p1 poli 2017

Prévia do material em texto

Q1. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 vetores tais que ~v e ~w sejam ambos ortogonais a ~z,
‖~v‖ = 3, ‖~w‖ = 4, ‖~z‖ = 5
e a medida do aˆngulo entre ~v e ~w seja igual a pi3 . Temos que ‖~v + ~w − ~z ‖ e´
igual a:
(a)
√
62;
(b) 4;
(c) 5;
(d)
√
5;
(e)
√
10.
Q2. Considere no espac¸o E3 um trape´zio ABCD, em que AB, BC, CD
e AD sa˜o lados desse trape´zio e os lados AD e BC sa˜o paralelos, como
ilustrado na figura abaixo.
J
J
J
JJ r
A D
B C
M
Seja M o ponto do segmento CD tal que ‖−−→CM‖ = 23‖
−−→
CD‖. Suponha que
‖−−→AD‖ = 6, ‖−−→AB‖ = ‖−−→CD‖ = 1
e que as medidas dos aˆngulos BÂD e CD̂A sejam iguais a pi3 . Seja ~v um
vetor na˜o paralelo ao plano que conte´m o trape´zio ABCD e considere a base
B = {−−→AD,−−→AB,~v}
de V 3. As coordenadas do vetor
−−→
AM na base B sa˜o:
(a)
(
1
18 ,
2
3 , 0
)
;
(b)
(
13
15 ,
1
3 , 0
)
;
(c)
(
1
6 ,
1
3 , 0
)
;
(d)
(
17
18 ,
1
3 , 0
)
;
(e)
(
7
18 ,
2
3 , 0
)
.
Q3. Seja B uma base de V 3 e considere os vetores:
~v1 = (1,−2, 0)B, ~v2 = (0, 3,−1)B e ~v3 = (3,−3,−1)B.
Se β, γ ∈ R forem tais que
~v1 + β~v2 + γ~v3 = ~0,
enta˜o βγ sera´ igual a:
(a) −19 ;
(b) 19 ;
(c) −1;
(d) 13 ;
(e) −13 .
Q4. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 vetores tais que:
‖~v‖ = 3, ‖~w‖ = 2 e ‖~z‖ = 1.
Suponha que ~v e ~z sejam ortogonais, que a medida do aˆngulo entre ~v e ~w
seja igual a pi3 e que a medida do aˆngulo entre ~w e ~z seja igual a
pi
4 . Temos
que a projec¸a˜o ortogonal de ~v + 2~w + ~z sobre ~v e´ igual a:
(a) 43~v;
(b) 4~v;
(c) 2~v;
(d) 53~v;
(e) 119 ~v.
Q5. Seja a ∈ R e considere os vetores
~u1 = (1,−a,−1)B, ~u2 = (a, 1,−1)B e ~u3 = (1, 1, 1)B,
em que B e´ uma base de V 3. Pode-se afirmar que:
(a) {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base de V 3 se, e somente se, 1 ≤ a < 3;
(b) {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base de V 3 se, e somente se, 3 ≤ a < 5;
(c) {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base de V 3 se, e somente se, −2 < a < −1;
(d) {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base de V 3 se, e somente se, 5 ≤ a < 7;
(e) {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base de V 3.
Q6. Seja B uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:
~v = (1, 0,−1)B e ~w = (0, 1, 1)B.
Seja ~a = proj~w ~v e seja
~b = (x, y, z)B uma combinac¸a˜o linear de ~v e ~w que
seja ortogonal a ~v e que satisfac¸a a igualdade ~a ·~b = 1. Temos que x+ y+ z
e´ igual a:
(a) −83 ;
(b) −43 ;
(c) 103 ;
(d) 23 ;
(e) −2.
Q7. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 vetores tais que ~v e ~w sejam ambos ortogonais a ~z.
Suponha que
‖~v + ~w + ~z ‖2 = ‖~v‖2 + ‖~w‖2 + ‖~z‖2
e considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) ~z = ~0;
(II) ~v e ~w sa˜o ortogonais;
(III) ~v e ~w sa˜o linearmente dependentes.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q8. Considere a matriz:
A =

1 0 −1 1
−1 0 −1 1
0 2 0 1
2 0 1 0
 .
Temos que a soma dos elementos na diagonal principal da matriz A−1 e´ igual
a:
(a) −12 ;
(b) 34 ;
(c) 14 ;
(d) 0;
(e) −14 .
Q9. Seja A = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} um subconjunto de V 3 com quatro elementos
e assuma que todo ~v ∈ V 3 possa ser escrito como combinac¸a˜o linear dos
elementos de A. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) ~0 ∈ A;
(II) o conjunto A possui um subconjunto com treˆs elementos que e´ uma
base de V 3;
(III) existe um vetor pertencente ao conjunto A que e´ combinac¸a˜o linear
de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira.
Q10. Sejam dados vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V 3 e uma base B de V 3. Considere o
sistema linear
A
x1x2
x3
 =
b1b2
b3

nas inco´gnitas reais x1, x2 e x3, em que A e´ a matriz 3× 3 cujas colunas sa˜o
[~v1]B, [~v2]B e [~v3]B e b1, b2 e b3 sa˜o nu´meros reais dados. Considere tambe´m
as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se os vetores ~v1, ~v2 e ~v3 forem linearmente independentes, enta˜o esse
sistema linear possuira´ soluc¸a˜o;
(II) se os vetores ~v1, ~v2 e ~v3 forem linearmente independentes, enta˜o esse
sistema linear possuira´ soluc¸a˜o se, e somente se, b1 = b2 = b3 = 0;
(III) se os vetores ~v1, ~v2 e ~v3 forem linearmente dependentes, enta˜o esse
sistema linear possuira´ infinitas soluc¸o˜es.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q11. Sejam m e n inteiros positivos, A uma matriz real m × n e B uma
matriz real m× 1. Considere o sistema linear AX = B, em que a matriz de
inco´gnitas reais X e´ n× 1. Considere tambe´m as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se m = n e det(A) = 0, enta˜o esse sistema possuira´ infinitas soluc¸o˜es;
(II) se m = n e det(A) 6= 0, enta˜o a u´nica soluc¸a˜o desse sistema sera´
X = A−1B;
(III) se m > n, B = 0 e uma linha de A for combinac¸a˜o linear das outras
linhas de A, enta˜o esse sistema possuira´ infinitas soluc¸o˜es.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q12. Sejam A e B matrizes reais 5× 5 e suponha que:
det(A) = 3 e det(B) = −1.
Denote por At a transposta da matriz A. Temos que det(−2ABAt) e´ igual
a:
(a) −18;
(b) 6;
(c) 288;
(d) 18;
(e) −288.
Q13. Seja a ∈ R e considere o sistema linear
x+ ay + z = a,
x+ y + z = 1,
x+ y + az = a2
nas inco´gnitas reais x, y e z. Temos que esse sistema possuira´ uma u´nica
soluc¸a˜o se, e somente se:
(a) 0 < a < 1;
(b) a = 0;
(c) a 6= 0;
(d) a 6= 1;
(e) a = 1.
Q14. Sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 vetores linearmente dependentes. Considere as
seguintes afirmac¸o˜es:
(I) os vetores ~v − ~w, ~v + 3~z e ~w − 2~z sa˜o linearmente dependentes;
(II) o vetor ~v e´ combinac¸a˜o linear de ~w e ~z;
(III) se ~v e ~z forem na˜o nulos e na˜o paralelos, enta˜o ~w sera´ combinac¸a˜o
linear de ~v e ~z.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira.
Q15. Seja B uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:
~v = (1,−1, 2)B e ~w = (3,−1, 1)B.
Seja ~z o vetor paralelo a ~v tal que ~w − ~z seja ortogonal a ~v. A norma do
vetor 2~z − ~w e´ igual a:
(a)
√
10;
(b)
√
11;
(c)
√
7;
(d)
√
8;
(e)
√
12.
Q16. Sejam ABC um triaˆngulo no espac¸o E3 e ~u ∈ V 3 o vetor definido por:
~u = 2
−−→
AB +
−→
AC.
Seja P o ponto da reta que passa por A e B tal que o vetor
−−→
CP seja paralelo
a ~u. Assinale a alternativa correta:
(a)
−→
AP = −4−−→AB;
(b)−→
AP = ~0;
(c)
−→
AP =
−−→
AB;
(d)
−→
AP = −2−−→AB;
(e)
−→
AP = 2
−−→
AB.