAR 
Resumo – Derivadas parciais, gradiente e divergente 
 
Derivada parcial 
 
Dada uma função com n variáveis, tal que: 
 
1 2( , ,.., )nf x x x
, 
 
a derivada de f com relação à apenas uma das n variáveis é chamada de derivada parcial da f 
com relação àquela variável. Por exemplo, a derivada de f com relação à x2 é designada por 
2
f
x


. 
Operacionalmente, derivar f com relação a x2 significa fazer todas as outras variáveis 
constantes. Exemplo: 
 
2( , , )f x y t x t y 
 
 
Então, 
 
22 , 1, e .
f f f
xt x
x y t
  
  
  
 
 
Gradiente 
 
Dada uma função variável no espaço 
( , , )f x y z
 o operador gradiente (em coordenadas 
cartesianas) é dado por: 
 
ˆˆ ˆf f ff i j k
x y z
  
   
  
 . 
 
Se f define um campo escalar, o 
f
 tem natureza vetorial e, por sua vez, se f for a 
representação de um campo vetorial, 
f
 tem natureza tensorial. De forma simplificada, o 
operador gradiente aumenta em um a ordem da grandeza tensorial (um escalar pode ser 
considerado um tensor de ordem zero e um vetor é um tensor de ordem 1). 
Pode-se interpretar o gradiente de f como sendo a direção na qual a variação da função f 
é máxima. 
Para o exemplo anterior, 
2( , , )f x y t x t y 
, temos que: 
 
  ˆ ˆ2f xt i j  
. 
 
Divergente 
 
O operador divergente não opera sobre campos escalares, apenas campos vetoriais ou 
tensoriais. Dado um campo vetorial 
V u v w  
 o operador divergente (
V
) é definido 
como: 
 
u v w
V
x y z
  
   
  
. 
 
Operacionalmente, o divergente diminui em uma ordem de grandeza a variável (o 
divergente de um tensor de ordem 1 é igual a um vetor e o divergente de um vetor é um escalar. 
Pode-se interpretar o divergente de um campo vetorial como sendo uma medida de sua 
dispersão no espaço. Observe que tanto u, quanto v e w podem variar com o espaço e com o 
tempo mas o operador divergente soma as derivadas com relação às direções de cada uma das 
componentes. 
Exemplo: 
 
Se 
2 ˆˆ ˆtV xz i xy j xyztk  
, então: 
 
2tV z yx xyt   