EQUAÇÕES DO

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Notas de Aula da Disciplina Ca´lculo 3
Equac¸o˜es Diferenciais: Um Curso para Engenharias, F´ısica,
Matema´tica e Qu´ımica
Andre´ Luiz Galdino
Departamento de Matema´tica do Campus Catala˜o da
Universidade Federal de Goia´s
Janeiro de 2010
U´ltima Atualizac¸a˜o: 16 de setembro de 2011
Equac¸o˜es Diferenciais: Um Curso para Engenharias, F´ısica, Matema´tica e Qu´ımica
Andre´ Luiz Galdino
Homepage: www.catalao.ufg.br/mat/galdino/
E-mail: andregaldino@ibest.com.br
U´ltima Atualizac¸a˜o: 16 de setembro de 2011
Estas notas de aula foram escritas com o intu´ıto de apoiar a disciplina de Ca´lculo 3 oferecida pelo
Departamento de Matema´tica do Campus de Catala˜o da Universidade Federal de Goia´s. Em
outras palavras, estas notas de aula servem apenas para a orientac¸a˜o dos estudos, ou seja, servem
apenas como apoio dida´tico, na˜o devendo ser a u´nica fonte para os estudos. Este material na˜o
substitui a presenc¸a em sala de aula nem reproduz todo o conteu´do do curso. Vale ainda ressaltar,
que os conteu´dos apresentados neste texto encontram-se em qualquer livro de Introduc¸a˜o a`s
Equac¸o˜es Diferenciais. Ale´m disso, as obras de refereˆncia para o material aqui apresentado esta˜o
citadas no Plano de Curso da Disciplina Ca´lculo 3.
Este texto e´ atualizado frequentemente.
Suma´rio
1 Equac¸o˜es Diferenciais e sua Terminologia 1
1.1 Classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Classificac¸a˜o por tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Classificac¸a˜o por ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Classificac¸a˜o por linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exerc´ıcios diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria 5
2.1 Soluc¸a˜o e famı´lia de soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Tipos de soluc¸o˜es e soluc¸a˜o expl´ıcita e impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Curvas integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3 Problemas de valor contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Existeˆncia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 EDO’s lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2 EDO’s na˜o-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exerc´ıcios diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem 25
3.1 Soluc¸a˜o por Integrac¸a˜o Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Equac¸o˜es com Varia´veis Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem como modelos matema´ticos 34
3.4.1 Dinaˆmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.2 Decaimento radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.3 Lei de Newton do esfriamento/aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . 37
iv SUMA´RIO
3.4.4 Mistura de duas soluc¸o˜es salinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.5 Reac¸o˜es qu´ımicas: irrevers´ıveis mononucleares e bimolecular irrevers´ıvel 41
3.5 Exerc´ıcios diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Independeˆncia Linear entre Func¸o˜es 47
5 Equac¸o˜es Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 51
5.1 EDO’s Lineares de 2a Ordem Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 EDO’s Lineares de 2a Ordem Na˜o-Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 EDO’s de 2a Ordem Homogeˆneas de Coeficientes Constantes 55
6.1 Encontrando a Soluc¸a˜o Geral de ay′′ + by′ + cy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.1.1 Ra´ızes reais e distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.2 Ra´ızes reais e iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.3 Ra´ızes complexas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 PVI - Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7 Me´todo de Variac¸a˜o dos Paraˆmetros 65
8 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem 71
Cap´ıtulo 1
Equac¸o˜es Diferenciais e sua
Terminologia
De uma forma compacta, uma Equac¸a˜o Diferencial e´ uma equac¸a˜o que envolve derivadas (ou
diferenciais). Melhor dizendo
Definic¸a˜o 1.1: Chamamos por Equac¸a˜o Diferencial (ED) uma equac¸a˜o que conte´m derivadas
(ou diferenciais) de uma ou mais varia´veis dependentes em relac¸a˜o a uma ou mais varia´veis
independentes.
Exemplo 1.1: Daqui por diante, em todo o texto, as derivadas ordina´rias sera˜o escritas com
a notac¸a˜o de Leibniz dy/dx, d2y/dx2, · · · ou com a notac¸a˜o linha y′, y′′, · · · .
1.
dy
dx
+ 5y = ex.
Neste caso, x e´ a varia´vel independente e y e´ a varia´vel dependente uma vez que y e´
visto como uma func¸a˜o de x.
2.
d2x
dt2
+ 3
(
dx
dt
)2
+ 2x = 0.
Neste caso, t e´ a varia´vel independente e x e´ a varia´vel dependente uma vez que x e´
visto como uma func¸a˜o de t.
3. y′′′ + 2y′′ + y′ = cos(x).
Neste caso, x e´ a varia´vel independente e y e´ a varia´vel dependente uma vez que y e´
visto como uma func¸a˜o de x.
4.
d2u
dx2
+
d2v
dx2
= x2 + u+ v.
Neste caso, x e´ a varia´vel independente e u e v sa˜o as varia´veis dependentes uma vez
que u e v sa˜o vistos func¸o˜es de x.
5.
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0.
Neste caso, x e y sa˜o as varia´veis independentes e u e´ a varia´vel dependente uma vez
que u e´ visto como uma func¸a˜o de x e y.
2 Equac¸o˜es Diferenciais e sua Terminologia
1.1 Classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais
Para poder discuti-las melhor, classificamos as equac¸o˜es diferenciais por tipo, ordem e lineari-
dade, como vemos a seguir.
1.1.1 Classificac¸a˜o por tipo
Existem dois tipos de equac¸o˜es diferenciais.
1. Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria (EDO): Se a equac¸a˜o contiver somente derivadas
ordina´rias de uma ou mais varia´veis dependentes em relac¸a˜o a uma u´nica varia´vel
independente.
Exemplo 1.2:
(a)
d2y
dx2
− dy
dx
+ 6y = 0 (b) (y′′)3 + yy′ + 3sen(y) = x2
De maneira geral, podemos expressar uma EDO em uma varia´vel dependente x na
forma geral
F (x, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0
onde F e´ uma func¸a˜o de valores reais de n+ 2 varia´veis x, y′, y′′, · · · , y(n) e onde
y(n) =
dny
dxn
,
ou seja, a derivada de y com relac¸a˜o a x de ordem n.
Em uma EDO F (x, y, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0, quando for poss´ıvel expressar a derivada de
ordem maior y(n) em func¸a˜o dos outros termos da equac¸a˜o, ou seja,
y(n) = f(x, y, y′, y′′, · ·· , y(n−1))
dizemos que a EDO esta´ na sua forma normal. Por exemplo,
dy
dx
= y2 − 4
2. Equac¸a˜o Diferencial Parcial (EDP): Se a equac¸a˜o envolve as derivadas parciais de
uma ou mais varia´veis dependentes de duas ou mais varia´veis independentes.
Exemplo 1.3:
(a)
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 (b)
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 (c)
∂u
∂y
= −∂v
∂x
1.1 Classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais 3
1.1.2 Classificac¸a˜o por ordem
A ordem de uma equac¸a˜o diferencial (EDO ou EDP) e´ a ordem da maior derivada existente
na equac¸a˜o. Por exemplo,
d2y
dx2
+ 5
(
dy
dx
)3
− 4y = ex
e´ uma EDO de segunda ordem. Enquanto que
3xy′′′ + y′′ + 3x5y′ = 5 e
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
= x2 + y
sa˜o uma EDO de ordem 3 e uma EDP de segunda ordem, respectivamente.
Em particular, uma grande quantidade das EDO’s de primeira ordem pode ser escrita na
sua forma normal, dada por:
y′ = f(x, y) ou
dy
dx
= f(x, y)
Tambe´m, EDO’s de primeira ordem sa˜o ocasionalmente escritas na forma diferencial
M(x, y)dy +N(x, y)dx = 0
Por exemplo, supondo que y seja a varia´vel dependente em
(y − x)dx+ 4xdy = 0. (1.1)
Dividindo a Equac¸a˜o 1.1 pela diferencial dx obtemos a forma alternativa
4xy′ + y = x onde y′ =
dy
dx
.
1.1.3 Classificac¸a˜o por linearidade
Dizemos que uma EDO de ordem n e´ linear se F for linear em y′, y′′, · · · , y(n). Em outras
palavras, uma EDO de n-e´sima ordem e´ linear quando ela puder ser escrita na forma
an(x)y
(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y − g(x) = 0
ou
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ a1(x)dy
dx
+ a0(x)y = g(x)
Nota 1.1: E´ fa´cil observar que uma EDO linear possui as seguintes propriedades:
1. A varia´vel dependente e todas as suas derivadas sa˜o de primeiro grau, ou seja, a poteˆncia
de cada termo envolvendo y e´ 1;
2. Cada coeficiente depende no ma´ximo da varia´vel independente x.
4 Equac¸o˜es Diferenciais e sua Terminologia
Nos exemplos a seguir temos, respectivamente, EDO’s lineares de primeira, segunda e
terceira ordem:
1. (y − x)dx+ 4xdy = 0 2. y′′ − 2y′ + y = 0 3. d
3y
dx3
+ x
dy
dx
− 5y = ex
Uma EDO na˜o-linear e´ simplesmente uma EDO que na˜o e´ linear. Em outras palavras,
uma EDO linear na˜o pode conter termos como, por exemplo, sen(y) e ey
′
. Damos a seguir
exemplos de EDO’s na˜o-lineares:
1. (1− y)y′ + 2y = ex 2. d
2y
dx2
+ sen(y) = 0 3.
d4y
dx4
+ y2 = 0
A teoria matema´tica e as te´cnicas para o tratamento de equac¸o˜es lineares sa˜o bastante
desenvolvidas. Por outro lado, no caso das equac¸o˜es diferenciais na˜o-lineares a situac¸a˜o na˜o
e´ ta˜o satisfato´ria, na˜o havendo te´cnicas gerais de soluc¸a˜o. Por este motivo, muitas vezes,
tentamos descrever um fenoˆmeno na˜o-linear como sendo linear, pelo menos em primeira
aproximac¸a˜o. Nos casos em que a na˜o-linearidade e´ inevita´vel, e os me´todos anal´ıticos sa˜o
inexistentes ou insuficientes, temos ainda as ferramentas da ana´lise qualitativa e nume´rica.
1.2 Exerc´ıcios diversos
Classifique as equac¸o˜es diferencias abaixo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
1. x2y′′ + xy′ + 2y = sen(x)
2. 3x
dy
dx
+
dz
dx
= x5
3. (1 + y2)y′′ + xy′ + y = ex
4. (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cos(x)
5.
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
∂2u
∂z2
= 0
6. x
d3y
dx3
− 2(dy
dx
)
+ y = 0
7. yy′ + 2y = 1 + x2
8. x2dy + (y − xy − x ex)dx = 0
9. 3x2y(4) + (y′)6 = 1
10.
dx
dt
+ 3x
dy
ds
+ 1 = 90
11. y(4) + y′′′ + y′′ + y′ + y = ex
12. y′ + xy2 = 0
13.
∂u
∂t
+
∂(f(x)u)2
∂x
= f(x, t)
14. ln(x)
d3x
dt3
+ 5
dx
dt
− x = 0
15. y′′ + sen(x+ y) = sen(x)
16. y′′′ + xy′ + ycos2(x) = x3
Cap´ıtulo 2
Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial
Ordina´ria
De uma forma geral, a soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial e´ uma func¸a˜o que na˜o conte´m
derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equac¸a˜o dada, ou seja, a func¸a˜o que, substitu´ıda
na equac¸a˜o dada, a transforma em uma identidade.
2.1 Soluc¸a˜o e famı´lia de soluc¸o˜es
Definic¸a˜o 2.1: Toda func¸a˜o φ, definida em um intervalo I que tem pelo menos n derivadas
cont´ınuas em I, as quais quando substituidas em uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de ordem
n reduzem a equac¸a˜o a uma identidade, e´ denominada uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
no intervalo.
Em outras palavras, uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de ordem n
F (x, y, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0
e´ uma func¸a˜o φ que tem pelo menos n derivadas e para a qual
F (x, φ(x), φ′(x), · · · , φ(n)(x)) = 0, para todo x em I.
Nota 2.1: Alertamos que obter uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial e´ “similar” a
calcular uma integral e no´s sabemos que existem integrais que na˜o possuem primitivas, como e´
o caso das integrais el´ıpticas, dessa forma na˜o e´ de se esperar que todas as equac¸o˜es diferenciais
possuam soluc¸o˜es.
Exemplo 2.1: Vamos verificar que a func¸a˜o
y(x) =
x4
16
, x ∈ R (2.1)
e´ uma soluc¸a˜o da EDO
4y′ − x3 = 0. (2.2)
6 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
Soluc¸a˜o: Derivando y na Equac¸a˜o 2.1 com respeito a x, obtemos
y′ =
x3
4
.
Substituindo na Equac¸a˜o 2.2 temos
4y′ − x3 = 4.x
3
4
− x3 = 0
Portanto y(x) dada e´ uma soluc¸a˜o da Equac¸a˜o 2.2 uma vez que e´ diferencia´vel (deriva´vel)
em R e satisfaz a EDO dada.
Uma pergunta que surge naturalmente aqui e´: Mas sera´ que a Equac¸a˜o 2.1 e´ a u´nica
soluc¸a˜o da EDO? A resposta para essa pergunta e´ na˜o. De fato, observe que toda expressa˜o
da forma
y(x) =
x4
16
+ C, C ∈ R (2.3)
tambe´m e´ uma soluc¸a˜o para a EDO dada. Quando isso acontece dizemos que a EDO possui
uma famı´lia de soluc¸o˜es a um paraˆmetro, que nesse caso e´ C. Na verdade, em geral, uma
EDO possui um nu´mero infinito de soluc¸o˜es. Tambe´m podemos ter soluc¸o˜es de uma EDO
que na˜o sa˜o obtidas de uma famı´lia de soluc¸o˜es dessa EDO.
Exemplo 2.2: A EDO
dy
dx
= y2 − 4 (2.4)
possui a seguinte famı´lia de soluc¸o˜es
y(x) = 2
(1 + C e4x)
(1− C e4x) , C ∈ R. (2.5)
No entanto, y1(x) = −2 e´ uma soluc¸a˜o da EDO dada e na˜o prove´m dessa famı´lia, uma vez
que na˜o existe um valor para paraˆmetro C tal que, quando substituido na Equac¸a˜o 2.1,
y(x) = y1(x) = −2.
2.1.1 Exerc´ıcios
1. Em cada item a seguir identifique as varia´veis independentes e dependentes, e mostre
em cada caso que a func¸a˜o y(x) e´ soluc¸a˜o da EDO dada, onde a e´ constante.
(a)
dy
dx
=
x√
x2 + a2
(a 6= 0) y(x) = √x2 + a2
(b)
1
4
(y′′)2 − xy′ + y = 1− x2 y(x) = x2
2. Verifique que a func¸a˜o g(x) = c1cos(4x) + c2sen(4x), onde c1 e c2 ∈ R, e´ uma famı´lia
de soluc¸o˜es da EDO
y′′ + 16y = 0.
2.2 Tipos de soluc¸o˜es e soluc¸a˜o expl´ıcita e impl´ıcita 7
2.2 Tipos de soluc¸o˜es e soluc¸a˜o expl´ıcita e impl´ıcita
Basicamente, existem 3 tipos de soluc¸o˜es:
1. Soluc¸a˜o geral: e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o que conte´m tantas constantes arbitra´rias
(paraˆmetros) quantas forem as unidades da ordem de integrac¸a˜o (famı´lia de soluc¸o˜es).
2. Soluc¸a˜o particular: e´ a soluc¸a˜o deduzida da soluc¸a˜o geral atribuindo-se valores par-
ticulares a`s constantes. Em outras palavras, e´ quando a soluc¸a˜o vem de uma famı´lia
de soluc¸o˜es encontrada.
3. Soluc¸a˜o singular: e´ uma soluc¸a˜o na˜o deduzida da soluc¸a˜o geral (famı´lia de soluc¸o˜es)
e que so´ existe em alguns casos.
Ale´m disso, se uma soluc¸a˜o de uma EDO e´ identicamente nula no intervalo I, enta˜o ela
e´ chamada de soluc¸a˜o trivial.
Exemplo 2.3: Como vimos anteriormente, a func¸a˜o 2.3 e´ uma soluc¸a˜o geral da EDO 2.2,
enquanto que 2.2 e´ uma soluc¸a˜o particular da mesma EDO. De fato, fazendo em 2.3 C = 0
obtemos 2.2. Ja´ a EDO 2.4 possui como soluc¸a˜o geral 2.5 e como soluc¸a˜o singular y(x) = −2.
Nota 2.2: Itervalos de Definic¸a˜o:Voceˆ na˜o pode pensar em soluc¸a˜o de uma EDO sem,
simultaneamente, pensar em intervalo. O intervalo I, que aparece na Definic¸a˜o 2.1, e´ alterna-
tivamente conhecido por intervalo de definic¸a˜o, intervalo de existeˆncia, intervalo de
validade ou domı´nio da soluc¸a˜o e pode ser um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado
[a, b], um intervalo infinito (a,∞), e assim por diante. Pore´m, na˜o devemos confundir o
domı´nio de uma func¸a˜o com o intervalo de definic¸a˜o de uma soluc¸a˜o. Por exemplo, a func¸a˜o
y =
1
x
e´ uma soluc¸a˜o da EDO xy′ + y = 0,
para x pertencente a qualquer intervalo dos nu´meros reais que na˜o conte´m o zero, como por
exemplo, (0,∞). No entanto, lembre-se de que
y =
1
x
como uma func¸a˜o esta´ definida para todo x ∈ R− {0}, ou seja, para x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞).
Definic¸a˜o 2.2: Uma soluc¸a˜o expl´ıcita de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria e´ qualquer
func¸a˜o y = φ(x) que verifique a equac¸a˜o num intervalo a < x < b. Uma soluc¸a˜o impl´ıcita
e´ uma relac¸a˜o G(x, y) = 0 que verifique a equac¸a˜o.
Como a definic¸a˜o sugere, nem sempre encontraremos a soluc¸a˜o de uma EDO em sua
forma expl´ıcita, y = φ(x). As soluc¸o˜es de algumas EDO’s, quando for poss´ıvel acharmos tais
soluc¸o˜es, em geral sera˜o dadas na forma G(x, y) = 0, a qual define implicitamente a soluc¸a˜o.
Por exemplo, G(t, E) = 0 onde
G(t, E) = C − t+ E − sen(E)
8 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
e´ uma famı´lia de soluc¸o˜es impl´ıcitas (a um paraˆmetro, C ∈ R) da EDO
dE
dt
=
1
1− cos(E) .
Para que possamos verificar essa afirmac¸a˜o, basta simplesmente derivar implicitamente a
expressa˜o G(t, E) = 0 com relac¸a˜o a t.
Como outro exemplo, tome G(x, y) = 0, onde
G(x, y) = x2 + y2 − 4,
com −2 < x < 2. Se derivarmos implicitamente a expressa˜o G(x, y) = 0 em relac¸a˜o a x,
vemos claramente que G(x, y) e´ uma soluc¸a˜o ı´mplicita da EDO
dy
dx
= −x
y
.
Exemplo 2.4: Verifique se a func¸a˜o y indicada abaixo e´ uma soluc¸a˜o expl´ıcita da EDO dada,
no intervalo (−∞,∞).
1.
dy
dx
= xy
1
2 , y = 1
16
x4
2. y′′ − 2y′ + y = 0, y = x ex
Soluc¸a˜o:
1. Uma maneira de verificar se a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o e´ observar depois de substituir,
se ambos os lados da equac¸a˜o sa˜o iguais para cada x no intervalo. Sendo assim, observe
que:
lado esquerdo:
dy
dx
=
1
16
(4x3) =
1
4
x3
lado direito: xy
1
2 = x
(
1
16
x4
) 1
2
= x
1
4
x2 =
1
4
x3
Portanto, a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o da EDO.
2. Por simples substituic¸a˜o da func¸a˜o e as suas derivadas veˆ-se facilmente que a func¸a˜o
dada e´ uma soluc¸a˜o da EDO:
2 ex + x ex − 2( ex + x ex) + x ex = 0
2.2 Tipos de soluc¸o˜es e soluc¸a˜o expl´ıcita e impl´ıcita 9
Exemplo 2.5: Verifiquemos que
x+ y + exy = 0 (2.6)
e´ soluc¸a˜o impl´ıcita de (
1 + x exy
)
dy
dx
+ 1 + y exy = 0 (2.7)
Soluc¸a˜o: Para verificar basta derivar implicitamente a expressa˜o x+y+ exy = 0 com respeito
a x. Vejamos
d
dx
(x+ y + exy) = 0
1 + y′ + exy
d(xy)
dx
= 0
1 + y′ + (y + xy′) exy = 0
(1 + x exy)
dy
dx
+ 1 + y exy = 0
2.2.1 Exerc´ıcios
1. Mostre que a relac¸a˜o dada define uma soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial, sabendo
que c e´ constante.
(a) yy′ = e2x, y2 = e2x
(b) y′ =
y2
xy − x2 , y = c e
y/x
(c)
dy
dx
= −x
y
, x2 + y2 − c2 = 0
2. Os problemas seguintes sa˜o um teste a` sua intuic¸a˜o (a “intuic¸a˜o” so´ se obtem depois
de alguma pra´tica e por isso e´ importante analizar estes problemas e as suas soluc¸o˜es).
Em cada caso tente adivinhar uma soluc¸a˜o, ou seja, fac¸a alguma tentativa e verifique
se e´ ou na˜o soluc¸a˜o. Ale´m disso, diga se a soluc¸a˜o que descobriu e´ geral ou particular.
(a)
dy
dx
= y
(b)
dy
dx
= y2
(c)
dy
dx
+ y = ex
(d)
d2y
dx2
= 1
3. Mostre que as func¸o˜es y1 dadas sa˜o soluc¸o˜es gerais das respectivas EDO’s. Ale´m disso,
mostre que y2 tambe´m e´ uma soluc¸a˜o da EDO correspondente, pore´m ela na˜o e´ obtida
a partir da soluc¸a˜o geral y1, ou seja, y2 e´ uma soluc¸a˜o singular.
(a) y = xy′ +
1
2
(y′)2, y1 = cx+
c2
2
y2 = −x
2
2
(b) (y′)2 − xy′ + y = 0 , y1 = cx− c2 y2 = x
2
4
10 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
2.3 Curvas integrais
Como vimos anteriormente, resolver uma equac¸a˜o diferencial significa determinar as func¸o˜es
que satisfazem tal equac¸a˜o. Dessa forma, e´ pela integrac¸a˜o de uma diferencial que se da´ a
soluc¸a˜o e, geometricamente, as curvas que representam as soluc¸o˜es sa˜o definidas como segue:
Definic¸a˜o 2.3: A soluc¸a˜o geral (famı´lia de soluc¸o˜es) de uma EDO muitas vezes e´ dada por
uma relac¸a˜o da forma
Φ(x, y, C) = 0
onde a varia´vel dependente y e´ dado apenas implicitamente em termos da varia´vel indepen-
dente x e da constante C ∈ R. Tal expressa˜o e´ denominada integral geral da EDO. A
integral geral pode ser interpretada geometricamente como a representac¸a˜o de uma famı´lia
de curvas no plano-xy, dependente do paraˆmetro C. Estas curvas sa˜o chamadas curvas
integrais da EDO dada, e uma vez que Φ(x, y, C) = 0 e´ deriva´vel (diferencia´vel) em seu
intervalo de definic¸a˜o I, as curvas integrais sa˜o cont´ınuas em I.
Exemplo 2.6: Como vimos anteriormente a EDO
4y′ − x3 = 0 (2.8)
possui como soluc¸a˜o geral a famı´lia de func¸o˜es
y(x) =
x4
16
+ C (2.9)
onde C ∈ R e´ uma constante arbitra´ria. Assim, as curvas integrais da equac¸a˜o diferencial
2.8 sa˜o obtidas fazendo o gra´fico da func¸a˜o 2.9 para diferentes valores de C, como mostram
as Figuras 2.1 e 2.2.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 2.1: Curva integral da equac¸a˜o
diferencial 4y′ − x3 = 0 para C = 1
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 2.2: Curvas integrais da equac¸a˜o
diferencial 4y′ − x3 = 0 para C ∈ (−4, 4).
2.3 Curvas integrais 11
Exemplo 2.7: Consideremos a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
= −y
x
, x 6= 0 (2.10)
A soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o e´ dada pela famı´lia de func¸o˜es
y =
C
x
(2.11)
onde C ∈ R e´ uma constante arbitra´ria. As curvas integrais da Equac¸a˜o 2.10 sa˜o obtidas
fazendo-se o gra´fico da Equac¸a˜o 2.11 para diferentes valores de C, como mostra a Figura 2.4.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 2.3: Curvas integrais da equac¸a˜o
diferencial dy
dx
= − y
x
para C = 1 e C = −1.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 2.4: Curvas integrais da equac¸a˜o
diferencial dy
dx
= − y
x
para C ∈ (−4, 4).
2.3.1 Exerc´ıcios
1. Verifique que uma famı´lia a um paraˆmetro de soluc¸o˜es para a EDO
y = xy′ + (y′)2
e´ dada por y = cx+ c2, e desenhe as curvas integrais. Ale´m disso, determine um valor
de k para que y = kx2 seja uma soluc¸a˜o particular para a EDO dada.
2. Mostre que y1 = 2x+ 2 e y2 = −x
2
2
sa˜o ambas soluc¸o˜es da EDO
y = xy′ + (
(y′)2
2
e desenhe as curvas integrais. As func¸o˜es c1y1+ c2y2, c1 e c2 ∈ R, tambe´m sa˜o soluc¸o˜es?
12 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
2.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno
Quando aplicamos as equac¸o˜es diferenciais geralmente na˜o estamos ta˜o interessados em encon-
trar uma famı´lia de soluc¸o˜es (soluc¸a˜o geral) quanto em encontrar uma soluc¸a˜o que satisfac¸a
algumas condic¸o˜es adicionais.
2.4.1 Problemas de valor inicial
Um problema de valor inicial (PVI) consiste em uma equac¸a˜o diferencial, juntamente com
condic¸o˜es iniciais relativas a` func¸a˜o inco´gnita e suas derivadas, tudo dado para um mesmo
valor da varia´vel independente. O objetivo destes problemas e´ resolver uma equac¸a˜o diferen-
cial sujeita a` condic¸a˜o inicial, ou seja,se sa˜o conhecidas condic¸o˜es adicionais, podemos obter
soluc¸o˜es particulares, a partir da soluc¸a˜o geral, para a equac¸a˜o diferencial dada.
Em outras palavras, estamos interessados na soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial sujeita
a determinadas condic¸o˜es pre´-estabelecidas, ou seja, condic¸o˜es que esta˜o impostas a` soluc¸a˜o
desconhecida y = y(x) e suas derivadas. Sendo assim, uma soluc¸a˜o de um PVI e´ uma func¸a˜o
y = y(x) que satisfaz na˜o so´ a equac¸a˜o diferencial dada, mas tambe´m todas as condic¸o˜es
iniciais.
De um jeito um pouco mais formal, sendo I algum intervalo contendo x0, um PVI e´ dado
da seguinte maneira:
Resolver:
dny
dxn
= f(x, y, y′, y′′, · · · , y(n−1))
Sujeita a: y(x0) = y0, y
′(x0) = y1, y′′(x0) = y2, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1
onde y0, y1, y2, · · · , yn−1 sa˜o constantes reais especificadas previamente. Os valores de y(x) e
suas n− 1 derivadas em um u´nico ponto x0, a saber,
y(x0) = y0, y
′(x0) = y1, y′′(x0) = y2, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1
sa˜o chamados de condic¸o˜es iniciais.
Nota 2.3: Um PVI de primeira ordem consiste em:
Resolver:
dy
dx
= f(x, y)
Sujeita a: y(x0) = y0
Observe que por si so´ a EDO de primeira ordem
dy
dx
= f(x, y), ou y′ = f(x, y), na˜o
determina uma func¸a˜o soluc¸a˜o u´nica. Isto porque a EDO apenas especifica o declive y′(x) da
func¸a˜o soluc¸a˜o em cada ponto, mas na˜o especifica o valor de y(x) para nenhum ponto. Em
geral, como vimos anteriormente, existe uma infinidade de func¸o˜es que satisfazem a EDO. No
entanto, para obter uma soluc¸a˜o particular, o valor y0 da func¸a˜o soluc¸a˜o tem de ser conhecido
para algum ponto x0, ou seja, e´ necessa´rio que os dados do problema indiquem y(x0) = y0
para determinar a soluc¸a˜o particular da EDO dada.
2.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno 13
Se considerarmos a varia´vel independente x como o tempo, podemos pensar em x0 como o
tempo inicial e em y0 como o valor inicial da func¸a˜o inco´gnita. Sendo assim, a EDO governa
a evoluc¸a˜o do sistema ao longo do tempo desde o seu estado inicial y0 no tempo x0, e no´s
procuramos uma func¸a˜o y(x) que descreve o estado do sistema em func¸a˜o do tempo.
Geometricamente, como vimos anteriormente, o conjunto de soluc¸a˜o de uma EDO de
primeira ordem define um conjunto de curvas com trac¸o no plano-xy, chamadas de curvas
integrais, e neste sentido cada uma das curvas integrais e´ soluc¸a˜o de um determinado PVI.
Exemplo 2.8: Encontre a soluc¸a˜o do PVI:

dy
dx
= −y
x
y(1) = 3
Soluc¸a˜o: Queremos encontrar uma soluc¸a˜o da EDO que satisfac¸a a condic¸a˜o y(1) = 3, ou
melhor, queremos encontrar uma soluc¸a˜o tal que o ponto (1, 3) seja ponto da curva integral
dessa soluc¸a˜o. Veremos no futuro que uma famı´lia de soluc¸o˜es para a EDO dada e´
y(x) =
C
x
(2.12)
Agora a pergunta e´: sera´ que dentre a famı´lia de soluc¸o˜es 2.12 existe uma soluc¸a˜o tal que
y(1) = 3? A resposta para a pergunta, neste caso, e´ sim. De fato, observe que
y(1) =
C
1
.
Para que y(1) = 3 temos que ter C = 3. Logo, como podemos ver na Figura 2.5, a soluc¸a˜o
particular que satisfaz o PVI dado e´
y(x) =
3
x
.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 2.5: Curva integral soluc¸a˜o do PVI: y
x
= − y
x
, y(1) = 3.
14 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
Daqui surgem naturalmente alguns questionamentos, por exemplo: Mas sera´ que essa e´ a
u´nica soluc¸a˜o que satisfaz esse PVI ou tem outras? E se mudarmos a condic¸a˜o inicial, o que
acontece? Por exemplo, o PVI 
dy
dx
= −y
x
y(0) = 0
tem soluc¸a˜o? e se tiver e´ u´nica? Na˜o se desespere o leitor, veremos mais adiante teoremas
que nos ajudara˜o a responder a todas essas perguntas.
Exemplo 2.9: Determine se as func¸o˜es a seguir sa˜o soluc¸o˜es do PVI:

y′′ + 4y = 0
y(0) = 0, y′(0) = 1
1. y1(x) = sen(2x)
2. y2(x) = x
3. y3(x) =
1
2
sen(2x)
Soluc¸a˜o:
1. y1(x) = sen(2x) e´ uma soluc¸a˜o da EDO e satisfaz a primeira condic¸a˜o y(0) = 0.
No entanto, y1(x) na˜o satisfaz a segunda condic¸a˜o, pois, y
′
1(x) = 2cos(2x) e y
′
1(0) =
2cos(0) = 2 6= 1. Portanto, y1(x) = sen(2x) na˜o e´ soluc¸a˜o do PVI apresentando.
2. y2(x) = x safisfaz ambas as condic¸o˜es iniciais mas na˜o e´ soluc¸a˜o da EDO dada. Portanto,
tambe´m na˜o e´ soluc¸a˜o do PVI apresentando.
3. y3(x) =
1
2
sen(2x) e´ soluc¸a˜o da EDO e satifas ambas as condic¸o˜es iniciais, sendo, por-
tanto soluc¸a˜o do PVI apresentado.
Exemplo 2.10: Determine uma soluc¸a˜o do PVI:

y′′ + 4y = 0
y(0) = 0, y′(0) = 1
, sabendo que a
soluc¸a˜o geral da EDO em questa˜o e´ dada por
y(x) = C1sen(2x) + C2cos(2x).
Soluc¸a˜o: Como y(x) = C1sen(2x)+C2cos(2x) e´ uma soluc¸a˜o da EDO para quaisquer valores
de C1 e C2, devemos procurar os valores de C1 e C2 que tambe´m satisfac¸am as condic¸o˜es
iniciais. Observe que
y(0) = C1sen(0) + C2cos(0) = C2
Assim, para atender a primeira condic¸a˜o inicial, devemos fazer C2 = 0. Ale´m disso,
y′(x) = 2C1cos(2x)− 2C2sen(2x)
2.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno 15
sendo assim,
y′(0) = 2C1cos(0)− 2C2sen(0) = 2C1
Logo, para satisfazer a segunda condic¸a˜o inicial, y′(0) = 1, devemos fazer 2C1 = 1, ou seja,
C1 =
1
2
. Substituindo esses valores de C1 e C2 na soluc¸a˜o y(x) = C1sen(2x) + C2cos(2x)
obtemos
y(x) =
1
2
sen(2x)
a qual e´ a soluc¸a˜o do PVI apresentado.
2.4.2 Exerc´ıcios
1. Determine C1 e C2 de modo que as func¸o˜es dadas satisfac¸am as condic¸o˜es iniciais
apresentadas.
(a) y(x) = C1 e
x + C2 e
−x y(0) = 1 y′(0) = −1
(b) y(x) = C1 e
x + C2 e
2x + 3 e3x y(0) = 0 y′(0) = 0
(c) y(x) = C1sen(x) + C2cos(x) + 1 y(pi) = 0 y
′(pi) = 0
(d) y(x) = C1 e
x + C2 e
x + x2 ex y(1) = 1 y′(1) = −1
2. Verifique que a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o do PVI correspondente.
(a)

y′′ + 3y′ + 2y = 0
y(0) = 0 y′(0) = 1
y(x) = e−x − e−2x
(b)

y′′ + 4y = 0
y(0) = 1 y′(0) = 0
y(x) = cos(2x)
3. Mostre que y(t) = 0 e y(t) =
t4
16
sa˜o soluc¸o˜es do PVI:

y′ = t
√
y
y(0) = 0
.
2.4.3 Problemas de valor contorno
Um problema de valor de contorno (PVC) e´ uma equac¸a˜o diferencial que tambe´m esta sujeita
a determinadas condic¸o˜es pre´-estabelecidas, as chamadas condic¸o˜es de contorno ou condic¸o˜es
de fronteira. Dessa forma, uma soluc¸a˜o para um PVC e´ uma func¸a˜o y = y(x) que satisfaz
na˜o so´ a equac¸a˜o diferencial dada, mas tambe´m todas as condic¸o˜es de contorno.
Os PVC surgem em diversos ramos da f´ısica, por exemplo, problemas envolvendo a
equac¸a˜o da onda e a equac¸a˜o do calor. Entre os primeiros PVC estudados esta´ o prob-
lema de Dirichlet de encontrar func¸o˜es harmoˆnicas (soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Laplace). Na
verdade, existe uma vasta classe de importantes problemas de valores de contorno, como por
exemplo, os problemas de Sturm-Liouville e o problema cla´ssico de determinar a forma que
toma um cabo flex´ıvel, suspenso em dois pontos e sujeito a seu peso. Este u´ltimo problema
16 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
foi proposto por Leonardo da Vinci e resolvido apo´s anos por Leibniz e J. Bernoulli, e sua
func¸a˜o soluc¸a˜o recebe o nome, dado por Leibniz, de catena´ria.
Como no caso dos PVI, o nu´mero de condic¸o˜es impostas para os PVC e´ igual a` ordem
da equac¸a˜o diferencial. No entanto, uma diferenc¸a essencial entre os PVI e os problemas que
envolvem condic¸o˜es de contorno e´ que estes podem ter uma, nenhuma ou infinitas soluc¸o˜es.
Ale´m disso, diferentemente das condic¸o˜es iniciais, as condic¸o˜es de contorno na˜o envolvem
derivadas e sa˜o definidas em dois ou mais valores da varia´vel independente. De outra forma,
sendo I algum intervalo contendo x0, x1, x2, · · · , xn−1, um PVC envolvendo uma EDO pode
ser dado da seguinte maneira:Resolver:
dny
dxn
= f(x, y, y′, y′′, · · · , y(n−1))
Sujeita a: y(x0) = y0, y(x1) = y1, y(x2) = y2, · · · , y(xn−1) = yn−1
onde y0, y1, y2, · · · , yn−1 sa˜o constantes reais especificadas previamente, e os valores de y(x)
nos pontos x0, x1, x2, · · · , xn−1, a saber,
y(x0) = y0, y(x1) = y1, y(x2) = y2, · · · , y(xn−1) = yn−1
sa˜o as condic¸o˜es de contorno.
Exemplo 2.11: Determine uma soluc¸a˜o do PVC:

y′′ + 4y = 0
y(pi
8
) = 0 y(pi
6
) = 1
, sabendo que a
soluc¸a˜o geral da EDO dada e´
y(x) = C1sen(2x) + C2cos(2x).
Soluc¸a˜o: Observe que
y(
pi
8
) = C1sen(
pi
4
) + C2cos(
pi
4
) =
1
2
√
2 C1 +
1
2
√
2 C2
y(
pi
6
) = C1sen(
pi
3
) + C2cos(
pi
3
) =
1
2
√
3 C1 +
1
2
C2
Ale´m disso, para atender a`s condic¸o˜es de contorno, y(pi
8
) = 0 e y(pi
6
) = 1, devemos ter
1
2
√
2 C1 +
1
2
√
2 C2 = 0 (2.13)
1
2
√
3 C1 +
1
2
C2 = 1 (2.14)
Considerando as Equac¸o˜es 2.13 e 2.14 como um sistema e resolvendo-as simultaneamente,
obtemos
C1 = −C2 = 2√
3 − 1
2.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno 17
Portanto, substituindo estes valores de C1 e C2 na soluc¸a˜o geral y(x) = C1sen(2x)+C2cos(2x)
obtemos a soluc¸a˜o do PVC que e´
y(x) =
2√
3 − 1
(
sen(2x)− cos(2x)
)
Exemplo 2.12: Determine uma soluc¸a˜o do PVC:

y′′ + 4y = 0
y(0) = 1 y(pi
2
) = 2
, sabendo que a
soluc¸a˜o geral da EDO dada e´
y(x) = C1sen(2x) + C2cos(2x).
Soluc¸a˜o: Como
y(0) = C1sen(0) + C2cos(0) = C2
devemos fazer C2 = 1 para satisfazer a primeira condic¸a˜o de contorno y(0) = 1. Como
y(
pi
2
) = C1sen(pi) + C2cos(pi) = −C2
devemos fazer C2 = −2 para satisfazer a segunda condic¸a˜o de contorno y(pi
2
) = 2. Assim, para
satisfazer ambas as condic¸o˜es de contorno simultaneamente, devems ter C2 = 1 e C2 = −2,
o que e´ imposs´ıvel. Portanto, o PVC dado na˜o admite soluc¸a˜o.
Exemplo 2.13: Vale observar que podemos ter um Problema Misto, ou seja, um problema
com condic¸o˜es iniciais e de contorno. No entanto, iremos discutir como resolver um problema
misto em um outro momento. Um t´ıpico problema com condic¸o˜es iniciais e de contorno e´
dado juntamente com a Equac¸a˜o da Onda, que e´:
∂2u
∂x2
− ∂
2u
∂t2
= 0 sobre M
u(x, 0) = p(x),
∂u
∂t
(x, 0) = q(x), a ≤ x ≤ b (Condic¸o˜es iniciais)
u(a, t) = r(t), u(b, t) = s(t), t ≥ 0 (Condic¸o˜es de contorno)
onde M e´ a regia˜o representada por um retaˆngulo infinito. Do ponto de vista f´ısico, o
problema misto pode ser interpretado como o estudo dos deslocamentos transversais de uma
corda de comprimento infinito, mas que nas extremidades x = a e x = b, o deslocamento
ocorre segundo uma func¸a˜o conhecida u(a, t) = r(t). Quando esta extremidade esta´ “presa”
assumimos r(t) = 0.
18 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
2.4.4 Exerc´ıcios
1. Determine C1 e C2 de modo que y(x) = C1sen(2x) + C2cos(2x) satisfac¸a as condic¸o˜es
dadas, e determine se tais condic¸o˜es sa˜o iniciais ou de contorno.
(a) y(0) = 1, y′(0) = 2
(b) y(0) = 2, y′(0) = 1
(c) y(pi
2
) = 1, y′(pi
2
) = 2
(d) y(0) = 1, y′(pi
2
) = 1
(e) y′(0) = 1, y′(pi
2
) = 1
(f) y(0) = 1, y′(pi) = 1
(g) y(0) = 1, y(pi) = 2
(h) y(0) = 0, y′(0) = 0
(i) y(pi
4
) = 0, y(pi
6
) = 1
(j) y(0) = 0, y′(pi
2
) = 1
2.5 Existeˆncia e unicidade
Muitas aplicac¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais resulta em equac¸o˜es que na˜o podem ser resolvidas
explicitamente. Em situac¸o˜es como estas, frequentemente recorremos a` ana´lise geome´trica
ou nume´rica das equac¸o˜es diferenciais para obter informac¸o˜es sobre a soluc¸a˜o sem de fato
resolveˆ-las. No entanto, antes de nos colocarmos a tentar analizar as soluc¸o˜es, precisamos
e devemos saber se a soluc¸a˜o de fato existe. Na verdade, precisamos saber mais do que
isso, pois, a aplicac¸a˜o de me´todos nume´ricos e o estudo das propriedades da soluc¸a˜o so´ fazem
sentido no caso em que a soluc¸a˜o existe e e´ u´nica. Assim, e´ fundamental estudarmos a questa˜o
da existeˆncia e unicidade das soluc¸o˜es, pois, em muitos casos, saber que a soluc¸a˜o existe e e´
u´nica e´ mais importante do que realmente ter a soluc¸a˜o.
Em outras palavras, procuramos responder os seguintes questionamentos: Uma equac¸a˜o
diferencial sempre tem soluc¸a˜o? (existeˆncia); Quantas soluc¸o˜es tem uma equac¸a˜o diferencial
dada que ela tem pelo menos uma? ; Que condic¸o˜es adicionais devem ser especificadas para
se obter apenas uma u´nica soluc¸a˜o? (unicidade); Dada uma equac¸a˜o diferencial, podemos
determinar, de fato, uma soluc¸a˜o? E, se for o caso, como?
Na generalidade dos problemas na˜o estamos interessados na soluc¸a˜o geral (ou na famı´lia
de curvas integrais) mas apenas numa soluc¸a˜o particular que satisfaz uma condic¸a˜o dada. A
determinac¸a˜o de uma soluc¸a˜o particular corresponde a` selecionar uma func¸a˜o particular da
famı´lia de curvas integrais que satisfaz a condic¸a˜o dada. Pore´m, como vimos anteriormente,
existem soluc¸o˜es que na˜o podem ser deduzidas a partir da soluc¸a˜o geral e, neste caso, a soluc¸a˜o
e´ uma soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o diferencial. Da´ı, resulta claramente que a existeˆncia de
soluc¸o˜es singulares implica a violac¸a˜o da unicidade das soluc¸o˜es. Por exemplo, uma equac¸a˜o
diferencial na˜o-linear pode ter uma soluc¸a˜o “geral” e soluc¸o˜es singulares, veja Exemplo 2.2.
Pode parecer meio estranho, mas existem equac¸o˜es diferenciais que na˜o tem soluc¸a˜o, assim
como, um PVI pode na˜o ter soluc¸a˜o, ter uma u´nica soluc¸a˜o ou ter mais do que uma soluc¸a˜o,
como exemplo veja o item 3 do Exerc´ıcio 2.4.2. Problemas sem soluc¸o˜es na˜o teˆm obviamente
interesse. Ja´ um PVI com va´rias soluc¸o˜es colocam o problema de se saber qual e´ a soluc¸a˜o
que efetivamente traduz o comportamento do fenoˆmeno estudado.
Nesse sentido, podemos refazer alguns dos questionamentos acima da seguinte forma:
Dado um PVI, ele possui soluc¸a˜o? (existeˆncia); Se a soluc¸a˜o exite, ela e´ u´nica?(unicidade).
Em outras palavras, o nosso questionamento e´: Sem resolver um PVI, quais sa˜o as infor-
mac¸o˜es que podemos obter sobre a existeˆncia e unicidade das soluc¸o˜es?
2.5 Existeˆncia e unicidade 19
Para responder tais perguntas, existe o chamado Teorema de Existeˆncia e Unicidade de
Soluc¸a˜o que nos garante, se e´ dada uma EDO com condic¸o˜es “suficientemente boas”, ou seja,
um PVI bem especificado, na˜o somente a existeˆncia de uma soluc¸a˜o, como tambe´m a sua
unicidade. Em outras palavras, apresentaremos na sequeˆncia teoremas, sem demonstrac¸a˜o,
que fornecem condic¸o˜es necessa´rias e suficientes para a existeˆncia e unicidade de soluc¸a˜o
de um PVI. Vale ressaltar, que existe uma diferenc¸a muito forte entre equac¸o˜es diferenciais
lineares e na˜o-lineares, por isso iremos tratar os dois casos separadamente.
2.5.1 EDO’s lineares
Comec¸amos com as EDO’s lineares de primeira ordem:
Teorema 2.5.1 [Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸a˜o: EDO linear de 1a ordem]:
Considere o problema de valor inicial
y′ + p(x)y = q(x)
y(x0) = y0
Se p(x) e q(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo aberto α < x0 < β, enta˜o existe uma
u´nica soluc¸a˜o para o PVI dado, definida no intervalo (α, β).
Este teorema nos diz que sendo p(x) e q(x) func¸o˜es cont´ınuas, existe exatamente uma
soluc¸a˜o para qualquer PVI dado. Ele tambe´m nos diz que a soluc¸a˜o sera´ na˜o deriva´vel, ou
descont´ınua, somente nos pontos onde p(x) ou q(x) e´ descont´ınua. Pore´m, fique ciente de
que a soluc¸a˜o pode ser cont´ınua, mesmo quando p(x) ou q(x) na˜o seja.
Geometricamente, o teorema tambe´m nos permite concluir que as curvas integrais de
uma equac¸a˜o diferencial, que satisfaz as hipo´teses do teorema, na˜o podem se interceptarem,
pois, caso contra´rio, tomando o ponto de intersec¸a˜ode duas curvas integrais como a condic¸a˜o
inicial ter´ıamos um PVI com duas soluc¸o˜es distintas, contradizendo a unicidade estabelecida
pelo teorema.
Se o intervalo (α, β) e´ o maior intervalo poss´ıvel para o qual as func¸o˜es p(x) e q(x) sa˜o
cont´ınuas, enta˜o (α, β) e´ chamado de intervalo de validade para a soluc¸a˜o u´nica garantida
pelo teorema. Assim, dado um PVI com uma EDO linear, com condic¸o˜es suficientemente
boas, na˜o e´ necessa´rio resolver a EDO para obter o intervalo de validade, uma vez que o
intervalo de validade depende somente de x0, pois tal intervalo deve conter x0, e na˜o depende
de y0.
Exemplo 2.14: Considere a EDO linear y′ − y = 0. Neste exemplo as func¸o˜es a1(x) = −1
e g(x) = 0 sa˜o cont´ınuas em R. Portanto, o Teorema 2.5.1 garante que existe e e´ u´nica a
soluc¸a˜o qualquer que seja a condic¸a˜o inicial
y(x0) = y0.
Apesar do teorema so´ garantir a existeˆncia de soluc¸a˜o numa vizinhanc¸a de x0, facilmente
verificamos que a soluc¸a˜o do PVI dado e´
y(x) = y0 e
x−x0 ,
e ela esta´ definida para todo o R.
20 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
Exemplo 2.15: Determine quais sa˜o as condic¸o˜es que x deve satisfazer para que exista uma
u´nica soluc¸a˜o para o problema de valor inicial:
(4− x)y′ + 2xy = ex
y(1) = 5
Soluc¸a˜o: Primeiramente devemos escrever a EDO dada na forma
y′ + p(x)y = q(x).
Isto significa que precisamos dividir ambos os mebros da igualdade por 4− x. Da´ı obtemos
y′ +
2x
4− xy =
ex
4− x.
Assim, neste caso,
p(x) =
2x
4− x e q(x) =
ex
4− x.
Observe que p(x) e q(x) sa˜o cont´ınuas para todo x 6= 4. Desde que a condic¸a˜o inicial dada e´
especificada para x = 1, o qual e´ menor que 4, o Teorema 2.5.1 garante uma u´nica soluc¸a˜o
sobre o intervalo x < 4.
Se fosse dada uma condic¸a˜o inicial diferente para PVI anterior, digamos y(5) = 4, o
Teorema 2.5.1 nos permitiria concluir a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o sobre o intervalo
x > 4, um vez que a condic¸a˜o inicial esta´ especificada para x0 = 5.
O mesmo resultado apresentado no Teorema 2.5.1 vale para um PVI que envolve uma
EDO linear de n-e´sima ordem, como mostra o pro´ximo teorema.
Teorema 2.5.2 [Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸a˜o: EDO linear de n-e´sima ordem]:
Considere o problema de valor inicial
y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)
y(x0) = y0, y
′(x0) = y1, y′′(x0) = y2, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1
Enta˜o se ai(x), para i = 0, 1, 2, · · · , n − 1, e g(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo
aberto α < x0 < β, existe uma u´nica soluc¸a˜o para o PVI dado, definida no intervalo (α, β).
2.5.2 EDO’s na˜o-lineares
No caso linear, um PVI possui soluc¸a˜o u´nica a menos que as condic¸o˜es iniciais sejam “ruins”.
Mas, para o caso na˜o-linear as coisas sa˜o um pouco diferentes, por exemplo, a simples e
inocente EDO na˜o-linear (
dy
dx
)2
+ x2 + 1 = 0
na˜o possui soluc¸a˜o real. Enta˜o uma questa˜o natural a se perguntar e´ se existe um teorema
ana´lago ao Teorema 2.5.1 para EDO’s na˜o-lineares. A resposta a esta questa˜o e´ dada atrave´s
do pro´ximo teorema.
2.5 Existeˆncia e unicidade 21
Teorema 2.5.3 [Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸a˜o: EDO na˜o-linear de 1a ordem]:
Considere o problema de valor inicial 
y′ = f(x, y)
y(x0) = y0
Se f e
∂f
∂y
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em um retaˆngulo α < x0 < β, γ < y0 < δ contendo o
ponto (x0, y0), enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o para o PVI dado, definida no intervalo (a, b)
safisfazendo α ≤ a < x0 < b ≤ β.
Assim como o Teorema 2.5.1, Teorema 2.5.1 nos fornece condic¸o˜es para as quais um PVI
na˜o-linear possui uma u´nica soluc¸a˜o, mas a conclusa˜o deste teorema na˜o e´ ta˜o boa quanto a
do Teorema 2.5.1. O Teorema 2.5.1 nos da´ uma u´nica soluc¸a˜o sobre o maior intervalo poss´ıvel
para o qual as func¸o˜es p(x) e q(x) sa˜o cont´ınuas. Ja´ o Teorema 2.5.3 nos diz que existe algum
intervalo, que na˜o e´ um intervalo de validade, para o qual conseguimos uma u´nica soluc¸a˜o
para o problema.
Observe que para uma EDO na˜o-linear, o valor de y0 pode afetar o intervalo de validade.
Assim, uma forma de contornar este problema e´ ter certeza de que as condic¸o˜es iniciais na˜o
esta˜o dentro e nem sobre a borda de uma“regia˜o ruim”, uma regia˜o onde f e/ou sua derivada
sa˜o descont´ınuas, e enta˜o encontrar o maior intervalo sobre a reta y = y0 contendo x0 onde
tudo funciona bem e as func¸o˜es sa˜o cont´ınuas.
O Teorema 2.5.3 se refere a`
∂f
∂y
da func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y). Infelizmente, a
derivada parcial e´ mais dif´ıcil de calcular do que a derivada ordina´ria. Mas, lembre-se de que,
neste caso, pensamos em x como um constante e derivamos. Por exemplo, se
f(x, y) = x2 − 3y2x enta˜o ∂f
∂y
= −6yx.
Exemplo 2.16: Considere o PVI:

y′ =
y
x
+ 3x, x 6= 0
y(x0) = y0
. Observe que f(x, y) e
∂f
∂y
esta˜o
definidas e sa˜o cont´ınuas para qualquer (x, y), desde que x 6= 0. Portanto, o PVI satisfaz o
Teorema 2.5.3, e consequentemente possui uma u´nica soluc¸a˜o.
Exemplo 2.17: Considere o PVI:

y′ = y2
y(0) = 1
. A famı´lia de soluc¸o˜es da EDO em questa˜o
e´ dada por y(x) =
1
x+ C
. Da´ı vem que y(0) = − 1
C
. Logo, para satisfazer a condic¸a˜o inicial
y(0) = 0 devemos ter C = −1. Como f(x, y) = y2 e ∂f
∂y
= 2y sa˜o cont´ınuas para qualquer
(x, y), temos que a u´nica soluc¸a˜o do PVI, garantida pelo Teorema 2.5.3, e´ dada por
y(x) = − 1
x− 1 .
22 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
Exemplo 2.18: Considere o PVI:
 y
′ = y1/3, x ≥ 0
y(0) = 0
. A famı´lia de soluc¸o˜es da EDO em
questa˜o e´ dada por
y(x) =
(
2
3
(x+ C)
) 3
2
.
Se C = 0, a condic¸a˜o inicial y(0) = 0 e´ satisfeita e
y(x) =
(
2
3
x
) 3
2
e´ uma soluc¸a˜o do PVI dado, para x ≥ 0. Pore´m, podemos encontrar outras duas soluc¸o˜es
para x ≥ 0, a saber
y(x) = −
(
2
3
x
) 3
2
e y(x) = 0.
Portanto, poder´ıamos concluir apressadamente que o Teorema 2.5.3 na˜o e´ va´lido. Mas
cuidado, a u´nica soluc¸a˜o neste caso na˜o e´ garantida porque o PVI dado na˜o satisfaz o Teorema
2.5.3, pois,
∂f
∂y
=
1
3y2/3
na˜o e´ cont´ınua em 0.
2.6 Exerc´ıcios diversos
1. Em cada caso, verifique se a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o da EDO correspondente, onde
a, b e c sa˜o constantes.
(a) y′ + 2y = 0 y = C e−2x
(b) y′′′ = 0 y = ax2 + bx+ c
(c) y′′ + y = 0 y = a cos(x) + b sen(x)
(d) y′′ − y = x y = a ex + b e−x − x
(e) y′ = 2x y = x2 + c
(f) y′ =
2y
x
y = cx2
(g) y′ + 2xy = 0 y = c e−x
2
(h) y′ = −x
y
x2 + y2 = c
(i) y′ − y = e2x y = c ex + e2x
(j) (y′)2 − xy′ + y = 0 y = cx− c2
(k) y′′ + y = 0 y = cos(x)
(l) y′ = cos(x) y = sen(x) + c
(m) y′ − y = 0 y = ex
(n) x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0 y = ax2 + bx3
2.6 Exerc´ıcios diversos 23
2. Em cada caso, determinar y(x) =
∫
f(x)dx e a constante de integrac¸a˜o C, de modo
que a func¸a˜o y(x) satisfac¸a a condic¸a˜o dada.
(a) f(x) = x2 y(2) = 0
(b) f(x) = cos2(x) y(pi) =
pi
2
(c) f(x) = cos(2x) y(0) = 1
(d) f(x) = x e−x
2
y(0) = 0
3. Em cada caso, verificar que a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial correspon-
dente e determinar as constantes a, b e c de modo que a soluc¸a˜o particular satisfac¸a a
condic¸a˜o dada.
(a)

y′ + y = 0
y(0) = 3
y(x) = c e−x
(b)

y′ + y = 5
y(1) = 6
y(x) = c e−x + 5
(c)

y′ + 2xy = 0
y(0) = −2
y(x) = c e−x
2
(d)

dy
dx
= 2y
x
y(1) = 3
y(x) = cx2
(e)

x
d2y
dx2
− dy
dx
= 0
y(1) = −8 y′(1) = 4
y(x) = ax2 + b
(f)

d2y
dx2
+ y = 0
y
(
3pi
2
)
=
a
2
y′
(
3pi
2
)
=
√
3
y(x) = a cos(x+ b)
(g)

dy
dx
= y2
y(1) = 2
y(x) =
1
c− x
24 Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria4. Suponha que r1 e r2 sa˜o duas ra´ızes reais e distintas da equac¸a˜o
ar2 + (b− a)r + c = 0.
Verifique se a func¸a˜o
y = d1x
r1 + d2x
r2
onde d1 e d2 sa˜o constantes arbitra´rias, e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
ax2y′′ + bxy′ + cy = 0.
5. Em cada um dos problemas abaixo verifique se a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial correspondente.
(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0 y1 = e−3x y2 = ex
(b) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0, x > 0 y1 =
1
x2
y2 = x
−2ln(x)
(c) y′′ + y = sen(x), 0 < x <
pi
2
y = cos(x)ln(cos(x)) + xsen(x)
6. Em cada um dos problemas abaixo verifique se a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial parcial correspondente.
(a) uxx + uyy = 0 u(x, y) = ln(x
2 + y2)
(b) uxx + uyy + uzz = 0, x, y, z 6= 0 u(x, y, z) = 1√
x2 + y2 + z2
(c) utt − c2uxx = 0 u(x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct)
onde f e g sa˜o func¸o˜es duas vezes diferencia´veis, c e´ uma constante e uxx =
∂2u
∂x2
7. Em cada um dos problemas abaixo determine os valores de r para os quais a equac¸a˜o
diferencial dada tenha soluc¸o˜es da forma y = erx ou y = xr.
(a) y′ + 2y = 0
(b) y′′ + y′ − 6y = 0
(c) y′′ − y = 0
(d) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0
(e) x2y′′ + 4xy′ + 4y = 0
Cap´ıtulo 3
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de
Primeira Ordem
Agora estamos prontos para resolver algumas equac¸o˜es diferenciais. Vamos comec¸ar pelas
equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem
dy
dx
= f(x, y). (3.1)
A habilidade de resolver uma equac¸a˜o diferencial, ou seja, em encontrar soluc¸o˜es exatas,
em geral depende da habilidade em reconhecer o tipo de equac¸a˜o diferencial e da aplicac¸a˜o
de um me´todo espec´ıfico de soluc¸a˜o. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de
equac¸a˜o de primeira ordem na˜o necessariamente se aplica a outro tipo.
3.1 Soluc¸a˜o por Integrac¸a˜o Direta
Existem alguns tipos de EDO de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente.
Comecemos por estudar o caso mais simples dentre todas as equac¸o˜es diferenciais, ou seja,
quando f na Equac¸a˜o 3.1 e´ independente de y. De outra forma, quando
f(x, y) = g(x).
Neste caso, a EDO de primeira ordem 3.1 e´ reescrita como
dy
dx
= g(x). (3.2)
Obeserve que a Equac¸a˜o 3.2 pode ser reescrita como
dy = g(x)dx (3.3)
e resolvida facilmente por integrac¸a˜o, usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo Integral.
De fato, se g(x) for uma func¸a˜o cont´ınua, integrando-se ambos os lados da Equac¸a˜o 3.3,
obte´m-se a soluc¸a˜o
y(x) =
∫
g(x)dx = G(x) + C
onde G(x) e´ uma primitiva (integral indefinida) de g(x) e C ∈ R e´ uma constante arbitra´ria
que sera´ determinada pela condic¸a˜o inicial do problema.
26 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
Exemplo 3.1: A soluc¸a˜o de
dy
dx
= 1 + e2x
e´ dada por
y =
∫
(1 + e2x)dx = x+
1
2
e2x + C
3.1.1 Exerc´ıcios
Resolva as seguintes EDO’s de primeira ordem:
1.
dy
dx
= x4
2. y′ = sen(x)
3.
dy
dx
= 7x5/2 + 4
4. y′ = x3(−2x+ x−5)
5.
dy
dx
=
x+ 1
x5
6.
dy
dx
= 2
√
2− 3x
7. y′ = 3x
√
2x2 − 4
8.
dy
dx
=
x√
1 + x
9. y′ = sen
(
3x
2
)
10.
dy
dt
= 3tcos (3t2)
11.
dy
dt
= cos2(t)
12.
dy
dt
=
1
1 + 9x2
13.
dy
dx
=
sec2
(√
2
)
√
2
14.
dy
dx
=
x√
x+ 1
15.
dy
dx
= arcsen(x)
16.
dy
dx
= (2x+ 1)sen(x)
17.
dy
dt
= sen(x)sec2(x)
18.
dy
dt
= cossec2(x)cotg(x)
19. y′ = x3sen(x)
20. y′ =
1
x2
21.
dy
dx
= 3
√
x
22.
dy
dt
=
1
sen2(t)
23.
dy
dx
= cos(x)− sec(x)tg(x)
24.
dy
dx
=
2x
x2 + 1
25.
dy
dx
=
(
ln(x)
)2
x
26.
dy
dt
=
et
cos2 ( et − 2)
27. y′ = x4cos (x5)
28.
dy
dt
= e2t
29.
dy
dx
= 2x (x2 + 3)
4
30. y′ = e−3x +
√
x
31.
dy
dx
= 7x4 + sec2(x)
32. y′ = xcos(x)
3.2 Equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem 27
3.2 Equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem
Lembre-se de que uma equac¸a˜o diferencial e´ linear quando e´ de primeiro grau na varia´vel
dependente e em todas as suas derivadas. Assim,
Definic¸a˜o 3.1: Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem da forma
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x) (3.4)
e´ chamada de equac¸a˜o diferencial linear de primeira ordem. Quando g(x) = 0 ela e´ chamada
de equac¸a˜o diferencial linear de primeira ordem homogeˆnea e, caso contra´rio, equac¸a˜o difer-
encial linear de primeira ordem na˜o-homogeˆnea. Ale´m disso, se dividirmos ambos os lados
da Equac¸a˜o 3.4 pelo coeficiente dominante a1(x) 6= 0, obtemos uma forma mais conveniente,
a chamada forma padra˜o de uma equac¸a˜o linear, que e´:
dy
dx
+ P (x)y = f(x)
Teorema 3.2.1: Seja a EDO de primeira ordem na sua forma padra˜o
y′ + P (x)y = f(x) (3.5)
onde P (x) e f(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em I. Enta˜o a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
3.5 e´
y(x) =
(∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ C
)
e−
∫
P (x)dx, para todo x ∈ I. (3.6)
onde e C ∈ R e´ uma constante arbitra´ria, e que pode ser determinada se houver uma condic¸a˜o
inicial para problema.
Demonstrac¸a˜o: Primeiramente, observe que
∫
P (x)dx e
∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx esta˜o bem
definidas em I, uma vez que as func¸o˜es P (x) e f(x) sa˜o cont´ınuas nesse intervalo. Seja φ(x)
uma soluc¸a˜o da Equac¸a˜o 3.5, ou seja,
φ′(x) + P (x)φ(x) = f(x) (3.7)
Multiplicando ambos os lados dessa u´ltima equac¸a˜o por e
∫
P (x)dx, obtemos
φ′(x) e
∫
P (x)dx + P (x)φ(x) e
∫
P (x)dx = e
∫
P (x)dxf(x)(
φ(x) e
∫
P (x)dx
)′
= e
∫
P (x)dxf(x)
φ(x) e
∫
P (x)dx =
∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ C
φ(x) =
(∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ C
)
e−
∫
P (x)dx
Com isso provamos que toda soluc¸a˜o da equaca˜o diferencial 3.5 tem a forma da Equac¸a˜o 3.6.
28 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
Reciprocamente, qualquer func¸a˜o que tenha a forma da Equac¸a˜o 3.6 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial 3.5. Com efeito, por derivac¸a˜o e considerando o Teorema Fundamental do Ca´lculo
Integral, temos
dy(x)
dx
=
d
[
e−
∫
P (x)dx
(∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ C
)]
dx
y′(x) =
d
[
e−
∫
P (x)dx
]
dx
(∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ C
)
+ e−
∫
P (x)dxd
[(∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ C
)]
dx
y′(x) = −P (x) e−
∫
P (x)dx
(∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ C
)
︸ ︷︷ ︸
y(x)
+ e−
∫
P (x)dxf(x) e
∫
P (x)dx︸ ︷︷ ︸
f(x)
y′(x) = −P (x)y(x) + f(x)
O teorema anterior nos diz que se a equac¸a˜o diferencial 3.5 tiver uma soluc¸a˜o, ela deve
ter a forma da Equac¸a˜o 3.6. Na˜o e´ necessa´rio decorrar, nem mesmo colar a fo´rmula 3.6.
Pore´m, e´ de extrema importaˆncia que voceˆs lembrem-se do termo especial, chamado de fator
integrante,
µ(x) = e
∫
P (x)dx (3.8)
pois ele fornece uma maneira mais simples de ressolver a equac¸a˜o diferecial 3.5. Vejamos!
Me´todo de Resoluc¸a˜o (IMPORTANTE!): Para resolver a equac¸a˜o diferencial
a1(x)y
′ + a0(x)y = g(x)
basta seguir na ı´ntegra o seguinte procedimento:
(1) Ponha a equac¸a˜o dada na forma padra˜o, ou seja, divida ambos os membros da
equac¸a˜o por a1(x) obtendo assim
y′ + P (x)y = f(x)
(2) Identifique P (x) na forma padra˜o e enta˜o encontre o fator integrante
µ(x) = e
∫
P (x)dx.
(3) Multiplique a forma padra˜o pelo fator integrante. O lado esquerdo da equac¸a˜o
resultante e´ automaticamente a derivada do produto do fator integrante por y,(
e
∫
P (x)dxy
)′
= e
∫
P (x)dxf(x).
(4) Integre ambos os lados desta u´ltima equac¸a˜o, e resolva a integral resultante.
(5) Isole a varia´vel y, a qual e´ a soluc¸a˜o procurada.
3.2 Equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem 29
Exemplo 3.2: Resolva as seguintes EDO’s lineares de primeira ordem:
(a) y′ − 3y = 0.
Soluc¸a˜o: Sigamos enta˜o os passos citados anteriormente:
(1) A equac¸a˜o ja´ esta na formapadra˜o.
(2) P (x) = −3 e, enta˜o, o fator integrante e´: µ(x) = e
∫ −3dx = e−3x.
(3) Multiplicando a forma padra˜o pelo fator integrante obtemos:
(
e−3xy
)′
= 0.
(4) Integrando ambos os membros da u´ltima equac¸a˜o obtemos: e−3xy = C.
(5) Por fim, isolando a varia´vel y obtemos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o, que e´: y = C e3x.
(b)
dy
dx
− 3y = 6.
Soluc¸a˜o:
(1) Como antes, a equac¸a˜o ja´ esta na forma padra˜o.
(2) P (x) = −3 e, enta˜o, o fator integrante e´: µ(x) = e
∫ −3dx = e−3x.
(3) Multiplicando a forma padra˜o pelo fator integrante obtemos:
(
e−3xy
)′
= 6 e−3x.
(4) Integrando ambos os membros da u´ltima equac¸a˜o obtemos: e−3xy = −2 e−3x + C.
(5) Agora isolamos a varia´vel y e obtemos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o: y = −2 + C e3x
(c) xy′ − 4y = x6 ex.
Soluc¸a˜o:
(1) Dividindo a equac¸a˜o por x 6= 0 obtemos a forma padra˜o: y′ − 4
x
y = x5 ex.
(2) P (x) = −4
x
, enta˜o o fator integrante e´: µ(x) = e
∫ − 4
x
dx = e−4ln(x) = eln(x
−4) = x−4.
(3) Multiplicando a forma padra˜o pelo fator integrante obtemos:
(
x−4y
)′
= x ex.
(4) Integrando ambos os membros da u´ltima equac¸a˜o obtemos: x−4y = x ex − ex + C
(5) Agora isolamos a varia´vel y para obter a soluc¸a˜o da EDO: y = x5 ex − x4 ex + Cx4.
30 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
Exemplo 3.3: Resolva o problema de valor inicial:

y′ − sen(x)y = sen(x)
y(0) = 1
.
Soluc¸a˜o: Como a equac¸a˜o diferencial dada ja´ esta na forma padra˜o, vamos calcular o fator
integrante, que e´ dado por
µ(x) = e−
∫
sen(x)dx = e−(−cos(x)) = ecos(x)
Agora, multiplicando a equac¸a˜o diferencial dada pelo fator integrante obtemos(
y ecos(x)
)′
= sen(x) ecos(x).
Integrando esta u´ltima equac¸a˜o vem que
y ecos(x) =
∫
sen(x) ecos(x)dx
Podemos resolver a integral que aparece na equac¸a˜o anterior usando o me´todo de integrac¸a˜o
por partes, para isso basta fazer u = cos(x). Da´ı, temos
y ecos(x) = − ecos(x) + C
Finalmente, isolando a varia´vel y obtemos a soluc¸a˜o geral da EDO que e´
y(x) = −1 + C e−cos(x).
Assim, temos que
y(0) = −1 + C e−cos(0) = −1 + C e−1.
Como y(0) = 1 tem-se que −1 + C e−1 = 1, ou seja, C = 2 e. Portanto a soluc¸a˜o do PVI e´
y(x) = −1 + 2 e1−cos(x).
3.2.1 Exerc´ıcios
1. Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem:
1) (x2 − 9)dy
dx
+ xy = 0
2) y′ + 3x2y = x2
3)
dy
dx
= 5y
4)
dy
dx
+ 2y = 0
5)
dy
dx
+ y = e3x
6) xy′ + 2y = 3
7)
dr
dθ
+ rsec(θ) = cos(θ)
8) x
dy
dx
− y = x2sen(x)
9) x2y′ + xy = 1
10)
dy
dx
+ y = x
2. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:
1)

(x+ 1)
dy
dx
+ y = ln(x)
y(1) = 10
2)

y′ + tg(x)y = cos2x
y(0) = −1
3.3 Equac¸o˜es com Varia´veis Separa´veis 31
3.3 Equac¸o˜es com Varia´veis Separa´veis
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (3.2), bem como seu me´todo de resoluc¸a˜o e´, na verdade,
um caso particular de quando f(x, y) e´ o produto de uma func¸a˜o de x por uma func¸a˜o de y.
Melhor dizendo,
Definic¸a˜o 3.2: Uma equac¸a˜o com varia´veis separa´veis e´ uma EDO de primeira ordem na
qual a expressa˜o
dy
dx
pode ser fatorada como uma func¸a˜o de x vezes uma func¸a˜o de y, ou seja,
pode ser escrita na forma
dy
dx
= g(x)h(y) (3.9)
O nome separa´vel vem do fato de que a expressa˜o do lado direito da Equac¸a˜o 3.9 pode
ser “separada” em uma func¸a˜o de x e uma func¸a˜o de y.
Observe que a equac¸a˜o diferencial 3.9 possui soluc¸o˜es constantes se, e somente se, a func¸a˜o
h(y) se anular. De fato, se na Equac¸a˜o 3.9 temos h(y) = 0 vem que
dy
dx
= 0, donde por integrac¸a˜o direta obtemos a soluc¸a˜o constante y(x) = C.
Vamos admitir que queremos encontrar soluc¸o˜es na˜o constantes, ou seja, vamos assumir
que h(y) 6= 0. Sendo h(y) 6= 0 a Equac¸a˜o 3.9 pode ser reescrita na forma diferencial
1
h(y)
dy = g(x)dx. (3.10)
Com este passo dizemos que separamos as varia´veis, pois, todos os y esta˜o de um lado da
equac¸a˜o e todos os x esta˜o do outro lado. Agora, integrando ambos os membros da Equac¸a˜o
3.10 obtemos as soluc¸o˜es na˜o constantes da EDO, que e´:∫
1
h(y)
dy =
∫
g(x)dx. (3.11)
Portanto, a Equac¸a˜o (3.11) fornece um Me´todo de Resoluc¸a˜o para resolver uma EDO de
primeira ordem com varia´veis separa´veis.
Nota 3.1: E´ fa´cil ver que a Equac¸a˜o 3.9 reduz a` forma da equac¸a˜o diferencial 3.2 quando
h(y) = 1.
Assim como, a Equac¸a˜o 3.4 tambe´m reduz a` forma da Equac¸a˜o 3.2 quando
a1(x) = 1 e a0(x) = 0.
Exemplo 3.4: Verifique se as seguintes EDO’s de primeira ordem sa˜o de varia´veis separa´veis.
1.
dy
dx
= y2x e3x+4y 2.
dy
dx
= y + sen(x)
32 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
Soluc¸a˜o: A primeira equac¸a˜o podemos fatorar da seguinte maneira
dy
dx
= (x e3x)(y2 e4y)
Portanto, esta equac¸a˜o e´ de varia´veis separa´veis. Agora a segunda na˜o e´ poss´ıvel expressa-la
como sendo um produto de uma func¸a˜o de x por uma func¸a˜o de y, ou seja, a equac¸a˜o na˜o e´
de varia´veis separa´veis.
Exemplo 3.5: Resolva a equac¸a˜o diferecial (1 + x)dy − ydx = 0.
Soluc¸a˜o: Dividindo os dois lados da igualdade por (1 + x)y tem-se
dy
y
=
dx
(1 + x)
de onde segue que ∫
dy
y
=
∫
dx
(1 + x)
ln|y| = ln|1 + x|+ C1
elevando a e ambos os membros da u´ltima igualdade vem que
y(x) = eln|1+x|+C1 = eln|1+x|. eC1
= |1 + x| eC1 = ± eC1(1 + x)
Chamando ± eC1 de C obtemos a soluc¸a˜o geral que e´ dada por:
y(x) = C(1 + x).
Exemplo 3.6: Resolva o problema de valor inicial:

dy
dx
= −x
y
y(4) = −3
.
Soluc¸a˜o: Reescrendo a equac¸a˜o como
ydy = −xdx, vem que,
∫
ydy = −
∫
xdx.
cuja soluc¸a˜o e´
y2
2
= −x
2
2
+ C1, ou ainda, y
2 + x2 = 2C1.
Chamando 2C1 de C
2 vemos que a soluc¸a˜o geral para o PVI sa˜o c´ırculos conceˆntricos com
centro na origem, ou melhor,
y2 + x2 = C2.
3.3 Equac¸o˜es com Varia´veis Separa´veis 33
Agora, quando x = 4, temos que y(4) = −3, ou seja, C2 = (−3)2 + 42 = 25. Portanto o PVI
dado possui como soluc¸a˜o o c´ırculo
y2 + x2 = 25.
Nota 3.2: Observe que a soluc¸a˜o apresentada esta na forma impl´ıcita. Mas, podemos a
partir desta soluc¸a˜o impl´ıcita encontar uma soluc¸a˜o expl´ıcita que satifaz a condic¸a˜o inicial
dada. Para isto, basta “isolar” y, o que nos fornece
y = ±
√
25− x2, com − 5 < x < 5
Como o ponto (4,−3) encontra-se no quarto quadrante temos que a soluc¸a˜o desejada e´
y = −
√
25− x2
3.3.1 Exerc´ıcios
1. Verifique se as seguintes EDO’s de primeira ordem sa˜o de varia´veis separa´veis.
1) (x− 1)dy − ydx = 0
2)
dy
dx
=
1 + y2
(1 + x2)xy
3)
dy
dx
+ ycos(x) = 0
4) sec2(x)tg(y)dx+ sec2(y)tg(x)dy = 0
5)
dy
dx
= 3x− 1
6) (1 + x2)y3dx+ (1− y2)x3dy = 0
7)
1
x
− tg(y)dy
dx
= 0
8) 4xy2dx+ (x2 + 1)dy = 0
9) xydx− 3(y − 2)dy = 0
10) xdx+ y e−x
2
dy = 0
11)
dy
dx
= e3x+2y
12)
dy
dx
= sen(5x)
13) xy′ = 4y
14) (x2 + 1)dx+ (y2 + y)dy = 0
15) sen(x)dx+ ydy = 0
16) a
(
x
dy
dx
+ 2y
)
= xy
dy
dx
17) xdx−
√
4− x
y
dy = 0
18) tg(x)sec(y)dx− tg(y)sec(x)dy = 0
19) (x2 − 1)√1− y2dx− x2dy = 0
20)
dy
dx
=
1 + y2
1 + x2
21) xy′ = 4y
22) x2y′ = y − xy
23) yln(x)
dy
dx
=
(
y + 1
x
)2
24)
dy
dx
+ 2xy = 0
25) y′ + 2y = 1
26) dx+ e3xdy = 0
2. Resolva todas as equac¸o˜es com varia´veis separa´veis do item anterior.
3. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais.
1)

dx
dt
= 4(x2 + 1)
x(pi
4
) = 1
2)

( e2y − y)cos(x)dy
dx
= eysen(2x)
y(0) = 0
34 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
3.4 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem
como modelos matema´ticos
Modelos matema´ticos sa˜o utilizadosem muitos campos da atividade humana, como: Matema´tica,
Economia, F´ısica, Qu´ımica, Biologia, Psicologia, Comunicac¸a˜o, Demografia, Astronomia, En-
genharia, etc.
Muitos problemas pra´ticos necessitam usar modelos matema´ticos e as vezes, as situac¸o˜es
sa˜o muito diferentes, mas a abordagem e a filosofia subjacentes sa˜o as mesmas.
Existe uma forma matema´tica unificada para tratar muitas teorias cient´ıficas e matema´ti-
cas e tais te´cnicas podem ser descritas como uma dinaˆmica geral, que tem sido desenvolvida
em a´reas conhecidas como Teoria de Sistemas e Teoria de Controle, como e´ o caso do Ca´lculo
Diferencial e Equac¸o˜es Diferenciais.
Conceitualmente, um modelo matema´tico ou simplesmente modelo, pode ser apresentado
como uma representac¸a˜o de um sistema real, o que significa que um modelo deve representar
um sistema e a forma como ocorrem as modificac¸o˜es no mesmo.
O ato de modelar, conhecido como modelagem, pode ser aplicado a um grande nu´mero de
problemas. Por exemplo, o estudo da ana´lise ambiental nas proximidades de um rio, a forma
da asa de um avia˜o, um sistema econoˆmico, uma cultura agr´ıcola, um estudo populacional,
um estudo f´ısico, e ate´ mesmo um sistema matema´tico como o conjunto dos nu´meros naturais.
O objetivo mais importante de um modelo e´ que ele permite entender o pro´prio modelo
de uma forma simples ou enta˜o descrever este modelo mais completamente, de modo que o
modelo possa ser ta˜o preciso quanto o mundo real.
Um modelo e´ normalmente uma simplificac¸a˜o do mundo real ou alguma forma conveniente
de trabalhar com este mundo, mas as caracter´ısticas essenciais do mundo real devem aparecer
no modelo, de modo que o seu comportamento seja igual ou semelhante a`quele do sistema
modelado.
Um modelo pode ser real ou abstrato. Em diversos exemplos, a ana´lise ambiental de um
rio e a forma da asa de um avia˜o ou o aerofo´lio de um carro de corrida, e´ usual construir
modelos f´ısicos e fazer as medidas nos pro´prios modelos.
Em um sistema econoˆmico ou em um estudo de uma populac¸a˜o, devemos usar um modelo
abstrato e empregar a linguagem matema´tica para definir o modelo. Na˜o e´ normal tratar a
populac¸a˜o como cobaia, como acontece algumas vezes em nosso planeta.
Na sequeˆncia, trataremos sobre modelos abstratos, que podem ser descritos por equac¸o˜es
matema´ticas, portanto usaremos o termo modelo para representar modelo matema´tico.
Um modelo matema´tico consiste de um conjunto de equac¸o˜es que representam de uma
forma quantitativa, as hipo´teses que foram usadas na construc¸a˜o do modelo, as quais se
apoiam sobre o sistema real. Tais equac¸o˜es sa˜o resolvidas em func¸a˜o de alguns valores
conhecidos ou previstos pelo modelo real e podem ser testadas atrave´s da comparac¸a˜o com
os dados conhecidos ou previstos com as medidas realizadas no mundo real.
As equac¸o˜es matema´ticas de um modelo na˜o proporcionam a pro´pria explicac¸a˜o cient´ıfica
do modelo, mas simplesmente interpretam as hipo´teses de um ponto de vista quantitativo,
dando-nos a condic¸a˜o de deduzir consequeˆncias e mostrar-nos onde esta˜o os detalhes que
devera˜o ser aceitos ou recusados.
De maneira geral, a construc¸a˜o de um modelo matema´tico de um problema segue o
3.4 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem como modelos matema´ticos 35
seguinte:
• comec¸a com a identificac¸a˜o das varia´veis responsa´veis pela variac¸a˜o do sistema. Pode-
mos a princ´ıpio optar por na˜o incorporar todas essas varia´veis no modelo. Nesta etapa,
estamos especificando o n´ıvel do problema.
• Por fim, elaboramos um conjunto de hipo´teses razoa´veis ou pressuposic¸o˜es sobre o
problemas que estamos tentando descrever. Essas hipo´teses devera˜o incluir quaisquer
leis emp´ıricas aplica´veis ao problema.
3.4.1 Dinaˆmica populacional
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
da matema´tica foi feita pelo economista ingleˆs Thomas Malthus, em 1978. Basicamente, a
ide´ia por tra´s do modelo malthusiano e´ a hipo´tese de que a taxa segundo a qual a populac¸a˜o
de um pa´ıs cresce em um determinado instante e´ proporcional a` populac¸a˜o do pa´ıs naquele
instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em em instante t, mais pessoas va˜o
existir no futuro. Em termos matema´ticos, se P (t) representa a populac¸a˜o total no instante
t, enta˜o essa hipo´tese e´ expressada por:
dP (t)
dt
= kP (t) ou, simplesmente
dP
dt
= kP
onde k e´ uma constante de proporcionalidade.
Em geral, o modelo muito usado hoje em dia para modelar o crescimento/decaimento de
pequenas populac¸o˜es, em um curto intervalo de tempo, e´ dado pelo PVI:
dx
dt
= kx
x(t0) = x0
(3.12)
Exemplo 3.7: Uma cultura tem inicialmente P0 bacte´rias. Em t = 1h, o nu´mero medido de
bacte´rias e´ de
3
2
P0. Se a taxa de crescimento for proporcional ao nu´mero de bacte´rias P (t)
presente no instante t, determine o tempo necessa´rio para triplicar o nu´mero de bacte´rias.
Soluc¸a˜o: Para resolver este problema, basta simplesmente, resolver o problema de valor
inicial 3.12 com:
x(t) = P (t)
t0 = 0
ou seja, P (0) = P0, e na sequeˆncia, usar a observac¸a˜o emp´ırica de que
P (1) =
3
2
P0
para determinar a constante de proporcionalidade k.
36 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
3.4.2 Decaimento radioativo
O nu´cleo de um a´tomo consiste em combinac¸o˜es de pro´tons e neˆutrons. Muitas dessas combi-
nac¸o˜es sa˜o insta´veis, isto e´, os a´tomos decaem ou transmutam em a´tomos de outra substaˆncia.
Esses nu´cleos sa˜o chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente
radioativo elemento ra´dio, Ra-226, transmuta-se no ga´s radoˆnio radioativo, Rn-222.
Para modelar o fenoˆmeno de decaimento radioativo, supo˜e-se que a velocidade (taxa)
dA
dt
segundo a qual o nu´cleo de uma substaˆncia decai e´ proporcional a` quantidade A(t) de
substaˆncia remanescente no intante t, ou seja,
dA
dt
= kA
Exemplo 3.8: Em f´ısica, a meia-vida e´ uma medida da estabilidade de uma substaˆncia
radioativa. A meia-vida e´ simplesmente o tempo necessa´rio para a metade dos a´tomos em
uma quantidade inicial A0 desintegrar-se ou transformar-se em a´tomos de um outro elemento.
Quanto maior for a meia-vida de uma substaˆncia, mais esta´vel ela sera´. Vamos como exemplo
calcular a meia-vida do plutoˆnio.
Um reator regenerador converte uraˆnio 238 relativamente esta´vel no iso´topo plutoˆnio
239. Depois de 15 anos determinou-se que 0, 043% da quantidade inicial A0 de plutoˆnio
desintegrou-se. Ache a meia-vida desse iso´topo, se a taxa de desintegrac¸a˜o for proporcional
a` quantidade remanescente.
Soluc¸a˜o: Seja A(t) a quantidade de plutoˆnio remanescente no instante t. Como e´ fa´cil
verificar, a func¸a˜o
A(t) = A0 e
kt
e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
dA
dt
= kA
A(0) = A0
Se 0, 043% dos a´tomos de A0 tiverem se desintegrado, restara˜o 99, 957% de substaˆncia.
Para encontrar a constante de decaimento k, usamos
A(15) = 0, 99957A0, ou melhor, A0 e
15k = 0, 99957A0
o que nos fornece
k =
1
15
ln(0, 99957)
Logo,
A(t) = A0 e
1
15
ln(0,99957)t
Agora, a meia-vida corresponde ao valor do tempo t para o qual
A(t) =
1
2
A0.
3.4 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem como modelos matema´ticos 37
Exemplo 3.9: Foi encontrado um osso fossilizado que conte´m um mile´simo de quantidade
original de C-14. Determine a idade do fo´ssil.
Soluc¸a˜o: A Teoria da Datac¸a˜o por Carbono baseia-se no fato de que o iso´topo carbono
14 e´ produzido na atmosfera pela ac¸a˜o da radiac¸a˜o co´smica sobre o nitrogeˆnio. A raza˜o da
quantidade de C-14 em relac¸a˜o ao carbono comum na atmosfera parece ser uma constante e,
consequentemente, a quantidade de iso´topo presente em todos os organismos vivos e´ a mesma
na atmosfera.Assim, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em
um fo´ssil com a raza˜o constante encontrada na atmosfera, e´ poss´ıvel obter uma estimativa
razoa´vel da idade do fo´ssil. O me´todo baseia-se no conhecimento de que a meia-vida do
radioativo C-14 e´ aproximadamente 5.600 anos. Assim, o ponto de partida para solucionar o
problema em questa˜o e´ o PVI 
dA
dt
= kA
A(0) = A0
cuja soluc¸a˜o e´ dada por
A(t) = A0 e
kt.
Para determinar o valor da constante de decaimento k, usamos o fato de que
A0
2
= A(5600), ou melhor,
1
2
A0 = A0 e
5600k
Donde obtemos
k = − ln(2)
5600
Finalmente, de
A(t) =
1
1000
A0
obtemos o tempo t procurado.
3.4.3 Lei de Newton do esfriamento/aquecimento
De acordo com a lei emp´ırica de Newton do esfriamento/aquecimento, a taxa (velocidade)
segundo a qual a temperatura de um corpo varia e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temper-
atura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente.
Assim, se T (t) representar a temperatura de um corpo no instante t, e Tm a temperatura do
meio que o rodeia enta˜o temos:
dT
dt
= k(T − Tm)
onde k e´ uma constante de proporcionalidade.
Exemplo 3.10: Quando um bolo e´ tirado do forno, sua temperatura e´ 300oF . Treˆs minutos
depois, sua temperatura e´ 200oF . Quanto tempo levara´ para o bolo resfriar ate´ a temperatura
ambiente de 70oF?
38 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
Soluc¸a˜o: De acordo com a Lei do esfriamento/aquecimento de Newton temos que Tm = 70.
Portanto devemos resolver o PVC dado por
dT
dt
= k(T − 70)
T (0) = 300
T (3) = 200
Observe que a equac¸a˜o diferencial dada no PVC acima e´ de varia´veis separaveis, e para
determinar, se poss´ıvel, a constante C resultante da resoluc¸a˜o da referida equac¸a˜o diferencial,
usamos a condic¸a˜o T (0) = 300. E para determinar, se poss´ıvel, o valor de k nos valemos da
condic¸a˜o T (3) = 200.
Exemplo 3.11: O cafe´ esta´ a 90oC logo depois de coado e, um minuto depois, passa para
85oC, em uma cozinha a 25oC. Vamos determinar a temperatura do cafe´ em func¸a˜o do tempo
e o tempo que levara´ para o cafe´ chegar a 60oC.
Soluc¸a˜o: De acordo com a Lei do esfriamento/aquecimento de Newton temos que Tm = 25,
e temos que resolver o PVC dado a seguir
dT
dt
= k(T − 25)
T (0) = 90
T (1) = 85
(3.13)
Observando que a equac¸a˜o diferencial dada e´ de varia´veis separaveis, usando o respectivo
meto´do de soluc¸a˜o, obtemos que a temperatura do cafe´ em func¸a˜o do tempo e´ dada por
T (t) = 25 + 65 eln(
60
65
)t
onde a constante C, resultante da resoluc¸a˜o da referida equac¸a˜o diferencial, e o valor de k,
foram obtidos atrave´s das condic¸o˜es T (0) = 300 e T (1) = 85, respectivamente.
Fazendo T (t) = 60 na Equac¸a˜o 3.13 vem que
60 = 25 + 65 eln(
60
65
)t
Logo, o tempo necessa´rio para que o cafe´ atinja 60o e´
t =
ln(35
65
)
ln(60
65
)
≈ 8 min
3.4 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem como modelos matema´ticos 39
3.4.4 Mistura de duas soluc¸o˜es salinas
A mistura de dois fluidos algumas vezes da´ origem a uma equac¸a˜o diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura.
Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial
de V0 litros e Q0 gramas de sal. Suponhamos, tambe´m, que uma soluc¸a˜o salina seja bombeada
para dentro do tanque a uma taxa de Te litros por minuto possuindo uma concentrac¸a˜o de
Ce gramas de sal por litro. Suponha que a soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de Ts litros
por minuto.
A taxa de variac¸a˜o da quantidade Qt de sal no tanque e´ igual a` taxa com que entra sal
no tanque menos a taxa com que sai sal do tanque, ou seja,
dQ
dt
= (taxa de entrada de sal) - (taxa de sa´ıda de sal)
A taxa com que entra sal no tanque e´ igual a taxa com que entra a mistura, ou seja, Te,
vezes a concentrac¸a˜o de entrada, Ce.
TeCe
E a taxa com que sai sal do tanque e´ igual a taxa com que sai a mistura do tanque, ou seja,
Ts, vezes a concentrac¸a˜o de sal que sai do tanque, Cs.
TsCs
Dessa forma, a taxa de variac¸a˜o da quantidade Qt de sal no tanque pode ser dada como
dQ
dt
= TeCe − TsCs
Como a soluc¸a˜o e´ bem misturada a concentrac¸a˜o de sal que sai e´ igual a concentrac¸a˜o de
sal no tanque, ou seja,
Cs(t) =
Q(t)
V (t)
onde V (t) e´ o volume no tanque.
Como o volume no tanque, V (t), e´ igual ao volume inicial, V0, somado ao volume que
entra no tanque menos o volume que sai do tanque, enta˜o
V (t) = V0 + Tet− Tst
= V0 + (Te − Ts)t
Assim, a quantidade de sal no tanque, Q(t), e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial:
dQ
dt
= TeCe − Ts Q
V0 + (Te − Ts)t
Q(0) = Q0
40 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´ria de Primeira Ordem
Exemplo 3.12: Num tanque ha´ 100 litros de salmoura contendo 30 gramas de sal em soluc¸a˜o.
A´gua (sem sal) entra no tanque a` raza˜o de 6 litros por minuto e a mistura se escoa a` raza˜o de
4 litros por minuto, conservando-se a concentrac¸a˜o uniforme por agitac¸a˜o. Vamos determinar
qual a concentrac¸a˜o de sal no tanque ao fim de 50 minutos.
Soluc¸a˜o: O problema pode ser modelado pelo seguinte problema de valor inicial
dQ
dt
= −4 Q
100 + 2t
Q(0) = 30
A equac¸a˜o acima e´ linear e pode ser escrita como
dQ
dt
+ 4
Q
100 + 2t
= 0
Neste caso o fator integrante e´ dado por
e
∫
4
100+2t
dt = (100 + 2t)2
Multiplicando-se a equac¸a˜o pelo fator integrante obtemos
d
dt
[(100 + 2t)2Q] = 0
Integrando-se obtemos
(100 + 2t)2Q = C
ou seja,
Q(t) =
C
(100 + 2t)2
Substituindo t = 0 e Q(0) = 30 vem que:
C = 30.1002 = 3.105
Assim,
Q(t) =
3.105
(100 + 2t)2
A concentrac¸a˜o e´ o quociente da quantidade de sal pelo volume que e´ igual a
V (t) = 100 + 2t
Logo
c(t) =
3.105
(100 + 2t)3
Portanto, apo´s 50 minutos
c(50) =
3.105
(100 + 2.50)3
=
3
80
gramas/litro
3.4 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem como modelos matema´ticos 41
Exemplo 3.13: Um determinado reme´dio e´ injetado na veia de um paciente de hospital. O
l´ıquido, contendo 5 mg/cm3 do reme´dio, entra na corrente sanqu´ınea do paciente a uma taxa
de 100 cm3/h. O reme´dio e´ absorvido pelos tecidos do corpo, ou deixa a corrente sangu´ınea
de outro modo, a uma taxa proporcional a` quantidade presente, com um coeficiente de
proporcionalidade igual a 0, 4/h. Supondo que o reme´dio e´ distribu´ıdo uniformemente na
corrente sangu´ınea, escreva uma equac¸a˜o diferencial para a quantidade de reme´dio presente
na corrente sangu´ınea em qualquer instante de tempo.
Soluc¸a˜o: Sa˜o injetados 100 cm3 por hora, e cada cent´ımetro cu´bico conte´m 5 mg do reme´dio.
Assim, o reme´dio entra na corrente sangu´ınea do paciente a uma taxa de 500 mg/h. Por
outro lado, se Q(t) e´ a quantidade (em mg) de reme´dio na corrente sangu´ınea no tempo t,
enta˜o o reme´dio deixa a corrente sangu´ınea a uma taxa de
0, 4Q(t) mg/h
A taxa de variac¸a˜o da quantidade de reme´dio e´ dada pela diferenc¸a entre a quantidade
que entra e quantidade que sai da corrente sangu´ınea por unidade de tempo. Segue-se que a
equac¸a˜o diferencial para a quantidade de reme´dio presente na corrente sangu´ınea em qualquer
instante de tempo e´ dada por
dQ(t)
dt
= 500− 0, 4.Q(t)
3.4.5 Reac¸o˜es qu´ımicas: irrevers´ıveis mononucleares e bimolecular
irrevers´ıvel
Iniciamos esta sec¸a˜o apresentando alguns conceitos de Cine´tica Qu´ımica. Comec¸amos definindo
o que venha a ser Cine´tica Qu´ımica:
Definic¸a˜o 3.3: Cine´tica qu´ımica e´ o estudo da velocidade das reac¸o˜es, de como a veloci-
dade varia em func¸a˜o das diferentes condic¸o˜es e quais os mecanismos de desenvolvimento
de uma reac¸a˜o. Aqui entendemos Velocidade de uma reac¸a˜o qu´ımica como