06 MMQ passo a passo

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Passo-a-passo da construção da aproximação pelo MMQ
 
Quando g(x) é linear nos parâmetros ak's
1. Se f é tabelada: (caso discreto)
Dados do problema:
a função g(x) = a0 g0(x) + a1 g1(x) + ...+ am gm(x);
a definição de produto interno, ou quando nada é mencionado significa que vamos usar
o produto interno usual;
os pontos tabelados (xi, f(xi)), i =0, ...n, são;
 
Algoritmo
baseando-se na definição de produto interno, montar o sistema normal, calculando
todos os elementos da matriz e do segundo membro;
resolver o sistema normal, por algum método (Eliminação de Gauss, Gauss-Seidel,...)
calcular o erro quadrático, quando solicitado.
2. Se f está definida num intervalo: (caso contínuo)
Dados do problema:
a função g(x) = a0 g0(x) + a1 g1(x) + ...+ am gm(x);
a definição de produto interno, ou quando nada é mencionado significa que vamos usar
o produto interno usual da integral sem ponderação;
o intervalo que queremos efetuar a aproximação.
 
Algoritmo
baseando-se na definição de produto interno, montar o sistema normal, calculando
todas as integrais (os elementos da matriz e do segundo membro);
resolver o sistema normal, por algum método (Eliminação de Gauss, Gauss-Seidel,...)
calcular o erro quadrático, quando solicitado.
Observação:
As definições de produto interno que descrevemos neste texto, são as mais
comuns, estudadas na Álgebra Linear. Entretanto, dado um espaço vetorial,
podemos associar a ele um produto interno diferente destes que descrevemos. Por
exemplo, no caso contínuo, vamos supor que queremos aproximar uma função f no
intervalo [-1, 1], mas que a definição de produto interno tenha sido fornecida como
a integral de 0 (zero) a 1. Isto significa que PRIMEIRO, temos que fazer uma
mudança de variável da função f de [-1,1] para [0,1] e DEPOIS, construir o sistema
normal.
Este detalhe é SUPER IMPORTANTE, pois seu esquecimento implica em num, erro
imperdoável. Muita atenção!
 
Quando g(x) é não-linear nos parâmetros ak's
No caso de termos a função g(x) não-linear nos parâmetros ak's, inicialmente temos que "linearizar" o
problema de alguma forma, transformando-o no caso linear nos parâmetros (que recai na solução de
um sistema linear).
 
Algoritmo
linearização do problema (cada caso deve seguir regras específicas)
resolução do problema linearizado: montar o sistema normal e resolvê-lo
retornar para a aproximação original, invertendo a transformação que linearizou o problema
 
Comentários finais
Sempre que for resolver um exercício de MMQ, identifique se está resolvendo um caso discreto ou
contínuo; linear ou não linear nos parâmetros.
Para cada caso, identifique se os intervalos da f são os mesmos para o qual foi definido o produto
interno.
So então construa o sistema normal. É muito comum errar em alguma dessas etapas e acabar
montando um sistema normal que não faz o menor sentido.