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Método de Newton-Raphson (MNR) Independente do método de aproximação que estamos usando, a raiz deve ser primeiramente isolada no intervalo. Entretanto, vimos que o fato da raiz estar isolada num intervalo [a,b], não garante a convergência do método. A Dicotomia só pode ser aplicada quando temos a função f contínua no intervalo, f (a)f(b)<0 e a raiz isolada no intervalo. No Método das Aproximações Sucessivas além de isolar a raiz, a função φ, obtida a partir de f(x)=0, deve verificar todas as hipóteses do teorema que garante as condições suficientes para a convergência das iteradas. Caso apenas uma das hipóteses não esteja satisfeita, devemos retornar ao ponto de partida e definir uma nova φ. Uma questão também importante no M.A.S. é o fato de, em princípio, termos infinitas maneiras de construir uma função φ. E para cada escolha todas as hipóteses do teorema do ponto fixo devem ser novamente verificadas. O Método de Newton-Raphson, fornece uma forma sistemática de construção de φ, que garante a hipótese (ii) de | φ' | < 1 numa vizinhança em torno da raiz.O problema recai agora em determinar de fato esta vizinhança. Um outro teorema virá em nosso socorro, para conseguirmos garantir a convergência das iteradas deste método. Método de Newton-Raphson Vamos ver como construir a função φ do método de Newton-Raphson, que garante a hipótese (ii) do teorema do ponto fixo.. Seja f uma função contínua, tal que f( α) = 0, com derivadas contínuas (até a ordem que precisarmos), e um intervalo I = [a,b] que contém αisolada. Partindo da equação f(x) = 0 podemos escolher uma φ bastante geral : onde A(x) é uma função qualquer, contínua e com derivadas contínuas em [a,b]. Derivando os dois membros Página 1 de 5Método de Newton-Raphson 21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm , e substituindo αna equação: como f(α)=0, . Vamos garantir que |φ ´(x) | < 1, para x pertencente a I, impondo a condição de que na raiz α a derivada de φ é zero . Isso garante que existe um intervalo J em torno de α, para o qual a condição (ii) do teorema se verifica. Como , a equação da função A(x) na raiz α tem a seguinte forma algébrica . Como estamos fazendo estes cálculos muito próximos da raiz, é razoável assumir que , para x em J. Substituindo na expressão de φ, obtemos aforma algébrica da função que gera as iteradas do Método de Newton-Raphson: . Interpretação geométrica - método das tangentes O Método de Newton-Raphson é também chamado de Método das Tangentes, pelo fato de x n+1 ser determinado pela intersecção da tangente de f em xn+1 com o Página 2 de 5Método de Newton-Raphson 21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm eixo x : No Gráfico 1 temos uma seqüência decrescente, calculada pela função φ do método de Newton, que converge para a raiz α. Gráfico 1 Nos dois exemplos abaixo, temos duas seqüências convergentes, uma crescente e a outra oscilante. Página 3 de 5Método de Newton-Raphson 21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm Observe que o tipo de seqüência ( crescente/decrescente ou oscilante) está muito vinculado à concavidade da função próxima a raiz. Convergência A convergência do método de Newton pode ser verificada com as hipóteses do teorema do ponto fixo. Entretanto, para a maioria das funções φN, determinar o máximo da derivada não é rtivial. Usaremos para este fim o Teorema da Convexidade. Um exemplo Vamos resolver agora o mesmo exemplo que resolvemos usando o Método das Aproximações Sucessivas f(x) = x2 - x - 2, para a raiz 2 que está isolada em [1, 3]. A função φN é dada por ou seja n xn Página 4 de 5Método de Newton-Raphson 21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm Comentários finais Como pode ser observado neste exemplo simples, a convergência do Método de Newton-Raphson é bastante rápida. Neste exemplo, apenas aplicamos o método sem nos preocuparmos com garantia da convergência. Na página Convergência do Método de Newton-Raphson, vamos analisar teoricamente as condições que garantem a convergência desse método. 0 3 1 2.2 2 2.012 3 2 4 2 Página 5 de 5Método de Newton-Raphson 21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm
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