Mecânica II - POli - Prec 2015

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
Mecânica II – PME 3200 – Prova de Recuperação – 23/07/2015 
Duração da Prova: 100 minutos 
 (Não é permitido o uso de dispositivos eletro-eletrônicos) 
 
 
1ª Questão (3,5 pontos) O anel homogêneo (de espessura 
desprezível), de massa m e raio R gira ao redor da barra OG, 
de massa desprezível e comprimento L, com velocidade 
angular a ela relativa (i.e., de rotação própria) constante, ω. 
Sabe-se que este rotor está em movimento de precessão 
estacionária com ângulo θ e taxa de precessão Ω, ambos 
constantes e considerados conhecidos. O sistema Oxyz 
acompanha a barra OG, com Oy sempre horizontal. Os eixos 
Ox, Oy, Oz e OZ são orientados respectivamente pelos 
versores, Kkji
rrrr
 e ,, . Nesta situação de equilíbrio dinâmico, 
determine: 
 
(a) a velocidade angular de rotação própria, ω ; 
(b) a força de reação aplicada ao sistema, pela rótula O. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) No sistema mostrado na figura, 
o disco de centro O, massa M e raio R, rola sem 
escorregar sobre o plano horizontal e está ligado a uma 
parede vertical por meio de uma mola de rigidez k e de 
um amortecedor viscoso linear de constante c. Um 
pêndulo ideal, formado por uma pequena esfera de 
massa m posicionada na extremidade de uma haste de 
comprimento L e de massa desprezível, é acoplado ao 
centro do disco. A mola tem deformação nula quando a 
coordenada x vale zero. Uma força horizontal F(t) atua 
no disco. Usando x e θ como coordenadas 
generalizadas, pede-se: 
k
c
L
m
A
O
M, R
F(t)
θ
x
g
 
(a) a energia cinética do sistema; 
(b) a energia potencial do sistema; 
(c) a função de dissipação de Rayleigh, associada ao amortecedor; 
(d) as demais forças generalizadas não conservativas atuando sobre o sistema; 
(e) as equações de movimento para as coordenadas x
 
e θ, usando o formalismo de Lagrange. 
 
 
 
Z
g
G
O
θ
zΩ
ω
L
x
y
 
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
3ª Questão (3,0 pontos) 
 
Durante a formação de um trem estacionado e imóvel (freio acionado) no pátio de manobras, um 
vagão de massa total m se choca com velocidade constante iuVG
rr
= imediatamente anterior ao 
choque. O contato entre os vagões ocorre no ponto P, coincidente com o centro dos engates tal 
que jbiaGP rr −=− )( . Conhecido o coeficiente de restituição e, devido ao aparelho de choque e 
tração do vagão e desprezando qualquer forma de atrito, pede-se: 
 
a) elabore o diagrama de corpo-livre do vagão no instante do impacto; 
b) equacione o problema de impacto; 
c) determine o impulso Ir aplicado no ponto P do vagão. 
d) determine e a velocidade jviuVG
rrr
′+′=′ , do centro de massa G do vagão, logo após o choque. 
e) determine o vetor de rotação do vagão ω ′r , logo após o choque. 
 
Dado: JGz, momento de inércia total do vagão em torno do eixo Gz no centro de massa. 
 
 
 
 
TREM ESTACIONADO 
x 
VG 
y P G 
 
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
Mecânica II – PME 3200 – Prova de Recuperação – 23/07/2015 
Duração da Prova: 100 minutos 
 (Não é permitido o uso de dispositivos eletro-eletrônicos) 
 
 
1ª Questão (3,5 pontos) 
O anel homogêneo (de espessura desprezível), de massa m e raio 
R gira ao redor da barra OG, de massa desprezível e comprimento 
L, com velocidade angular a ela relativa (i.e., de rotação própria) 
constante, ω. Sabe-se que este rotor está em movimento de 
precessão estacionária com ângulo θ e taxa de precessão Ω, 
ambos constantes e considerados conhecidos. O sistema Oxyz 
acompanha a barra OG, com Oy sempre horizontal. Os eixos Ox, 
Oy, Oz e OZ são orientados respectivamente pelos versores, 
Kkji
rrrr
 e ,, . Nesta situação de equilíbrio dinâmico, determine: 
 
(a) a velocidade angular de rotação própria, ω; 
(b) a força de reação aplicada ao sistema, pela rótula O. 
 
 
 
Resolução: 
 
a) 
kKrelarrabs
rrrrr
ωωωω +Ω=+= ; mas ikK
rrr
θθ sencos −= , logo: 
 
ikabs
rrr θθωω sen)cos( Ω−Ω+=
 (0,5) 
 
Da condição de precessão estacionária, )0 cte; cte;( ≡===Ω= θωψφ &&& , pode-se deduzir, pelo TMA, 
ext
OO MH
r&r
= , com O fixo, um ponto pertencente à extensão ideal rígida do anel , que: 
 
 
( ) mgLmgzIJJ G ==ΩΩ−+ θω cos)( (1,5) 
 
de onde: 
θω cos)1( Ω−+
Ω
=
J
I
J
mgL
; com 2mRJ = e 





+= 2
2
2
LRmI . 
Ou seja: θω cos
2
1
2
2
2 Ω






−+
Ω
=
R
L
R
gL
 (0,5) 
 
b) Neste caso de precessão estacionária ( cte=Ω= Karr
rr
ω ), tem-se: ( ))( OGa arrarrG −∧∧= ωω rrr , de forma 
que: ( ) ( ) )(senθsen 2 jKLjLKkLKKaG rrrrrrrr ∧Ω=Ω∧Ω=∧Ω∧Ω= θ , i.e., 
 
 
( )kiLaG rrr θθ sencossenθ2 +Ω−= (0,5) 
 
Do TMB seguem as reações, kZjYiX
rrv
++ , aplicadas pela articulação ao sistema. 
Z
g
G
O
θ
zΩ
ω
L
x
y
 
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De fato: KmgkZjYiXam G
rrrvr
−++= , ou seja, 
 ( ) )cos(sencossenθ2 kisenmgkZjYiXkiLm rrrrvrr θθθθ +−−++=+Ω− 
 
Tal que: 







 Ω
−=
=







 Ω
+−=
θθ
θθθ
2
2
2
sencos
0
cossensen
g
L
mgZ
Y
g
L
mgX
 . (0,5) 
 
 
2ª Questão
 (3,5 pontos) 
No sistema mostrado na figura, o disco de centro O, 
massa M e raio R, rola sem escorregar sobre o plano 
horizontal e está ligado a uma parede vertical por meio 
de uma mola de rigidez k e de um amortecedor viscoso 
linear de constante c. Um pêndulo ideal, formado por 
uma pequena esfera de massa m posicionada na 
extremidade de uma haste de comprimento L e de 
massa desprezível, é acoplado ao centro do disco. A 
mola tem deformação nula quando a coordenada x vale 
zero. Uma força horizontal F(t) atua no disco. Usando 
x e θ como coordenadas generalizadas, pede-se: 
k
c
L
m
A
O
M, R
F(t)
θ
x
g
 
(a) a energia cinética do sistema; 
(b) a energia potencial do sistema; 
(c) a função de dissipação de Rayleigh, associada ao amortecedor; 
(d) as demais forças generalizadas não conservativas atuando sobre o sistema; 
(e) as equações de movimento para as coordenadas x
 
e θ, usando o formalismo de Lagrange. 
 
Resolução: 
 
(a) Energia Cinética: AD TTT += (D:disco; A: pêndulo) 
 
 Disco, s/ escorregamento (C=CIR): 2
2
2
2
2
4
3
2
3
2
1
2
1 Ω=Ω=Ω= MRMRIT CD . 
 
 Energia cinética do pêndulo: 2
2
1
AA mvT = . 
 
Mas, jLiLxvA
r
&
r
&&
r )sin()cos( θθθθ ++= ; então: ( )222 cos2
2
1 LLxxmTA θθθ &&&& ++= . 
 
Portanto: 222
2
1
cos
2
1
4
3 LmLxmxmMT θθθ &&&& ++





+= . (1,0) 
 
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(b) Energia Potencial: )cos1(
2
1 2 θ−+= mgLkxV . (0,5) 
 
(c) Rayleighiana: 2
2
1
xCR &= . (0,5) 
 
(d) Forças generalizadas outras (exceto as conservativas ou as dissipativas de Rayleigh): 
0
 ;
=
=
ΘQ
FQx
. (0,5) 
(e) Aplicando a equação de Lagrange: j
jjjj
Q
q
R
q
V
q
T
q
T
dt
d
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−








∂
∂
&&
 vem: 
 
( )
( ) 0 sin cos 
 sincos
2
3
2
2
=++
=++−+





+
θθθ
θθθθ
mgLmLxmL
FkxxCmLmLxmM
&&&&
&&&&&&
. (1,0) 
 
 
 
Resolução da 3a. Questão (3,0 pontos) 
Durante a formação de um trem estacionado e imóvel (freioacionado) no pátio de manobras, um 
vagão de massa total m se choca com velocidade constante iuVG
rr
= imediatamente anterior ao 
choque. O contacto entre os vagões ocorre no ponto P, coincidente com o centro dos engates tal 
que jbiaGP rr −=− )( . Conhecido o coeficiente de restituição e, devido ao aparelho de choque e 
tração do vagão e desprezando qualquer forma de atrito, pede-se: 
 
a) elabore o diagrama de corpo-livre do vagão; 
para impacto sem atrito (0,5 pontos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) equacione o problema de impacto; Aplicando o TRI e o TMI no vagão: 
 
 
TRI 




=′
−=′
⇒



=−′
−=−′
⇒−=−′
0
 
0)(
)(
 )(
v
m
I
uu
vvm
Iuum
iIVVm GG
rrr
 (3.1) (0,5 pontos) 
 
x 
VG 
y I P G 
 
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TMI 
GzGz
Gz J
bIk
J
bIkbIJ −=′⇒−=′⇒−=−′ ωωωω )(
rrrrr
 (3.2) (0,5 pontos) 
 
Da formula de campo de velocidades tem-se: 
 
 )( GPVV GP −∧′+′=′ ω
rrr
 → )( jbiak
J
IbiuV
Gz
P
rrrrr
−∧−′=′ 
 )( ibja
J
Ibi
m
I
uV
Gz
P
rrrr
+−





−=′ → j
J
Iabi
J
Ib
m
I
uV
GzGz
P
rrr
−





−−=′
2
 (3.3) 
 
Formula de restituição de Newton iVeiV PP
rrrr
⋅−=⋅′ → ue
J
Ib
m
I
u
Gz
−=





−−
2
 (3.4) 
 
 
c) determine o impulso Ir aplicado no ponto P do vagão; 
 
Utilizando (3.4): )(
)1(
2mbJ
Jme
uI
Gz
Gz
+
+
= → i
mbJ
Jme
uI
Gz
Gz
rr
)(
)1(
2+
+
−=
 (3.5) (0,5 pontos) 
 
 
d) determine e a velocidade jviuVG
rrr
′+′=′ , do centro de massa G do vagão: 
 
Utilizando (3.5) em (3.1) 





+
+
−=′ )(
)1(1 2mbJ
Je
uu
Gz
Gz
 
Sabendo que (3.1): 0=′v i
mbJ
Je
uV
Gz
Gz
G
rr






+
+
−=′ )(
)1(1 2 (0,5 pontos) 
 
e) o vetor de rotação do vagão ω ′r , logo após o choque. 
 
Utilizando (3.5) em (3.2): ( )2
)1(
mbJ
ebm
u
Gz +
+
−=′ω
 (0,5 pontos)