09 convergencia newton

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Convergência do Método de Newton-Raphson
 
Para o Método de Newton-Raphson podemos usar o mesmo teorema que garante as condições suficientes
para a convergência do Método das Aproximações Sucessivas, já que ele é um caso particular deste.
Entretanto, sua própria construção, ou seja o modo como obtivemos a fN , tinha por meta garantir que
| f'N | < 1 numa vizinhança em torno da raiz, já que o que foi imposto é que f'N = 0, na raiz. Logo, apesar de
podermos verificar as hipóteses do teorema do ponto fixo para a função fN a análise de convergência será feita
através do teorema da convexidade.
Antes de enunciarmos as condições que garantes a convergência, vamos analisar graficamente duas situações
em que o Método de Newton-Raphson não converge e comparar com os exemplos usados para a descrição
do método, onde todas as sequências eram convergentes e tentar identificar as diferenças nas duas situações. 
 
Analisando alguns "comportamentos" das iteradas do Método de Newton-Raphson. 
 
Considere a função f, como na figura ao lado (que
parece uma montanha russa) que possui um único
zero isolado. Vamos supor também que a sequência
foi gerada pelas iteradas da função definida pelo
Método de Newton-Rapshon. A infeliz escolha de x0,
está levando a um comportamento "imprevisível" das
iteradas. Na verdade, não podemos afirmar que esta
sequência nunca convergirá para a raiz, mas
certamente este fenômeno não nos deixa concluir que
a partir de algum momento ela convergirá. Lembre-se
que estamos atrás de garantir a convergência a priori.
 
 
 
No caso desta segunda situação é mais fácil identificar que a
sequência não está convergindo para a raiz, pois ela oscila entre
dois valores xo e x1.
Observamos que no caso dos exemplos gráficos (que estão na
página da dedução do MNR) onde as sequências todas
convergiam, o gráfico da função f mantinha determinadas
características em sua concavidade e isso garantia a convergência. 
 
 
 
Garantindo a convergência no Método de Newton-Raphson
Teorema da convexidade (convergência do Método de Newton-Raphson)
Seja f: [a,b] -> [a,b] subintervalo de R, duas vezes diferenciável, com derivada de segunda ordem f
" contínua. Suponha que
i) f(a).f(b) <0;
ii) f '(x) ¹0 para todo x [a,b];
iii) f " não troca de sinal em [a,b].
Então, a sequência das iteradas gerada pelo Método de Newton-Raphson
ou de forma equivalente xk+1 = xk - f(xk)/f '(xk)
converge para a única raiz a de f, isolada em [a,b], se x0 em [a,b] for escolhido convenientemente.
Uma escolha conveniente do chute inicial, significa escolher
 x0 = a, o extremo esquerdo, se fN(a) pertence a [a,b] ,
 
ou x0 = b caso f(a) não pertença a [a,b].
 
Para provar que uma função fN gera uma sequência convergente para uma raiz a da função f(x), as seguintes etapas devem
ser observadas e justificadas:
1 )ISOLAR A RAIZ a: deve provar que a raiz está isolada e é única num intervalo [a,b], utilizando os resultados
teóricos que aprendeu no Cálculo Diferencial sobre funções;
2 )VERIFICAR OS 3 ITENS (i), (ii) e (iii) DO TEOREMA DA CONVEXIDADE:
i) f(a).f(b) < 0: ao isolar a raiz esta verificação já deve ter sido feita.
ii) f '(x) ¹0 para todo x [a,b]: calcular a derivada da f e mostrar que não se anula em [a,b].
iii) f " não troca de sinal em [a,b]: calcular a derivada de segunda ordem da f e mostrar que ela é
estritamente positiva (ou negativa) em [a,b].
3) CONSTRUIR A FUNÇÃO f, DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
4 ) ESCOLHER O CHUTE INICIAL x0 CONVENIENTE
x0 = a, se f(a) [a,b] ou x0 = b, se f(b) [a,b]
5) PRECISÃO PRÉ-FIXADA
Para garantir uma precisão pré-fixada, efetuar 3 iteradas para identificar o tipo de sequência:
crescente, decrescente ou oscilante.
Após verificar o tipo de sequência, aplicar o algoritmo correspondente.