lei dos senos e cossenos

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Resolução comentada 
Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos 
1 
1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma 
ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º 
e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento 
da ponte. 
Inicialmente, vamos colocar os dados no 
triângulo e identificar o que se pretende 
calcular. 
45° 
30° 
x 
Aplicando a Lei dos senos, temos: 
100 m 
O comprimento da ponte é 
2 
2. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual 
se conhecem um lado AB = 10m e o ângulo oposto C = 60º. 
Representando geometricamente a situação, temos: 
R 
A 
B 
C 
10 
60° 
Aplicando a lei dos senos: 
Racionalizando: 
Assim, o raio da circunferência circunscrita é 
3 
3. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um 
ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado. 
Representando geometricamente a situação, temos: 
6 cm 
A 
C x 
120° 
B 
10 cm 
Aplicando a Lei dos cossenos: 
O terceiro lado mede 14 metros. 
4 
Representando geometricamente a situação, temos: 
Aplicando a lei dos senos: 
4. (FUVEST – SP) Em um triangulo ABC o lado AB mede e o 
ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da 
circunferência que circunscreve o triângulo. 
 
R 
A B 
C 
45° 
Assim, o raio da circunferência circunscrita é 
5 
5. (Mack) - Na figura, a área do triângulo ABC é: 
Inicialmente, vamos aplicar a Lei 
dos cossenos no triângulo ACD 
para determinar o ângulo C: 
Como cos C = 0,5; temos que C = 60°. 
60° 
Concluímos assim que ACB = 120° e BAC = 30°. 
Com base nos ângulos internos, verificamos que o triângulo ABC é 
isósceles, e com isso, segue que AC = BC = 4. 
Agora podemos determinar a área (ABC) com a expressão: 
4 
Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a 
120° 
30° 
6 
6. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C 
sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, 
onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a 
distância entre B e C, em km, é: 
a) menor que 90 
b) maior que 90 e menor que 100 
c) maior que 100 e menor que 110 
d) maior que 110 e menor que 120 
e) maior que 120 
Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: 
80 
120 
x 
Aplicando a Lei dos cossenos: 
Como ; temos que 
7 
7. (FEI) – Calcule c, sabendo que a = 4, b = e C = 45º. 
4 = 
45° 
Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: 
Aplicando a Lei dos cossenos, temos: 
Concluímos que a medida do lado c é 
8 
8. (CESGRANRIO) – No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 
8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o 
seno do ângulo B? 
Geometricamente temos: 
6 cm 
A 
C 
B 
8 cm 
30° 
Aplicando a Lei dos senos, segue que: 
9 
9. (FUVEST) 
a) Na figura 1, calcular x. 
b) Na figura 2, calcular y. 
60° 
Aplicando a Lei dos senos: 
Racionalizando: 
Aplicando a Lei dos cossenos: 
10 
Vamos colocar os dados no triângulo e 
identificar o que se pretende calcular. 
5 
60° . 
x 
Chamando BC de y, segue que BD = 2y. 
(A medida da hipotenusa sempre será o 
dobro da medida do cateto oposto ao 
ângulo de 30º). 
120° 
10. (PUC – MG) – Na figura, AB = 5dm, AD = dm, DBC = 60º e 
DCA = 90º. Qual é a medida de CD, em decímetros? 
y 
2y 
30° 
Como o ângulo ABD = 120º, aplicaremos 
a Lei dos cossenos em ABD para obter o 
valor de y. 
Segue que: 
= 5 
Finalmente, do triângulo BCD: 
Com isso, a medida de CD é 
11 
11. (FGV) – Na figura a seguir, são dados DA = cm e AB = 3cm. 
Qual é a área do triângulo CDB, em centímetros quadrados? 
Identificando os dados da questão, 
temos: 
3 Uma vez que a altura do triângulo 
CDB é 3cm, precisamos apenas 
calcular a base CD para encontrar 
a área. 
Vamos determinar o ângulo ɵ: 
Com isso . 
60° 
120° 
= 30° 
Verificamos que ABD = 30º, BDC = 120º e CBD = 30º. Ora, como o lado 
BD = (hipotenusa é igual ao dobro da cateto oposto a 30º) e, como 
BD = CD, temos que CD também tem medida . 
Assim: 
30° 
30° 
12 
12. (Mack) – Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2cm, 
b = 3cm e  = 60º? 
Representando geometricamente: 
2 cm 
A C 
60° 
B 
3 cm 
Temos que Área (ABC) = 
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13. (UNICAMP) – A água utilizada na casa de um sítio é captada e 
bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa 
está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas 
direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se 
pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, 
quantos metros de encanamento são necessários? 
A situação pode ser representada 
pelo esquema: 
50 m 
80 m 
x 
Pela lei dos cossenos, temos: 
São necessários 70 metros de 
encanamento para bombear água 
diretamente do rio até a casa. 
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14. (FEI) – Num triângulo ABC, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Qual 
é o valor de a, sendo ? 
De acordo com os dados: 
a 
A B 
45° 
C 
b 
30° 
Aplicando a Lei dos senos: 
Como , segue que: 
Mas , assim 
15 
15. (Fatec) - Na figura seguinte, qual é a área do triângulo ABC? 
1º modo: 
Basta observar que a base do triângulo 
ABC é e a altura é 0,5. 
. 
h = 0,5 
Assim: 
2º modo: 
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