Lista1 Calculo Numerico 2sem2016

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ICT - UNIFESP - Sa˜o Jose´ dos Campos
Ca´lculo Nume´rico
Segundo Semestre de 2016
Prof. Dr. Thadeu Alves Senne
E-mail: senne@unifesp.br
Lista de Exerc´ıcios 1
Aritme´tica de Ponto Flutuante/Fo´rmula de Taylor
Observac¸o˜es:
(i) Considere sempre, quando pedido, um sistema de ponto flutuante da forma F (b, n, e1, e2) ,
em que b e´ a base nume´rica considerada, n e´ o nu´mero de d´ıgitos na mantissa, e1 e e2 sa˜o o
menor e o maior expoentes poss´ıveis, respectivamente.
(ii) Nos exerc´ıcios sobre fo´rmula de Taylor, use todos os d´ıgitos de sua calculadora cient´ıfica.
1. Considere um sistema de ponto flutuante F (b, n, e1, e2) . Responda os itens a seguir,
justificando corretamente:
(a) Qual e´ o menor nu´mero (em mo´dulo) que pode ser representado usando esse sistema?
E o maior nu´mero (em mo´dulo)?
(b) Qual e´ o nu´mero de mantissas poss´ıveis?
(c) Mostre que a quantidade de nu´meros de ponto flutuante poss´ıveis nesse sistema e´ dado
por
C(F ) = 2(b− 1)bn−1(e2 − e1 + 1) + 1 .
(d) E´ poss´ıvel existir um sistema de ponto flutuante F (b, 2, −2, 5) com 37 elementos?
Justifique com base nos ı´tens anteriores.
2. (a) Mostre que e´ poss´ıvel calcular a abscissa da intersecc¸a˜o da reta que passa pelos pontos
(x0, y0) e (x1, y1) com o eixo x usando as duas expresso˜es abaixo:
x =
x0y1 − x1y0
y1 − y0 e x = x0 −
(x1 − x0)y0
y1 − y0 .
(b) Dados os pontos (9.72, 3.08) e (2.16, 0.67) e considerando um sistema de ponto flu-
tuante na base 10 com 3 d´ıgitos na mantissa, calcule a intersecc¸a˜o da reta em questa˜o
com o eixo x , usando as duas fo´rmulas obtidas no item (a). Qual das duas fo´rmulas e´
melhor? Compare o nu´mero de operac¸o˜es e as poss´ıveis ocorreˆncias de arredondamento.
Justifique.
1
3. Considere um sistema de ponto flutuante F (10, 4, −5, 5) .
(a) Qual e´ o maior nu´mero (em mo´dulo) representado neste sistema? E o menor (em
mo´dulo)?
(b) Como sera´ representado o nu´mero 85339 nesta ma´quina se for usado o arredonda-
mento? E se for usado o truncamento?
(c) Qual e´ o resultado da seguinte operac¸a˜o nesse sistema?
S = 42450 +
10∑
n=1
3 .
(d) Fazer o mesmo para a soma
S =
10∑
n=1
3 + 42450 .
(e) O que podemos concluir dos ı´tens (c) e (d)?
4. Efetue a operac¸a˜o 37654 + 25.874 − 37679 supondo uma ma´quina que trabalha com
somente 4 d´ıgitos na mantissa. Calcule o erro relativo dessa operac¸a˜o.
5. Considere a equac¸a˜o quadra´tica
x2 + 0.3004x+ (1.32× 10−4) = 0 .
(a) Encontre as soluc¸o˜es dessa equac¸a˜o atrave´s da fo´rmula de Bha´skara, usando todos os
d´ıgitos de sua calculadora cient´ıfica.
(b) Repita o item (a), usando aritme´tica de ponto flutuante com 4 d´ıgitos na mantissa e
arredondamento.
(c) Calcule o erro relativo entre as respectivas soluc¸o˜es obtidas nos itens (a) e (b).
(d) Para a raiz aproximada cujo erro relativo foimaior, use a estrate´gia de racionalizac¸a˜o
da fo´rmula de Bha´skara vista em aula para calcular novamente essa raiz, considerando no-
vamente uma aritme´tica de ponto flutuante com 4 d´ıgitos na mantissa e arredondamento.
Calcule o novo erro relativo entre a soluc¸a˜o obtida no item (a) e a nova aproximac¸a˜o
encontrada.
6. Considere os nu´meros α = 0.4321 × 10−4 , β = 0.3126 × 10−3 e γ = 0.2583 × 101 . Para
cada expressa˜o abaixo:
(i) Calcule o valor da expressa˜o usando todos os d´ıgitos de sua calculadora cient´ıfica.
(ii) Calcule o valor da expressa˜o adotando aritme´tica de ponto flutuante com 4 d´ıgitos na
mantissa, primeiro usando truncamento e, depois, arredondamento.
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(iii) Obtenha o erro relativo de cada expressa˜o entre os valores encontrados nos ı´tens (i) e
(ii), tanto no caso de truncamento quanto no caso de arredondamento. Indique, em cada
expressa˜o, se o menor erro relativo foi encontrado usando truncamento ou arredondamento.
(a) α + β + γ
(b) α/γ
(c) α · (β/γ)
(d) (β/γ) · α
7. Para cada uma das expresso˜es abaixo, reorganize as operac¸o˜es de modo a evitar erros de
ca´lculo ao usar uma aritme´tica de ponto flutuante. Deˆ exemplos que evidenciem tais erros
para cada caso. Siga o exemplo a seguir:
Exemplo: Suponha que queiramos calcular y =
√
x+ 1 − √x em uma ma´quina cujo
sistema de ponto flutuante e´ F (10, 5, −6, 6) . Ou seja, temos no ma´ximo cinco d´ıgitos na
mantissa. Se x = 100000 , fazendo o ca´lculo da maneira como esta´ escrito, ter´ıamos um
problema, pois, nesta ma´quina, x + 1 = 100000 + 1 = 100000 (observe e verifique que o
nu´mero 100001 na˜o pode ser representado). Assim, obter´ıamos y = 0 . Por outro lado, se
escrevermos
y =
√
x+ 1−√x =
(√
x+ 1 +
√
x√
x+ 1 +
√
x
)(√
x+ 1−√x
)
=
1√
x+ 1 +
√
x
,
evitamos o cancelamento dos termos, de modo que obteremos
y =
1
2
√
100000
= 1.5811× 10−3 .
(a)
√
x2 + 1− 1 (b) ln(x−√x2 − 1)
(c) (1− cos(x))/sen(x) (d) (1− cos(x))/x2
(e) x− sen(x) (f) √(1 + cos(x))/2
8. Seja f ∈ C[a, b] uma func¸a˜o deriva´vel em (a, b) . Suponha que o valor de f seja conhecido
em x0 ∈ (a, b) , mas que este valor tenha sido calculado com erro por um programa
de computador, isto e´, se o valor exato e´ f(x0) , enta˜o o valor com erro e´ dado por
f˜(x0) = f(x0 +∆) , de modo que
f(x0) ≈ f˜(x0) = f(x0 +∆) ,
em que ∆ > 0 e´ um erro.
(a) Supondo f(x0) 6= 0 , use o Teorema do Valor Me´dio (visto em Ca´lculo I) para estimar
os erros absoluto |f(x0)− f˜(x0)| e relativo |f(x0)− f˜(x0)|/|f(x0)| .
3
(b) Se ∆ = 5 × 10−6 e x0 = 1 , encontre limitantes superiores para os erros absoluto e
relativo nos casos em que f(x) = ex e f(x) = sen(x) .
9. A func¸a˜o Gama e´ definida como
Γ(x+ 1) =
∫
+∞
0
txe−t dt ,
e, quando x e´ um inteiro na˜o negativo, digamos, x = n , temos que Γ(n+ 1) = n! .
Existem duas aproximac¸o˜es para o valor de ln(Γ(x + 1)) : uma delas e´ conhecida como
aproximac¸a˜o de Stirling ,
ln(Γ(x+ 1)) ≈ x ln(x)− x+ 1
2
ln(2pix) ,
e outra dada por Bill Gosper, que e´ uma pequena modificac¸a˜o da primeira:
ln(Γ(x+ 1)) ≈ x ln(x)− x+ 1
2
ln
(
2pix+
pi
3
)
.
Essas duas aproximac¸o˜es ficam mais precisas a` medida em que o valor de x e´ aumentado.
Encontre o erro relativo para essas duas aproximac¸o˜es quando x = 2 e quando x = 5 .
10. Determine o polinoˆmio de Taylor de grau treˆs P3(x) para a func¸a˜o f(x) =
√
x+ 1 em
torno de x0 = 0 . Aproxime os valores de
√
0.5 ,
√
0.75 ,
√
1.25 e
√
1.5 usando P3(x) e
determine os erros reais.
11. Considere a func¸a˜o f(x) = ex cos(x) .
(a) Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau dois P2(x) para a func¸a˜o f em torno de x0 = 0 .
(b) Use P2(0.5) para encontrar o valor aproximado de f(0.5) e calcule o erro |f(0.5) −
P2(0.5)| .
(c) Determine um limitante superior para o erro |f(x) − P2(x)| cometido ao usar P2(x)
para aproximar f(x) no intervalo [0, 1] .
(d) Aproxime
∫
1
0
f(x) dx usando
∫
1
0
P2(x) dx .
(e) Determine um limitante superior para o erro em (d) usando
∫
1
0
|R2(x)| dx , e compare
esse limitante com o erro real.
ATENC¸A˜O!!! Para calcular os valores de cos(x) , programe sua calculadora para que x
seja medido em radianos!!!
12. Considere a func¸a˜o f(x) = (x− 1) ln(x) .
(a) Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau treˆs P3(x) para a func¸a˜o f em torno de x0 = 1 .
4
(b) Use P3(0.5) para encontrar o valor aproximado de f(0.5) e calcule o erro |f(0.5) −
P3(0.5)| .
(c) Determine um limitante superior para o erro |f(x) − P3(x)| cometido ao usar P3(x)
para aproximar f(x) no intervalo [0.5, 1.5] .
(d) Aproxime
∫
1.5
0.5
f(x) dx usando
∫
1.5
0.5
P3(x) dx .
(e) Determine um limitante superior para o erro em (d) usando
∫
1.5
0.5
|R3(x)| dx , e compare
esse limitante com o erro real.
13. Seja a func¸a˜o f(x) = 2x cos(2x)− (x− 2)2 .
(a) Obtenha o polinoˆmio de Taylor de grau treˆsP3(x) em torno de x0 = 0 e use-o para
calcular o valor aproximado de f(0.4) .
(b) Encontre um limitante superior para o erro |f(x)−P3(x)| cometido ao usar P3(x) para
aproximar f(x) no intervalo [0, 0.8] .
ATENC¸A˜O!!! Para calcular os valores de cos(2x) , programe sua calculadora para que
x seja medido em radianos!!!
14. Seja f(x) =
1
1− x e x0 = 0 . Determine o menor valor inteiro de n para que o polinoˆmio
de Taylor Pn(x) aproxime f(x) com precisa˜o de 10
−6 para qualquer valor de x no intervalo
[0, 0.5] . (Dica: Use o resto de Lagrange Rn(x) da fo´rmula de Taylor).
15. Seja uma func¸a˜o f tal que f(1) = 2 . Determine o polinoˆmio quadra´tico de Taylor de f
em torno de x0 = 1 , sabendo que a reta tangente ao gra´fico de f em x0 = 1 e´ y = 4x− 1
e que f ′′(1) = 6 .
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