Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)

(2.29), pelo que o sistema é instável. 
 
 
c) Esta alínea pode ser resolvida pode dois métodos. Método 1. Resolução através das 
propriedades de um sistema LIT. 
 
Novamente, uma vez que o sistema em causa é LIT, e a entrada já está escrita como 
uma soma ponderada de impulsos unitários, é possível dizer que 
               1 1 1 12 4 1 2 4 1 2 4 1x n x n x n y n y n y n h n h n         
. (2.42) 
 
Método 2. Resolução através da definição de convolução. 
 
A saída para o sinal de entrada 
 x n
 pode ser obtida pela definição (2.1) 
55 
 
            
       
2 4 1
2 4 1
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.43) 
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 
 
     2 4 1y n h n h n  
. (2.44) 
Substituindo a definição de 
 h n
 em (2.42) resulta que 
 
         1 1
1
2 4 3 2 4 4
8
n ny n u n u n n n           
. (2.45) 
56 
 
 (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao Problema 2.7.
escalão unitário é dada por: 
 
 
0 , 2, 2, 5
3 , 1
2 , 0
4 , 1
3 , 3
1 , 4
u
n n n
n
n
y n
n
n
n
   
  


 

 

 
. (2.46) 
Determine: a) A resposta impulsional do sistema; b) Se o sistema é causal; c) Se o 
sistema é estável; d) A saída do sistema para o sinal de entrada 
     2 1x n u n u n  
. 
 
a) Através da definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema, a 
partir da resposta ao escalão unitário 
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1 2, 1 2, 1 5
3 , 1 3 , 1 1
2 , 0 2 , 1 0
1
4 , 1 4 , 1 1
3 , 3 3 , 1 3
1 , 4 1 , 1 4
u u
n n n n n n
n n
n n
h n y n y n
n n
n n
n n
          
     
 
   
     
   
     
 
     
. (2.47) 
Após alguns passos algébricos obtém-se 
 
 
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
n n n n n n
n n
n n
h n
n n
n n
n n
        
   
 
  
  
  
    
 
    
, (2.48) 
57 
 
 
 
0 , 2
3 , 1
1 , 0
2 , 1
4 , 2
3 , 3
2 , 4
1 , 5
0 , 6
n
n
n
n
h n n
n
n
n
n
 
  

 



  
 


 


. (2.49) 
 
 
b) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é não causal. 
 
 
c) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 
 
  16
k
h k



. (2.50) 
Ou seja, (2.50) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável. 
 
 
d) Novamente, o sistema em questão é LIT. O sinal de entrada já está escrito como uma 
soma ponderada de escalões unitários. Mais ainda, a resposta a 
 1u n 
 já foi calculada 
na alínea a). Aplicando então os resultados obtidos em (2.48), tem-se que a resposta ao 
sinal 
 x n
 é dada por 
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
2 1 2
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
u u
n n n n n n
n n
n n
y n y n y n
n n
n n
n n
        
   
 
  
     
  
    
 
    
, (2.51) 
 
que após alguma álgebra, permite obter 
58 
 
 
     
0 , 2
3 , 1
4 , 0
0 , 1
2 1 8 , 2
3 , 3
5 , 4
6 , 5
0 , 6
u u
n
n
n
n
y n y n y n n
n
n
n
n
 
  

 



     
 


 


. (2.52) 
 
 
	Prefácio
	Índice
	Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos
	Problema 1.1. (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos.
	Problema 1.2. (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais.
	Problema 1.3. (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, e , tais que
	Problema 1.4. (HSU 1.23) O sinal discreto está desenhado na Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais.
	Problema 1.5. (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o período.
	Problema 1.6. (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o período.
	Problema 1.7. (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental.
	Problema 1.8. (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade.
	Problema 1.9. Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o seu período.
	Problema 1.10. (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade.
	Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos
	Problema 2.1. (HSU 2.30) Avalie , onde e estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução.
	Problema 2.2. (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional para e o sinal de entrada . Determine a resposta do sistema através de: (a) ; (b) .
	Problema 2.3. (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistema LIT é dada por: para . Determine a resposta impulsional do sistema.
	Problema 2.4. (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta impulsional: . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade.
	Problema 2.5. (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por: . Calcule e para o sinal de entrada .
	Problema 2.6. (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta impulsional: . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada .
	Problema 2.7. (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitário é dada por:
	Capítulo 3. Transformada Z
	Problema 3.1. (HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) ; b) .
	Problema 3.2. (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência
	Problema 3.3. (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinte sinal .
	Problema 3.4. (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de
	Problema 3.5. (AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de
	Problema 3.6. (HSU 4.19a) Calcule a transformada inversa de
	Problema 3.7. (HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por
	Problema 3.8. (HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.9. (HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.10. (HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.11. (HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.12. (HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.13. (HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de para cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema:
	Problema 3.14. (AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação às diferenças
	Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos
	Problema 4.1. Seja
	Problema 4.2. Seja
	Problema 4.3. Seja
	Problema 4.4. Sejam
	Problema 4.5. Sabe-se que
	Problema 4.6. (IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5.
	Problema 4.7. (IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7. Escreva