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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica
III – 2012/2
Prova Final: 25/02/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
;
sen2 θ =
1− cos (2θ)
2
, cos2 θ =
1 + cos (2θ)
2
, sen θ cos θ =
sen (2θ)
2
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Em um dado instante, uma espira de cobre encontra-
se em repouso, com uma parte dentro de uma regia˜o
com campo magne´tico e a outra fora, conforme mos-
tra a figura. Suponha que, nesse instante, o campo
magne´tico comece a aumentar em intensidade. Qual
das opc¸o˜es melhor descreve o que ocorrera´ com a es-
pira?
(a) A tensa˜o nos fios aumentara´, mas a espira na˜o
saira´ do repouso.
(b) A espira sera´ empurrada para cima, no sentido
do topo da pa´gina.
(c) A espira sera´ empurrada para baixo, no sentido
da base da pa´gina.
(d) A espira sera´ empurrada para a esquerda, para
a regia˜o com campo magne´tico.
(e) A espira sera´ empurrada para a direita, para a
regia˜o sem campo magne´tico.
2. Considere dois pequenos dipolos ele´tricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y , com seu centro na origem O, e
e´ formado por part´ıculas (pontuais) de cargas q > 0
e −q, enquanto o segundo encontra-se no eixo X e e´
formado por part´ıculas (pontuais) de cargas q′ > 0 e
−q′ (cf. figura). Seja ~F 1→2 a forc¸a eletrosta´tica exer-
cida pelo dipolo 1 sobre o diplo 2. Podemos afirmar
que:
(a) ~F 1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
a gira´-lo no sentido hora´rio.
(b) ~F 1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(c) ~F 1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(d) ~F 1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o di-
polo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(e) ~F 1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
1
3. Considere um dipolo magne´tico no centro de um cubo
de lado L1, que, por sua vez, esta´ inscrito em uma su-
perf´ıcie esfe´rica de raio R. Considere, ainda, no lado
de fora da esfera, uma superf´ıcie tetrae´drica regular,
de lado L2. Designando o fluxo do campo magne´tico
resultante atrave´s das superf´ıcies cu´bica, esfe´rica e te-
trae´drica por ΦC ,ΦE e ΦT , respectivamente, temos
(a) ΦC < ΦE < ΦT .
(b) ΦC > ΦE > ΦT .
(c) ΦC = ΦE = ΦT .
(d) ΦC = ΦE > ΦT .
(e) ΦC = ΦE < ΦT .
4. Considere uma part´ıcula (pontual) de carga q > 0,
circundada por uma casca (espessa) condutora, com
carga 3q. O sistema encontra-se em equil´ıbrio ele-
trosta´tico. Em relac¸a˜o aos fluxos Φi (i = 1, 2, 3),
do campo ele´trico resultante, atrave´s das superf´ıcies
gaussianas tracejadas Si (i = 1, 2, 3), podemos afirmar
que
(a) Φ3 > Φ1 > Φ2 .
(b) Φ2 > Φ1 > Φ3 .
(c) Φ3 > Φ2 > Φ1 .
(d) Φ3 > Φ1 = Φ2 .
(e) Φ2 = Φ3 > Φ1 .
5. Uma corrente estaciona´ria, retil´ınea, de intensidade I,
bifurca-se em duas iguais, que percorrem os lados de
um losango, juntando-se novamente no ve´rtice oposto,
conforme mostra a figura. Qual e´ o mo´dulo do campo
magne´tico resultante no centro do losango?
(a)
2µ0I
πL
(cos θ1 + cos θ2) .
(b)
2µ0I
πL
(sen θ1 + sen θ2) .
(c) 0 .
(d)
2µ0I
πL
.
(e)
2µ0I
πL
| cos θ1 − cos θ2| .
6. Considere um sistema constitu´ıdo por um soleno´ide
ideal, de N voltas, comprimento ℓ muito grande e
sec¸a˜o reta circular, de raio R, junto com um anel
circular de raio a. Tal anel encontra-se totalmente
dentro do soleno´ide e a perpendicular ao seu plano
faz um aˆngulo θ com o eixo do soleno´ide. Qual e´ a
indutaˆncia mu´tua entre o soleno´ide e o anel?
(a) µ0πNa
2 sen θ/ℓ .
(b) µ0πNa
2/ℓ .
(c) µ0πNa
2/(ℓ cos θ) .
(d) µ0πNa
2 cos θ/ℓ .
(e) µ0πNa
2/(ℓ sen θ) .
7. Uma barra de cobre retil´ınea, de comprimento L e
resisteˆncia R, desliza, sobre trilhos tambe´m conduto-
res (de resisteˆncias desprez´ıveis), em uma regia˜o de
campo magne´tico ~B constante (estaciona´rio e uni-
forme), sendo sua velocidade ~v mantida constante a`s
custas da ac¸a˜o de uma forc¸a externa. Qual e´ a ex-
pressa˜o para tal forc¸a externa?
(a)
B2L2v
R
xˆ .
(b) −
B2L2v
R
xˆ .
(c)
B2L2v
R
yˆ .
(d) −
B2L2v
R
yˆ .
(e)
B2L2v
R
zˆ .
2
8. A figura ilustra o corte transversal de um capaci-
tor de placas planas e paralelas, cuja regia˜o interna
esta´ preenchida por treˆs meios isolantes de constantes
diele´tricas todas diferentes. Pensando tal capacitor
como uma associac¸a˜o de treˆs “sub-capacitores”, qual
das opc¸o˜es melhor representa o capacitor equivalente?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9. Considere uma esfera (so´lida), de raio R, com uma
densidade de carga estaciona´ria, mas na˜o uniforme,
dada por ρ = C/r, com C constante, onde r e´ a
distaˆncia ate´ o centro da esfera. Qual e´ o traba-
lho realizado pela forc¸a ele´trica, ao deslocarmos uma
part´ıcula de teste, com carga q, desde um ponto com
r = a > R ate´ um outro com r = b > R?
(a)
qCR2
2ǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(b)
qCR2
2ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
(c)
qCR2
ǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(d)
qCR2
ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
(e)
qCR2
3ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
10. Uma esfera so´lida, condutora, neutra e´ colocada entre
as placas condutoras, planas e paralelas, que consti-
tuem um capacitor. O capacitor esta´ carregado e, na
situac¸a˜o de equil´ıbrio eletrosta´tico, a distribuic¸a˜o de
cargas na superf´ıcie da esfera e´ na˜o uniforme, como
mostra a figura. Sobre o potencial eletrosta´tico nos
pontos a, b, c e d, indicados na figura, e´ correto afir-
mar que
(a) V (a) > V (b) > V (c) > V (d) .
(b) V (a) < V (b) < V (c) < V (d) .
(c) V (a) > V (b) = V (c) > V (d) .
(d) V (a) < V (b) = V (c) < V (d) .
(e) V (a) = V (d) > V (c) = V (b) .
(f) Na˜o e´ poss´ıvel especificar a relac¸a˜o entre os po-
tenciais sem que seja definida a posic¸a˜o onde
V = 0 .
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
[2,5 pontos] Considere uma semicircunfereˆncia de raio R.
Escolhemos os eixos cartesianos retangulares de forma que
tal semicircunfereˆncia esteja no plano XY e o seu centro O
coincida com a origem dos eixos. Ale´m disso, a semicircun-
fereˆncia esta´ carregada com uma distribuic¸a˜o na˜o uniforme,
cuja densidade (linear) e´ dada por λ(θ) = λ0 sen θ, onde
λ0 = const e θ e´ o usual aˆngulo polar.
(a) Determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico devido a tal semicircunfereˆncia
na origem O. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico devido a tal semicircun-
fereˆncia na origem O, supondo-o nulo em pontos infinitamente
afastados. [1,0 ponto]
2. [2,5 pontos] Temos um fio de cobre de comprimento total
L, a´rea de sec¸a˜o reta e resistividade uniformes, tal que sua
resisteˆncia ele´trica total seja R. Esse fio apresenta dois trechos
retil´ıneos (com extremidades livres) paralelos ao eixo X e uma
dobra circular. As extremidades do fio sa˜o movimentadas de
forma a ter o raio da dobra circular variando no tempo atrave´s
da func¸a˜o r(t) = ae−bt
2
, onde a e b sa˜o constantes positivas,
enquanto o tempo e´ tomado no intervalo −∞ < t <∞ . Sabe-
se, ademais, que a dobra no fio mante´m em contato ele´trico o
ponto 2 onde a parte circular se completa e que, ortogonal ao
plano da figura, existe um campo magne´tico externoconstante
(estaciona´rio e uniforme) ~B = −Bzˆ (B > 0), no qual o aparato
esta´ imerso.
(a) Determine o fluxo Φ~B(t) do campo magne´tico externo
atrave´s da dobra circular. [0,5 ponto]
(b) Desprezando a auto-indutaˆncia e capacitaˆncia do fio,
determine a intensidade da corrente ele´trica induzida Iind(t) no
fio, levando em conta a resisteˆncia ele´trica efetiva do trecho por
onde passa corrente, e indique, explicitamente, o sentido de tal
corrente na dobra circular, para t < 0 e t > 0. [1,0 ponto]
(c) Indique, nos quatro pontos assinalados na figura, a direc¸a˜o
e o sentido da forc¸a magne´tica sobre o fio, para t < 0 e para
t > 0. [1,0 ponto]
3 5
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (e)
3. (c)
4. (a)
5. (c)
6. (d)
7. (b)
8. (a)
9. (b)
10. (d)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Tendo a semicircunfereˆncia uma densidade linear de carga λ, a carga de um elemento infinitesimal de arco dl
sera´:
dQ = λdl = λ0 sen θRdθ .
Portanto, a carga total armazenada na semicircunfereˆncia sera´:
Q =
∫ π
0
Rλ0 sen θdθ = Rλ0 [− cos θ|
π
0
] ,
ou seja,
Q = 2Rλ0 .
�
(b) Cada elemento infinitesimal de arco dl, produz um campo ele´trico
d~E = −
1
4πǫ0
λdl
R2
rˆ .
onde o vetor unita´rio rˆ e´ o que vai da origem dos eixos ao elemento infinitesimal. Analisando a simetria do problema,
verifica-se que um elemento infinitesimal de aˆngulo θ e um outro de aˆngulo π − θ va˜o produzir um campo ele´trico
de mesma componente dEy e de componentes opostas dEx. Dessa forma, as componentes dEx se cancelam e o
campo resultante sera´ na direc¸a˜o Y , ~E = Ey yˆ. A partir da componente infinitesimal dEy = −|d~E| sen θ calcula-se
a componente resultante Ey:
Ey =
∫
dEy = −
1
4πǫ0
∫ π
0
Rλ0 sen
2θdθ
R2
⇒ Ey = −
λ0
4πǫ0R
∫ π
0
sen2θdθ .
Utilizando a relac¸a˜o trigonome´trica
sen2θ =
1− cos (2θ)
2
,
resolve-se a integral:
Ey = −
λ0
4πǫ0R
(∫ π
0
dθ
2
−
∫ π
0
cos (2θ)dθ
2
)
= −
λ0
8πǫ0R
(
[θ|π
0
]−
[
sen (2θ)
2
∣∣∣∣
π
0
])
.
1
Finalmente
Ey = −
λ0
8ǫ0R
,
ou seja,
~E(O) = −
λ0
8ǫ0R
yˆ .
�
(c) Ja´ considerando que o potencial e´ 0 em pontos infinitamente afastados da semicircunfereˆncia, cada elemento
infinitesimal dl, gera um potencial eletrosta´tico de:
dV =
1
4πǫ0
dQ
R
.
Uma vez que a distaˆncia R e´ sempre a mesma, todos os elementos contribuem com o mesmo potencial. Portanto,
o potencial resultante e´
V (O) =
∫
dV =
1
4πǫ0
Q
R
.
Utilizando o resultado do item (a):
V (O) =
λ0
2πǫ0
.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Sendo o fluxo do campo magne´tico ~B atrave´s de uma superf´ıcie S fornecido pela integral
Φ~B =
∫
S
~B · d~A
onde o vetor d~A e´ ortogonal a superf´ıcie S em cada ponto, enta˜o no caso da dobra circular existente no fio, ao
escolhermos d~A = −dA zˆ e considerarmos que o campo magne´tico e´ uniforme, encontraremos que
Φ~B =
∫
S
B(−zˆ) · dA(−zˆ) =
∫
S
B dA (zˆ · zˆ) = B
∫
S
dA = BA = πr2B.
Contudo no caso da dobra circular no fio temos que, devido a` ac¸a˜o de um agente externo, o seu raio varia no tempo
como r(t) = ae−bt
2
. Esta variac¸a˜o, quando considerada na expressa˜o obtida acima, faz com que o fluxo do campo
magne´tico atrave´s da dobra circular assuma a forma
Φ~B(t) = πa
2B e−2bt
2
.
�
(b) Segundo a lei de Faraday temos que a forc¸a eletromotriz induzida esta´ relacionada a` variac¸a˜o do fluxo do campo
magne´tico atrave´s de
Eind = −
dΦ~B(t)
dt
.
Portanto, ao considerarmos a forc¸a eletromotriz que sera´ induzida na dobra circular devido a` variac¸a˜o do fluxo do
campo magne´tico atrave´s da a´rea definida por ela, encontraremos que
Eind = −
d
dt
(
πa2B e−2bt
2
)
= −πa2B
[
deu
du
]
u=−2bt2
[
d(−2bt2)
dt
]
= −πa2Be−2bt
2
(−4bt)
2
ou seja
Eind(t) = 4πa
2bBte−2bt
2
.
Observando que, sendo o fio de comprimento finito e estando as suas extremidadas livres, enta˜o so´ circulara´ corrente
ele´trica induzida atrave´s da dobra circular que, neste caso, sera´ obtida pela raza˜o
Iind =
Eind
Ref
.
A resisteˆncia ele´trica efetiva da dobra circular Ref pode ser obtida ao considerarmos que, sendo o fio de sec¸a˜o reta
A e a resistividade ρ constantes, enta˜o
Ref = ρ
(
Lef
A
)
onde Lef = 2πr.
Neste ponto, se levarmos em conta que a resisteˆncia ele´trica total R do fio esta´ relacionada ao seu comprimento L
por
R = ρ
(
L
A
)
=⇒
ρ
A
=
R
L
,
e usarmos este resultado na expressa˜o para a resisteˆncia ele´trica efetiva concluiremos que
Ref =
(
2πr
L
)
R
ou seja,
Ref(t) =
(
2πa
L
)
Re−bt
2
.
Para finalizar devemos usar as expresso˜es obtidas para Eind(t) e Ref(t) na expressa˜o que fornece a corrente induzida
e assim concluirmos que
Iind(t) =
4πa2bBte−2bt
2
(
2πa
L
)
Re−bt2
,
ou seja,
Iind(t) =
(
2abLB
R
)
te−bt
2
.
Para determinarmos o sentido da corrente ele´trica devemos observar que, conforme o tempo t evolui de −∞ para
0, o raio r(t) da dobra circular (e por consequ¨eˆncia a sua a´rea) cresce ate´ chegar ao seu valor ma´ximo rmax = a
quando t = 0. A partir desse instante, conforme o tempo passa o raio r(t) decresce ate´ tender a zero quando
t→ +∞. Considerando este comportamento e o que diz a lei de Lenz, conclu´ımos que a corrente induzida Iind(t)
deve se opor a esta variac¸a˜o do fluxo do campo ele´trico: (i) circulando pela dobra no sentido anti-hora´rio quando
t < 0 e a sua a´rea esta´ aumentando; (ii) circulando pela dobra no sentido hora´rio quando t > 0 e a sua a´rea
esta´ diminuindo.
3
�
(c) A forc¸a magne´tica d~F~B sobre qualquer elemento de comprimento d~ℓ do fio sera´ dada por
d~F ~B = Iind d~ℓ× ~B.
Portanto, tendo em vista que Iind so´ circula pela dobra, conclu´ımos que a forc¸a magne´tica nos trechos retil´ıneos do
fio [neste caso, nos pontos (1) e (4)] sera´ nula. Como para pontos na dobra circular d~ℓ = r dθ θˆ, onde o unita´rio
θˆ aponta no sentido do crescimento da coordenada angular θ, enta˜o a forc¸a magne´tica sobre qualquer elemento da
dobra circular do fio sera´ dada por
d~F ~B = −Iind rB dθ (θˆ × zˆ)
ou seja,
d~F ~B = −Iind rB dθ rˆ
onde o unita´rio rˆ aponta no sentido do crescimento do raio r. Esta expressa˜o implica que o sentido da corrente
ele´trica induzida na dobra circular Iind definira´ a natureza radial da forc¸a magne´tica sobre qualquer um de seus
pontos. Portanto quando Iind circular no sentido anti-hora´rio (para t < 0), d~F ~B em qualquer ponto da dobra
circular [pontos (2) e (3), no nosso caso] apontara´ radialmente para o seu centro. Por sua vez, quando Iind
circular no sentido hora´rio (para t > 0), d~F ~B em qualquer ponto da dobra circular [pontos (2) e (3), no nosso
caso] apontara´ radialmente para fora do seu centro.
3 5 3 5
�
4