Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)

 . (1.53) 
 
 
d) 
   2cos 5x n n
 
 
Novamente, substituindo 
n
 por 
n N
 em d) e aplicando (1.22), chega-se a 
 
   2 2cos 5 cos 5n N n    
. (1.54) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.54) permite ainda obter 
 
   2 2 2cos 5 10 5 cos 5n nN N n     . (1.55) 
Novamente, de (1.55) obtém-se a condição 
28 
 
 
2 2510 5 2 5
2
nN N m m nN N      
, 
m 
. (1.56) 
Uma vez que m é um número inteiro, o segundo membro de (1.56) também tem de ser 
inteiro. Desta forma, uma vez que 
5nN
 já é um inteiro (
n
 e 
N
 são inteiros) é 
necessário que 
 
2
0
5
2
2
N N  
. (1.57) 
Tendo (1.57) solução, e sendo 
 x n
 uma função co-seno, a condição (1.23) é verificada 
 0
5
5 51
2 2 2
1
M


 

   . (1.58) 
 
29 
 
 (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser Problema 1.8.
classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) 
Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 
6) Invertibilidade. 
 
Para classificar os seguintes sistemas, é necessário conhecer as propriedades gerais 
dos sistemas lineares. Estas podem ser definidas da seguinte forma: 
 
1) Memória: Um sistema não tem memória quando, num instante de tempo, a saída 
apenas depende da entrada nesse mesmo instante, i.e., 
 
   1 1 1n y n f x n      
. (1.59) 
e.g., 
   3y n x n
 não tem memória, enquanto que 
   3 1y n x n 
 tem. 
 
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída 
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, para dois sinais idênticos 
até ao instante 
0n
, as saídas são idênticas até ao mesmo instante, i.e., 
 
       1 2 0 1 2 0x n x n n n y n y n n n      
. (1.60) 
Por conseguinte, um sistema sem memória é necessariamente causal, e.g., 
   3y n x n
 e 
   3 1y n x n 
 são causais, enquanto que 
   3 1y n x n 
 não. 
 
3) Invariância no tempo: Um sistema diz-se invariante no tempo, quando uma 
deslocação no sinal de entrada conduz à mesma deslocação no sinal de saída, i.e., 
 
       0 0x n y n x n n y n n    
, 
0n
. (1.61) 
 
4) Linearidade: Um sistema é linear quando uma combinação linear de sinais à 
entrada conduz, na saída, à mesma combinação linear das saídas elementares para 
cada sinal de entrada, i.e., 
    
   
       
1 1
1 2 1 2
2 2
x n y n
ax n bx n ay n by n
x n y n

   

. (1.62) 
30 
 
5) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando 
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., 
 
   0 : 0 :x x y yA x n A n A y n A n          
. (1.63) 
 
6) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam 
em sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva), i.e., 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
. (1.64) 
 
 
 
a) 
   ny n x n
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade 
(1.60) verifica-se que o sistema é causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 1 0
n ny n x n x n n  
. (1.65) 
No entanto, uma vez que, 
 
   00 0
n n
y n n x n n
  
, (1.66) 
é diferente de (1.65) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 
   1 1
ny n x n
, 
   2 2
ny n x n
 pelo que 
 
           1 2 1 2 1 2
n
ax n bx n ax n bx n ay n by n      
, (1.67) 
logo o sistema é não linear. Por exemplo, escolhendo 
1a b 
 no ponto 
2n 
, vem 
para quaisquer dois sinais de entrada 
 1x n
 e 
 2x n
 
 
           
2
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2x x x x y y      
. (1.68) 
31 
 
Neste caso, o sistema não é estável, o que pode ser provado por contra-exemplo. 
Considere-se o sinal de entrada limitado 
  2x n 
, 
n
, pelo que vem 
 
   2 limn
n
y n y n

   
, (1.69) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Para provar a não invertibilidade recorrer-se-á, novamente, ao contra exemplo. 
Definam-se dois sinais diferentes tais que 
 
   
   
1 1
2 2
1, 1 1,
1, 0 1 , 0
1,
2, 0 2 , 0
n
n
n
x n n y n n
n n
x n y n n
n n
     
  
     
  
. (1.70) 
A partir de (1.70) verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.71) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. (Note-se que o sistema perde 
a informação do sinal de entrada no instante 
0n 
). 
 
 
b) Esta alínea corresponde à resolução em paralelo dos problemas IML 1.23h, i, 
representando um grau de dificuldade interessante. Verifiquem-se as diferenças entre os 
dois sistemas semelhantes, 
  
 
 
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n
y n n
x n n


 
   
,  
 
 
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n
y n n
x n n


 
  
. (1.72) 
Note-se que, considerando a propriedade (1.59), se pode observar que 
 hy n
 tem 
memória enquanto que 
 iy n
 não tem memória. Mais ainda, aplicando (1.60), pode 
observar-se que 
 hy n
 é não causal enquanto que 
 iy n
 é causal. Quanto à 
invariância temporal, aplicando (1.61) resulta que, as saídas 
 0y n n
 são dadas por 
 
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
1 , 1
h
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
    
,  
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
, 1
i
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
   
. (1.73) 
32 
 
Considerando novamente sinais auxiliares do tipo 
   0x n x n n  
 resulta que, 
  
 
 
0
0
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n n
y n n
x n n n
 

  
    
,  
 
 
0
0
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n n
y n n
x n n n
 

  
   
. (1.74) 
Uma vez que os resultados (1.74) e (1.73) são diferentes, verifica-se que ambos os 
sistemas são variantes no tempo. Aplicando agora a propriedade (1.62), dos sistemas 
lineares verifica-se que, o sistema 
 hy n
, 
     
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
1 1 , 1
h h h
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
     
, (1.75) 
bem como o sistema 
 iy n
 
      
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
, 1
i i i
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
   
, (1.76) 
são lineares. Mais ainda, quanto à estabilidade, verifica-se que a condição (1.63) é 
sempre cumprida, para qualquer entrada limitada, para ambos os sistemas, pelo que 
estes são estáveis. Quanto à invertibilidade, note-se que, o sistema 
 iy n
 perde a 
informação da entrada no instante 
0n 
 enquanto que o sistema 
 hy n
 não. Desta 
forma, por contra-exemplo considerem-se os sinais 
      
     
1 ,1
2 ,2
0
2 0
i
i
x n n y n
x n n y n


  
  
, (1.77) 
ou seja, 
 
       1 2 ,1 ,2i ix n x n y n y n  
, (1.78)