Mecânica II - POli - P2 2006

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – 2ª Prova – 23/5/2006 – Duração 100 minutos 
(Não é permitido o uso de calculadoras). 
 
 
 
 g 
 
 
1ª Questão (3,5 pontos) A figura mostra um 
disco homogêneo, de massa m e raio 2a, que 
gira livremente em torno de seu centro fixo O 
com velocidade angular w . Em um 
determinado instante o ressalto A do disco, de 
dimensões desprezíveis de forma a não alterar a 
distribuição de massa do disco, choca-se com a 
barra de massa m e comprimento 4a que está 
articulada em C e inicialmente em repouso. 
Sendo o coeficiente de restituição e, pede-se: 
a) O diagrama de corpo livre apenas do disco 
e o diagrama de corpo livre apenas da barra. 
b) Determine as velocidades angulares w¢ do 
disco e W¢ da barra após o impacto. 
c) O impulso reativo em O. 
d) O mínimo valor de w para que a barra 
venha a se chocar contra o disco. 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) 
1) No sistema da figura, o disco homogêneo 
(massa m, raio R) gira ao redor da barra OG 
(massa desprezível, comprimento l ) com 
velocidade angular constante w; a barra OG 
mantém a direção horizontal e gira com 
velocidade angular constante W ao redor do 
eixo vertical que passa pela articulação O. O 
conjunto está montado dentro de um 
elevador que sobe com aceleração constante 
a j 
r
. Usando o sistema de coordenadas 
(O,x,y,z) solidário à barra, pede-se: 
a) o vetor de rotação absoluto 
r
wa do disco e a 
aceleração do seu baricentro; 
b) o valor de W para que o movimento descrito 
seja possível (precessão estacionária); 
c) supondo conhecido o valor de W determinado 
no item (b), calcule as reações na articulação 
O; 
d) responda e justifique: o movimento descrito 
será possível se o elevador descer em queda 
livre? 
 
 
 
 
 
2a 
3a a 
O 
A 
B C G D 
m, R
O
w
x, i
j
l G
y,
z, k
W
base do elevador
a
g
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
3ª Questão (3,5 pontos) (baseada no EP) 
 
Considere o pião simétrico sujeito apenas à ação da força 
peso, representado na figura 3.1. O eixo fixo OZ é 
vertical e O é uma articulação. Nestas condições a 
equação diferencial que descreve o movimento do pião é, 
q
q
qabqba
q sen
sen
)cos)(cos(
3 GmgzI
I =
--
+&& 
Onde ( )qfyqqfa coscossin 2 &&& ++== JIKOZ e 
 
( )qfyb cos&& +== JKOz , componentes do momento 
angular nas direções dos eixos OZ e Oz, respectivamente, 
são duas constantes que dependem apenas das condições 
iniciais do movimento; I e J são os momentos de inércia 
do pião em relação aos eixos y e z respectivamente. Os 
valores adotados nas simulações são: 
 IJImgzG 2 ;m kg 1,0 Nm; 2.0
2 === . 
 
a) Esboce o digrama SCICOS para o problema. 
 
- A figura 3.2 mostra os gráficos das coordenadas do 
centro de massa do pião em função do tempo; os itens 
b), c) e d) referem-se a esta figura: 
b) Responda e justifique: que tipo de movimento é 
executado pelo pião? 
c) Calcule aproximadamente o valor da velocidade de 
precessão f& . 
d) Sabendo que no movimento descrito 0>y& , qual o 
sentido def& ? 
- As figuras 3.3.1 e 3.3.2 mostram os gráficos de q e q& 
em função do tempo; sabendo que os dois movimentos 
descritos nestas figuras têm mesmos valores iniciais de 
f e f& , responda e justifique: 
e) Em qual figura é apresentado o movimento que tem o 
maior valor inicial de y& ? 
 
 
Figura 3.3.1 
 
Z
z
y
xX
Y
O
y&
f&
q
q
f
zG
mg
 
Figura 3.1 
 
Figura 3.2 
 
 
 
 
Figura 3.3.2 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
q& 
q
t 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
GZ
GX
GY 
t 
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
q& 
q
t 
PME 2200 – MECÂNICA B – 2ª Prova – 23/5/2006 – Duração 100 minutos 
(Não é permitido o uso de calculadoras). 
 
 
 
 g 
 
 
1ª Questão (3,5 pontos) A figura mostra um 
disco homogêneo, de massa m e raio 2a, que 
gira livremente em torno de seu centro fixo O 
com velocidade angular w . Em um 
determinado instante o ressalto A do disco, de 
dimensões desprezíveis de forma a não alterar a 
distribuição de massa do disco, choca -se com a 
barra de massa m e comprimento 4a que está 
articulada em C e inicialmente em repouso. 
Sendo o coeficiente de restituição e, pede-se: 
a) O diagrama de corpo livre apenas do disco 
e o diagrama de corpo livre apenas da barra. 
b) Determine as velocidades angulares w¢ do 
disco e W¢ da barra após o impacto. 
c) O impulso reativo em O. 
d) O mínimo valor de w para que a barra 
venha a se chocar contra o disco. 
 
 
 
(0,5) 
 
 
 
 
 
Eq. das velocidades relativas: ( ) a2ea2avvevv BAAB w=w¢-W¢Þ-=¢-¢ (eq. 1) (0,5) 
TMI no disco com pólo em O: ( )( ) kIa2JdtMH zOOO
rrr
=w--w¢-Þ=D ò (eq. 2) (0,5) 
TMI na barra com pólo em C: kIakJdtMH zCCC
rrrr
=W¢Þ=D ò (eq. 3) (0,5) 
Substituindo (eq. 2) em (eq. 3): 
( )w¢-w=W¢ÞW¢÷÷ø
ö
ççè
æ
+=w¢-wÞ
7
3
ma
12
ma16
2
2
ma4
2
ma4 2222 
Substituindo em (eq. 1): 
( ) w-=w¢
17
e143
 è 
( ) w+=W¢
17
e16
 è 
( ) w+=
17
e1ma14
I 
 
TI no disco: II0QI Oy -=Þ=D=
rrr
 è 
( )
w
+
-=
17
e1ma14
IOy 0IOx = (0,5) 
Para a barra bater no disco o seu baricentro deverá atingir a altura máxima passando pela vertical 
do ponto C. Pelo TEC: 
a7
g6
mga
3
ma7
2
1
T 22
2
>W¢Þ>W¢÷÷ø
ö
ççè
æ
Þt=D è ( ) a7
g6
e16
17
+
>w (0,5) 
 
2a 
3a a 
O 
A 
B C G D 
ICy 
C 
ICx 
I 
I IOy 
IOx 
2ª Questão (3,0 pontos) 
1) No sistema da figura, o disco homogêneo (massa m, 
raio R) gira ao redor da barra OG (massa 
desprezível, comprimento l ) com velocidade 
angular constante w; a barra OG mantém a direção 
horizontal e gira com velocidade angular constante 
W ao redor do eixo vertical que passa pela 
articulação O. O conjunto está montado dentro de 
um elevador que sobe com aceleração constante 
a j 
r
. Usando o sistema de coordenadas (O,x ,y,z) 
solidário à barra, pede-se: 
a) o vetor de rotação absoluto 
r
wa do disco e a aceleração do seu baricentro; 
b) o valor de W para que o movimento descrito seja possível (precessão estacionária); 
c) supondo conhecido o valor de W determinado no item (b), calcule as reações na articulação O; 
d) responda e justifique: o movimento descrito será possível se o elevador descer em queda livre? 
 
 
jiabs
rrr
W+w=w (0,5) 
 
jaa arr,G
rr = ; iLa 2rel,G
rr W-= ; 0a cor,G
rr = è jaiLa 2G
rrr
+W-= (0,5) 
 
TMA pólo em O: ( ) OOGO MvvmH
rrr&r +Ù= 
 
( ) [ ][ ] { } jmL
4
mR
i
2
mR
kmLvJkjivOGmH 2
22
OabsOOO
rrrrrrrrr
W÷÷ø
ö
ççè
æ
++w+=w+Ù-= 
k
2
mRimLvkmLaH
2
OO
rrr&r Ww-W+= 
 
kmgLM O
rr
-= 
( )[ ] ( )kmgLjvkLjvmk
2
mR
mLaimLv OO
2
O
rrrrrr
-+ÙW-=÷÷ø
ö
ççè
æ
Ww-+W 
 
resolvendo para a direção k
r
: 
( )
w
+=W 2R
agL2
 (1,0) 
 
 
TMB: ( ) ( ) kZjmgYiXjaiLm OOO2
rrrrr
+-+=+W- (0,5) 
 
è LmX 2O W-= è ( )gamYO += è 0ZO = 
 
Caso em queda livre, a = -g 0=WÞ e assim não há precessão. (0,5) 
 
 
 
m, R
O
w
x, i
j
l G
y,
z, k
W
base do elevador
a
g
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
Questão 3 (3,5 pontos) Baseada no 2º Exercício 
computacional.Considere o pião simétrico sujeito apenas à ação da força 
peso, representado na figura 3.1. O eixo fixo OZ é vertical e 
O é uma articulação. Nestas condições a equação diferencial 
que descreve o movimento do pião é, 
q
q
qabqba
q sen
sen
)cos)(cos(
3 GmgzI
I =
--
+&& 
onde ( )qjyqqja coscossin 2 &&& ++== JIKOZ e 
( )qjyb cos&& +== JKOz , componentes do momento 
angular nas direções dos eixos OZ e Oz, respectivamente, são 
duas constantes que dependem apenas das condições iniciais 
do movimento; I e J são os momentos de inércia do pião em 
relação aos eixos y e z respectivamente. 
Os valores adotados nas simulações são: 
IJImgzG 2 ;m kg 1,0 Nm; 2.0
2 === . 
a) Esboce o diagrama SCICOS para o problema. 
- A figura 3.2 mostra os gráficos das coordenadas do centro 
de massa do pião em função do tempo; os itens a), b) e c) 
referem-se a esta figura. 
b) Responda e justifique: que tipo de movimento é executado 
pelo pião? 
c) Calcule aproximadamente o valor da velocidade de 
precessão j& . 
d) Sabendo que no movimento descrito 0>y& , qual o 
sentido de j& ? 
- As figuras 3.3.1 e 3.3.2 mostram os gráficos de q e q& em 
função do tempo; sabendo que os dois movimentos descritos 
nestas figuras têm mesmos valores iniciais de j e j& , 
responda e justifique: 
e) Em qual figura é apresentado o movimento que tem o 
maior valor inicial de y& ? 
 
Figura 3.3.1 
 
Z
z
y
xX
Y
O
y&
f&
q
q
f
zG
mg
 
Figura 3.1 
 
Figura 3.2 
 
Figura 3.3.2 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
q& 
q 
t 
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
q& 
q 
t 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
GZ 
GX 
GY 
t 
 
 
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a) Diagrama SCICOS (1,5) 
 
 
b) ;0,0 ==®==®= qqqq &&&ctecteZG 
.cos
sin
cos
3 cteJ
ecte
I
=-==-=\ qfby
q
qbaf &&& (0,5) 
Logo, o pião está em precessão estacionária. 
 
c) A partir dos gráficos de GX ou GY da figura 3.2, observa -se que G completa 3 voltas ao redor de 
Z em aproximadamente 7.8 segundos, logo, rps39.0
8.7
3 =»f& ou srad /42.2»f& . (0,5) 
 
d) Traçando-se o gráfico de GY em função de GX , observa-se que a trajetória de G ao redor de Z é 
percorrida no sentido horário, logo, f& é negativa. (0,5) 
 
. 
 
XG 
YG 
t=0 
¼ volta 
½ volta 
¾ volta 
 
 
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e) Os gráficos mostram que o período de nutação é menor no movimento descrito na figura 3.3. 2, 
indicando que neste caso, a “rigidez giroscópica” é maior. Como essa “rigidez” é proporcional a y& , 
o maior valor inicial de y& corresponde ao movimento descrito na figura3.3.2 . (0,5)