1270770 2 movimento em duas e tres dimensoes

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Física Geral I
2. Movimento em Duas e Três Dimensões
Profa. Cláudia Vasconcelos
Pontifícia Universidade Católica
Departamento de Física e Química
Sumário
1 Posição e deslocamento
2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4 Movimento de Projéteis
5 Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Movimento Vertical
Efeito do Ar
6 Movimento Circular Uniforme
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Sumário
1 Posição e deslocamento
2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4 Movimento de Projéteis
5 Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Movimento Vertical
Efeito do Ar
6 Movimento Circular Uniforme
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Posição e deslocamento
Vetor posição em duas dimensões:
~r = xiˆ + yˆj
Vetor posição em três dimensões:
~r = xiˆ + yˆj + zkˆ
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Posição e deslocamento
Figura 4-1 O vetor posição ~r de uma partícula é a
soma vetorial de suas componentes vetoriais.
Vetor posição:
~r = (−3 m)ˆi + (2 m)ˆj + (5 m)kˆ
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Posição e deslocamento
Figura 4-4 O deslocamento ∆~r de uma partícula
durante um intervalo de tempo ∆t, da posição 1,
com vetor posição ~r1 no instanta t1, até a posição
2, com vetor posição ~r2 no instante t2. A figura
mostra também a tangente à trajetória da partícula
na posição 1.
Vetor deslocamento:
∆~r = ~r2 −~r1
Vetor deslocamento como função
de suas componentes:
∆~r = (x2 − x1)ˆi + (y2 − y1)ˆj
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EXEMPLOS
1 A Fig. 4-24 mostra a posição inicial i e a posição final f de uma partícula.
Determine (a) o vetor posição inicial~ri e (b) o vetor posição final~rf da partícula,
ambos na notação de vetores unitários. (c) Qual é a componentes x do
deslocamento ∆~r?
Figura 4-24 Pergunta 1.
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Sumário
1 Posição e deslocamento
2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4 Movimento de Projéteis
5 Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Movimento Vertical
Efeito do Ar
6 Movimento Circular Uniforme
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Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Figura 4-4
Velocidade Média
~vméd =
∆~r
∆t
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Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Figura 4-5 A velocidade ~v de uma partícula
e as componentes escalares de ~v.
Velocidade Instantânea
~v = lim
∆t→0
∆~r
∆t
=
d~r
dt
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Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Figura 4-5
A direção da vellcidade instantânea~v de uma
partícula é sempre tangente à trajetória da
partícula na posição da partícula.
~v = vx iˆ + vyˆj
vx =
dx
dt
vy =
dy
dt
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Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Movimento tridimensional
~v = vx iˆ + vyˆj + vzkˆ
vx =
dx
dt
vy =
dy
dt
vz =
dz
dt
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Sumário
1 Posição e deslocamento
2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4 Movimento de Projéteis
5 Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Movimento Vertical
Efeito do Ar
6 Movimento Circular Uniforme
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Aceleração Média e Aceleração Instantânea
Aceleração Média
~améd =
~v2 − ~v1
∆t
=
∆~v
∆t
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Aceleração Média e Aceleração Instantânea
Figura 4-7 A aceleração ~a de uma partícula
e as componentes escalares de ~a.
Aceleração Instantânea
~a = lim
∆t→0
∆~v
∆t
=
d~v
dt
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Aceleração Média e Aceleração Instantânea
Figura 4-7 A aceleração ~a de uma partícula
e as componentes escalares de ~a.
~a = ax iˆ + ayˆj
ax =
dvx
dt
ay =
dvy
dt
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Aceleração Média e Aceleração Instantânea
Movimento tridimensional
~a = ax iˆ + ayˆj + azkˆ
ax =
dvx
dt
ay =
dvy
dt
az =
dvz
dt
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Sumário
1 Posição e deslocamento
2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4 Movimento de Projéteis
5 Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Movimento Vertical
Efeito do Ar
6 Movimento Circular Uniforme
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Movimento de Projéteis
No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são
independentes, ou seja, um não afeta o outro.
Figura 4-11 Uma bola é deixada cair a partir
do repouso no mesmo instante que outra
bola é lançada horizontalmente para a di-
reita. Os movimentos verticais das duas
bolas são iguais.
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Movimento de Projéteis
Figura 4-10
Velocidade inicial ~v0
~v0 = v0x iˆ + voyˆj
v0x = v0 cos θ0 v0y = v0 sin θ0
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Sumário
1 Posição e deslocamento
2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4 Movimento de Projéteis
5 Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Movimento Vertical
Efeito do Ar
6 Movimento Circular Uniforme
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Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Não existe aceleração na direção horizontal, a componente horizontal vx da
velocidade de um projéticl permanece inalterada e igual ao seu valor inicial v0x
durante toda a trajetória.
Figura 4-10
Equação horária da posição:
x − x0 = v0x t
= (v0 cos θ0)t
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Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Vertical
Figura 4-10
Equação horária da posição:
y− y0 = v0yt + 12ayt
2
= (v0 sin θ0)t − 12gt
2
Equação horária da velocidade:
vy = v0y + ayt
= v0 sin θ0 − gt
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Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Vertical
Figura 4-10
Equação de Torricelli (vy × y):
v2y = v
2
0y + 2ay∆y
= (v0 sin θ0)2 − 2g(y− y0)
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Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Vertical
Figura 4-10
Equação da trajetória:
y = (tan θ0)x − gx
2
2(v0 cos θ0)2
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Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Vertical
Figura 4-10
Alcance horizontal:
R =
v20
g
sin (2θ0)
O alcance horizontal R é máximo para
um ângulo de lançamento de 45◦.
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Sumário
1 Posição e deslocamento
2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4 Movimento de Projéteis
5 Análise do Movimento de um Projétil
Movimento Horizontal
Movimento Vertical
Efeito do Ar
6 Movimento Circular Uniforme
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Movimento Circular Uniforme
Figura 4-19 Os vetores velocidade e ace-
leração de uma partícula em movimento
circular uniforme.
Aceleração centrípeta
a =
v2
r
Período
T =
2pir
v
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	Posição e deslocamento
	Velocidade Média e Velocidade Instantânea
	Aceleração Média e Aceleração Instantânea
	Movimento de Projéteis
	Análise do Movimento de um Projétil
	Movimento Horizontal
	Movimento Vertical
	Efeito do Ar
	Movimento Circular Uniforme