07 Análise Harmônica

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Análise Harmônica
A famosa ópera Aída, de Verdi, poderia ser apresentada dispensando-se os metais, os instrumentos de
sopro, as cordas e a percussão, os barítonos e os sopranos. Para tal bastaria tomar apenas uma
coleção completa de diapasões (freqüências) e um método preciso de controlar suas alturas
(amplitudes). Essa é uma aplicação acústica do Teorema de Fourier.
Certamente, músicos e matemáticos divergiriam quanto a apresentação da ópera, principalmente Verdi
e Fourier, mas são inúmeras as aplicações desta técnica, como por exemplo, na identificação de voz
em processos criminalistas. 
 
Digitalização dos sons e a série de Fourier - uma aplicação 
 
"Qualquer movimento vibratório de ar na entrada do ouvido corresponde a um tom musical que
pode ser sempre e de maneira única exibido como uma soma de um número infinito de
movimentos vibratórios simples, correspondendo aos sons parciais desse tom musical" [1].
Gravações digitais, remasterização de músicas antigas ou mesmo a identificação de uma voz gravada,
são problemas cuja solução passa pela representação digital da complexidade desses infinitos
movimentos vibratórios, os quais podem ser apresentados graficamente. Ao observarmos o gráfico de
um determinado som, vemos que a função f nele desenhada é uma função periódica.
Informalmente, o Teorema de Fourier nos diz, que uma função periódica é, uma combinação linear
infinita de funções periódicas do tipo cos(kx) e sen(kx), compondo o que chamamos de uma série de
Fourier. Podemos assim dizer que a função periódica f, que representa um som, é dada por
onde os coeficientes ak e bk , correspondem aos valores de amplitudes e kx as freqüências das
vibrações. Portanto, para a identificação do som produzido por f , basta determinar seus coeficientes o
que , na prática, não é muito simples.
Em primeiro lugar, não é possível calcular os infinitos termos dessa série, o que sugere que só
conseguimos encontrar uma aproximação para f. Além disso o som, quando digitalizado, fica
representado por um conjunto discreto de valores, os quais são representados por números que têm
uma precisão definida pelo computador.
Nosso problema resume-se em aproximar um conjunto de pontos discretos, que foram obtidos a partir
da função periódica f(x), por uma função que possui um número finito de termos,
g(x) = .
Uma das maneiras de se obter a função aproximadora é através do método dos mínimos quadrados
(MMQ), chamada de aproximação trigonométrica, aproximação de Fourier ou de análise harmônica.
Algumas exigências são necessárias para garantir a ortogonalidade das funções
1, cosx, cos2x,..., cos(N-1)x, cosNx, senx, sen2x,..., sen(N-1)x, senNx
em relação ao produto escalar (no caso discreto)
.
A primeira delas é que o período de f deve ser igual a 2 . Caso f(x) esteja definida num intervalo [a, b]
qualquer, e portanto, tenha um período T = (b-a) diferente de2 , é necessário fazer a mudança de
variável (isso é muito importante e não pode ser esquecido)
x = [ (b-a)/ 2 ] t + a , t no intervalo [0, 2 ]
assim, trabalhamos com f(x(t)) = F(t).
A segunda, é pelo fato de estarmos com o caso discreto, os pontos tabelados devem estar igualmente
espaçados em [ 0, 2 ], ou seja, para um inteiro N,
, onde j=1,...,2N.
Completamos lembrando que dados 2N pontos tabelados, a maior freqüência da aproximação será n,
com n < N.
Aproximação de Fourier - caso discreto 
 
Queremos aproximar a função f, tabelada em 2N pontos equidistantes
, que denotaremos por fj , j = 1,...,2N, tal que
Vamos determinar a função aproximadora g dada no segundo membro da expressão acima, pelo MMQ.
Considerando que nessas condições vale a ortogonalidade para o caso discreto:
 
 o sistema normal do MMQ é resolvido imediatamente e os coeficientes da g são dados pelas
expressões
e para os outros valores de k entre 1 e N,
 
Vamos fazer esses cálculos explicitamente para o caso da função f 
 
f = 0.2 + 0.62 cos(x) +4 sen(x) +5.5 sen(2x) + 4.5 cos(3x)
representada no gráfico acima, considerando dois casos, no primeiro onde foram tabelados 10 pontos,
portanto N = 5 e no segundo N = 2. 
 
Caso 1: N = 5 
 
O gráfico mostra os 10 pontos que foram tabelados e utilizados na aproximação. Em
vermelho a função f original.
Os coeficientes calculados foram:
 
que coincidem com os da função f , para a precisão d = 10 -15 que foram calculados. De
fato, o gráfico do erro absoluto (g(t)-f(t)) mostra exatamente isso 
 
Caso 2: N = 2
Neste caso temos apenas 4 pontos tabelados. Os coeficientes encontrados foram
 
Observamos que o gráfico do erro absoluto traz valores da ordem da dezena
e ao compararmos as duas funções vemos que a aproximação é realmente muito ruim para N = 2:
Idealizamos o problema para podermos comparar os resultados da aproximação com os da própria
função e é óbvio que, no caso real não será possível fazer isso pois não conhecemos de fato a função
f ,mas apenas alguns de seus valores (e com distorsões). O resultado "prático"do teorema de Fourier,
é que podemos garantir que quanto maior o número de pontos, mais freqüências poderão ser
incorporadas na solução numérica, resultando numa aproximação mais fiel da função original.
Aproximação de Fourier - caso contínuo
Queremos aproximar a função f, definida num intervalo [a,b]por uma função tal que, 
 
Caso b-a não seja igual a 2 , a primeira coisa a fazer é uma mudança de variáveis, pois senão, não
teremos a ortogonalidade.
Para o caso contínuo, a análise é a mesma feita anteriormente, apenas a definição de produto interno é
definida como a integral em um intervalo de tamanho 2 , não importando o início, ou seja poderia
estar definido em [a, a+2 ]. Usualmente a=0 ou a=- .
Os produtos internos das funções que compõem a função aproximadora: 
 
Como a matriz do sistema normal é diagonal, os coeficientes que definem a combinação linear das gk's
são dados por
Observe que o cálculo dos ak's e dos bk's envolvem o cálculo de uma integral, a qual nem sempre é
facilmente calculada. Métodos numéricos para calcular integrais serão em breve estudados e deverão
ser implementados para resolver estas integrais. Por enquanto, utilizem seus conhecimentos do Cálculo
I para resolvê-las.
Exercícios 
 
(I) Considere a função, definida no intervalo [0,4]
f = 0.2 + 0.62 cos(x) +4 sen(x) +5.5 sen(2x) + 4.5 cos(3x)
1) faça a análise harmônica até o harmônico de ordem 10 (isto significa que vamos até cos(10x)
sen(10x); 
2) qual o erro absoluto entre a função f e a aproximadora; 
3) repita so exercícios 1 e 2 para a função
f(x) = 1, em [0,1[, e nula em [1,2[.
(II) Represente a expressão do segundo membro de
g(x) = .
em função de senos de kx e uma fase, como
Sugestão: Defina
(III) Qual a vantagem desta última forma de representação? 
 
 
Referências bibliográficas específicas
[1] Abdounur, O. J.: 1997, "O pensamento analógico na construção/reconstrução de significados: um estudo no
âmbito das relações entre a Matemática e a Música", tese de Doutorado, Faculdade de Educação, USP.
[2] Davis, P.J., Hersh, R.: 1985, "A experiência Matemática", ed. Francisco Alves, pag, 289-297.
[3] Gerald, C.F., Wheatley, P.O.: 1994, Applied Numerical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, USA. 
 
 
 
Este texto foi retirado do Coletâneas de Modelos Matemáticos, desenvolvido sob a coordenação das profas.
Cristina Cerri e Joyce Bevilacqua, dentro do projeto SIAE/9899.