mat cpcar2008 3a resol

Prévia do material em texto

EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 2 
01 - Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir. 
 
( ) Se m, n e p são números reais positivos e consecutivos 
tais que 
m
npn
pn
mn 2 −
=
+
, então pmn −= 
( ) Se a e b são números reais não nulos tais que 
2
a
b
b
a 2
2
−=+ , então a é um número real negativo. 
( ) Os trinta e cinco alunos de uma turma do 1o ano do 
CPCAR 2007 fizeram uma prova de matemática cuja nota 
máxima é 10 pontos. A média aritmética das notas da 
turma foi 7,5 e apenas 15 alunos conseguiram nota 
máxima. A média das notas dos alunos que NÃO 
obtiveram nota máxima foi menor que 5,6 
 
A seqüência correta é 
 
a) V, V, V. c) F, V, F. 
b) F, F, F. d) V, F, V. 
 
RESOLUÇÃO 
 
(F) Analisando n = m – p, tem-se que: 
m – p > 0 (pois n � �*+ ) 
m p> 
 
Dessa forma, só é possível a seguinte ordem crescente para 
m, n e p: 
 
i) p, m e n 
�
1
n m p= − 
n 1= ⇒ m 0= e p 1= − absurdo! pois p � �*+ 
 
Logo a proposição é falsa. 
 
ii) n, p e m 
�
1
n m p= − 
n 1= � m 2= e p 3= 
 
iii) p, n e m 
�
2
n m p= − 
n 2= ⇒ p 1= e m 3= 
 
Verificando os dois possíveis resultados na equação dada, 
tem-se: 
 
1º) n = 1, m = 2 e p = 3 
22 1 1 1 3
1 3 2
⋅ − ⋅
=
+
 ⇒ 4 = –8 (absurdo!) 
 
2º) n = 2, p = 1 e m = 3 
23 2 2 2 1
2 1 3
⋅ − ⋅
=
+
 ⇒ 18 = 6 (absurdo!) 
 
Logo a proposição é falsa. 
 
(V) 
2
2
a b
ab
+ ⇒ 2a b= − 
Como 2b 0> , 2a b= − nos leva a a < 0 
 
Daí, a proposição é verdadeira. 
 
(F) Sendo ni a nota de cada aluno, tem-se: 
1 2 35
1 2 15
n n ... n
7,5
35
n n ... n 150
+ + +
=

 + + + =
� 16 17 35
150 n n ... n
7,5
35
+ + + +
= 
� 16 17 35n n ... n 112,5+ + + = 
∴ 16 17 35n n ... n 112,5 5,625
20 20
+ + +
= = 
 
Portanto, a proposição é falsa. 
 
RESPOSTA: opção c 
 
 
02 - Dados os conjuntos A, B e C tais que 
A ∩ B = {1, 3, 5}, B ∩ C = {3, 4, 5}, A ∩ C = {2, 3, 5}, 
A ∪ B = {x � �* | x ‹ 6} e [(A ∪ C) – (A ∪ B)] = {6}, é FALSO 
afirmar que 
 
a) o número de elementos de A é igual ao número de 
elementos de B 
b) a soma dos elementos do conjunto C é igual a 20 
c) no conjunto A existem três elementos que são números 
primos. 
d) A – B tem dois elementos. 
 
RESOLUÇÃO 
 
A U B = {1, 2, 3, 4, 5} 
A = {1, 2, 3, 5} 
B = {1, 3, 4, 5} 
C = {2, 3, 4, 5, 6} 
A U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
a) Verdadeiro 
n (A) = 4
n (A) =n (B) 
n (B) = 4

⇒

 
b) Verdadeiro 
 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 
c) Verdadeiro 2, 3 e 5 são números primos 
d) Falso A – B = {1, 2, 3, 5} – {1, 3, 4, 5} = {2} ⇒ 1 elemento 
 
RESPOSTA: opção d 
 
 
03 - Considere a função real g: A → B representada pelo gráfico 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analise as alternativas e marque a FALSA. 
 
a) f(x) 	 0 
 {x � � | x = b ou b < x � c ou x 	 e} 
b) ∃I x � A tal que g(x) = u 
c) A = [a, +∞[ – {d} e Im(g) = ]t, p] 
d) Se |s| 	 |q|, então g(a) + g(q) � 0 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Verdadeira, conforme análise gráfica. 
b) Verdadeira g(x) = u ⇔ x ∈ [a, b] 
c) Falsa 
A = [a, +∞[ – {d}, mas Im(g) = ]t,q] ∪ {p} 
d) Verdadeira 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 3 
g(a)=s e s < 0 
g(q)=q e q > 0 
como |s| 	 |q| � g(a) + g(q) � 0 
 
RESPOSTA: opção c 
 
 
04 - Considere as funções reais f, g, h e j e classifique em (V) 
verdadeira ou (F) falsa cada proposição abaixo. 
 
( ) Dentro de seu domínio mais amplo, se f e g são tais que 
1x
2x
)x)(gofog(
+
+
= e a representação gráfica de g é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 então (fofofo...of)(x) = x ou (fofofo...of)(x) = x
–1
 
( ) Considere dois números reais k e m tais que m > k e a 
função j: [0, 1] → B tal que j(x) = k + (m – k)x 
Se B = [k, m], então j é função bijetora. 
( ) A função h que associa cada ponto P de uma 
semicircunferência de diâmetro MN à soma dos 
quadrados das distâncias de P até M e de P até N é uma 
função injetora. 
 
Assinale a alternativa com a seqüência correta. 
 
a) V – F – V c) F – F – F 
b) F – V – V d) V – V – F 
 
RESOLUÇÃO 
 
I) Verdadeiro 
g(x) = x+1 e D(g) = � – {–1} 
(gofog)(x) = g(f(g(x))) = g(f(g(x))) = g(f(x+1))) = 
= f(x+1) +1 = 
x 2
x 1
+
+
 ⇒ 
⇒ f(x+1) = 
x 2
x 1
+
+
 – 1 = ⇒ 
x 2 x 1
x 1
+ − −
+
 = 
1
x 1+
 ⇒ f(x) = 
1
x
 
f(x) = x, f(f(x)) = 
1
x
, f(f(x)) = x 
f(f(f(f(x)))) = 
1
x
 
(fofo...of)(x) = x ou 
(fofo...of)(x) = 
1
x
 
 
II)Verdadeiro 
j(0) = k+(m – k).0 ⇒ j(0) = k 
j(1) = k+(m – k).1 ⇒ j(1) = m 
Im(j) = [k, m] = B j é sobrejetora
j(x) = k+ (m k) x é injetora
⇒ 

− 
⇒ j é bijetora 
 
III) Falso 
 
 
 
 
 
∆PMN retângulo ⇒ (PM)2 + (PN)2 = (MN)2 
Qualquer que seja o ponto P, a imagem é (MN)
2 
Logo h não é injetora. 
A seqüencia correta é: V V F 
 
RESPOSTA: opção d 
05 - Considere as funções reais f, g, h e j definidas pela leis 
f(x) = ln x, g(x) = x , h(x) = sen x e j(x) = cos x 
Sabendo-se que existe a função composta F: A → B, tal que 
F(x) = (fogohoj)(x), é correto afirmar que F 
 
a) não é função par nem ímpar. 
b) é função injetora. 
c) não admite raiz real. 
d) pode ter domínio 





 π≠π<<=
2
xex0xA �|� 
 
RESOLUÇÃO 
 
F(x) = f(g(h(cos x))) = f(g(sen(cos x))) = 
= ( )f sen(cos x) = n sen(cos x)ℓ 
Condição de existência: 
sen(cos x) 0
sen(cos x) 0
 >

>
 
 
 
sen(cos x) 0
sen(cos x) 0
x k
sen(cos x) 0 2
cos x 0
>  ⇒
> 
π
≠ + π⇒ > ⇒ 
 >
 
 
 
a) Falsa F(-x) = n sen(cos( x))−ℓ = n sen(cos x)ℓ = F(x), 
logo F é função par. 
 
b) Falsa Se F é função par, ela não é injetora. 
 
c) Verdadeira n sen(cos x)ℓ = 0 ⇒ sen(cos x) = e0 ⇒ 
⇒ sen(cos x) = 1 ⇒ sen (cos x) = 1 ⇒ cos x
2
π
= ⇒ 
⇒ 
3,14
cos x
2
= ⇒ cos x ≅ 1,57 e 1,57 ∉ [-1,1] 
Conclusão: ∃ x  F(x) = 0 
d) Falsa ∀ x ∈ ] ,
2
π
π [ e cos x < 0 ⇒ ∃ F(x) 
 
RESPOSTA: opção c 
 
 
06 - Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir. 
 
( ) Seja g: � → � tal que g(x) = mx – 4, tal que g(g(–1)) < 0 
e g uma função decrescente. O maior valor inteiro 
possível para m é –1 
( ) Seja f : � → � tal que f(x) = ax
2
 + bx + c 
Sabe-se que f tem duas raízes reais e distintas e que 
f(0) > 0 
Se a < 0, então x = 0 está entre as raízes de f 
( ) O gráfico abaixo é de uma função quadrática tal que 
y = ax
2
 + bx + c, onde a, b e c � �* e o ponto A tem 
abscissa nula. Se o segmento AB é paralelo ao eixo das 
abscissas, é correto afirmar que a área S do quadrilátero 
ABCO é, necessariamente, S = 
c
ab
 
 
 
 
 
 
 
 
A seqüência correta é 
 
a) V, V, V. c) F, V, F. 
b) V, V, F. d) F, V, V. 
0 
P 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 4 
RESOLUÇÃO 
 
I) Verdadeiro 
 Se g é decrescente, então m < 0 
 g(–1) = –m – 4 
 g(g(–1)) = –m
2
 – 4m – 4 
 g(g(–1)) < 0 � –m
2
 – 4m – 4 < 0 
 m ≠ –2 
 Se m < 0 e é o maior valor inteiro possível, então m = –1 
II) Verdadeiro 
 f(x) = ax
2
 + bx + c 
 Se f tem duas raízes reais e distintas (∆ > 0), então 
 f(0) > 0 � c > 0 e a < 0 
 
 
 
 Se b < 0 ou se b > 0 
 
 
III) Falso 
 y = ax
2
 + bx + c 
 A(0, c) ∴ OA = c 
 Se B(xB, c) então a(xB)
2 
+ bxB + c = c 
 Logo xB = 0 (não convém) ou 
 B
b
x
a
= − ∴
b
OC
a
= − 
 S = |OC| . |OA| 
 
b
S c
a
bc
S
a
= − ⋅
=
 
 
Logo, a seqüência correta é: V VF 
 
RESPOSTA: opção b 
 
 
07 - O proprietário de um restaurante verifica que com as 10 mesas 
que o restaurante possui ele consegue ter um lucro diário de 
R$ 12,00 por mesa. O restaurante foi reformado e foram 
acrescentadas x mesas. Com isso, o lucro diário, por mesa, 
tanto nova quanto antiga, diminuiu R$ 0,20 para cada mesa 
acrescentada. 
Chamando de y o lucro do proprietário, por dia, após a 
reforma, é INCORRETO afirmar que 
 
a) se esse lucro é máximo, então o número de mesas do 
restaurante, após a reforma, é igual a 35 
b) se 50 < x < 60, pode-se concluir que não foi vantajoso 
fazer a reforma no restaurante. 
c) se forem acrescentadas mais de 60 mesas o proprietário 
terá prejuízo. 
d) esse lucro, após a reforma, será de R$ 240,00, se, e 
somente se, forem acrescentadas 30 mesas. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Com 10 mesas, tem lucro diário de R$ 12,00 por mesa. 
 
Depois da reforma: 
 
com (10 + x) mesas, tem lucro diário de (12,00 – 0,2x) por 
mesa. 
 
y → lucro do proprietário por dia 
 
y = (10 + x) (12,00 – 0,2x) = 120 + 10x – 0,2x
2
 
 
a) Verdadeiro v
10
x 25
2( 0,2)
= − =
−
 
25 + 10 = 35 mesas 
 
b) Verdadeiro 50 < x < 60 ⇒ 0 < y < 120 
Como antes da reforma o lucro diário do proprietário era de 
R$ 120,00, se 50 < x < 60, o lucro será abaixo de 
R$ 120,00, não sendo vantajoso fazer a reforma 
c) Verdadeiro Se x > 60 ⇒ y < 0 
d) Falso Para x = 20, y = 120 + 10.20 – 0,2.20
2
 = 240 
 
RESPOSTA: opção d 
 
 
08 - Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = x
2
 – 2|x| + 1 e 
g(x) = mx + 2m (m 	 0) e marque a alternativa correta. 
 
a) Se m = 0, então g(x) < f(x), ∀x ∈ � 
b) Se 0 < m < 
2
1
, então f(x) = g(x) para exatamente quatro 
valores distintos de x, x � � 
c) Se m = 
2
1
, então f(x).[g(x)]
13
 > 0, ∀x ∈ �, tal que x > – 2 
d) Para m > 
2
1
, g(x) – f(x) > 0 
 –1 < x < 1 
 
RESOLUÇÃO 
 
2
2
x 2x 1, se x 0
f(x)
x 2x 1, se x 0
 − + ≥= 
+ + <
 
g(x) = mx + 2m (m ≥ 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Falso. Se m = 0 ⇒ g(x) = 0 
g(x) < f(x) ⇒ f(x) > 0 ⇒ x ≠ ±1 
 
b) Verdadeiro. Se m = 0, então f(x) = g(x) para 2 valores 
distintos de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se ( )1 1m , então g x x 1
2 2
= = + 
 f(x) = g(x) para exatamente 3 valores distintos de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, quando 
1
0 m
2
< < f(x) = g(x) para exatamente 4 
valores distintos de x 
 
 
 
 
 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 5 
c) Falso. Se 
1 1
m , então g(x) x 1
2 2
= = + 
 
 
 
 
 
 
S = {x ∈ � | x > –2 e x ≠ –1 e x ≠ 1} 
 
d) Falso. 
g(x) = mx + 2m 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA: opção b 
 
 
09 - Sobre a função real g: A → B, definida por g(x) = 
x2
1x
−
−
, é 
correto afirmar que 
 
a) se 4x< , então 1)x(g
2
3
−− << 
b) g(x) 	 0 
 –
2
1
 � x < 2 
c) se B = � – {2}, então g é inversível. 
d) se a função real h é tal que h(x) = |g(x)| + 1, então 
h(x) > 1, ∀x � � 
 
RESOLUÇÃO 
 
2 – x ≠ 0 ⇒ A = � – {2} 
1
x 1 2y 1
y 2y xy x 1 x xy 2y 1 x (y 1)
2 x 1 y
2x 1
f (x) (x 1)
1 x
−
− −
= ⇒ − = − ⇒ + = − ⇒ = ≠
− +
−
⇒ = ≠−
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Verdadeiro, pois g(4) = 
3
2
− e x< 4 � 3
2
− < g(x) < –1 
b) Falso, pois g(x) ≥ 0 1 x 2⇔ ≤ ≤ 
c) Falso, pois g é inversível se B = � – {1} 
d) Falso, pois h(x) ≥ 1 
 
RESPOSTA: opção a 
 
 
10 - Considere as funções reais f, g, h e v tais que f: � → *+� é 
dada por f(x) = a
x
 (0 < a < 1), g é a inversa de f, h é definida 
por h(x) = f(g(x)) e v é definida por v(x) = h(x) + 1 e, a seguir, 
assinale a alternativa FALSA. 
 
a) A função v tem conjunto imagem Im = ]1, + ∞[ 
b) O gráfico da função h é uma reta. 
c) O domínio da função v é *+� 
d) Os gráficos das funções f e g se interceptam num ponto de 
abscissa menor que 1 
 
RESOLUÇÃO 
h(x) = f(g(x)) ⇒ h(x) = f(loga x) ⇒ h(x) = a
log xa ⇒ 
⇒ h(x) = x (x >0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Verdadeira (vide gráfico I) 
v(x) = h(x)+ 1 � v(x) = x + 1 (x >0) e Im= ]1, + ∞[ 
b) Falsa (vide gráfico II) 
c) Verdadeira (vide gráfico I) 
d) Verdadeira (vide gráfico III) 
f(a) = a, g ∩ f = P(a, a) e a < 1 
 
RESPOSTA: opção b 
 
 
11 - A população de certo tipo de bactéria triplica a cada meia hora. 
Em uma experiência, colocou-se, inicialmente, uma amostra de 
1000 bactérias. Com base nisso, é correto afirmar que se 
 
Dado: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4 
 
a) ao final da experiência, obtém-se um total de 6,561 × 10
6
 
bactérias, então, o tempo total do experimento foi maior 
que 6 horas. 
b) o tempo da experiência foi de 2 horas, então, o número de 
bactérias obtidas foi menor que 7,5 ×10
4
 
c) a população de bactérias, ao final da experiência, chegou a 
80.000, então, o tempo da experiência foi inferior a 
2h30min. 
d) um cientista deseja obter um número de bactérias entre 
20.000 e 40.000, então, o tempo do experimento deverá 
estar entre 3h25min e 4 horas. 
 
RESOLUÇÃO 
Seja x tempo e y a quantidade de bactérias. 
 
tempo t tempo(horas) quantidade de bactérias 
0 0 y = 1000 
1 0,5 hora y = 3.1000 = 31.1000 
2 1 hora y = 3.3.1000= 32. 1000 
3 1,5 hora y = 3.3.3.1000= 33. 1000 
..
. 
..
. 
..
. 
t 
t
2
hora y = 3t..1000 
 
a) Falso 
 3t.1000 = 6,561 . 10
6 � 3t = 6561 � 3
t
 = 3
8 � t = 8 (4 horas) 
b) Falso 
 Se o tempo de experiência é de 2 horas, então t = 4 
 y = 34 . 103 = 8,1 . 104 > 7,5 . 104 
c) Verdadeiro 
 3t.1000 = 80000 � t = log3 80 = 
= 
log80 1 3log2
4,75 2horas 22minutose30segundos
log3 log3
+
= = = 
 
d) Falso 
20000 < 3t.1000 < 40000 � 20 < 3
t < 40 � 
� log3 20< t < log3 40 � 
1 log2
log3
+
 < t < 
1 2log2
log3
+
 � 
� 3,25 < t < 4 � 1 hora, 37 min e 30 seg < t <2 horas 
Portanto, o tempo deverá estar entre 1h 37’ 30” e 2 h 
 
RESPOSTA: opção c 
 
12 - O numerador de uma fração é formado pela diferença entre os 
cossenos do sêxtuplo do arco x e do quádruplo deste mesmo 
arco; e o seu denominador é formado pela soma entre os 
senos do sêxtuplo do arco x e do quádruplo deste mesmo 
arco. Simplificando-se a fração citada, pode-se obter 
 
a) –cotg x c) cotg x 
b) –tg x d) tg x 
 
RESOLUÇÃO 
 
6x 4x 6x 4x
2 sen sen
cos6x cos4x 2 2
6x 4x 6x 4xsen6x sen4x
2 sen cos
2 2
+ −   − ⋅ ⋅   −    = =
+ −+    ⋅ ⋅   
   
 
senx
cos x
−
= = tg x− 
 
RESPOSTA: opção b 
 
 
13 - Resguardado seu respectivo domínio, o gráfico que representa 
um período da função f definida por 
)x(cotgx
2
3
cos2
)x(cosx
2
sen
)x(f
+π




 +
π
−π





+
π
=
⋅
⋅
 é 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 7 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Falso, pois esse é o gráfico da função definida por 
f(x) = cos x, x k
2
π
≠ 
b) Falso, pois esse é o gráfico da função definida por 
f(x) = –2cos x 
c) Falso, pois esse é o gráfico da função definida por 
1
f(x) cos x
2
= 
d) Verdadeira, pois 
( )
( )
( )
2
sen x cosx
cos x cos x2
f(x)
3 2senx cot gx
2cos x cot g x
2
cos x cos x 1
f(x) cos x, tem imagem
2cos x 2cos x 2
1 1
, , D x | x k e período 2 .
2 2 2
π + ⋅ π −  ⋅ − = = =
π ⋅ + ⋅ π + 
 
= − = − ⇒ = −
π   − = ∈ ≠ π  
   
ℝ
 
 
RESPOSTA: opção d 
 
 
14 - Considerando as propriedades das funções trigonométricas, 
analise cada alternativa a seguir e marque a INCORRETA. 
 
a) A função f, tal que f(x) = cos x , é crescente se 




 ππ∈
2
3
,x 
b) O período da função g, sendo 




 π+=
2
xtg3)x(g é o triplo 
do período da função h, tal que h(x) = 3 + sen (6x – π) 
c) A função j definida por j(x) = cotg x é par para todo x do 
seu domínio. 
d) A função j dada por j(x) = cotg x é negativa se 




 π
π
∈ ,
2
x 
ou 




 π
π
∈ 2,
2
3
x 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Verdadeira. 
∀ x1< x2 ⇒ f(x1) < f(x2) 
se 
3
x ,
2
π 
∈ π 
 
, então x = π ⇒ f(x) = –1 e 
3
x f(x) 0
2
π
= ⇒ = 
b) Verdadeira. 
g(x) 3tg x
2
π 
= + 
 
 tem período p = π 
h(x) = 3 + sen(6x – π) tem período 
2
p
6 3
π π
= = 
Logo: 3
3
π
π = × 
c) Falsa. 
j(x) = cotg x é ímpar para todo x do seu domínio: 
cos( x) cos x
cotg( x) cotgx
sen( x) senx
−
− = = = −
− −
 
d) Verdadeira. 
cotg x é negativa se 




 π
π
∈ ,
2
x ou 




 π
π
∈ 2,
2
3
x 
 
RESPOSTA: opção c 
 
 
15 - Os valores reais de x que satisfazem a equação 
42
x1
tgarc
2
x1
tgarc
π−
+
+
 = são números 
 
a) simétricos. 
b) cuja soma é igual a 1 
c) primos. 
d) recíprocos. 
 
RESOLUÇÃO 
 
a b
1 x 1 x
arc tg arc tg
2 2 4
+ − π
+ =
����� �����
 
a b
4
π
+ = � 
 
1 x 1 x
arc tg a tg a e a
2 2 2 2
+ + π π
= ⇔ = − < < 
 
1 x 1 x
arc tg b tg b e b
2 2 2 2
− − π π
= ⇔ = − < < 
 
De � vem: 
 
2
2
2
1 x 1 x
2 2a b tg(a b) tg 1
1 x 1 x4 4 1
2 2
1 1 x
1 1 1 1 x 0
41 x
1
4
+ −
+π π
+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒
+ −
− ⋅
−
⇒ = ⇒ = − ⇒ − = ⇒
−
−
 
⇒ x 1= ± (são números simétricos) 
 
RESPOSTA: opção a 
 
 
16 - Um número racional m é tal que sua representação decimal é 
m = xy,z. Sabe-se que x, y e z são algarismos do sistema 
decimal tais que 1 � x � 9; 0 � y � 9 e 0 � z � 9. A parte 
inteira de m é o quádruplo de z; se x, y e z, nesta ordem, são 
os três primeiros termos de uma progressão aritmética e y é 
múltiplo de 3, então a soma dos 100 primeiros termos dessa 
progressão aritmética é um número 
 
a) que divide 10.000, exatamente. 
b) múltiplo de 5 
c) divisor de 30.000 
d) cuja soma dos algarismos é menor que 10 
 
RESOLUÇÃO 
 
1 � x � 9, 0 � y � 9 e 0 � z � 9 
 
(1) P.A. (x, y, z) � 
x z
y
2
+
= 
(2) 10x + y = 4z 
 
Substituindo (1) em (2), tem-se: z = 3x 
Se y é múltiplo de 3, tem-se y ∈ {0, 3, 6. 9}. 
Montando um quadro com os valores de x, z e z, tem-se: 
 
 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 8 
x 
x z
y
2
+
= y = 3z 
 
1 
2 
2 (NÃO CONVÉM 
4 (NÃO CONVÉM) 
3 
6 
 
 3 9 9 
 4 - ∃ 
 
Assim, tem-se a P.A. (3, 6, 9, ...) 
 
a100 = 300 e 100S = 15.150 que é múltiplo de 5 
 
RESPOSTA: opção b 
 
 
17 - Constrói-se um triângulo equilátero ABC cujo lado mede a 
unidades. Nesse triângulo, traça-se a circunferência de centro 
no encontro das alturas e tangente aos lados do triângulo. A 
seguir, traça-se uma reta tangente à circunferência, paralela e 
distinta ao lado AB , interceptando AC e BC , 
respectivamente, nos pontos A’ e B’. Para o triângulo A’B’C, 
traça-se a circunferência de centro no encontro das alturas e 
tangente aos lados dos triângulos. A seguir, traça-se uma reta 
tangente à circunferência, paralela e distinta ao lado 'B'A , 
interceptando C'A e C'B , respectivamente, nos pontos A” e 
B”. Esse processo de construção da circunferência é repetido 
indefinidamente. 
Com as circunferências traçadas, encontra-se uma seqüência 
onde são representados seus comprimentos. Essa seqüência 
 
a) tem termo geral representado por 
2
1n2
3
a
−
π
, com n � �* 
b) é uma progressão geométrica cuja razão é 
9
1
 
c) tem por limite da soma de seus termos um número menor 
que a 
d) tem razão diferente da razão da seqüência formada pelos 
raios das circunferências. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Considere a seguinte figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 3
1
2
3
a 3
BH
2
1 a 3 a 3
R OH ,
3 2 6
a 3 a 3
R O'H' , R O"H" ,...
18 54
a 3
C
3
a 3 a 3 a 3 a 3
C 2 R C , , ,...
9 3 9 27
a 3
C
27
=
= = ⋅ =
= = = =
 π
=

  π π π π= π ⇒ = ⇒ ⇒     
 π
=

 
⇒ P.G. cuja razão é 
1
3
 
Logo a opção (B) é incorreta. 
 
O termo geral da P.G. será: 
 
1
2
n 1 1 2n
n 1 1 n 1 2
n 1
a 3 1
a a q a 3 .3 3 a 3
3 3
− −
− − − − = ⋅ = π ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ π ⇒ π 
 
 
n 2n 1
2
a
a
3
−
π
= alternativa correta 
Para o caso da alternativa (C), FALSA; pois: 
1
a 3
a a 33S que é maior que a
11 q 21
3
π
π
= = =
− −
 
Na alternativa (D), FALSA, temos: 
Seqüência dos raios 
a 3 a 3 a 3
, , ,...
6 18 54
 
  
 
 que é uma P.G. de 
razão, também, 
1
3
 
 
RESPOSTA: opção a 
 
 
18 - Sejam x e y dois números reais, tais que x + y = π, 0 < x � 2π 
e 0 � y < 2π. Para que a matriz 





+
+
=
ysenxcos1
ycos1xsen2
A 
NÃO seja inversível, é necessário que x e y sejam tais que 
 
a) sec x + cos y = 0 
b) (tg x).( tg y) > 0 
c) x – y = 
2
π
 
d) x = y 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para que A não seja inversível é necessário que det A = 0 
Assim; se x = π – y, tem-se: 
 
2sen( y) 1 cos y
det A 0 y 0
1 cos( y) seny
π − +
= = ⇒ =
+ π −
 e x = π ou 
 
y = π e x = 0 (Não convém) 
 
Substituindo x = π e y = 0 nas opções, tem-se que: 
 
a) Verdadeiro,pois sec π + cos 0 = 0 
b) Falso, pois (tgπ) . (tg0) = 0 
c) Falso, pois 0
2
π
π − = π ≠ 
d) Falso, pois π = 0 (absurdo!) 
⇒ x = 3, y = 6 e z = 9 
 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 9 
x 2y 2z 18 x 2
3y z 14 z 5
17y 51 y 3
 + + = ⇒ =
 + = ⇒ =

= ⇒ =





RESPOSTA: opção a 
 
 
19 - Certo concurso teve três provas objetivas diferentes, todas 
com o mesmo número de questões. As questões em uma 
mesma prova tinham o mesmo valor, porém, as três provas 
tinham valores distintos entre si. Todo candidato fez as três 
provas. O número de questões acertadas bem como o total de 
pontos obtidos pelos candidatos A, B e C foram dispostos na 
tabela abaixo. 
 
candidato 
1a 
PROVA 
2a 
PROVA 
3a 
PROVA 
TOTAL DE 
PONTOS 
OBTIDOS 
A 6 5 4 47 
B 3 6 6 54 
C 2 7 5 50 
 
Se um outro candidato D acertar 5 questões na primeira prova, 
8 na segunda e 3 na terceira, pode-se afirmar que o total de 
pontos que esse candidato atingirá é 
 
a) menor do que o total de pontos de cada um dos outros três 
candidatos. 
b) o segundo valor na ordem crescente dos pontos atingidos 
pelos quatro candidatos. 
c) maior do que os pontos de cada um dos outros três 
candidatos. 
d) o segundo valor na ordem decrescente dos pontos 
atingidos pelos quatro candidatos. 
 
RESOLUÇÃO 
 
x → valor das questões da 1ª prova 
y → valor das questões da 2ª prova 
z → valor das questões da 3ª prova 
 
6x 5y 4z 47
3x 6y 6z 54
2x 7y 5z 50
+ + =
 + + =
 + + =
 (÷3) ∼ ∼ 
 
 
∼ 
x 2y 2z 18
0x 3y z 14
0x 7y 8z61
+ + =
 + + =
 − − = −
 ∼ 
 
 
 
Candidato D: 5x + 8y + 3y = 5.2 + 8.3 + 3.5 = 10 + 24 + 15 = 49 
pontos 
Candidato A: 47 pontos 
Candidato B: 54 pontos 
Candidato C: 50 pontos 
 
a) Falso. 
b) Verdadeiro, 47 < 49 < 50 < 54 
c) Falso. 
d) Falso, 54 < 50 < 49 < 47 
 
RESPOSTA: opção b 
 
 
20 - Um jogo de pergunta e resposta tem as seguintes regras: 
 
• a cada pergunta respondida, o jogador ganha 1 ponto se 
acertar ou perde 1 ponto se errar; 
• começará jogando com 1 ponto de crédito; 
• responderá até a 5a pergunta ou, deverá parar de jogar se 
atingir um total de 4 pontos ou se perder todos os pontos; e 
• só vencerá se atingir os 4 pontos. 
 
De acordo com as regras estabelecidas, analise os itens a 
seguir, como VERDADEIROS ou FALSOS. 
 
I) O jogo poderá se desenrolar de apenas 10 formas 
distintas. 
II) É única a possibilidade de o jogador vencer o jogo antes 
da 5a pergunta. 
III) Existe apenas uma possibilidade de o jogador perder o 
jogo antes da 5a pergunta. 
 
Pode-se afirmar que é(são) FALSO(S) apenas 
 
a) I. c) III. 
b) II. d) I e III. 
 
RESOLUÇÃO 
 
G → ganhar 
P → perder 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I) Falso. 
O jogo se desenrolará de 11 formas. 
 
II) Verdadeiro. 
A única possibilidade é se ocorrer GGG. 
 
III) Falso. 
Existem duas possibilidades de perder o jogo antes da 5ª 
pergunta: P ou GPP. 
 
RESPOSTA: opção d 
 
 
21 - Tomemos os números x e y pertencentes ao conjunto dos 
números naturais não nulos de forma que x > y 
 Seja C a combinação desses números de forma que 






=
=
−
+
7
9
C
C
CC
1y,x
y,x
1y,xy,x
 
 
Somando-se os algarismos do número x aos algarismos do 
número y, encontra-se um número 
 
a) primo. c) quadrado perfeito. 
b) par. d) divisível por 11 
 
RESOLUÇÃO 
 
Seja 
( )a,b
a!
C
b! a b !
=
−
 , então: 
 
x,y x,y 1
x! x!
C C
y!(x y)! (y 1)!(x y 1)!
x 2y 1 (1) e
+= ⇒ = ⇒− + − −
⇒ − =
 
 
x,y
x,y 1
x!
C 9 9y!(x y)!
7x 16y 7
x!C 7 7
(y 1)!(x y 1)!
−
−= ⇒ = ⇒ − = −
− − +
 (2) 
 
Assim, de (1) e (2) tem-se o sistema equivalente: 
 
x 2y 1
7x 16y 7
− =
⇒ − = −
 x 15= e y 7= 
 
Somando-se os algarismos de x e y, encontra-se: 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 10 
 
1 5 7 13+ + = que é um número primo. 
 
RESPOSTA: opção a 
 
 
22 - Analise as proposições seguintes e classifique-as em (V) 
verdadeiro ou (F) falso. 
 
( ) O desenvolvimento binomial 
 





0
n
 – 





1
n
 + 





2
n
 – ... + (–1)
n






n
n
 é igual a zero. 
( ) No desenvolvimento de 
n
8
4
x
1
x 







− , para que exista 
termo independente de x, é necessário que n seja 
múltiplo de 3 
( ) Dados os binomiais 





p
n
 = a e 





+
+
1p
1n
 = b, então o 
binomial ba
1p
n −=





+
 
 
Tem-se a seqüência correta em 
 
a) V – V – F c) V – V – V 
b) F – F – V d) F – V – F 
 
RESOLUÇÃO 
 
( V ) ( ) ( ) ( )n n nn n n n1 a b 1 1 0
0 1 2 n
       
− + − + − = − = − =       
       
⋯ 
 
( V ) 
n
4
8
1
x
x
 
− 
 
 
Usando a fórmula do termo geral, tem-se: 
 
( )
( )
4
pn p
p4n 4p 8p
8
p 4n 12p
n n1
x . x 1 .x
p px
n
1 .x
p
−
− −
−
     
− = − =     
     
 
= − 
 
 
Para o termo independente: 
 
 4n 12p 0
n
x x 4n 12p 0 p
3
− = ⇒ − = ⇒ = 
 
( F ) Pela relação de Stifel, tem-se: 
 
n n n 1 n n
a b b a
p p 1 p 1 p 1 p 1
+         
+ = ⇒ + = ⇒ = −         + + + +         
 
 
RESPOSTA: opção a 
 
 
23 - Num grupo de 30 pessoas estão apenas homens e mulheres, 
com os dois olhos apenas azuis ou os dois olhos apenas 
castanhos. 
20 são homens; 12 pessoas têm olhos azuis e destas, 8 são 
mulheres. 
Completando a tabela seguinte de acordo com a situação 
acima, se uma pessoa for escolhida ao acaso, é correto 
afirmar que a probabilidade dela ser/ter 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) homem de olhos azuis ou castanhos é 
9
8
 
b) mulher, se tem olhos azuis é 
5
4
 
c) homem, se tem olhos castanhos é 
5
4
 
d) olhos azuis é de 
5
2
 
 
RESOLUÇÃO 
Completando a tabela, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
a) Falso, 
20 2
30 3
= c) Falso,
16 8
18 9
= 
b) Falso,
8 2
12 3
= d) Verdadeiro,
12 2
30 5
= 
 
RESPOSTA: opção d 
 
 
24 - Um aparelho, usado em laboratórios para decantação de 
líquidos, foi construído, ligando-se um cone eqüilátero, um 
cubo e uma esfera, por um tubo, como no esquema da figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na passagem de uma das formas a outra, pelo tubo, existe 
uma torneira para liberar ou interromper a passagem do líquido 
no sistema. 
Num experimento, estando todas as torneiras fechadas, 
coloca-se uma certa quantidade de líquido no cone, de modo a 
enchê-lo por completo, sem desperdício. Logo após, abre-se a 
primeira torneira, possibilitando a passagem do líquido do cone 
para o cubo, o que acontece até que este encha e o cone 
esteja com 
8
5
 da capacidade total, fechando-se a primeira 
torneira. Com o cubo completamente cheio, abre-se a segunda 
torneira para que o líquido possa fluir do cubo para a esfera, o 
que acontece até que esta esteja completamente cheia e o 
cubo com 
6
5
 de sua capacidade. Se não há desperdício de 
líquido e o volume que resta no interior do tubo e das torneiras 
é desprezível, e se o raio da esfera é 30π dm, o raio da base 
do cone é, em dm, igual a 
 
a) 3180π c) 30π 3 
b) 
6 3
120π
 d) 
6 3
90π
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Cubo3
Esfera Cubo
4
Cubo
V1 4
1) V V R
6 3 6
V 216.000
= ⇒ π = ⇒
⇒ = π
 
 
 EA CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3
o
 ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 11 
4
Cone Cubo Cone
3
4
6
3
2) V V V 576.000
8
r 3 120
576.000 r
3 3
= ⇒ = π ⇒
π π
⇒ = π ⇒ =
 
 
RESPOSTA: opção b 
 
 
25 - De um bloco de madeira, com formato de cubo de aresta 
12 cm, são retiradas, exatamente, 4 pirâmides regulares cujas 
bases são quadrados de lado 5 cm. As pirâmides são retiradas 
de faces opostas, fazendo com que seus vértices coincidam 
com o centro do bloco. 
A área da superfície total do sólido, após a retirada das 4 
pirâmides é, em cm
2
, igual a 
 
a) 1224 c) 1024 
b) 1124 d) 1004 
 
RESOLUÇÃO 
Considere o seguinte esquema que ilustra a situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, a área da superfície total do sólido será dada 
por: 
S = área da superfície do cubo (1) + área lateral das quatro 
pirâmides (2) – Área das bases das quatro pirâmides (3) 
 
Representação de uma pirâmide: 
 
 
 
H = 
12
6cm
2
= 
h
2
 = H
2
 + a
2 ⇒ h = 
13
2
 
 
 
(1) 2 2 21 1 1S 6a S 6 (12) S 864cm= ⇒ = ⋅ ⇒ = 
(2) 22 2 2
13
5b h 2S 4 S 4 S 260cm
2 2
⋅⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = 
(3) 2 2 23 3 3S 4 b S 4 5 S 100cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = 
 
S = 864 + 260 – 100 � 2S 1024cm= 
 
RESPOSTA: opção c