Mecânica II - POli - P2 2007

Prévia do material em texto

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Segunda Prova – 22 de maio de 2007 - Gabarito 
 
 
1ª Questão (3,5 pontos) Uma barra de massa M e comprimento 
3a gira em torno de um ponto O com vetor de rotação k
rr ωω = 
constante. Em um dado instante, quando ela se encontra paralela 
ao versor , a barra é atingida por uma partícula de massa m e 
velocidade , em seu ponto A. 
j
r
ivv
rr =
 
a) Supondo que o choque foi perfeitamente anelástico, determine 
qual deve ser a altura h para que a barra tenha velocidade angular 
nula no instante imediatamente após o choque. Sob que condição 
esta situação é possível? 
 
b) Determine a perda de energia cinética que ocorre durante o 
choque. 
 
 
 
a) No sistema isolado, formado pela massa m e pela barra rígida articulada em (O), a única força 
externa aplicada ao sistema é a força reativa na articulação. O momento dessa força em relação a 
(O) é nulo e, portanto, o momento angular OH
r
 do sistema conserva-se. (0,5) 
Mas 
( khvmJivmjhkJH OOO ) rrrrr −=∧+= ωω (0,5) 
 
e como o sistema fica em repouso após o impacto ( 0
rr =OH ) a conservação do momento angular 
obriga que seja nulo para todo o tempo; portanto 0
rr =OH
 
vm
Jh O ω= (0,5) 
 
O momento de inércia de uma barra homogênea de massa M em relação ao centro de gravidade é 
igual a , onde l é o comprimento da barra. Portanto 12/2lM
 
( ) 2222
412
3
2
aMaMaMaMJJ GO =+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+= (0,5) 
 
Esta situação só é possível se , ou seja, se ah 2<
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
a
vm
Mah 2
2
<= ω (0,5) 
 
b) A energia cinética final será nula, portanto a perda de energia cinética será igual à energia 
cinética inicial: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=Δ 222
2
1
2
1 ωaMvmT (1,0) 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) Um disco homogêneo de raio r e 
massa m está se movendo em uma trajetória circular de 
raio R, sobre um plano horizontal, de maneira que seu 
baricentro tem velocidade uniforme v. Devido a efeitos 
giroscópicos, o disco inclina-se de um ângulo θ , como 
mostrado na figura. Sabendo que não há escorregamento 
entre o disco e o plano, determine o ângulo θ. 
 
 
 
- Vetores de rotação (1,0) 
 
• Movimento absoluto 
 
0
rr =
absO
V ; kVV
absG
rr −=
 
( OGVV absOG absabs −∧+= ω )rrr ; onde knt zntabs rrrr ωωωω ++= 
 
⇒ ( ) ( )trkntkV znt rrrrr ∧++=− ωωω 
⇒ ⇒ nrkrkV zn
rrr ωω +−=− ?,0, === tzn r
V ωωω 
 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
• Movimento de arrastamento 
 
K
R
V
arr
rr −=ω ; onde nsentK rrr θθ += cos 
 
( AGVV arrAG arrarr −∧+= ω )rrr ⇒ kRsenR
VR
R
VV
arrG
rr ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= θθ 22cos 
 ⇒ kVV
arrG
rr −= 
• Movimento relativo 
 
nrelrel
rr ωω = 
 
• Composição de movimentos 
 
relarrabs ωωω rrr += 
⇒ nsen
R
Vt
R
Vnn
r
Vt relt
rrrrr θθωω −−=+ cos 
⇒
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
−−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
n
r
Vt
R
V
t
R
Vnsen
R
V
nsen
R
V
r
V
abs
arr
rel
rrr
rrr
rr
θω
θθω
θω
cos
cos 
 
- Aceleração do baricentro 
 
arrabs GG
aa rr = , pois 0rrr ==
Correl GG
aa 
)]([)( AGAGaa arrarrarrAG arrarr −∧∧+−∧+= ωωω rr&rrr 
⇒ )]([00 AGa arrarrGarr −∧∧++= ωω rr
rrr
 ⇒ n
R
Vtsen
R
Vaa
arrabs GG
rrrr θθ cos
22
−== 
 
- TMB (1,0) 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=−
=−
0
cos
cos
2
2
O
O
O
Z
R
VmmgsenN
sen
R
VmmgT
θθ
θθ
 
θ 
r
mg 
NO TO
ZO
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
- TMA, pólo em G (1,0) 
 
[ ]{ }absGGG Idt
daGGmM ωrrr +∧−= )( 
 
onde [ ]{ } { }
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧−
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0
cos
4
00
0
2
0
00
4
2
2
2
r
V
R
V
mr
mr
mr
kntI absG
θ
ω rrrr 
⇒ nmVrt
R
VmrkrNnrZ OO &
r&rrr
2
cos
4
2
+−=−− θ ; onde 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=∧=
=∧=
k
R
Vnn
ksen
R
Vtt
arr
arr
rrr&r
rrr&r
θω
θω
cos
 
 
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+−
=
θθθθθ cos
2
cos
4
cos
0
2
2
222
R
rmVsen
R
Vmr
R
rmVmgrsen
ZO
 
 
⇒ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
2
3
4
12 θθ sen
R
r
Rg
Vtg que tende assintoticamente a 
Rg
Vtg
2
2
3≅θ se 1<<
R
r
. 
 
 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
3ª Questão (3,5 pontos) 
O EP2 solicitou a modelagem e a análise da dinâmica do sistema abaixo, via simulação realizada em ambiente 
SCICOS/SCILAB. A presente questão aborda apenas parte do estudo, referente ao sistema completo, em 
oscilação livre. 
 
θ (t)
L=2a
M
m
O
K
g
j
k
θ (t)
L=2a
M
m
O
K
g
j
k
Sabe-se que as equações que regem o movimento do sistema são: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++++
0sen
3
4)sen(
0cos)sen()(
2
2
θθθ
θθθθ
mgamazma
KzmamazmM
&&&&
&&&&&
 . (1) 
 
Sabe-se ainda que a linearização deste sistema, em torno de 0=θ , 
considerando pequenos deslocamentos )(tθ e pequenas 
velocidades , conduz a: )(tθ&
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=++
0
4
3
0)(
θθ
a
g
KzzmM
&&
&&
 , (2) 
de tal forma que, nestas condições, duas freqüências naturais são 
prontamente identificáveis: 
mM
K
+=1Ω e a
g
4
3
2 =Ω . 
 
Parâmetros do sistema: 
2m/s10=g ; kg2== mM ; m75,0=a . 
 
(a) No sistema (1) acima, isole, a partir da Eq. (1b), a aceleração angular , substituindo-a na Eq. (1a), e simplifique o 
sistema resultante: 
θ&&
 
 
 
De (1b): ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
g
z
a
g &&&& 1sen
4
3 θθ , que substituída em (1a), leva ao seguinte sistema, (0,3) 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
=++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−+
g
z
a
g
Kzma
g
zmgzmM
&&&&
&&&&&
1sen
4
3
0cos1sen
4
3)( 22
θθ
θθθ
, 
 
que pode ser escrito: 
 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
−+
−−
=
g
z
a
g
mmM
Kzmamg
z
&&&&
&
&&
1sen
4
3
sen
4
3)(
cossen
4
3
2
22
θθ
θ
θθθ
 (0,2) 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
(b) Construa um diagramade simulação, em linguagem SCICOS, correspondente ao sistema assim modificado, 
especificando claramente as funções (Scifunc) a ele associadas. Inclua, no diagrama, saídas gráficas para as variáveis 
cinemáticas: )(),( ttz θ ; e , ou seja, gráficos temporais de posição, velocidades e acelerações: )(),( ttz θ&& )(),( ttz θ&&&&
 
 
(0,8) 
 
Fcn1: ((3/4)*M2*g*sin(u[2])^2-M2*a*u[1]^2*cos(u[2])-K*u[3])/((M1+M2)-(3/4)*M2*sin(u[2])^2) 
 
Representando a equação: 
θ
θθθ
2
22
sen
4
3)(
cossen
4
3
mmM
Kzmamg
z
−+
−−
=
&
&& 
 
Fcn2: -(3/4)*(g/a)*sin(u[2])*(1+u[1]/g) 
 
Representando a equação: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
g
z
a
g &&&& 1sen
4
3 θθ (0,2) 
 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
(c) Calcule os valores do parâmetro de rigidez da mola K, correspondentes aos seguintes valores da razão entre 
freqüências, ( )21 ΩΩ=β = 1 ;21 ;41 (ou seja, 1:4; 1:2; 1:1). 
Têm-se: ; 2m/s10=g kg2== mM ; , de tal forma que m75,0=a rad/s1628,310
4
3
2 ≅==Ω a
g
. Como 
mM
K
+=1Ω a seguinte tabela é prontamente construída: 
 
β K (N/m) Ω1(rad/s)
0,25 2,5 0,7906
0,5 10 1,5811
1 40 3,1623 
(0,3) 
 
(d) As duas simulações (A) e (B), mostradas abaixo, foram realizadas a partir das seguintes condições iniciais: ( ) ( 0;24;0;0)0();0();0();0( πθθ =&&zz ) . Calcule, aproximadamente, os valores dos períodos típicos de oscilação 
(visíveis a partir de uma simples observação) que estão presentes nos sinais temporais )(),( ttz θ . 
 
 
t 
Simulação (A): z em metros. θ em radianos. Tempo em segundos. 
 
Na simulação A têm-se, visíveis, dois períodos típicos de oscilação. Um deles é avaliado contando o número de ciclos no 
gráfico de )(tθ . São aproximadamente 12,6 ciclos em 25s, ou seja: sTb 984,16,12
25 =≅ . Corresponde a uma freqüência 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
rad/s1667,32 ≅=Ω
b
b T
π
. Este valor é bastante próximo de rad/s1628,310
4
3
2 ≅==Ω a
g , calculada acima, que 
corresponde à freqüência natural do pêndulo em vibração isolada. (0,3) 
 
O segundo período, prontamente identificável, é o que se refere ao duplo-pico que comparece no sinal temporal de . 
Para cada ciclo de oscilação com período 
)(tz
sTb 984,16,12
25 =≅ têm-se dois ciclos de oscilação, portanto com período 
, correspondente a uma freqüência sTa 99,0≅ rad/s3334,62 ≅=Ω
a
a T
π . Esta oscilação deve-se aos termos quadráticos: 
 e , presentes na EDO que rege e trata-se de um sub-harmônico de ordem 2. (0,2) )(sen 2 tθ )(2 tθ& )(tz
 
 
t 
Simulação (B): z em metros. θ em radianos. Tempo em segundos. 
 
Na simulação B, além dos períodos acima identificados (0,3), comparece uma terceira oscilação, bem mais lenta: são 3 
ciclos, em cerca de 24 segundos: sTc 83
24 =≅ , que corresponde a uma freqüência rad/s785,02 ≅=Ω
c
c T
π
. Trata-se de 
período muito próximo do período natural do sistema em um modo de vibração vertical, quando . (0,2) N/m25,0=K
 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
(e) Identifique então (justificando) os valores de β , acima, que correspondem às duas simulações (A) e (B). 
 
A simulação A corresponde a 1:1=β ou 1=β . 
Justificativa: tanto )(tθ quanto vibram com uma mesma freqüência fundamental, )(tz rad/s1667,32 ≅=Ω
b
b T
π , muito 
próxima de , que corresponde ao caso rad/s1623,321 =Ω=Ω N/m40;1 == Kβ . (0,2) 
 
A simulação B corresponde a 4:1=β ou 25,0=β . 
Justificativa: tanto )(tθ quanto vibram com a freqüência )(tz rad/s1667,32 ≅=Ω
b
b T
π . Porém, também apresenta uma 
segunda freqüência, bem mais baixa, 
)(tz
rad/s785,02 ≅=Ω
c
c T
π , muito próxima do valor rad/s790,01 =Ω , que corresponde à 
freqüência natural do sistema em modo de vibração vertical, quando N/m5,2;25,0 == Kβ . (0,3) 
 
 
 
(f) Responda (justificando): as simulações foram realizadas com ou sem amortecimento? 
 
As simulações foram realizadas sem amortecimento, pois não há perda de energia mecânica (o sistema mostra-se 
conservativo) ( ou ainda, não há decréscimo de amplitude de oscilação ao longo do tempo). 
(0,2)