Alavanca Arquimedes

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Arquimedes teve grande importância também na física, em especial na Mecânica. Dentre suas 
contribuições destacamos o Princípio da Alavanca, contido em sua obra "Sobre o Equilíbrio dos 
Planos"
A alavanca é uma das máquinas simples estudadas na Grécia antiga. Ela é constituída de um corpo 
rígido, normalmente linear, denominado de haste ou travessão da alavanca. Esta haste é capaz de 
girar ao redor de um eixo horizontal que é fixo em relação ao solo. Este eixo é ortogonal à haste da 
alavanca, sendo denominado de fulcro ou de ponto de suspensão da alavanca. É como se fosse uma 
balança de braços iguais, só que com a possibilidade de colocar os pesos a distâncias diferentes do 
fulcro. 
Na obra citada acima Arquimedes demonstra o princípio da alavanca nas proposições 6 e 7:
 Proposição 6: Grandezas comensuráveis se equilibram em distâncias inversamente 
proporcionais a seus pesos.
 Proposição 7: Da mesma maneira, mesmo se as grandezas são incomensuráveis elas se 
equilibrarão em distâncias inversamente proporcionais às grandezas.
Nesta mesma obra arquimedes trata de temas essenciais nos dias de hoje, como o conceito de centro
de gravidade de figuras e objetos, como encontrá-los e como se dá o equilíbrio de dois corpos a 
partir de seus centros de gravidade.
Voltando ao princípio da alavanca, existe uma passagem famosa em que Arquimedes diz a Hieron: 
"Qualquer peso dado pode ser movido por qualquer força dada". E ainda completa: "Dê-me uma 
alavanca e um ponto de apoio e eu moverei a Terra". Plutarco conta que Hieron ficou espantado 
com tal frase e que pediu para Arquimedes reduzir o problema pra alguma coisa prática. 
Arquimedes disse que então que se escolhessem um navio de três mastros do arsenal do rei e 
carregasse-o completamente com pessoas e carga, ele poderia ficar longe do navio segurando 
apenas um "pulley" e assim conseguiria, sem grande esforço, fazer o navio se mover suavemente e 
de forma segura como se estivesse no oceano.
Mas o princípio da alavanca não é importante apenas na mecânica. Ele tem uma importância 
geométrica muito grande. Arquimedes escreveu uma obra genial chama "O Método". Nessa obra ele
faz demonstrações de resultados geométricos utilizando o princípio da alavanca. Ele enunciou 
diversas proposições antes de mostrar os principais resultados. Algumas delas são:
 O centro de gravidade de qualquer linha reta é o ponto de bissecção da linha reta.
 O centro de gravidade de qualquer triângulo é o ponto no qual se cortam as linhas retas 
traçadas a partir dos pontos angulares até os pontos médios dos lados (opostos).
 O centro de gravidade do círculo é o ponto que também é o seu centro.
 O centro de gravidade de qualquer cilindo é o ponto de bissecção do seu eixo.
O primeiro grande resultado mostrado mecanicamente por Arquimedes foi: A área de um segmento 
parabólico é igual a 4/3 a área do triângulo inscrito nesta parábola. Ele faz uma construção como a 
da figura abaixo:
E fazendo manipulações geométricas o que ele enxerga e conclui é:
As figuras estão em equilíbrio e κχ = κγ/3. Portanto, a área do segmento parabólico é igual a 1/3 da 
área desse triângulo. A partir daí ele conclui que a área do segmento parabólico será 4/3 da área do 
triângulo inscrito.
Esse resultado foi mostrado geometricamente também (sem o uso da alavanca) e se encontra na 
obra "Quadratura da Parábola" de Arquimedes.
O segundo resultado mostrado mecanicamente por Arquimedes foi o seguinte: 
"O volume de qualquer esfera é igual a quatro vezes o cone que tem sua base igual ao círculo 
máximo da esfera e sua altura igual ao raio da esfera, enquanto que o volume do cilindro com base 
igual a um círculo máximo da esfera e altura igual ao diâmetro é uma vez e meia o volume da 
esfera. "
Esse resultado é importante porque é a primeira vez na história que se tem calculado o volume da 
esfera. Além disso, a partir desse teorema, Arquimedes expressa também a área da esfera. 
Para Arquimedes, esse teorema foi a sua maior descoberta. Ele solicitou a seus familiares que fosse 
colocado em seu túmulo uma representação de um cilindro circunscrevendo uma esfera dentro dele,
juntamente com uma inscrição fornecendo a razão que o volume do cilindro tem em relação ao 
volume da esfera. 
Cícero (106 – 43 a.E.C) mencionou o seguinte em uma de suas obras:
"Mas da própria cidade Siracusa de Dionísio vou levantar da poeira — onde seu bastão traçava suas
linhas — um homem obscuro que viveu muitos anos mais tarde, Arquimedes. Quando fui questor 
na Sicília consegui descobrir seu túmulo. Os habitantes de Siracusa não sabiam nada sobre ele e 
chegavam mesmo a afirmar que não existia. Mas lá estava ele, completamente cercado e escondido 
por galhos de arbustos e espinheiros. Me lembrei de ter ouvido algumas linhas de verso que haviam 
sido inscritos em seu túmulo, referindo-se a uma esfera e um cilindro modelados em pedra no topo 
da sepultura. E assim dei uma boa olhada ao redor dos numerosos túmulos que estavam ao lado do 
Portão de Agrigentino. Finalmente percebi uma pequena coluna pouco visível sobre os arbustos. Em
cima dela havia uma esfera e um cilindro. Disse imediatamente aos principais habitantes de 
Siracusa que estavam comigo na ocasião, que acreditava que este era o túmulo que estava 
procurando. Foram enviados homens com foices para limpar o local e quando foi aberto um 
caminho até o monumento fomos até ele. E os versos ainda estavam visíveis, embora 
aproximadamente a segunda metade de cada linha estivesse gasta. "